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广东省韶关市2013届高三年级第一次调研(期末)测试数学文试题


韶关市 2013 届高三年级第一次调研(期末)测试 数学文试题
本卷分选择题非选择题两部分,共 4 页,满分 150 分.考试用时间 120 分钟. 注意事项: 1. 考生务必将自己的姓名、班级、学校用蓝、黑墨水钢笔签字笔写在答题卷上; 2. 选择题、填空题每小题得出答案后,请将答案填写在答题卷相应指定位置上。答在试题 卷上不得分; 3.考试结束,考生只需将答题卷交回. 4. 参考公式:

锥体的体积公式 V ?

1 3

Sh ,其中 S 1 2
'

是锥体的底面积, h 是锥体的高.

正棱锥的侧面积公式: S ?

ch

, c 是底面周长, h ' 是斜高.

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.设全集 U={0,1,2,3,4,5},集合 A={2,4},B= ?0, 2? ,则集合 (痧 A) ? ( ? A.{0,4,5,2} 2.已知为虚数单位,则 AB -1 B.{0,4,5}
(1 ? i ) 1? i
2

?

B) ?

C.{2,4,5} ) D 1

D.{1,3,5}

? 1 =(

C

3.设 a ? log 0.3 2, b ? log 0.3 3, c ? 20.3 , d ? 0.32 ,则这四个数的大小关系是( A. a ? b ? c ? d 4.若方程
x
2

)

B . b ? a ? d ? c C. b ? a ? c ? d D. d ? c ? a ? b
y
2

1? k

?

1? k

? 1 表示双曲线,则 k 的取值范围是(

) D.
k ?1或

A.

?1 ? k ? 1

B.

k ?0

C.

k ?0

k ? ?1

5.某几何体的三视图如图所示(俯视图是正方形,正视图和左视图是两个全等 等腰三角形)根据图中标出的数据,可得这个几何体的表面积为( ) A. 4 ? 4
3

B. 4 ? 4

5

C.

8 3

D.12 )

6.已知回归直线斜率的估计值为 1.23, 样本点的中心为点(4,5), 则回归直线的方程为(

A. y =1.23x+4
?

?

B. y =1.23x+5
?

?

C. y =1.23x+0.08

D. y =0.08x+1.23

7.

? x?0 ? 设不等式组 ? y ? 0 表示平面区域为 ? ?x ? y ? 2

D,在区域 D 内随机取一个点,则此点到坐标原点

的距离大于 A.
?
4

2

的概率是(
? ?2
2


?
6

B.

C.

D.

4 ?? 4

8. ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 所以的边为 a 、 b 、 c , 若 a ? 3 , C ? 120? , ?ABC 面积
15 3 4

S ?ABC ?

,则 c ? ( )

A. 5

B. 6

C.

39

D. 7

9.设{an}(n∈N*)是等差数列,Sn 是其前 n 项的和,且 S5<S6,S6=S7>S8,则下列结 论错误的是( ) .. A.d<0
1

B.a7=0
2 x

C.S9>S5

D.S6 与 S7 均为 Sn 的最大值

10.已知 f1 ( x) ? x 2 , f 2 ( x) ? x , f 3 ( x) ? e , f 4 ( x) ? log 1 x , 四个函数中,当 0 ? x1 ? x2 时,
2

满足不等式
1

f ( x1 ) ? f ( x2 ) 2

? f(

x1 ? x2 2

) 的是

A.

f1 ( x ) ? x 2

B.

f 2 ( x) ? x

2

C. f 3 ( x) ? e

x

D. f 4 ( x ) ? log 1 x
2

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 11. 若向量 a ? (1,1), b ? (2, 5), c ? (3, x) ,满足条件 (8a ? b) ? c ? 30 ,则 x = 12. 下图是某算法的程序框图,则程序运行后输出的结果是 是 .
? ? ? ? ? ?

