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高考数学指点迷津系列讲座第一轮十


高考数学指点迷津系列讲座
——期中复习
一.推理与证明 an+an+1 1.原命题为“若 <an,n∈N+,则{an}为递减数列”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真 2 假性的判断依次如下,正确的是【 】 A.真,真,真 B.假,假,真 C.真,真,假 D.假,假,假 2 2.用反证法证明命题“设 a,b 为实数,则方程 x +ax+b=0 至少有一个实根”时,要做的假设是 【 】 A.方程 x2+ax+b=0 没有实根 B.方程 x2+ax+b=0 至多有一个实根 C.方程 x2+ax+b=0 至多有两个实根 D.方程 x2+ax+b=0 恰好有两个实根 3.在△ABC 中,角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c,则“a≤b”是“sin A≤sin B”的【 】 A.充分必要条件 B.充分非必要条件 C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件 4.已知集合{a,b,c}={0,1,2},且下列三个关系: ①a≠2;②b=2;③c≠0 有且只有一个正确,则 100a+10b+c 等于________. x 5.已知 f(x)= ,x≥0,若 f1(x)=f(x),fn+1(x)=f(fn(x)),n∈N+,则 f2014(x)的表达式为______. 1+x 6. 以 A 表示值域为 R 的函数组成的集合, B 表示具有如下性质的函数 φ(x)组成的集合: 对于函数 φ(x), 存在一个正数 M,使得函数φ (x)的值域包含于区间[-M,M].例如,当φ 1(x)=x3,φ2(x)=sin x 时, φ 1(x)∈A,φ2(x)∈B.现有如下命题: ①设函数 f(x)的定义域为 D, 则“f(x)∈A”的充要条件是“对任意 b∈R, 存在 a∈D, f(a)=b”; ②若函数 f(x)∈B,则 f(x)有最大值和最小值; ③若函数 f(x),g(x)的定义域相同,且 f(x)∈A,g(x)∈B,则 f(x)+g(x) ? B; x ④若函数 f(x)=aln(x+2)+ 2 (x>-2,a∈R)有最大值,则 f(x)∈B. x +1 其中的真命题有________.(写出所有真命题的序号) 7.已知函数 f ( x) ? e ? e
x ?x

,其中 e 是自然对数的底数.

(1)证明: f ( x) 是 R 上的偶函数. (2)若关于 x 的不等式:mf(x)≤ e
?x

? m ? 1 在(0,+∞)上恒成立,求实数 m 的取值范围.

二.不等式及应用 1.已知实数 x,y 满足 ax<ay(0<a<1),则下列关系式恒成立的是【 A.x3>y3 B.sin x>sin y C.ln(x2+1)>ln(y2+1)

】 1 1 D. 2 > 2 x +1 y +1

2.若 log4(3a+4b)=log2 ab,则 a+b 的最小值是【 】 A.6+2 3 B.7+2 3 C.6+4 3 D.7+4 3 3.设 m∈R,过定点 A 的动直线 x+my=0 和过定点 B 的动直线 mx-y-m+3=0 交于点 P(x,y), 则|PA|+|PB|的取值范围是【 】 A.[ 5,2 5 ] B.[ 10,2 5 ] C.[ 10,4 5 ] D.[2 5,4 5 ]

~1~

4.设 a,b,m,n∈R,且 a2+b2=5,ma+nb=5,则 m2+n2的最小值为________. 5.若|x|+|y|+|x-1|+|y-1|≤2,则 x+y 的取值范围为________. 6.某项研究表明:在考虑行车安全的情况下,某路段车流量 F(单位时间内经过测量点的车辆数, 单位:辆/小时)与车流速度 v(假设车辆以相同速度 v 行驶,单位:米/秒)、平均车长 l(单位:米)的值 76 000v 有关,其公式为 F= 2 . v +18v+20l (1)如果不限定车型,l=6.05,则最大车流量为________辆/小时; (2)如果限定车型,l=5,则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/小时.

