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辽宁省葫芦岛市第一高级中学2015-2016学年高二上学期期初考试数学(理)试题


2015——2016 学年度上学期高二期初考试 数学理科试题

第 I 卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本题共 12 道小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.已知全集 U={x∈N |x<9 },集合?U(A∪B)={1,3},A∩?UB={2,4},则集合 B 等于( A.{1,3,5,6,7,8} B. {2,4,5,6,7,8} ) C. {5,6,7,8}
*

)

D. {1,2,3,4}

2. 直线 xcos140°+ ysin140°-2=0 的倾斜角是( A.40° B.50° C.130° D.140°

3. 等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 4 a1 ,2 a2 , a3 成等比数列. 若 a1 =3,则 S4 = ( A. 7 B. 8 C. 12 D. 16

)

4.设 m、n 是不同的直线,α 、β 是不同的平面,有以下四个命题: ①若 m⊥n,m⊥α ,则 n∥α ③若 m⊥α ,m∥β ,则 α ⊥β 其中真命题的个数是( A.0 ) B.1 C.2 D.3 ) A. 是 最 小 正 周 期 为 ? 的 奇 函 数 ②若 n⊥β ,m∥α , α ⊥β ,则 m∥n ④若 m∥n,n? α ,则 m∥α

5. 已知函数 f ( x) ? cos | 2 x ? B.是最小正周期为?的偶函数 C.不是周期函数

?
2

|, x ? R ,则 f ( x ) (

D.既不是奇函数也不是偶函数

6. 设 e<x<10,记 a=ln(lnx),b=lg(lgx),c=ln(lgx),d=lg(lnx), 则 a,b,c,d 的大小关系( A.a<b<c<d ) C.c<b<d<a D.b<d<c<a

B.c<d<a<b

3x+y-2≤0 ? ? 7.变量 x、y 满足线性约束条件? y-x≤2 ,则目标函数 z=(k+1)x﹣y,仅在点(0,2) ? ? y≥-x-1 取得最小值, 则 k 的取值范围是( >0 1 |x| 8.当 x∈R 时,y= 1-a 均有意义,则函数 y=loga| |的图象大致是( x ) )A. k<﹣4 B. ﹣4<k<0 ? C. ﹣2<k<0 D. k

A.

B.

C.

D.

9.如图示,已知直线 l 1 ∥ l 2 ,点 A 是 l 1 、l 2 之间的一个定点,且 A 到 l 1 、l 2 的距离分别为 4、

???? ??? ? AC ? AB ? 0, AC 与直线 l2 交于点 C,则 ?ABC 面积的最小 5,点 B 是直线 l 1 上的动点,若
值为( A.3 ) B.6 C.12 D.20

10.已知某几何体的三视图都是边长为 6 的正方形, 如图所示,则该几何体的体积是( A.180 B.144 C.92 ) D.180 或 144

(4a-3)x+5-4a (x<1) ? ? 11. 已知函数 f(x)=? 是R 1 ? ? log (x-2) (x≥1)
a

正视图

侧视图

上的减函数,那么 a 的取值范围是( A.(0, 2 ] 2 3 B.(0, ] 4 C.[

) 俯视图

2 3 3 , ] D.( ,1) 2 4 4

[x] 12.已知 x∈R,符号表示不超过 x 的最大整数,若函数 f(x)= (x>0),则给出以下四个结论正 x 确的是( )

A.函数 f(x)的值域为 B.函数 f(x)的图象是一条曲线 C.函数 f(x)是(0,+∞)上的减函数 3 4 D.函数 g(x)=f(x)﹣a 有且仅有 3 个零点时 <a≤ . 4 5 第Ⅱ卷(主观题 共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,共 20 分,将答案写在答题纸上) 13.韩国首尔医院近 20 天每天因患中东呼吸综合征而入院 诊 的 人 数 依 次 构 成 数 列 {an} , 己 知 a1=1,a2=2 , 且 满 足 an+2-an=2+2(-1) ,n∈N+ ,则该医院 20 天内因患中东呼吸综 征就诊的人数共有______________ 14.直线 l 过点 A(3,2) 圆 x +y -4x+3=0 相切,
2 2 n



合 与

则直线 l 的方程为__________ 15.如图所示,函数 f(x)=Asin(ω x+φ )+B 的图象,则 S=f(1)+f(2)+f(3)+??+f(2015)= 16.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别 是 a、b、c,下列结论正确序号有 ①若 O 为重心,则 (OA ? OB)?AB ? (OB ? OC)? BC ? (OC ? OA)? CA ; ②若 I 为内心,则 aIA ? bIB ? cIC ? O

??? ? ???? ? ??? ?
?? ? ?? ?