开始

S =0,n=1

S = S +n

S>25 否

输出 n

n=n+2

结束

13. 平面上有 n 条直线, 这 n 条直线任意两条不平行, 任意三条不共点, 记这 n 条 直 线 将 平 面 分 成 f (n) 部 分 , 则 f (3) ? ___________, 时, f (n) ? _________________.)(用 n 表示).
n?4

D

B E C

A

14.(几何证明选讲选做题) 如图,AB、CD 是圆的两条弦,AB 与 CD 交于 E , AE ? EB , AB 是线段 CD 的中垂线.若 AB=6,CD= 2 5 ,则线段 AC 的长度为 15.(坐标系与参数方程选做题) .

在直角坐标系 xoy 中,圆 C1 的参数方程为 ?

? x ? cos ? ? y ? 1 ? sin ?

( ? 为参数);在极坐标系(与直

角坐标系 xoy 取相同的长度单位, 且以原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴) 圆 C2 的 以 中, 方程为 ? ? 4 sin ? ,则 C1 与 C2 的位置关系是______(在“相交、相离、内切、外切、内含” 中选择一个你认为正确的填上). 三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 函数 f ( x) ? A sin(? x ?
?
4 ) ( A ? 0, ? ? 0 )的部分图像如右所示.

(1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)设 ? ? (0,
?
2 ) ,且 f (

?
2

?

?
8

)?

6 5

,求 tan ? 的值.

17.(本小题满分 12 分) 高一(1)班参加校生物竞赛学生成绩的茎叶图 频率分布直方图都受到不同程度的破坏, 但可见 分如下,据此解答如下问题: 和 部

(1)求高一(1)班参加校生物竞赛人数及分数在 ?80 , 90 ? 之间的频数,并计算频率分布直 方图中 ?80 , 90 ? 间的矩形的高; (2)若要从分数在 ?80 , 100? 之间的学生中任选两人进行某项研究,求至少有一人分数在

?90 , 100? 之间的概率.

18.(本小题满分 14 分) 如图, 已知 PA ? ⊙ O 所在的平面, AB 是⊙ O 的直径,AB ? 4 , 是⊙ O C 上一点,且 PA ? AC ? BC , (1) 求证: EF // 面ABC ; (2) 求证: EF ? AE ; (3)当 ? ?
1 2 PE PC ? PF PB ??



时,求三棱锥 A ? CEF 的体积.

19.(本小题满分 14 分) 椭圆 C :
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0) 的离心率为

3 5

,两焦点分别为 F1 , F2 ,点 M 是椭圆 C 上一
2 2 2

点, ?F1 F2 M 的周长为 16,设线段 MO(O 为坐标原点)与圆 O : x ? y ? r 交于点 N, 且线段 MN 长度的最小值为
15 4

.

(1)求椭圆 C 以及圆 O 的方程; (2)当点 M ( x0 , y0 )( x0 ? 0) 在椭圆 C 上运动时,判断直线 l : x0 x ? y0 y ? 1 与圆 O 的位置 关系.

20.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ln x .
2

(1)判断 f ( x) 奇偶性, 并求出函数

f (x ) 的单调区间;

(2)若函数 g ( x) ? f ( x) ? kx ? 1 有零点,求实数 k 的取值范围.

21.(本小题满分 14 分) 设等差数列 {a n } 的公差 d ? 0 ,等比数列 {bn } 公比为 q ,且 a1 ? b1 , a3 ? b3 , a 7 ? b5 (1)求等比数列 {bn } 的公比 q 的值; (2)将数列 {a n } ,{bn } 中的公共项按由小到大的顺序排列组成一个新的数列 {c n } ,是否存 在正整数 ? , ? , ?(其中 ? ? ? ? ? ) 使得 ? , ? , ? 和 c? ? ? , c? ? ? , c? ? ? 都构成等差数列?

若存在,求出一组 ? , ? , ? 的值;若不存在,请说明理由.

韶关市 2013 届高三年级第一次调研(期末)测试 数学试题(文科)参考答案
说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几 种解法供参考,如 果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标 准给以相应的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答 未改变该题的内容 和难度, 可视影响的程度决定后继部分的得分, 但所给分数不得超过该部分正确解 答应得分数的一半; 如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. DCBAB CDDCA 二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.本大题共 5 小题,考生作答 4 小题, 每小题 5 分, 满分 20 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题. 11.
4

12. 11

13. 7 (2 分),

n ?n?2
2

(3 分)

14.