7.设函数 f(x)=2|x-1|+x-1,g(x)=16x2-8x+1.记 f(x)≤1 的解集为 M,g(x)≤4 的解集为 N. (1)求 M; 1 (2)当 x∈M∩N 时,证明:x2f(x)+x[f(x)]2≤ . 4

三.函数及方程 1.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x2-3x,则函数 g(x)=f(x)-x+3 的零点的集 合为【 】 A.{1,3} B.{-3,-1,1,3} C.{2- 7,1,3} D.{-2- 7,1,3} 2.设函数 f(x),g(x)的定义域都为 R,且 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是【 】 A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数 C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数 2 3.已知函数 f(x)=x +mx-1,若对于任意 x∈[m,m+1],都有 f(x)<0 成立,则实数 m 的取值范围 是________. 4.在同一直角坐标系中,函数 f(x)=xa(x>0),g(x)=logax 的图像可能是【 】

5.若函数 y=logax(a>0,且 a≠1)的图像如图 12 所示,则下列函数图像正确的是【



6. 加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为 “可食用率”.在特定条件下,可食用率 p 与加工时间 t(单位:分钟) 满足函数关系 p=at2+bt+c(a,b,c 是常数),图中记录了三次实验的数据. 根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为【 】 A.3.50 分钟 B.3.75 分钟

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C.4.00 分钟 D.4.25 分钟 7.若函数 f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值为 3,则实数 a 的值为【 A.5 或 8 B.-1 或 5 C.-1 或-4 D.-4 或 8



8.如图所示,函数 y=f(x)的图像由两条射线和三条线段组成.若?x∈R,f(x)>f(x-1),则正实数 a 的取值范围为________.

1? 2 9.已知 f(x)是定义在 R 上且周期为 3 的函数,当 x∈[0,3)时,f(x)=? ?x -2x+2?.若函数 y=f(x) -a 在区间[-3,4]上有 10 个零点(互不相同),则实数 a 的取值范围是________.

? ?|x +5x+4|,x≤0, 10.已知函数 f(x)=? 若函数 y=f(x)-a|x|恰有 4 个零点,则实数 a 的取值范围为 ?2|x-2|,x>0. ?

2

________.

四.三角 1.若 tan α >0,则【 】 A.sin α >0 B.cos α >0

C.sin 2α >0

D.cos 2α >0 】

π 2.将函数 y=sin x 的图像向左平移 个单位,得到函数 y=f(x)的图像,则下列说法正确的是【 2

~3~

A.y=f(x)是奇函数 π C.y=f(x)的图像关于直线 x= 对称 2

B.y=f(x)的周期为π D.y=f(x)的图像关于点?- π ? ? 2 ,0?对称

3.已知函数错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。的图象关于直线错误!未找到引用源。对 称,点错误! 未找到引用源。 是函数图象的一个对称中心, 则错误! 未找到引用源。 的最小值是 ______. 4.已知函数 的图象过点 . 错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 (Ⅰ)求错误!未找到引用源。的值; (Ⅱ)在△错误!未找到引用源。中,角错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 ,错误!未 的对边分别是 , , 找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。. 若错误!未找到引用源。 ,求错误!未找到引用源。的取值范围.

5.如图所示,从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B,C 的俯角分 别为 75°,30°,此时气球的高度是 60 m,则河流的宽度 BC 等于 【 】 A.240( 3-1)m B.180( 2-1)m C.120( 3-1)m D.30( 3+1)m 6. 若△ABC 的内角满足 sin A+ 2sin B=2sin C, 则 cos C 的最小值 是______. 1 → → 7. 在△ABC 中, 内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 且 a>c. 已知BA· BC=2, cos B= , b=3. 求: 3 (1)a 和 c 的值; (2)cos(B-C)的值.

五.数列 1.在等差数列{an}中,a1=7,公差为 d,前 n 项和为 Sn,当且仅当 n=8 时 Sn 取得最大值,则 d 的 取值范围为________. 2.如图,在等腰直角三角形 ABC 中,斜边 BC=2 2,过点 A 作 BC 的垂线,垂足为 A1;过点 A1 作 AC 的垂线,垂足为 A2;过点 A2 作 A1C 的垂线,垂足为 A3;?.依此类推, 设 BA=a1, AA1 =a2,A1A2=a3,?,A5A6=a7,则 a7=________.

?a x , x ? 3, 3.已知实数 a ? 0 且 a ? 1 ,函数 f ( x ) ? ? 若数列 ? ax ? b , x ? 3.

{an } 满足 an ? f (n) (n ? N* ) ,且 {an } 是等差数列,则 a ? ___, b ? ____.