??? ? ???? ? ??? ?
??

??? ? ???? ? ??? ?

???

??? ? ??? ? ???? OA OB OC ?? ③若 O 为外心,则 ? ? ?O a b c
④若 H 为垂心,则 HA?HB ? HB?HC ? HC?HA ⑤若 O 为外心,H 为垂心,则 OH ? OA ? OB ? OC

???? ? ??? ?

???? ????? ????

???? ???? ?

??? ? ??? ? ??? ?

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)。 17.(本题满分 10 分)设集合 A={x|x -5x+4>0},B={x|x -2ax+a+2=0}若 A∩B≠Φ ,求实数 a 的 取值范围.
2 2

x x ? ? ? ? 2x 18.(本题满分 12 分)已知向量 m =(cos ,1), n =( 3sin ,cos ),f(x)= m n . 4 4 4 ? (I)若 f(x)=1,求 sin(x- )值; 6

(II)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,且满足 (2a-c)cosB=bcosC,求函数 f(A)的取值范围.

19. ( 本 题 满 分 12 分 ) 如 图 , 四 棱 锥 P-ABCD 的 侧 面 PAD 垂直 于 底面 ABCD, ∠ ADC= ∠ BCD= 90 ,PA=PD=AD=2BC=2,CD= 2,N 为线段 CD 的中点。
0

(1) 若线段 AB 中点为 E,试问线段 PC 上 是否存在一点 M 使得 ME∥平面 PAD.若存在 M 点,设 CM=kCP, 求 k 的值。 若不存在说明理由。

P

D

N B

C

(2) 求证:BD⊥PN; A

E

(3)求三棱锥 A-PBC 的体积

20.(本小题满分 12 分)在数列{an}中,已知 an≥1,a1=1 且 an+1-an= 1 2 (I)设 bn=(an- ) ,求数列{bn}及{an}的通项公式; 2

2 * ( n∈N ) an+1+an-1

1 1 1 1 1 (II)设 cn=4bn,Sn= + +??+ ,求证: ≤Sn< c1c2 c2c3 cncn+1 9 8

21.(本题满分 12 分) 定义在 R 上的函数 f(x)满足:f(m+n)=f(m)+f(n)﹣2 对任意 m、n∈R 恒成立,当 x>0 时,f(x) >2. (Ⅰ) 求证 f(x)在 R 上是单调递增函数;

(Ⅱ)已知 f(1)=5,解关于 t 的不等式 f(|t ﹣t|)≤8;

2

(Ⅲ)若 f(﹣2)=﹣4,且不等式 f(t +at﹣a)≥﹣7 对任意 t∈恒成立.求实数 a 的取值范围.

2

22. (本题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 满足: a1 ? 1, a2 ? 2 ,且 an?1 ? 2an ? 3an?1 (n ? 2, n ? N? ) . (I)设 bn ? an?1 ? an (n ? N? ) ,求证 ?bn ? 是等比数列;

(II)(i)求数列 ?an ? 的通项公式;

(ii)求证:对于任意 n ? N? 都有

1 1 1 1 7 ? ?? ? ? ? 成立. a1 a2 a2 n ?1 a2 n 4

2015—2016 学年度上学期高二期初考试数学(理科)试题答案 一、选择题 1 C 7 B 二、填空题 13. 210 14. x=3 或 3x-4y-1=0 15. 2015 16. ②④⑤ 2 B 8 B 3 C 9 D 4 B 10 D 5 A 11 A 6 C 12 D

