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2013-2014学年度第一学期高二理科数学试卷


2013-2014 学年度第一学期高二理科数学寒假作业((一)
(三角函数、解三角形、平面向量)
班别 学号 姓名 成绩_______

一、选择题(每题 5 分,共 50 分) 1、计算 5sin 90° +2cos 0° -3sin 270° +10cos 180° 的值( ) A.0 B.-1 C.1 D.-6 π? ? 2、函数 y=tan?x-4 ?的定义域是( ). π ? ? π? π? ? ? A.?x|x≠4 ? B.?x|x≠-4? C.?x|x≠kπ+ 4 ,k∈Z? ? ? ? ? ? ? 3、在△ABC 中,若 a ? 7, b ? 8, cos C ?

D.?x|x≠kπ+
?

?

? 3π ,k∈Z? 4 ?

13 ,则最大角的余弦是( ) 14 1 1 1 1 A. ? B. ? C. ? D. ? 5 8 6 7 4、在△ ABC 中,若 b ? 2a sin B ,则 A 等于( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 A. 30 或60 B. 30 或150 C. 45 或60 D. 120 或60 5、在△ABC 中,若 a cos A ? b cos B ,则△ABC 的形状是( )
A.直角三角形 C.等腰直角三角形 B.等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形

1 3 ) a? b ?( 2 2 A. (?2, B. (?2, C. (?1 D. (?1 ? 1) 1) , 0) , 2) 7、已知向量 a ? (1 ,n),b ? (?1,n) ,若 2a ? b 与 b 垂直,则 a ? (
6、已知平面向量 a ? (11) ,,b ? (1 , ? 1) ,则向量 A. 1 B. 2 C. 2 D.4



8、 P 是△ABC 所在平面上一点,若 PA ? PB ? PB ? PC ? PC ? PA ,则 P 是△ABC 的( A. 外心 B.内心 C. 重心 D.垂心 9、在?ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若 AD =2 DB , CD = CA ? ?CB ,则?=( A.

) )

1 3

2 3

B.

1 3

C. -

i, j 分别是与 x 轴,y 轴平行的单位向量, 10、 在直角坐标系 xOy 中, 若直角三角形 ABC 中,AB ? 2i ? j ,
???? ? ? AC ? 3i ? k j ,则 k 的可能值有(
A.1 个 B.2 个 ) C.3 个 D.4 个

??

1 3

D. -

2 3

??? ?

? ?

二、填空题(每题 5 分,共 30 分) π 11、先作函数 y=sin x 的图象关于 y 轴的对称图象,再将所得图象向左平移 个单位,所得图象的函数解 4 析式是___ _____; 12、在△ABC 中,b∶a=2∶1,B=A+60°,则 A=______; 13、函数 f ( x ) ? 3sin(2 x ? ① 图像 C 关于直线 x ?

?
3

) 的图像为 C,以下三个结论中,正确的是_______;

11 ? 5? ? 对称。②函数 f(x)在区间 ( ? , ) 内是增函数. 12 12 12

高二理科数学寒假作业

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? 个单位长度可以得到图像 C. 3 ? ? 14、已知 a 、 b 均为单位何量,它们的夹角为 60°,那么| a + 3 b | =
③由 y ? 3sin 2 x 的图像向右平移

??? ? ??? ? ???? 15、已知向量 OA ? (k ,12), OB ? (4,5), OC ? (?k ,10) ,且 A、B、C 三点共线,则 k=___; ? ? ? ? 16、已知向量 a 与 b 的夹角为 120°,且| a |=2, | b |=5,则(2 a - b )· a = .
三、解答题: (共 80 分) 17.(12 分)在△ABC 中,若∠B=30°,AB=2 ,AC=2,求△ABC 的面积。



18、 (12 分)已知向量 a ? (sin ? ,1), b ? (1,cos ?), ? (1)若 a ? b ,求 ? ; (2)求 a ? b 的最大值.

?

?

?
2

?? ?

?
2



?

?

?

?

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π π 19.(14 分)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,- <φ< )的部分图象如图所示. 2 2 (1)求 f(x)的解析式及 f(x)的最小正周期; (2)写出 f(x)的递增区间; (3)求出使 f(x)取得最大值时 x 的集合.

20、(14 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , tan C ? 3 7 . (1)求 cos C ; (2)若 CB ? CA ?

??? ? ??? ?

5 ,且 a ? b ? 9 ,求 c . 2

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21、(14 分) f ( x) ? a ? b ,其中向量 a ? (m,cos 2 x) , b ? (1 ? sin 2 x,1) , x ? R ,且函数 y ? f ( x) 的

? ?

?

