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自主招生考试常用不等式


自主招生考试常用的不等式
2 2 2 2 2 2 2 1.柯西不等式 (a1b1 ? a2 b2 ? ?? an bn ) ? (a1 ? a2 ? ?? an )(b1 ? b2 ? ?? bn ) ,其中等号成

立条件为

a a1 a2 ? ?? n 。 b1 b2 bn
2 2 2

证明:构造一元二次函数 f ( x) ? (a1x ? b1 ) ? (a2 x ? b2 ) ? ?? (an x ? bn ) ,则
2 2 2 2 f ( x) ? (a12 ? a2 ? ?? an ) x2 ? 2(a1b1 ? a2b2 ? ?? anbn ) x ? (b12 ? b2 ? ?? bn ) ? 0

等价于判别式小于等于 0,即
2 2 2 2 4(a1b1 ? a2 b2 ? ? ? an bn ) 2 ? 4(a12 ? a2 ? ? ? an )(b12 ? b2 ? ? ? bn ) ? 0 ,

得证,且等号成立条件, 2.四个平均的关系: 平 方 平 均 Qn ?

a a1 a2 ? ?? n 。 b1 b2 bn

2 2 a1 ? a 2 ? ? ? a n a12 ? a2 ? ? ? an , 算 术 平 均 An ? ,几何平均 n n

Gn ? n a1a2 ?an
满足关系: Qn 用。

,调和平均 H n ?

1 1 1 1 。 ? ??? a1 a 2 an

? An ? Gn ? H n ,其中等号成立条件为 a1 ? a2 ? ? ? an 。调和平均不常

3.排序不等式(排序原理) : 设有两个有序数组: a1

? a2 ? ? ? an , b1 ? b2 ? ? ? bn ,则有
(同序和)

a1b1 ? a2b2 ? ?? an bn ? a1b j1 ? a2b j2 ? ?? an b jn ? a1bn ? a2bn?1 ? ?? an b1
(乱序和) (逆序和) 。

其中 j1 , j2 ,?, jn 是 1,2,?, n 的一个排列。 4.切比雪夫不等式:若 a1 ? a2 ? ? ? an , b1

? b2 ? ? ? bn ,则有

a1b1 ? a2b2 ? ? ? an bn a1 ? a2 ? ? ? an b1 ? b2 ? ? ? bn ? ? 。 n n n
附:切比雪夫不等式其实是排序不等式的应用。

1

5.关于凸函数的琴生不等式:
(1)函数的凹凸性: 定义:设连续函数 f ( x) 的定义域为 (a,b),如果对于 (a,b)内任意两数 x1,x2,都有

f(

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? 2 2



则称 f ( x) 为 (a,b)上的下凸函数. 注:①若把①式的不等号反向,则称这样的 f ( x) 为区间 (a,b)上的上凸函数. (或凹函数) ②下凸函数的几何意义:过 y ? f ( x) 曲线上的任意两作弦,则弦的中点必在该曲线的上方(或曲 线上) .

? 常见的上凸(凹)函数, ?0, ? 上,y = sin x,y = cos x,y = lg sin x,y = log cos x ? ?
? 2?

常见的(下)凸函数, ? 0,? ? 上,y =x 2 ,y =x 3 ,y =x n ,y = +

1 xn

③ f ( x ) 的二阶导数 f ''( x) ? 0 ,则 f ( x ) 为下凸函数; f ( x ) 的二阶导数 f ''( x) ? 0 ,则 f ( x ) 为 上凸函数。

二、凸函数有琴生不等式性质: 若 f (x) 在区间 I 为下凸函数,则对 x1 , x2 ,?, xn ? I , 总有 f (

x1 ? x2 ? ? ? xn f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ? ? f ( xn ) )? ; n n

若 f (x) 在区间 I 为上凸函数,则对 x1 , x2 ,?, xn ? I , 总有 f (

x1 ? x2 ? ? ? xn f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ? f ( xn ) )? 。 n n
1 ,此时是下凸函数,可得倒数平方和的不等式 x2

附:应用 f ( x ) ?