三、解答题 17 解? A ? {x | x ? 1或x ? 4},? A ? B ? Φ 的意义是方程 x ? 2ax ? (a ? 2) ? 0 有解,
2

且至少有一解在区间 (??,?1) ? (4,??) 内,但直接求解情况比较多,考虑“补集” ,解法较简 单. 设全集 U ? {a | ? ? (2a) ? 4(a ? 2) ? 0} ? {a | a ? ?1或a ? 2}
2

????3 分 ????4 分

且 P ? {a | 关于x的方程x ? 2ax ? (a ? 2) ? 0 的两根都在内}
2

记 f ( x) ? x ? 2ax ? (a ? 2),
2

∴方程 f ( x) ? 0 的两根都在内

????5 分

?? ? 0 ? f (1) ? 0 ? ?? ? f ( 4) ? 0 ? ?1 ? a ? 4

?a ? 1或a ? 2 ?3 ? a ? 0 ? ?? ?18 ? 7 a ? 0 ? ?1 ? a ? 4

, 解得2 ? a ?

18 , 7
????10 分

? P ? {a | 2 ? a ?

18 18 } ,∴所求实数 a 的取值范围是 CU P ? {a | a ? ?1或a ? } ?10 分 7 7

18.解:(I) f ( x) ? m ? n ? = sin( ?

?? ?

x x x 3 x 1 x 1 3 sin cos ? cos 2 = sin ? cos ? 4 4 4 2 2 2 2 2

x ? 1 )? ????3 分 2 6 2 x ? 1 ? ? ? 1 2 x ∵ f ( x) ? 1 ∴ sin( ? ) ? ∴sin(x - )=-cos(x+ )=2sin ( + )-1=- ??6 分 6 3 2 6 2 2 6 2 (II)∵ (2a ? c) cos B ? b cos C ,
由正弦定理得 (2sin A ? sin C ) cos B ? sin B cos C ∴ 2sin AcosB ? sin C cos B ? sin B cos C ∴ 2sin A cos B ? sin( B ? C ) ????8 分

∵ A ? B ? C ? ? ∴ sin( B ? C ) ? sin A ,且 sin A ? 0 ∴ cos B ?

1 ,∵0 ? B ? 2 2? 3


? ∴B ? ?

3

????10 分

∴0 ? A ? ∴ 1 ? sin(

?
6

?

A ? ? 1 A ? ? ? , ? sin( ? ) ? 1 2 6 2 2 2 6
∴ f ( A) ? sin(

A ? 1 3 ? )? ? 2 6 2 2

3 A ? 1 ? ) ? ? (1, ) ???12 分 2 6 2 2

19.解: (1)取 PC 的中点 M,连结 M、N、E 三点,则 PD∥MN ∵∠ADC=∠BCD=90°且 N、E 分别为 CD、AB 的中点 ∴AD∥BC∥NE ∵PD∩AD=D , NE∩MN=N ∴面 PAD∥面 EMN ∵ME ?面 EMN ∴ME∥面 PAD (2)连结 BD ,AC,取 AD 中点为 F 在 Rt△BCD 和 Rt△ACD 中 BD 1 2 CD = = = ∴Rt△BCD∽Rt△ACD∴∠BDC=∠CAD CD 2 2 AD ∵∠BDC+∠BDA=90°,∴∠BDC+∠CAD=90°,∴BD ⊥AC ∵N、F 分别为 AD、CD 的中点,∴FN∥AC,∴FN ∵PA=PD,∴PF ⊥AD ∵面 PAD⊥面 ABCD=AD ∵PF ?面 PAD ,∴PF ⊥面 ABCD ∵BD ?面 ABCD ,∴PF ⊥BD ∴BD⊥面 PFN,∵PN ?面 PFN,∴PN ⊥BD 1 (BC+AD)CD 1 (1+2) 2 6 (3)V= × ×PF= × × 3= 3 2 3 2 2 20.(1)解:因为 an?1 ? an ?
2 2

P M

?????4 分

D F E A

N

C B

? ????8 分 ?????12 分

2 2 2 ,所以 an ?1 ? an ? an ?1 ? an ? 2 , an?1 ? an ? 1
?????2 分

1? ? 1? ? 即 ? an?1 ? ? ? ? an ? ? ? 2 , 2? ? 2? ?
2

1 1? ? b n ?是以 为首项,2 为公差的等差数列。 令 bn ? ? an ? ? ,? bn?1 ? bn ? 2 ,故 ? 4 2? ?