?

, 2) . 4 (1)求实数 m 的值;?
(2)求函数 y ? f ( x) 的最小值及此时 x 值的集合。

图象经过点 (

?

22、 (14 分)我缉私巡逻艇在一小岛 A 南偏西 50°的方向,距小岛 12 海里的 B 处,发现隐藏在小岛边上 的一走私船正开始向小岛北偏西 10°的方向行驶,测得其速度为每小时 10 海里,问我巡逻艇需用 多大的速度朝什么方向航行才能恰在两个小时后截获该走私船?(参考数据:sin 38°≈0.62)

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2013-2014 学年度第一学期高二理科数学寒假作业(二)
(数列、不等式 )
班别 学号 姓名 成绩

一、选择题(每题 5 分,共 50 分) 1、设数列 {a n } 为等差数列,首项为 ? 2 ,公差为 5,则该数列的第 8 项为( A.31 B.33 C.35 D.37 2、设等比数列 {bn } 单调递增,且 b2 ? 2, b4 ? 32 ,则该数列的公比为( A.4 B.8 C. ? 4 3、下列结论正确的是( ) A.若 ac>bc,则 a>b C.若 a>b,c<0,则 a+c<b+c D. ? 8 B.若 a2>b2,则 a>b D.若 a < b ,则 a<b ) )

4、设 a1 , a 2 , a3 , a 4 成等比数列,其公比为 2,则 A.

2a1 ? a 2 的值为( ) 2a 3 ? a 4

1 1 C. D.1 2 8 2 5、二次不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集是 R 的条件是( ) a ? 0 a ? 0 a ? 0 ? ? ? ?a ? 0 A. ? B. ? C. ?     D. ? ?? ? 0 ?? ? 0 ?? ? 0 ?? ? 0
B. 6、下列函数中,最小值为 4 的函数是( )

1 4

2 x x ?x C. y ? 4a ? a
A. y ? 2 x ?

4 (0 ? x ? ? ) sin x D. y ? log 2 x ? log x 16
B. y ? sin x ? )

7、已知点(3,1)和(- 4,6)在直线 3x-2y+a=0 的两侧,则 a 的取值范围是( A. a<-7 或 a>24 B. a=7 或 a=24 C. -7<a<24 D. -24<a<7 a b 8、若实数 a、b 满足 a ? b ? 2 ,则 3 ? 3 的最小值是 ( ) A.18 B.6 C. 2 3 C. 3 D. 2 4 3 9、在等比数列 ?a n ? 中, a1 ? 1,a10 ? 3, 则 a 2a 3a 4a 5a 6 a 7 a 8a 9 A. 81 B. 27 5 27 D. 243
2

?(



10、已知数列 ?a n ? 满足 a1 ? 0, a n ?1 ? 2n ? a n 那么 a 2011 的值为(



A. 2010 ? 2009 B. 2011 ? 2010 C. 2011 D. 2011 ? 2012 二、填空题(每题 5 分,共 30 分) 11、若 ? 1 ? a ? 2 , ? 2 ? b ? 1,则 a-b 的取值范围是 ; 12、设 S n 是等差数列 {a n } 的前 n 项和,已知 a1 ? 1 ,公差 d=2,则 S10 =_______ ; 13、 2 + 1 与 2 - 1 ,两数的等比中项是
2

; ;

14、若 f ( x) ? x ? ax ? 1 能取到负值,则 a 的范围是 15、不等式

1 1 < 的解集是 x 2



? x?0 ? 16、若实数 x, y 满足约束条件 ? y ? 0 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为________. ?x ? y ? 1 ?
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三、解答题(共 80 分) 17、 (12 分)已知不等式 x ? bx ? c ? 0 的解集为 {x | x ? 2或x ? 1} .
2

(1)求 b 和 c 的值; (2)求不等式 cx ? bx ? 1 ? 0 的解集.
2

18、 (12 分)求解下列数列问题: ⑴已知等比数列 {bn } 的公比 q=2,第 3 项为 8,求数列{bn}的前 8 项和; ⑵已知数列 ?a n ?的前 n 项和 S n ? 3 ? 2 ,求 a n .
n

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19、 (14 分)已知 f ( x) ? x 2 ? (a ? (1)当 a ?

1 ) x ? 1. a

1 时,解不等式 f ( x) ? 0 ; 2 (2)若 a ? 0 ,解关于 x 的不等式 f ( x) ? 0 .

2 20、 (14 分)已知数列{ an }的前 n 项和为 S n , S n = n + 2n ,数列{ bn }的通项公式为 bn = 2 .

n

(1)求数列{ an }的通项公式; (2)若 bn = 32 ,求 n ; (3)求数列 {a n ? bn } 的前 n 项和 Tn .

