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14级高二数学高二导数复习(1)

高 2014 级导数复习(一)
一、选填题 1.【重庆】设函数 f ( x ) 在 R 上可导,其导函数 f ?( x ) ,且函数 f ( x ) 在 x ? ?2 处取得极小值, 则函数 y ? xf ?( x) 的图象可能是

2.【浙江】设 a>0,b>0,e 是自然对数的底数 A. 若 ea+2a=eb+3b,则 a>b B. 若 ea+2a=eb+3b,则 a<b C. 若 ea-2a=eb-3b,则 a>b D. 若 ea-2a=eb-3b,则 a<b 3.【陕西】设函数 f(x)= A.x=

2 +lnx 则() x
B.x=

1 为 f(x)的极大值点 2

1 为 f(x)的极小值点 2

C.x=2 为 f(x)的极大值点

D.x=2 为 f(x)的极小值点

1 2 4.【辽宁】函数 y= x ? ㏑ x 的单调递减区间为 2

(A) ( ? 1,1] (B) (0,1] (C.)[1,+∞) (D) (0,+∞) 5.【福建】已知 f(x)=x?-6x?+9x-abc,a<b<c,且 f(a)=f(b)=f(c)=0.现给出如下结论: ①f(0)f(1)>0;②f(0)f(1)<0;③f(0)f(3)>0;④f(0)f(3)<0. 其中正确结论的序号是 A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 2 6.【辽宁】已知 P,Q 为抛物线 x =2y 上两点,点 P,Q 的横坐标分别为 4, ? 2,过 P,Q 分别作抛 物线的切线,两切线交于点 A,则点 A 的纵坐标为 (A) 1 (B) 3 (C) ? 4 (D) ? 8
7.(新课标 )已知函数

f ( x) ?

1 ;则 y ? f ( x) 的图像大致为 ln( x ? 1) ? x

-1-

8. (重庆 ) 设函数 f ( x ) 在 R 上可导,其导函数为 f ?( x ) ,且函数 y ? (1 ? x) f ?( x) 的图像如题(8)

图所示,则下列结论中一定成立的是 A.函数 f ( x ) 有极大值 f (2) 和极小值 f (1) B.函数 f ( x ) 有极大值 f (?2) 和极小值 f (1) C.函数 f ( x ) 有极大值 f (2) 和极小值 f (?2) D.函数 f ( x ) 有极大值 f (?2) 和极小值 f (2)
9 . (陕西 )设函数





f ( x) ? xe x ,则
B. x ? 1 为 f ( x ) 的极小值点 D. x ? ?1 为 f ( x ) 的极小值点





A. x ? 1 为 f ( x ) 的极大值点 C. x ? ?1 为 f ( x ) 的极大值点

10 . (山东 )设 a ? 0 且 a ?1 ,则“函数
3 在 R 上是增函数”的 g ( x) ? ( 2 ? a )x

f ( x) ? a x 在 R 上 是 减 函 数 ”, 是 “ 函 数
( )

A.充分不必要条件 C.充分必要条件
11. (大纲 )已知函数 y ? x
3

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

? 3x ? c 的图像与 x 轴恰有两个公共点,则 c ?
-2-





A. ? 2 或 2 B. ? 9 或 3 C. ? 1 或 1 D. ?3 或 1 12.【新课标】曲线 y=x(3lnx+1)在点 (1,1) 处的切线方程为________ 13.【上海】已知函数 y ? f ( x) 的图像是折线段 ABC ,其中 A(0, 0) 、 B ( ,1) 、 C (1, 0) ,函数

y ? xf ( x) ( 0 ? x ? 1 )的图像与 x 轴围成的图形的面积为
3

1 2

14. (广东 )曲线 y ? x ? x ? 3 在点 ?1,3? 处的切线方程为___________________. 二、简答题

1【北京文】已知函数 f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx。 若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求 a,b 的值; 当 a=3,b=-9 时,若函数 f(x)+g(x)在区间[k,2]上的最大值为 28,求 k 的取值范围。

2. (北京理 )已知函数

f ( x) ? ax2 ? 1 ( a ? 0 ), g ( x) ? x3 ? bx .