30

2

15. 内切 三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本题满分 12 分) 函数 f ( x) ? A sin(? x ?
?
4 ) ( A ? 0, ? ? 0 )的部分图像如右所示.

(1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)设 ? ? (0,
?
2 ) ,且 f (

?
2

?

?
8

)?

6 5

,求 tan ? 的值 ???2 分

解:(1)∵ 由图可知:函数 f ( x) 的最大值为 2 , 且
T 4 ? 3? 8 ?

?
2

?

?
4

∴ A ? 2 ,最小正周期 T ? ? ?????????????????????4 分 ∴ ??
2? T

?2

故函数 f ( x) 的解析式为 f ( x) ? 2 sin(2 x ? (2) f ( ∴
?
2 ?

?
4

) . ?????????????6 分

?
8

) ? 2 sin ? ? 3 5

6 5

,?????????????????????8 分
?
2

sin ? ?

,∵

0 ?? ? 4 5



∴ cos ? ? 1 ? sin 2 ? ? ∴
tan ? ? sin ? cos ? ? 3 4

,??????????????????????10 分

?????????????????????????12 分

17.(本题满分 12 分) 高一(1)班参加校生物竞赛学生成绩的茎叶图和 频率分布直方图都受到不同程度的破坏,但 可见部分如下,据此解答如下问题:

(1)求高一(1)班参加校生物竞赛人数及分数在 ?80 , 90 ? 之间的频数,并计算频率分布直 方图中 ?80 , 90 ? 间的矩形的高; (2)若要从分数在 ?80 , 100? 之间的学生中任选两人进行某项研究,求至少有一人分数在

?90 , 100? 之间的概率.
解.(1)? 分数在 ?50 ,
?

60 ? 之间的频数为 2 ,频率为 0.008 ? 10 ? 0.08 ,
2 0.08 ? 25 .

高一(1)班参加校生物竞赛人数为

???2 分 ???4 分 ???6 分

所以分数在 ?80 , 90 ? 之间的频数为 25 ? 2 ? 7 ? 10 ? 2 ? 4 频率分布直方图中 ?80 , 90 ? 间的矩形的高为
4 25 ? 10 ? 0.016 .

(2)设至少有一人分数在 ?90 , 100? 之间为事件 A 将 ?80 , 90 ? 之间的 4 人编号为 1 ,
2 , 3 , 4 , ? 90 , 100? 之间的 2 人编号为 5 , 6 ,

在 ?80 , 100? 之间的任取两人的基本事件为: ?1 , 2 ? , ?1 , 3? , ?1 , 4 ? , ?1 , 5 ? , ?1 , 6 ?

? 2 , 3? , ? 2 , 4 ? , ? 2 , 5 ? , ? 2 , 6 ? , ? 3 , 4 ? , ? 3 , 5 ? , ? 3 , 6 ?

,?

4 , 5? , ? 4 , 6 ? .

共 15 个

????????????????????????????????????..9 分 其中,至少有一个在 ?90 , 100? 之间的基本事件有 9 个??????????????10 分 根据古典概型概率计算公式,得 P( A) ?
9 15 ? 3 5
3 5

???????????????11 分 ???????????????12 分

答:至少有一人分数在 ?90 , 100? 之间的概率

18.(本小题满分 14 分) 如图,如图,已知 PA ? ⊙ O 所在的平面, AB 是⊙ O 的直径,C 是 ⊙ O 上一点,且 PA ? AC ? BC , (1) 求证: EF // 面ABC ; (2) 求证: EF ? AE ; (3)当 ? ?
1 2 PE PC ? PF PB ??



时,求三棱锥 A ? CEF 的体积.
PE PC ? PF PB ??

解: (1)证明:在三角形 PBC 中,

所以 EF//BC, BC ? 面ABC, EF ? 面ABC,
? EF // 面ABC ???????????????????????????4 分

(2) ?

? PA ? 面ABC ? BC ? 面ABC

? BC ? PA

又 AB 是⊙ O 的直径,所以 BC ? AC ?????????????????7 分 所以, BC ? 面PAC ?????????????????????8 分 因 EF//BC 因为 AE ?
BC ? 面PAC ,所以 EF ? 面PAC

面PAC

, 所以 EF ? AE . ?????????????????10 分

(3)? 在 Rt ?ABC 中, AB ? 4
?

