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《状元之路》2016届高考数学理新课标A版一轮总复习:必修部分 开卷速查56 圆锥曲线的综合问题


开卷速查(五十六)

圆锥曲线的综合问题

A 级 基础巩固练 1.已知椭圆 C 的中心为坐标原点 O,一个长轴顶点为(0,2),它的 两个短轴顶点和焦点所组成的四边形为正方形,直线 l 与 y 轴交于点 → =2PB →. P(0,m),与椭圆 C 交于异于椭圆顶点的两点 A,B,且AP (1)求椭圆的方程; (2)求 m 的取值范围. 解析:(1)由题意,知椭圆的焦点在 y 轴上, y2 x2 设椭圆方程为a2+b2=1(a>b>0), 由题意,知 a=2,b=c, 又 a2=b2+c2,则 b= 2, y2 x2 所以椭圆方程为 4 + 2 =1. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),由题意,知直线 l 的斜率存在,设其方 程为 y=kx+m,与椭圆方程联立,

?y2+2x2=4, 即? ?y=kx+m,

消去 y,

得(2+k2)x2+2mkx+m2-4=0, Δ=(2mk)2-4(2+k2)(m2-4)>0, 由根与系数的关系,知

-1-

?x +x =-2+k , ? ? m -4 xx= , ? 2+k ?
1 2 2 2 1 2 2

2mk

→ =2PB → ,即有(-x ,m-y )=2(x ,y -m), 又AP 1 1 2 2 所以-x1=2x2.

?x1+x2=-x2, 则? 2 ?x1x2=-2x2,
? 2mk ? m2-4 ? ?2 所以 =- 2 ?2+k2? . 2 2 +k ? ?

整理,得(9m2-4)k2=8-2m2, 又 9m2-4=0 时等式不成立, 8-2m2 4 所以 k = 2 >0,得9<m2<4,此时 Δ>0. 9m -4
2

2? ?2 ? ? 所以 m 的取值范围为?-2,-3?∪?3,2?.
? ? ? ?

x2 y2 2.已知椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1 和 F2,由 四个点 M(-a,b)、N(a,b)、F2 和 F1 组成了一个高为 3,面积为 3 3 的等腰梯形. (1)求椭圆的方程; (2)过点 F1 的直线和椭圆交于两点 A, B, 求△F2AB 面积的最大值.

-2-

2a+2c 解析:(1)由条件,得 b= 3,且 2 × 3=3 3, 所以 a+c=3.又 a2-c2=3,解得 a=2,c=1. x2 y2 所以椭圆的方程 4 + 3 =1. (2)显然,直线的斜率不能为 0,设直线方程为 x=my-1,直线与 椭圆交于 A(x1,y1),B(x2,y2). x y ? ? 4 + 3 =1, 联立方程? ? ?x=my-1,
2 2

消去 x,

得(3m2+4)y2-6my-9=0, 因为直线过椭圆内的点,无论 m 为何值,直线和椭圆总相交. ∴y1+y2= 9 , y y =- . 1 2 3m2+4 3m2+4 6m

1 S△F2AB=2|F1F2||y1-y2| =|y1-y2| = =12 ?y1+y2?2-4y1y2 m2+1 ?3m2+4?2 m2+1 1? ? 2 ?m +1+ ?2 3? ?

=4

-3-

=4

, 2 1 m +1+3+ 9?m2+1?
2

1

1? ? 1 令 t=m2+1≥1,设 y=t+9t,易知 t∈?0,3?时,函数单调递减,t
? ? ?1 ? 10 ∈?3,+∞?函数单调递增,所以当 t=m2+1=1,即 m=0 时,ymin= 9 . ? ?

S△F2AB 取最大值 3. B级 能力提升练

x2 2 3. [2014· 江西]如图, 已知双曲线 C: a2-y =1(a>0)的右焦点为 F, 点 A,B 分别在 C 的两条渐近线上,AF⊥x 轴,AB⊥OB,BF∥OA(O 为坐标原点). (1)求双曲线 C 的方程; x0 x (2)过 C 上一点 P(x0,y0)(y0≠0)的直线 l:a2 -y0y=1 与直线 AF 相 3 交于点 M,与直线 x=2相交于点 N. |MF| 证明:当点 P 在 C 上移动时, |NF| 恒为定值,并求此定值. 解析:(1)设 F(c,0),因为 b=1,所以 c= a2+1,

-4-

1 1 直线 OB 的方程为 y=-ax,直线 BF 的方程为 y=a(x-c),解得 c? ?c B?2,-2a?. ? ? c ? c? ?- ? a-? 2a? 3 c? ? 1 又直线 OA 的方程为 y=ax,则 A?c,a?,kAB= c =a. ? ? c-2 3 ? 1? ?- ?=-1, 又因为 AB⊥OB,所以a· a
? ?

x2 2 解得 a =3,故双曲线 C 的方程为 3 -y =1.
2

x0 x (2)由(1)知 a= 3,则直线 l 的方程为 3 -y0y=1(y0≠0),即 y= x0x-3 3 y0 . 因 为 直 线 AF 的 方 程 为 x = 2 , 所 以 直 线 l 与 AF 的 交 点
? 2x0-3? ? ? M?2, ; 3 y0 ? ? ?

3 x -3 3 3 2 0 直线 l 与直线 x=2的交点为 N2, 3y . 0

-5-

?2x0-3?2 ?3y0?2 |MF|2 则 |NF|2 = ?3 ? ? x0-3?2 1 ?2 ? + 2 4 ?3y0? ?2x0-3?2 =9y2 9 0 2 + ? x 0-2? 4 4
2 4 ?2x0-3? =3· 2 , 3y0+3?x0-2?2

x2 0 因为 P(x0,y0)是 C 上一点,则 3 -y2 0=1,代入上式得 ?2x0-3?2 |MF|2 4 2 |NF|2 =3· x2 0-3+3?x0-2?
2 4 ?2x0-3? =3· 2 4x0-12x0+9

4 =3, |MF| 2 2 3 所求定值为 |NF| = = 3 . 3 x2 y2 4.[2014· 福建]已知双曲线 E:a2-b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线 分别为 l1:y=2x,l2:y=-2x.