(1)若曲线 y ? f ( x) 与曲线 y ? g ( x) 在它们的交点(1, c )处具有公共切线,求 a , b 的值; (2)当 a 2 ? 4b 时,求函数 f ( x) ? g ( x) 的单调区间,并求其在区间 (??, ?1] 上的最大值.

3、已知函数 f ( x) ?

1 3 1? a 2 x ? x ? ax ? a ,x∈ R其中 a>0. 3 2

(I)求函数 f ( x) 的单调区间; (II)若函数 f ( x) 在区间(-2,0)内恰有两个零点,求 a 的取值范围; (III) 当 a=1 时, 设函数 f ( x) 在区间 [t , t ? 3] 上的最大值为 M (t) , 最小值为 m (t) ,记 g(t)=M(t)-m(t), 求函数 g(t)在区间 [ ?3,?1] 上的最小值。

4.(福建 理)已知函数

f ( x) ? ex ? ax2 ? ex(a ? R) .

(Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线平行于 x 轴,求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)试确定 a 的取值范围,使得曲线 y ? f ( x) 上存在唯一的点 P ,曲线在该点处的切线与 曲线只有一个公共点 P .

-3-

5. 【四川】 已知 a 为正实数, 抛物线 y ? ? x ? n 为自然数,
2

an 与 x 轴正半轴相交于点 A , 设 f ( n) 2

为该抛物线在点 A 处的切线在 y 轴上的截距。 (Ⅰ)用 a 和 n 表示 f ( n) ;

f ( n) ? 1 n 成立的 a 的最小值; ? f ( n) ? 1 n ? 1 1 1 1 (Ⅲ)当 0 ? a ? 1 时,比较 与 ? ? ??? ? f (1) ? f (2) f (2) ? f (4) f (n) ? f (2n) f (1) ? f (n ? 1) 的大小,并说明理由。 6? f (0) ? f (1)
(Ⅱ)求对所有 n 都有

6.【湖南文】已知函数 f(x)=ex-ax,其中 a>0. (1)若对一切 x∈R,f(x) ? 1 恒成立,求 a 的取值集合; (2)在函数 f(x)的图像上去定点 A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))(x1<x2),记直线 AB 的斜率为 k,证明:存 在 x0∈(x1,x2),使 f ?( x0 ) ? k 恒成立.
[@#中国^ 教育出 版& 网~] [z

7.【新课标文】设函数 f(x)= ex-ax-2 (Ⅰ)求 f(x)的单调区间 (Ⅱ)若 a=1,k 为整数,且当 x>0 时,(x-k)f?(x)+x+1>0,求 k 的最大值

8. (新课标 理)已知函数 f ( x ) 满足满足 f ( x) ? f ?(1)e

x ?1

? f (0) x ?

1 2 x ; 2

(1)求 f ( x ) 的解析式及单调区间; (2)若 f ( x) ?

1 2 x ? ax ? b ,求 (a ? 1)b 的最大值. 2

9.【重庆文】已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 在 x ? 2 处取得极值为 c ? 16
3

-4-

(1)求 a、b 的值; (2)若 f ( x ) 有极大值 28,求 f ( x ) 在 [?3,3] 上的最大值.

10. (重庆理 )设 f ( x) ? a ln x ?

1 3 ? x ? 1, 其中 a ? R ,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切 2x 2

线垂直于 y 轴. (Ⅰ) 求 a 的值; (Ⅱ) 求函数 f ( x ) 的极值.

11.【湖北】设函数 处的切线方程为 x+y=1. (1)求 a,b 的值; (2)求函数 f(x)的最大值 (3)证明:f(x)<

,n 为正整数,a,b 为常数,曲线 y=f(x)在(1,f(1))

1 . ne

12.【安徽文】设定义在(0,+ ? )上的函数 f ( x) ? ax ? (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小值;

1 ? b(a ? 0) ax

(Ⅱ)若曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ?

3 x ,求 a , b 的值。 2

13. (安徽理 )设 f ( x) ? ae ?
x

1 ? b(a ? 0) ae x
-5-

(I)求 f ( x ) 在 [0, ??) 上的最小值; (II)设曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 的切线方程为 y ?