PA ? AC ? BC
1 2

=2 2

当? ?
?

时, E 是 PC 中点. F 为 PC 中点
2 S ?EAC ? 1 2 S ?PAC ? 1 2 ? 1 2 PA ? AC ? 1 2 ? 1 2 ? 2 2 ? 2 2 ? 2 ???

EF ?

1 2

BC ?

12 分

?

EF ? 面PAC

VA?CEF ? VF ? ACE ?

1 3

S ?ACE EF ?

1 3

? 2?

2?

2 2 3

??????????????14 分

19.(本题满分 14 分) 椭圆 C :
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0) 的离心率为

3 5

,两焦点分别为 F1 , F2 ,点 M 是椭圆 C 上一
2 2 2

点, ?F1 F2 M 的周长为 16,设线段 MO(O 为坐标原点)与圆 C : x ? y ? r 交于点 N, 且线段 MN 长度的最小值为
15 4

.

(1)求椭圆 C 以及圆 O 的方程; (2)当点 M ( x0 , y0 )( x0 ? 0) 在椭圆 C 上运动时,判断直线 l : x0 x ? y0 y ? 1 与圆 O 的位置 关系. 解:(1)设椭圆 C 的半焦距为 c,则
c a ? 3 5

,即 c ?

3 5

a

① ?????????1 分

又 | MF1 | ? | MF2 | ? | F1 F2 |? 2a ? 2c ? 16 联立①②,解得 a ? 5, c ? 3 ,所以 b ?
x
2

②????????????3 分
2 2

a ?b ? 4.

所以椭圆 C 的方程为

?

y

2

? 1 .?????????????????????5 分

25

16

而椭圆 C 上点 M ( x0 , y0 ) 与椭圆中心 O 的距离为
16 25 9 25

| MO |?

x0 ? y0 ?
2 2

x0 ? 16 ?
2

x0 ?
2

x0 ? 16 ? 4 , 等号在 x0 ? 0 时成立???7 分,
2

而 | MN |?| MO | ? r , 则 | MN | 的 最 小 值 为 4 ? r , 从 而 r ?
x ?y ?
2 2

1 4

,则圆 O 的方程为

1 16

.??????????????????????????????9 分
x0
2

(2)因为点 M ( x0 , y0 ) 在椭圆 C 上运动,所以

?

y0

2

25

16

? 1 .即 y0 ? 16 ?
2

16 25

x0 .

2

圆心 O 到直线 l : x0 x ? y0 y ? 1 的距离 d ?

1 x0 ? y0
2 2

? 9 25

1 x0 ? 16
2

.?????12 分

当 x0 ? 0 , d ?

1 16

?

1 4

? r ,则直线 l 与圆 O 相交. ???????? ?????14 分

20.(本题满分 14 分)

已知函数 f ( x) ? x ln x .
2

(1)判断 f ( x) 奇偶性, 并求出函数

f (x ) 的单调区间;

(2)若函数 g ( x) ? f ( x) ? kx ? 1 有零点,求实数 k 的取值范围. 解(1) f ( x) 定义域 ? x | x ? 0? 在数轴上关于原点对称, 且 f (? x) ? ? x ln(? x) ? x ln x ? f ( x) ,所以 f ( x) 是偶函数????????2 分
2 2

当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 x ln x , f ( x) ? 2(1 ? ln x)
'

由 f ( x) ? 0 , 1 ? ln x ? 0 ,
'

解得: x ?

1 e

所以 f ( x) 在 ( , ??) 是增函数;
e 1 e

1

由 f ( x) ? 0 , 1 ? ln x ? 0 ,
'

解得: 0 ? x ?

.所以 f ( x) 在 (0, ) 是减函数. ???4 分
e 1 e

1

因为 f ( x) 是偶函数, 图象关于 y 轴对称,所以, 当 x ? 0 时, f ( x) 在 ( ??, ? ) 是减函数, 在 (? , 0) 是增函数.
e 1

所以,

f (x ) 的单调增区间是 (

1 e

, ??) , ( ?