1 1 1 n3 ,等号成立条件 a1 ? a2 ? ? ? an 。 ? 2 ? ?? 2 ? a12 a2 an (a1 ? a2 ? ? ? an ) 2
而与此对应的另一个倒数和再平方的不等式,是利用调和平均和平方平均的关系,得到的

(

1 1 1 n2 ? ? ?? )2 ? 2 a ? a 2 ? ? ? an 。 2 2 ,等号成立条件 1 a1 a2 an a1 ? a2 ? ? ?a n

2

加权形式:
对任意一列a1,a2, ,an ? R +,a1 +a2 + ? +an =1,函数f (x)是 ? a,b ? 上的凸函数,有 ? f (a1 x1 +a2 x2 + ? an xn ) ? a1 f ? x1 ? +a2 f ? x2 ? + ? +an f ? xn ? 对任意一列a1,a2, ,an ? R +,a1 +a2 + ? +an =1,函数f (x)是 ? a,b ? 上的凹函数,有 ? f (a1 x1 +a2 x2 + ? an xn ) ? a1 f ? x1 ? +a2 f ? x2 ? + ? +an f ? xn ?

常用不等式:
t t x1t +x2 + ? +xn ? x1 +x2 + ? +xn ? ?? ? (t>1); n n ? ? t t x1t +x2 + ? +xn ? x1 +x2 + ? +xn ? ?? ? (0<t<1); n n ? ? t t

? x1 +x2 + ? +xn ? ? ? ? x1 x2 ? xn n ? ?
9 ? 2 2 2 ?x ? y ? z ? 解方程组 ? 4 ??8 x ? 6 y ? 24 z ? 39 ?

n

例1.

P为?ABC内一点,它到三边BC、CA、AB的距离分别为d1 ,d2 ,d3 ,S 为?ABC的面积
例2.

a a a (a +b+c)2 求证: + + ? d1 d2 d3 2S

例3.

有小于 1 的正数 x1 ,x2 ,?,xn ,且x1 +x2 + ?+xn =1,求证:

1 1 1 + + ?+ >4 3 3 3 x1 -x1 x2 -x2 xn -xn

例4.

? 1? ? 1? ? 1? 设 a,b,c为正数,且a+b+c=1,求 ? a+ ? + ? b+ ? + ? c+ ? 的最小值 ? a? ? b? ? c?

2

2

2

例5.

已知 a >0,b>0,求证:

1 1 1 + +?+ < a +b a +2b a +nb

n 1 2n+1 (a+ b)(a + b) 2 2

3

例6.

求证: 对?x,y ? R,x2 +y 2 +xy ? 3(x+y-1)恒成立。

(y 例 7 证明:方程 x -2 y =1的任一组整数解(x, y) ? 0)都满足
3 3

x 1 4 -2 3 < 3 y y

例 8.求证: 1+

1 23

+

1 33

+?+

1 n3

<3

例 9.已知正数列 a1 ,a2 ,?,an ,对大于 1 的 n ,有 a1 +a2 + ? +an =

3 n +1 n, a1a2 ? an = , 2 2

试证:a1,a2, ,an中至少有1个小于1. ?

例 10. 若 a,b,c ? R ? ,求

a b c 的最小值 ? ? b?c c?a a ?b

例 11. 用琴生不等式证明均值不等式 An ? Gn ,即: ai ? R?,则

a1 ? a2 ? ? ? an n ? a1a2 ?an . n

例 12 a,b,c ? R ? ,且 a + b + c = 3,求证: 8a ? 1 ? 8b ? 1 ? 8c ? 1 ? 9 .

例 13. f ( x) 定义在 (a,b) 上, f ( x) 在 (a,b) 上恒大于 0,且对 x1,x2 ? (a,b) 有

f ( x1 ) f ( x2 ) ? [ f (

x1 ? x2 2 )] . 2

4

一、函数的凹凸性: 定义:设连续函数 f ( x) 的定义域为 (a,b),如果对于 (a,b)内任意两数 x1,x2,都有
f( x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? 2 2



则称 f ( x) 为 (a,b)上的下凸函数. 注:1.若把①式的不等号反向,则称这样的 f ( x) 为区间 (a,b)上的上凸函数. (或凹函数) 2.下凸函数的几何意义:过 y ? f ( x) 曲线上的任意两作弦,则弦的中点必在该曲线的上方(或 曲线上) . 二、琴生不等式: 若 f ( x) 是区间 (a,b) 上的凸函数,则对任意的点 x1,x2,?,xn ? (a,b),有
f( x1 ? x2 ? ? ? xn 1 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ? f ( xn )] n n

取“=”条件:x1 = x2 = ? = xn 注:更一般的情形: 设 f ( x) 是定义在区间 (a,b) 上的函数,如果对于(a,b)上任意两点 x1,x2,有 , b) 其推广形式, pf ( x1 ) ? pf ( x2 ) ? f ( px1 ? qx2 )(其中 p,q ? R?,p ? q ? 1 ) 则称 f ( x) 是(a, 上的下凸函数. 即加权的琴生不等式:

? 设 q1,q2, ,qn ? R?,且 q1 ? q2 ? ? ? qn ? 1,若 f ( x) 是区间 (a,b) 上的下凸函数,则对任意的 x1,
x2,?,xn ? (a,b)有 f (q1 x1 ? q2 x2 ? ? ? qn xn ) ? q1 f ( x1 ) ? q2 f ( x2 ) ? ? ? qn f ( xn ) . 取“=”条件: x1 ? x2 ? ? ? xn 说明:以上各不等式反向,即得凹函数的琴生不等式. 例1 证明:(1) f ( x) ? sin x 在 [0,? ) 上是上凸函数 (2) g ( x) ? lg x 在 (0,? ?) 上是上凸函数 (3) h( x) ? tan x 在[0, ) 上是下凸函数 2 证明:(1) 对 ?x1,x2 ?[0,? )
f ( x1 ) ? f ( x2 ) 1 x ?x x ?x x ?x x ?x ? (sin x1 ? sin x2 ) ? sin 1 2 cos 1 2 ? sin 1 2 ? f ( 1 2 ) 2 2 2 2 2 2

?

(2) 对 ?x1,x2 ? [0,+?)
lg x1 ? lg x2 x ?x ? lg x1 x2 ? lg 1 2 2 2

即:

g ( x1 ) ? g ( x2 ) x ?x ? g( 1 2 ) . 2 2
5

(3) 当 0 ? x1,x2 ?

?
2


sin x1 sin x2 sin( x1 ? x2 ) 2sin( x1 ? x2 ) ? ? ? cos x1 cos x2 cos x1 cos x2 cos( x1 ? x2 ) ? cos( x1 ? x2 )

tan x1 ? tan x2 ? ?

2sin( x1 ? x2 ) x ? x2 ? 2 tan 1 cos( x1 ? x2 ) ? 1 2

(∵

sin ? ? ? tan ) 1 ? cos ? 2

即: 例2

h( x1 ) ? h( x2 ) x ?x ? h( 1 2 ) . 2 2 a1 ? a2 ? ? ? an n ? a1a2 ?an . n

用琴生不等式证明均值不等式 An ? Gn ,即: ai ? R?,则 证:∵ ai ? R?
? 设 f ( x) ? lg x ,则 f ( x) 为 (0, ?) 上的上凸函数

由琴生不等式:
a ? a2 ? ? ? an 1 (lg a1 ? lg a2 ? ? ? lg an ) ? lg 1 n n

即 例3

n

a1a2 ?an ?

a1 ? a2 ? ? ? an n

a,b,c ? R ? ,且 a + b + c = 3,求证: 8a ? 1 ? 8b ? 1 ? 8c ? 1 ? 9 .

证明:设 f ( x) ? 8x ? 1 ,则 f ( x) 为 (0,+?) 上的凹函数.
1 a?b?c 由琴生: [ f (a) ? f (b) ? f (c)] ? f ( ) ? f (1) ? 3 3 3

∴ f (a) ? f (b) ? f (c) ? 9 . 例4
f ( x) 定义在 (a,b) 上, f ( x) 在 (a,b) 上恒大于 0,且对 x1,x2 ? (a,b) 有

f ( x1 ) f ( x2 ) ? [ f (

x1 ? x2 2 )] . 2 x1 ? x2 ? ? ? xn n )] . n

求证:当 x1,x2, xn ? (a,b) 时,有 f ( x1 ) f ( x2 )? f ( xn ) ? [ f ( ? 证明:由题:对 ?x1,x2 ? (a,b) ,有 f ( x1 ) f ( x2 ) ? [ f ( 则有 lg f ( x1 ) ? lg f ( x2 ) ? 2lg f ( 即
x1 ? x2 ) 2

x1 ? x2 2 )] ,两边取常对: 2

lg f ( x1 ) ? lg f ( x2 ) x ?x ? lg f ( 1 2 ) 2 2

于是:令 g ( x) ? lg f ( x) ,则 g ( x) 为(a,b) 上的凸函数 由琴生不等式:对 x1,x2, xn ? (a,b) ,有 ?
lg f ( x1 ) ? lg f ( x2 ) ? ? ? lg f ( xn ) x ? x ? ? ? xn ? lg f ( 1 2 ) n n

即 f ( x1 ) f ( x2 )? f ( xn ) ? [ f (

x1 ? x2 ? ? ? xn n )] . n
6


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