所以 bn ?

1 8n ? 7 ? 2?n ? 1? ? , 4 4

?????4 分

因为 an ? 1 ,故 an ?

1 ? 8n ? 7 。 2
2

?????6 分

(2)因为 cn ? ?2an ? 1? ? 8n ? 7 , 所以

1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ?, cn cn?1 ?8n ? 7??8n ? 1? 8 ? 8n ? 7 8n ? 1 ?

?????8 分

所以 S n ?

1 1 1 1? 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? c1c2 c2 c3 cn cn?1 8 ? 9 9 17 8n ? 7 8n ? 1 ?

1? 1 ? 1 ? ?1 ? ? ? ,——10 分 8 ? 8n ? 1 ? 8
1 1 1 因为 Sn 是关于 n 的递增数列,所以当 n=1 时, Sn 取得最小值 。 故 ≤Sn< ???12 分 9 9 8 21.证明:(Ⅰ)? x1,x2∈R,当 x1<x2 时,x2﹣x1>0, ∴f(x2﹣x1)>2f(x1)﹣f(x2)=f(x1)﹣f(x2﹣x1+x1)=f(x1)﹣f(x2﹣x1)﹣f(x1)+2 =2﹣f(x2﹣x1)<0,所以 f(x1)<f(x2),所以 f(x)在 R 上是单调递增函数
2 2

?????3 分

(Ⅱ)∵f(1)=5,∴f(2)=f(1)+f(1)﹣2=8,由 f(|t ﹣t|)≤8 得 f(|t ﹣t|)≤f(2) ∵f(x)在 R 上是单调递增函数,所以|t -t|≤2 ?-2≤t -t≤2 解得 t∈ (Ⅲ)由 f(﹣2)=﹣4 得﹣4=f(﹣2)=f(﹣1)+f(﹣1)﹣2? f(﹣1)=﹣1 所以 f(﹣3)=f(﹣2)+f(﹣1)=﹣4﹣1﹣2=﹣7, 由 f(t +at﹣a)≥﹣7 得 f(t +at﹣a)≥f(﹣3)∵f(x)在 R 上是单调递增函数, 所以 t +at﹣a≥﹣3? t +at﹣a+3≥0 对任意 t∈恒成立. 记 g(t)=t +at﹣a+3(﹣2≤t≤2),只需 gmin(t)≥0.对称轴 t=(1)当2 2 2 2 2 2 2

???6 分

a 2

????8 分

a 7 ≤-2 即 a≥4 时, gmin(t)=g(-2)=7-3a≥0 ? a≤ 与 a≥4 矛盾.此时 a∈Φ 2 3 a a -a -4a+12 <2 即-4<a<4 时, gmin(t)=g(- )= ≥0 ?-6≤a≤2,又﹣4<a<4, 2 2 4
2

(2)当-2<-

所以﹣4<a≤2 (3)当a ≥2 即 a≤-4 时,gmin(t)=g(2)=4+2a﹣a+3≥0? a≥﹣7 2 ??????12 分

又 a≤﹣4∴﹣7≤a≤﹣4 综合上述得:a∈

22:解(I)由已知得 an?1 ? an ? 3(an ? an?1 ), (n ? 2, n ? N ? ) , 则 bn ?1 ? 3bn ,??1 分

又 b1 ? 3 ,则 ?bn ?是以 3 为首项、3 为公比的等比数列

??????2 分

(II)(i)解法 1:由(I)得 bn ? 3n ,即 an ?1 ? an ? 3n ,则 an ? an ?1 ? 3n ?1, (n ? 2) , 相减得 an ?1 ? an ?1 ? 2 ? 3n ?1, (n ? 2) , ??????4 分

则 a3 ? a1 ? 2 ? 31 , a5 ? a3 ? 2 ? 33 , ?? , a2n ?1 ? a2n ?3 ? 2 ? 32n ?3 , 相加得 a2 n ?1 ? a1 ?