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21、 (14 分)已知 Sn 是数列 {an } 的前 n 项和,且 a1 ? 1 , na n ?1 ? 2 S n (n ? N * ) . (1)求 a2 , a3 , a4 的值; (2)求数列 {an } 的通项 an ; (3)设数列 {bn } 满足 b1 ?

1 1 2 , bn ?1 ? bn ? bn ,求证:当 n ? k 时有 bn ? 1 . 2 ak

3 22、 (14 分)某工厂要建造一个长方形无盖贮水池,其容积为 4800 m , 深为 3 m 。如果池底每平方米的

造价为 150 元,池壁每平方米的造价为 120 元,怎样设计水池能使总造价最低?最低造价为多少元?

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2013-2014 学年度第一学期高二理科数学寒假作业(三)
(解析几何)
班别 学号 姓名 成绩 一、选择题: (每小题 5 分,共 50 分) 1、过点 A(4,0) 的直线 l 与曲线 ( x ? 2) ? y ? 1 有公共点,则 l 的斜率的取值范围为(
2 2

)

3 3 3 3 D、 ( ? , ) , ] 3 3 3 3 2、若圆 C 的半径为 1,圆心在第一象限,且与直线 4 x ? 3 y ? 0 和 x 轴相切,则该圆的方程是(
A、 [? 3, 3] B、 (? 3, 3) C、 [ ? A、 ( x ? 3) ? ? y ?
2

)

? ?

7? ? ?1 3?
2

2

B、 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 1
2 2
2

3? ? 2 C、 ( x ? 1) ? ( y ? 3) ? 1 D、 ? x ? ? ? ( y ? 1) ? 1 2? ? 3、椭圆的两个焦点分别是 F1 (?8,0)和F2 (8,0) ,且椭圆上一点到两个焦点距离之和为 20,则此椭圆的标
2

准方程为(
2 2



x y x2 y2 x2 y2 x2 y2 A、 ? ?1 B、 ? ?1 C、 ? ?1 D、 ? ?1 20 12 400 36 100 36 36 100 4、已知定点 F1 、 F2 ,且 | F1 F2 |? 8 ,动点 P 满足 | PF1 | ? | PF2 |? 8 ,则动点 P 的轨迹是( )
A、椭圆
2

B、圆
2

C、直线

D、线段

x y ? ? 1表示焦点在 x 轴上的椭圆,则实数 a 的取值范围是( ) 2 a a?6 A、 a ? 3 B、 a ? ?2 C、 a ? 3 或 a ? ?2 D、 a ? 3 或 ?6 ? a ? ?2 2 2 x y 6、双曲线 ? ? 1 上的点 P 到点(5,0)的距离是 15,则 P 到 (?5,0) 的距离是( ) 16 9
5、如果方程 A、7
2

B、23
2

C、5 或 25

D、7 或 23

x y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) ,过焦点 F1 的直线交在双曲线的一支上的弦长 | AB | 为 m ,另一焦点 2 a b 为 F2 ,则 ?ABF2 的周长为( ) A、 4a B、 4a ? m C、 4a ? 2m D、 4a ? 2m 2 2 8、在方程 mx ? my ? n 中,若 mn ? 0 ,则方程的曲线是( )
7、双曲线 A、焦点在 x 轴上的椭圆 C、焦点在 y 轴上的椭圆 9、抛物线 y ? A、 (0, ) B、焦点在 x 轴上的双曲线 D、焦点在 y 轴上的双曲线 )

1 2 x 的焦点坐标是( 16
B、 (0, 4)

10、焦点在直线 3x ? 4 y ? 12 ? 0 上的抛物线标准方程为( A、 x ? 16 y 或 y ? 12 x
2 2 2 2 2 2 2 2

1 4

C、 ( , 0)

1 4

D、 (4, 0) )

B、 y ? 16 x 或 x ? 12 y

C、 y ? 16 x 或 x ? ?12 y D、 x ? 16 y 或 y ? ?12 x 二、填空题: (每小题 5 分,共 30 分) 11 、 经过两条直线 3x ? 4 y ?5 ? 0 和 2 x ? 3 y ?8 ? 0 的交点,且垂直于直线 2 x ? y ? 5 ? 0 的直线方程 是 ; 12、已知点 P 是抛物线 y ? 4 x 上一点,求到直线 y ? x ? 3 的距离最短的点 P _____;
2