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4.已知等差数列{an}的公差 d>0.设{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,S2·S3=36. (1)求 d 及 Sn; (2)求 m,k(m,k∈N*)的值,使得 am+am+1+am+2+?+am+k=65.

5.已知{an}是等差数列,满足 a1=3,a4=12,数列{bn}满足 b1=4,b4=20,且{bn-an}为等比数列. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)求数列{bn}的前 n 项和.

6.已知等差数列{an}满足:a1=2,且 a1,a2,a5 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式. (2)记 Sn 为数列{an}的前 n 项和,是否存在正整数 n,使得 Sn>60n+800?若存在,求 n 的最小 值;若不存在,说明理由.

【能力训练】 1. 已知定义域为 R 的偶函数 f ( x) ,对于任意 x ? R ,满足 f (2 ? x) ? f (2 ? x) ,且当 0 ? x ? 2 时
2x f ( x) ? x .令 g1 ( x) ? g ( x) , g n ( x) ? g n?1 ( g ( x)) ,其中 n ? N * ,函数 g ( x) ? ? ? 0 ? x ?1 ?4 ? 2 x 1 ? x ? 2



x 的解的个数为______________(结果用 n 表示) . 2014 1? x 2.已知函数 f ( x) ? log a (0 ? a ? 1) . 1? x
则方程 g n ( f ( x)) ? (1)求函数 f ( x) 的定义域 D ,并判断 f ( x) 的奇偶性; (2)如果当 x ? (t , a) 时, f ( x) 的值域是 ? ??,1? ,求 a 与 t 的值; (3)对任意的 x1 , x2 ? D ,是否存在 x3 ? D ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ,若存在,求出 x3 ;若 不存在,请说明理由.

3.我们把定义在 R 上,且满足 f ( x ? T ) ? af ( x) (其中常数 a, T 满足 a ? 1, a ? 0, T ? 0 )的函数 叫做似周期函数. (1) 若某个似周期函数 y ? f ( x) 满足 T ? 1 且图像关于直线 x ? 1对称. 求证: 函数 f ( x) 是偶函数;

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( 2 )当 T ? 1, a ? 2 时 , 某个 似周 期函 数在 0 ? x ? 1 时 的 解析 式为 f ( x) ? x(1 ? x) , 求 函 数

y ? f ( x) , x ? ?n , n ? 1?, n ? Z 的解析式;
(3) 对于确定的 T ? 0且0 ? x ? T 时, f ( x) ? 3 x , 试研究似周期函数函数 y ? f ( x) 在区间 (0,??) 上是否可能是单调函数?若可能,求出 a 的取值范围;若不可能,请说明理由.

4. 设 函 数 f ( x) 对 任 意 x ? R , 都 有 f (2 x) ? a ? f ( x) , 其 中 a 为 常 数 . 当 x ? [1,2) 时 ,

f ( x) ? s i n ( x) . 2
(1)设 a ? 0 , f ( x) 在 x ? [4,8) 时的解析式及其值域; (2)设 ? 1 ? a ? 0 ,求 f ( x) 在 x ? [1 , ? ?) 时的值域.

?

5.已知函数 f ? x ? ? (1)求 t 的值;

t ? 3x ? 1 ? t ? R ? 是奇函数. 3x ? 1

(2)求 f ? x ? 的反函数 f ?1 ? x ? ; (3)对于任意的 m ? 0 ,解不等式: f ?1 ? x ? ? log3
1? x . m

6.定义:如果数列 {an } 的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长,则称 {an } 为“ 三角形”数列.对 于“ 三角形”数列 {an } ,如果函数 y ? f ( x) 使得 bn ? f (an ) 仍为一个“三角形”数列,则称 y ? f ( x) 是数 列 {an } 的“ 保三角形函数”, ( n?N ) .
*

(I)已知数列 {cn } 的首项为 2010 , S n 是数列 {cn } 的前 n 项和,且满足 4Sn?1 ? 3Sn ? 8040 , 证明 {cn } 是“三角形”数列; (II)已知 {an } 是首项为 2 ,公差为 1 的等差数列,若 f ( x) ? k x ,( k ? 1 )是数列 {an } 的“保 三角形函数”,求 k 的取值范围.

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