3(9n ?1 ? 1) 32 n ?1 ? 1 ,则 a2 n ?1 ? , (n ? 2) 4 4 32 n ? 1 , 4

???????6 分

当 n ? 1 时上式也成立 由 a2n ? a2n ?1 ? 32n ?1 得 a2 n ? 故 an ? ????????7 分

3n ? (?1) n 4

????????8 分 ????????5 分

解法 2:由 an ?1 ? an ? 3n 得 (?1)n ?1 an ?1 ? (?1)n an ? ?(?3)n ,

则 (?1)n an ? (?1)n ?1 an ?1 ? ?(?3)n ?1 , ?? , (?1)2 a2 ? (?1)1 a1 ? ?(?3)1 , 相加得 an ?

3n ? (?1) n 4
an ?1 1 an 1 ? ? ? , 3n ?1 3 3n 3

????????8 分

解法 3:由 an ?1 ? an ? 3n 得 设 cn ? 又 c1 ? 则 an ?

????????5 分

an 1 1 1 1 1 ,则 cn ?1 ? cn ? ,可得 cn ?1 ? ? ? (cn ? ) , n 3 3 3 4 3 4

1 1 1 1 ? (? ) n ?1 , ,故 cn ? ? 3 4 12 3

????????7 分

3n ? (?1) n 4
4 3
2 n ?1

????????8 分

(ii)证法 1:易证

?1

?

1 7 n?1



4 4 4 1 1 1 ? 1 ? 3 ? ?? ? 2 n ?1 ? ? ?? ? 3 ?1 a1 a3 a2 n ?1 3 ? 1 3 ? 1
7 1 7 1 1 ? ?? ? n?1 ? (1 ? n ) ? 1 6 7 6 7 7 4 1 ? 3 ? 1 2 ? 7 n ?1
2n

? 1?

???????10 分

同理可得



4 4 4 1 1 1 ? 2 ? 4 ? ?? ? 2 n ? ? ?? ? 3 ?1 a2 a4 a2 n 3 ? 1 3 ? 1

?


1 1 1 7 1 7 ? (1 ? n ) ? ? ? ?? ? 1 n ?1 12 12 2 2?7 7 2?7
7 7 7 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ?? ? ? a1 a2 a2 n ?1 a2 n 6 12 4

???????11 分

???????12 分

证法 2:

1 a2 n ?1

?

1 4 4 4(32 n ?1 ? 32 n ) ? 2 n ?1 ? 2n ? 2 n ?1 a2 n 3 ? 1 3 ? 1 (3 ? 1)(32 n ? 1)
????????10 分

?


4(32 n ?1 ? 32 n ) 4 4 ? 2 n ?1 ? 2 n 2 n ?1 2n 3 3 3 ?3

1 4 4 4 4 1 1 1 1 ? 1 ? ? 3 ? 4 ? ?? ? 2 n ?1 ? 2 n ? ? ?? ? ? 2 3 3 3 3 a1 a2 a2 n ?1 a2 n
3 2 1 ? (1 ? 2 n ? 2 ) 2 9 3
????????11 分

?

?

3 2 31 62 63 7 ? ? ? ? ? 2 9 18 36 36 4

????????12 分

证法 3:

4 4 4 1 1 1 ? 1 ? 3 ? ?? ? 2 n ?1 ? ? ?? ? 3 ?1 a1 a3 a2 n ?1 3 ? 1 3 ? 1
???????10 分

?1?
易证

4 4 4 1 1 7 ? 5 ? ?? ? 2 n ?1 ? 1 ? (1 ? 2 n ? 2 ) ? 3 6 3 6 3 3 3
2n

4 4 ?1 5 ? 2n ? 2n 3 ?1 3 ?1?1 3



4 4 4 1 1 1 ? 2 ? 4 ? ?? ? 2 n ? ? ?? ? 3 ?1 a2 a4 a2 n 3 ? 1 3 ? 1 1 5 5 5 1 5 1 41 ? 4 ? 6 ? ?? ? 2 n ? ? (1 ? 2 n ? 2 ) ? 2 3 3 3 2 72 3 72 7 41 125 126 7 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? 72 4 a1 a2 a2 n ?1 a2 n 6 72 72
??????11 分

?


????????12 分


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