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13、 已知线段 AB 的端点 B 的坐标是 (5, 2) , 端点 A 在圆 ( x ? 1) ? y ? 4 上运动, 则线段 AB 的中点 M 的 轨迹方程是 ;
2 2

x2 y2 ? ? 1 的一条渐近线方程为 4 x ? 3 y ? 0 ,则双曲线的离心率为___; a2 b2 x2 y 2 15. 设椭圆 ? ? 1 上一点 P 到左准线的距离为 10, F 是该椭圆的左焦点,若点 M 25 16 ???? ? 1 ??? ? ??? ? ???? ? 满足 OM ? (OP ? OF ) ,则 | OM | = ; 2 x2 y 2 16. M 是椭圆 ? ? 1 上的点, F1 、 F2 是椭圆的两个焦点, ?F1MF2 ? 60? ,则 ?F1MF2 的面积等 25 9
14. 已知双曲线 于 . 三、解答题: (6 道题,共 80 分) 17、(14 分)已知三角形的三个顶点 A(4,0) , B(6,7) , C (0,3) (1)求 AC 所在直线的方程; (2)求 AC 边上的高所在直线的方程; (3)求 AC 边上的中线所在直线的方程; (4)求 AC 边上的垂直平分线所在直线的方程; (5)求 ?ABC 的面积.

18、 ( 14 分)已知直线 l 的方程为 kx ? y ? k ? 1 ? 0 ,圆 C 的半径为 2 ,圆心 C 不在 x 轴下方且在直线

x ? y ? 0 上,直线 x ? y ? 2 ? 0 截圆 C 所得的弦长为 2 2 . (1)求圆 C 的方程; (2)证明:无论 k 取什么实数,直线 l 恒与圆 C 相交; (3)设直线 l 截圆 C 所得的弦为 AB ,是否存在直线 l ,使得以 AB 为直径的圆经过原点?若存在,试 求出直线 l 的方程.若不存在,请说明理由.

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19、(12 分)已知抛物线的方程为 y ? 4 x ,直线 l 过定点 P(-2,1),斜率为 k ,直线 l 与抛物线有公
2

共点,求 k 的取值范围.

20、 (12 分)若一个椭圆与双曲线 x ?
2

y2 ? 1 共焦点,且过点 ( ? 3 ,1) . 3

(1)求这个椭圆的标准方程; (2)求这个椭圆的所有斜率为 2 的平行弦的中点轨迹方程.

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21、 (14 分)设 A 是单位圆 x2 ? y 2 ? 1 上的任意一点, l 是过点 A 与 x 轴垂直的直线, D 是直线 l 与 x 轴的 交点,点 M 在直线 l 上,且满足 | DM |? m | DA | (m ? 0, 且m ? 1) . 当点 A 在圆上运动时,记点 M 的轨 迹为曲线 C . (1)求曲线 C 的方程,判断曲线 C 为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标; (2) 过原点且斜率为 k 的直线交曲线 C 于 P ,Q 两点, 其中 P 在第一象限, 它在 y 轴上的射影为点 N , 直线 QN 交曲线 C 于另一点 H . 是否存在 m , 使得对任意的 k ? 0 , 都有 PQ ? PH ?若存在, 求m的 值;若不存在,请说明理由.

y x 3 2 2 22、 (14 分)已知直线 l :y=x+ 6,圆 O :x +y =5,椭圆 E : 2+ 2=1(a>b>0)的离心率 e= ,直 a b 3 线 l 被圆 O 截得的弦长与椭圆的短轴长相等. (1)求椭圆 E 的方程; (2)过圆 O 上任意一点 P 作椭圆 E 的两条切线,若切线都存在斜率,求证这两 条切线互相垂直.

2

2

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2013-2014 学年度第一学期高二理科数学寒假作业(四)
(立体几何,平面几何,复数)
班别 一、选择题(每小题 5 分,共计 50 分) 1.复数 (3 ? 4i)i (其中 i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( A .第一象限 B.第二象限 C.第三象限 2.已知向量 a ? (0,2,1), b ? (?1,1,?2), 则a与b 的夹角为 (
m

学号

姓名

成绩__________

) D.第四象限

)

A.0°

B.45°

C.90°

D.180°

3.下列命题正确的是( ) A.若 a、b 是异面直线,则与 a、b 都垂直的直线有无数多条; B.一条斜线在平面内有无数条射影; C.若两条斜线互相垂直,则它们在同一平面上的射影也互相垂直; D.若一条直线与平面所成的角为 ? , 则 0 ? ? ? 90 。
? ?

4.在空间四边形 ABCD 中, E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点,若 AC ? BD, 则四边

???? ??? ? ??? ? 5.在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,化简 BB1 ? AB ? DA ? (
A. AC1

形 EFGH 是( A.菱形

) B.矩形 C.正方形 D.空间四边形 )

???? ?