-6-

(1)求双曲线 E 的离心率; (2)如图,O 为坐标原点,动直线 l 分别交直线 l1,l2 于 A,B 两点 (A,B 分别在第一、四象限),且△OAB 的面积恒为 8.试探究:是否存 在总与直线 l 有且只有一个公共点的双曲线 E?若存在,求出双曲线 E 的方程;若不存在,说明理由. 解析:方法一:(1)因为双曲线 E 的渐近线分别为 y=2x,y=-2x, b 所以a=2,

所以

c2-a2 =2, a

-7-

故 c= 5a, c 从而双曲线 E 的离心率 e=a= 5. x2 y2 (2)由(1)知,双曲线 E 的方程为a2-4a2=1. 设直线 l 与 x 轴相交于点 C. 当 l⊥x 轴时,若直线 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点, 则|OC|=a,|AB|=4a, 又因为△OAB 的面积为 8, 1 所以2|OC|· |AB|=8, 1 因此2a· 4a=8,解得 a=2, x2 y2 此时双曲线 E 的方程为 4 -16=1. x2 y2 若存在满足条件的双曲线 E,则 E 的方程只能为 4 -16=1. 以下证明:当直线 l 不与 x 轴垂直时,双曲线 E: x2 y2 4 -16=1 也满足条件. 设直线 l 的方程为 y=kx+m,依题意,得 k>2 或 k<-2,
? m ? 则 C?- k ,0?.记 A(x1,y1),B(x2,y2). ? ?

?y=kx+m, 由? ?y=2x,

2m 得 y1= , 2-k

-8-

2m 同理得 y2= . 2+k 1 由 S△OAB=2|OC|· |y1-y2|得, 2m 2m ? 1? m? ? ? ? - ?- ?· =8 , ? 2? k ? ?2-k 2+k? ? 即 m2=4|4-k2|=4(k2-4).

? ?y=kx+m, 由?x2 y2 ? ? 4 -16=1,
因为 4-k2<0,

得(4-k2)x2-2kmx-m2-16=0.

所以 Δ=4k2m2+4(4-k2)(m2+16) =-16(4k2-m2-16), 又因为 m2=4(k2-4), 所以 Δ=0,即 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点. 因此,存在总与 l 有且只有一个公共点的双曲线 E,且 E 的方程为 x2 y2 4 -16=1. 方法二:(1)同方法一. x2 y2 (2)由(1)知,双曲线 E 的方程为a2-4a2=1. 设直线 l 的方程为 x=my+t,A(x1,y1),B(x2,y2). 1 1 依题意得-2<m<2.
-9-

?x=my+t, -2t 2t 由? 得 y1= ,同理得 y2= . 1 - 2 m 1 + 2 m ?y=2x
设直线 l 与 x 轴相交于点 C,则 C(t,0). 1 由 S△OAB=2|OC|· |y1-y2|=8,得 2t 2t ? 1 ? ? ? + | t |· ?=8, 2 ? 1 - 2 m 1 + 2 m ? ? 所以 t2=4|1-4m2|=4(1-4m2).

? ?x=my+t, 由?x2 y2 ?a2-4a2=1, ?



(4m2-1)y2+8mty+4(t2-a2)=0. 因为 4m2-1<0,直线 l 与双曲线 E 有且只有一公共点当且仅当 Δ =64m2t2-16(4m2-1)(t2-a2)=0, 即 4m2a2+t2-a2=0,即 4m2a2+4(1-4m2)-a2=0,即(1-4m2)(a2 -4)=0, 所以 a2=4, 因此,存在总与 l 有且只有一个公共点的双曲线 E,且 E 的方程为 x2 y2 4 -16=1. 方法三:(1)同方法一. (2)当直线 l 不与 x 轴垂直时,设直线 l 的方程为 y=kx+m,A(x1,
- 10 -

y1),B(x2,y2). 依题意得 k>2 或 k<-2.

?y=kx+m, 由? 2 2 ?4x -y =0,

得(4-k2)x2-2kmx-m2=0,

因为 4-k2<0,Δ>0, 所以 x1x2= , 4-k2 又因为△OAB 的面积为 8, 1 所以2|OA|· |OB|· sin∠AOB=8, 4 又易知 sin∠AOB=5, 2 所以5
2 2 2 x2 1+y1· x2+y2 =8,

-m2

化简得 x1x2=4. 所以 =4,即 m2=4(k2-4). 2 4-k x2 y2 由(1)得双曲线 E 的方程为a2-4a2=1, -m2

? ?y=kx+m, 由?x2 y2 ? ?a2-4a2=1

得,(4-k2)x2-2kmx-m2-4a2=0,

因为 4-k2<0,直线 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点当且仅当 Δ

- 11 -

=4k2m2+4(4-k2)(m2+4a2)=0, 即(k2-4)(a2-4)=0, 所以 a2=4, x2 y2 所以双曲线 E 的方程为 4 -16=1. 当 l⊥x 轴时,由△OAB 的面积等于 8 可得 l:x=2,又易知 l:x=2 x2 y2 与双曲线 E: 4 -16=1 有且只有一公共点. 综上所述,存在总与 l 有且只有一个公共点的双曲线 E,且 E 的方 x2 y2 程为 4 -16=1.

- 12 -


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