1

1 1 , 0) ;单调减区间是 (0, ) , ( ??, ? ) ,.???6 分 e e e

(2) 由 g ( x) ? 0 ,得 x ? ln x ? kx ? 1 ? 0 , k ?
2

x ? ln x x

2

?

1 x

令 h( x ) ?

x ? ln x x

2

?

1 x

???????????????????????????8 分
1 2 1 1

当 x ? 0 时, h ' ( x) ? 当0 ? x ?
1 2
'

2x ?1 x
2

,当 x ?

, h ( x) ? 0 , h( x) 在 ( , ??) 是增函数;
'

2

, h ( x) ? 0 , h( x) 在 (0, ) 是减函数,
2 1

所以, 当 x ? 0 时, h( x) 极小值是 h( ) ? 2 ? 2 ln 2 ?????????????11 分
2

因为 h( x) 是奇函数,所以, 当 x ? 0 时, h( x) 极大值是 h(? ) ? 2 ln 2 ? 2
2

1

所以 h( x) ? (2 ? 2 ln 2, ??) ? ( ??, 2 ln 2 ? 2) , 即 k ? (2 ? 2 ln 2, ??) ? ( ??, 2 ln 2 ? 2) , 函数 g ( x) 有零点. ???????????14 分 21.(本题满分 14 分) 设等差数列 {a n } 的公差 d ? 0 ,等比数列 {bn } 公比为 q ,且 a1 ? b1 , a3 ? b3 , a 7 ? b5 (1)求等比数列 {bn } 的公比 q 的值;

(2)将数列 {a n } , {bn } 中的公共项按由小到大的顺序排列组成一个新的数列 {c n } ,是否 存在正整数 ? , ? , ? (其中 ? ? ? ? ? )使得 ? , ? , ? 和 c? ? ? , c? ? ? , c? ? ? 都构成等差数 列?若存在,求出一组 ? , ? , ? 的值;若不存在,请说明理由. 解:(1)设 a1 ? b1 = a, ,由题意
? ?aq ? a ? 2d ? 4 ?aq ? a ? 6d ?
2

? ?aq ? a ? 2d 即? ? d ? 0,? q ? ?1 不合题意?????????3 分 4 ?aq ? a ? 6d ?
2



q ?1
2 4

q ?1

?

1 3

,解得 q 2 ? 2 ? q ? ? 2 ???????????????????-5 分

(2)答:不存在正整数 ? , ? , ? (其中 ? ? ? ? ? )使得 ? , ? , ? 和 c? ? ? , c? ? ? , c? ? ? 均 构成等差数列 证明:假设存在正整数 ? , ? , ? 满足题意 设 a1 ? b1 = a, 且 a n ?b m ,故 a ? (n ? 1)d ? aq
n ?1 2
m ?1
m ?1
m ?1

m ?1

,又 2d ? aq ? a ? a ? d ?
2

a 2

-

?1 ?

? (? 2 )

即 n ? 1 ? (?1)

m ?1

2

2

????????????????7 分

? n ? 1? N

*

? ( ?1)
*

m?1

?0

? m为奇数,且n ? 2
? a ? ( ? 2)
2 k ?1?1

2

? 1 -????????8 分

令 m ? 2k ? 1(k ? N ) ,则 bm
? cn ? 2
n ?1

? a?2

k ?1

a

????????????????????????????10 分

若存在正整数 ? , ? , ? 满足题意,则
?2? ? ? ? ? ? ? ?1 ? ?1 ? ?1 ? ? ) ? (a ? 2 ? ? ) ? (a ? 2 ? ?) ? 2( a ? 2
? ??

?2 ? 2

?

? ?1

?2

? ?1

,又? 2
? ?1

? ?1

?2

? ?1

?2 2
? ??
2

? ?? ? 2

?2

2

(当且仅当? ? ?时取 " ? ")

又? ? ? ? ,? 2 ? 2
x

?

?2

? ?1

?2

----------------------12 分 ,与题设 ? ?
? ??
2

又 y ? 2 在 R 上为增函数,? ? ?
? 假设不成立

? ??
2

矛盾,

故不存在 ? , ? , ? 满足题意.---------------------------------------------------14 分


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