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高中数学:相似三角形的判定及有关性质


1.平行线等分线段定理
相等 , 那 么 在 其 定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段

他直线上截得的线段也 相等 .
平分第三边. 推论1 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必 平分另一腰 . 推论2 经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线 2.平行线分线段成比例定理 定理 三条平行线截两条直线,所得的 对应线段 推论 成比例.

平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得 成比例.

的 对应线段

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【思考探究】 使用平行截割定理时要注意什么?
提示: 要注意对应线段、对应边对应成比例,不要乱对应顺序. 3.相似三角形的判定及性质 (1)相似三角形的判定 定义 对应角相等 ,对 应边成比例 的两个三角 形叫做相似 三角

形.相似三角形对应边的比值叫做相似比(或相似系数).
预备定理 平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)

相交,所构成的三角形与原三角形相似. 判定定理1 对于任意两个三角形,如果一个三角形的两个角与另 对应相等,那么这两个三角形相似.简述为:

一个三角形的 两个角

两角对应相等,两三角形相似.
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判定定理2

对于任意两个三角形,如果一个三角形的两边和另一
,并且夹角相等,那么这两个三角形相 且夹角相等,两三角形相似.

个三角形的两边对应成比例

似.简述为:两边对应 成比例 判定定理3

对于任意两个三角形,如果一个三角形的三条边和另 ,那么这两个三角形相似.简述

一个三角形的三条边对应 成比例

为:三边对应 成比例

,两三角形相似.

(2)两个直角三角形相似的判定 定理 ①如果两个直角三角形的一个锐角对应 相等 ,那么它们相 似. ②如果两个直角三角形的两条直角边对应 成比例 似.
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,那么它们相

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③如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的
斜边和一条直角边对应 成比例 ,那么这两个直角三角形相似. (3)相似三角形的性质

性质定理

①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分

线的比都等于 相似比 ; ②相似三角形周长的比等于 相似比 ③相似三角形面积的比等于 ; ;

相似比的平方

④相似三角形外接圆(或内切圆)的直径比、周长比等于相似比,外

接圆(或内切圆)的面积比等于 相似比的平方
4.直角三角形的射影定理



直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项 ; 两 直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的
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比例中项

.
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1.充分利用已知条件的比例作出相应的平行线段是关键. 2.有关两线段的比值的问题,除了应用平行线分线段成比例定理 外,也可利用相似三角形的判定和性质求解. 3.注意观察图形特点,巧添辅助线.
如图,△ABC 中,D 为 BC 中点,E 在 AC 上且 AE=2CE,AD、BE AF BF 相交于点 F,求 , . FD FE

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解析:

过点 D 作 DG∥AC 且交 BE 于点 G,

因为点 D 为 BC 的中点, 所以 EC=2DG. 因为 AE=2CE, 所以 AE 4 = . DG 1

AF AE 4 从而 = = , FD DG 1

GF 1 所以 = . FE 4 因为 BG=GE, BF 3 所以 = . FE 2

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【变式训练】

1.如图,已知D为△ABC中AC边的中点,AE∥BC,

ED交AB于G,交BC延长线于F,若BG∶GA=3∶1,BC=8,求AE的 长.

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解析:

∵AE∥BC,D 为 AC 的中点,

∴AE=CF. 设 AE=x, ∵AE∥BC, ∴ AE AG 1 = = . BF BG 3

又 BC=8, ∴ x 1 = ,3x=x+8, x+8 3

∴x=4.∴AE=4.

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1.相似三角形的判定主要是依据三个判定定理,结合定理创造条 件建立对应边或对应角的关系. 2.相似三角形的性质应用可用来考查与相似三角形相关的元素, 如两个三角形的高、周长、角平分线、中线、面积、外接圆的直径、内 切圆的面积等.

如图,已知?ABCD中,G是DC延长线上一点,AG分别交BD和BC
于E、F两点,证明:AF·AD=AG·BF.

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证明:

因为四边形 ABCD 为平行四边形,

所以 AB∥DC,AD∥BC. 所以△ABF∽△GCF,△GCF∽△GDA. 所以△ABF∽△GDA. 从而有 AF BF = , AG AD

即 AF· AD=AG· BF.

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【变式训练】

2.已知△ABC中,BF⊥AC于点F,CE⊥AB于点E,

BF和CE相交于点P,求证: (1)△BPE∽△CPF; (2)△EFP∽△BCP.

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证明:

(1)∵BF⊥AC 于点 F,CE⊥AB 于点 E,

∴∠BFC=∠CEB. 又∵∠CPF=∠BPE, ∴△CPF∽△BPE. EP FP (2)由(1)得△CPF∽△BPE,∴ = . BP CP 又∵∠EPF=∠BPC, ∴△EFP∽△BCP.

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1.在使用直角三角形射影定理时,要学会将“乘积式”转化为相 似三角形中的“比例式”. 2.证题时,要注意作垂线构造直角三角形是解直角三角形时常用 的方法.

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如图所示,在△ABC 中,∠CAB=90° ,AD⊥BC 于 D,BE 是∠ABC DF AE 的平分线,交 AD 于 F,求证: = . AF EC

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证明:

由三角形的内角平分线定理得, DF BD = ,① AF AB

在△ABD 中, 在△ABC 中,

AE AB = ,② EC BC

在 Rt△ABC 中,由射影定理知, AB2=BD· BC, BD AB 即 = .③ AB BC 由①③得: 由②④得: DF AB = ,④ AF BC DF AE = . AF EC

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【变式训练】 3.一直角三角形的两条直角边之比是1∶3,则它们
在斜边上的射影的比是________.
解析: 如图,在直角三角形 ABC 中,

BC∶AC=1∶3, 作 CD⊥AB 于 D, 由射影定理得 BC2=BD· AB, AC2=AD· AB, BC2 BD 1 则 2= = , AC AD 9 故它们在斜边上的射影的比是 1∶9.

答案: 1∶9

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