3 x ;求 a , b 的值. 2

14.【江西】已知函数 f(x)=(ax2+bx+c)ex 在 ?0,1? 上单调递减且满足 f(0)=1,f(1)=0. (1)求 a 的取值范围; (2)设 g(x)= f(-x)- f′(x),求 g(x)在 ?0,1? 上的最大值和最小值。

15.【辽宁文】设 f ( x) ? ln x ? x ?1,证明:

3 ( x ?1) 2 9( x ? 1) (Ⅱ)当 1 ? x ? 3 时, f ( x) ? x?5
(Ⅰ)当 x﹥1 时, f ( x ) ﹤

16. (辽宁理 )设

f ( x) ? ln( x ?1) ? x ?1 ? ax ? b(a, b ? R, a, b为常数) ,曲线 y ? f ( x) 与

直线 y ?

3 x 在(0,0)点相切. 2

(Ⅰ)求 a , b 的值. (Ⅱ)证明:当 0 ? x ? 2 时, f ( x ) ?

9x . x?6

-6-

17.【浙江文】已知 a∈R,函数 f ( x) ? 4 x3 ? 2ax ? a (1)求 f(x)的单调区间 (2)证明:当 0≤x≤1 时,f(x)+ 2 ? a >0.

18.【全国】已知函数 f ( x) ? (Ⅰ)讨论 f ( x ) 的单调性;

1 3 x ? x 2 ? ax 3

(Ⅱ)设 f ( x ) 有两个极值点 x1 , x 2 ,若过两点 ( x1 , f ( x1 )) , ( x2 , f ( x2 )) 的直线 l 与 x 轴的交点 在曲线 y ? f ( x) 上,求 a 的值。

19. 【山东理】 已知函数 f ( x) ?

ln x ? k e=2.71828?是自然对数的底数), 曲线 y ? f ( x) (k 为常数, ex 在点 (1, f (1)) 处的切线与 x 轴平行. (Ⅰ)求 k 的值; (Ⅱ)求 f ( x) 的单调区间;

(Ⅲ)设 g ( x) ? xf ?( x) ,其中 f ?( x) 为 f ( x) 的导函数.证明:对任意 x ? 0, g ( x) ? 1 ? e?2 .

-7-

20. (山东文 )已知函数 f ( x) ?

ln x ? k ( k 为常数, e ? 2.71828 ??? 是自然对数的底数),曲线 ex

y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与 x 轴平行.
(Ⅰ)求 k 的值; (Ⅱ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅲ) 设 g ( x) ? ( x2 ? x) f '( x) , 其 中 f ' ( x )为 f ( x) 的 导 函 数 . 证 明 : 对 任 意 . x ? 0 , g (x ? ) ? 1?2e

21、 【陕西】设函数 fn ( x) ? xn ? bx ? c (1)设 n ? 2 , b ? 1,

(n ? N? , b, c ? R)

?1 ? c ? ?1,证明: f n ( x) 在区间 ? ,1? 内存在唯一的零点; ?2 ? (2)设 n 为偶数, f ( ?1) ? 1 , f (1) ? 1 ,求 b+3c 的最小值和最大值;
(3)设 n ? 2 ,若对任意 x1 , x2 ?[?1,1] ,有 | f 2 ( x1 ) ? f 2 ( x2 ) |? 4 ,求 b 的取值范围;

22、 (陕西 )设函数

fn ( x) ? xn ? bx ? c (n ? N? , b, c ? R)
?1 ? c ? ?1,证明: f n ( x) 在区间 ? ,1? 内存在唯一的零点; ?2 ?

(1)设 n ? 2 , b ? 1,

(2)设 n ? 2 ,若对任意 x1 , x2 ?[?1,1] ,有 | f 2 ( x1 ) ? f 2 ( x2 ) |? 4 ,求 b 的取值范围; (3)在(1)的条件下,设 xn 是 f n ( x) 在 ? ,1? 内的零点,判断数列 x2 , x3 ,?, xn ?的增减性.

?1 ? ?2 ?

-8-


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