B. CA1

????

C. BD1

???? ?

D. DB1

???? ?

6.如图,在四边形 ABCD 中, EF//BC,FG//AD,

EF FG ? ? BC AD

A.1 B.1.5 C.2 D.2.5 7.若长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的底面 ABCD 是边长为 1 正方形, AB1 与底 面 ABCD 成 60 角,则 A1C1 与底面 ABCD 的距离为( A.
?

)

3 3

B.1

C. 2

D. 3

8. 已知长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 底面 ABCD 是正方形,AA1 ? 2 AB, E 为 AA1 中点, 则异面直线 BE 与 CD1 所成的角的余弦值为( A. )
S Q

3 10 1 3 C. D. 10 5 5 9.如图:设 O 是正方形 ABCD 的中心,点 S 不在平面 ABCD 上, SO ? 平面ABCD ,点 P、Q 分别在线段 BD 和 SC 上移动,
B. 若 AB ? A.

10 10

2, SO ? 2, 则 P、Q 两点间的最短距离为(
B.

D P O A B

)

C

??? ? ??? ? ??? ? 10.已知 OA ? (1, 2,3) , OB ? (2,1, 2) , OP ? (1,1, 2) ,点 Q 在直线 OP 上运动,则当 QA ? QB 取得最小值时,点 Q 的坐标为( )
A. ( , , )

2 5 5

5 5

C.2

D.1

1 3 1 2 4 3

B. ( , , )

1 2 2 2 3 3

C. ( , , )

4 4 8 3 3 3

D. ( , , )

4 4 7 3 3 3

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二、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 11.复数

2i ( i 是虚数单位)的虚部是 1? i

.
C P A O

D

12.如图,从圆 O 外一点 P 作圆 O 的割线 PAB、PCD,AB 是圆 O 的直径, 若 PA=4, PC=5, CD=3, 则∠CBD= . 13.在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 M 是 A1B1 的中点,则 点 M 到平面 ABC1D1 的距离是___________. 14.已知 A(1,?1,2), B(5,?6,2), C (1,3,?1) ,则 AB 在 AC 上的投影为 15.已知向量 a ? (2,?1,3), b ? (?4,2, x) ,若 a ? b ,则 x ? 16.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,点 M 在 A 上,且

B

??? ?

????

?

?

?

?

;若 a // b 则 x ?
D1 A1

?

?

.
C1 B1

1 点 P 在平面 ABCD 上,且动点 P 到直线 A1D1 的 AM ? AB, 3 距离的平方与 P 到点 M 的距离的平方差为 1,在平面直角坐标系 . xAy 中,动点 P 的轨迹方程是

y D P A M B x C

三、解答题(本大题共计 80 分) 17.(12 分 ) 在四棱锥 P ? ABCD 中 , 底面 ABCD 是 边长为 a 的 正方形 , 侧面 PAD ? 底 面 ABCD ,且 2 PA ? PD ? AD ,若 E 、 F 分别为 PC 、 BD 的中点. 2 (1)求证: EF //平面 PAD ; P (2)求证:平面 PDC ? 平面 PAD . E

D F A B

C

18.(14 分)如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,AC=3,BC=4,AB=5, AA1 ? 4 ,点 D 是 AB 的中点. (1)求证: AC ? BC1 ; (2)求证: AC1 ∥平面 CDB1 ; (3)求异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值.

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19.(12 分)如图:点 P 是平面 ABC 外一点, PA ? 底面ABC, PA ? AB, ?ABC ? 60 , ?BCA ? 90 , 点 D, E 分别是 PB, PC 的中点; P (1)求证: BC ? 平面PAC;
? ?

(2)求 AD 与平面 PAC 所成的角的正弦值大小;
D E

A C

B

20. (14 分)如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ? BC , D 、 E 分别为 BB1 、 AC1 的中点. (1)证明: DE 为异面直线 BB1 与 AC1 的公垂线; (2)设 AA1 ? AC ?

2 AB ,求二面角 A1 ? AD ? C1 的余弦值的大小.
C1 A1 D E C A B B1

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21. (14 分)如图,四棱锥 P ? ABCD 是底面边长为 1 的正方形, PD ? BC , PD ? 1 , PC ? (1)求证: PD ? 平面 ABCD ; (2)求二面角 A ? PB ? D 的大小. P

2.

D A

C B

22. (14 分) 个多面体的直观图及三视图如图所示: (其中 M、N 分别是 AF、BC 的中点). (1)求证:MN∥平面 CDEF; (2)求二面角 D—MN—B 的余弦值的绝对值.

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