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2017高考数学一轮复习 第三章第四节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与三角函数模型的简单应用课件 理


第四节 函数y=A sin(ω x+φ )的图象与 三角函数模型的简单应用

考纲概述 (1)了解函数 y=Asin(ωx+φ)的 物理意义,能画出 y=Asin(ωx+φ)的 图象,了解参数 A,ω,φ 对函数图象 变化的影响; (2)了解三角函数 是描述周期变化 现象的重要函数 模型,会用三角函 数解决一些简单 实际问题.

考查热点 考查频次 备考指导 函数 从近年的考题来看,函数 y=Asin(ωx+φ) y=Asin(ωx+φ)图象变换以及 ★★★★ 图象画法与变 通过图象来确定 A,ω,φ 是高 换 考中的热点与重点问题,题型 函数 涉及选择、填空、解答,主要 y=Asin(ωx+φ) ★★★★★ 考查识图与用图的能力,难度 解析式的确定 不大,在解答题中通过三角恒 等变换来考查综合应用能力, 但基本属于中易档题,因此在 三角函数模型 复习中主要是掌握基本公式 ★★ 的应用 与恒等变换、图象与性质,涉 及的数学思想方法主要是数 形结合、分类讨论.

1.“五点法”作函数 y=Asin( ωx+φ)(A>0,ω>0)的简图
(1)定点(“五点”)
-φ 3 2-φ -φ -φ x 2 2 ω ω ω ω 3 ωx+φ 0 π 2π 2 2 y=Asin(ωx+φ) 0 A 0 -A 0
φ ω

(2)定线:用平滑的曲线顺次把五点连接起来,得到 y=Asin(ωx+φ) 在一个周期内的图象. (3)拓展:将所得到的图象按周期向两侧扩展可得在 R 上的图象.

2.由函数 y=sin x 的图象变换得到 y=Asin( ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的步骤

3.函数 y=Asin( ωx+φ)的物理意义
当函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),x∈[0,+∞)表示一个振动时,A 叫 做 振幅 ,T= 叫做 周期 , f= =
1 叫做 2π 2π

频率 ,ωx+φ 叫做 相位 ,φ 叫做 初相 .

4.三角函数模型的应用
(1)根据图象建立函数解析式或根据解析式作出图象; (2)将实际问题抽象成一个与三角函数有关的简单函数问题模型.

5.常用的数学方法与思想
换元法、整体法、数形结合思想、分类讨论思想.

1.判断下列说法是否正确(打“√”或“×”). π (1)用五点法作函数 y=sin + 在一个周期内的图象时,确定的五点是 (0,0),
π ,1 2

,(π,0),

3π ,-1 2

3

,(2π,0).
π 3 π ,1 6

( ,
2π ,0 3

)

(1)× 【解析】确定的五点可以是 - ,0 ,

,

7π ,-1 6

,

5π ,0 3

.

(2)把 y=sin x 的图象向右平移3个单位,得 y=sin - 3 的图象. ( ) (2)√ π 1 (3)把 y=sin - 3 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的2倍(纵 坐标不变),得 y=sin 的图象. ( ) (3)× (4)由图象求解析式时,振幅 A 的大小由一个周期内的图象中的最 高点的值与最低点的值确定. ( ) (4)√
2π 2- 3

π

π

2. (2015· 山东高考) 要得到函数 y=sin 4y=sin 4x 的图象 π A.向左平移 个单位
12 π B.向右平移 个单位 12 π C.向左平移 个单位 3 π D.向右平移 个单位 3

π 3

的图象,只需将函数 ( )

2.B 【解析】因为 y=sin 4-

π 3

= sin 4 -

所以只需将函数 = sin 4的图象向右平移 个单位即可得到.

π 12

π 12

,

3. (2015· 浙江镇海中学模拟) 设 f(x)=cos 2x-√3sin 2x,把 y=f(x)的图 象向左平移 φ(φ>0)个单位后,恰好得到函数 g(x)=-cos 2x-√3sin 2x 的图象,则 φ 的值可以为 ( ) π π A. B.
6 3

C.

2π 3

D.

5π 6 π 6

3.A 【解析】 因为 f(x)=cos 2x-√3sin 2 = ?2sin ?cos 2 ? √3sin 2 = ? 2sin 2 + ?2sin 2?2sin 2
π 6 π 6

π 26

, () =

, 所以将( ) =
π 6

向左平移 , 即得 () = ?2sin 2 + .

?

π + 6

π 6

=

π 4.如图所示为函数 f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0, ≤φ≤π)的部分图象,其中 A,B 两点之间的距 2

离为 5,那么 f(-1)=

.

4.2 【解析】 ∵函数图象经过点(0,1),∴f(0)=2sin φ=1,可得 sin φ= , 又 ∵ ≤ ≤ π, ∴ =
5π .∵ 6

1 2

π 2

, 两点的纵坐标分别为 2, ?2, 设, 的横坐标之差为, 则|| =


2 + (-2-2)2 = 5, 解得 = 3, 由此可得函数的周期 = 6, 得 函数( )的解析式为() = 2sin 2sin =2.
π 2 π 3 5π + 6

= 6, 解得 = , ∴
π 5π - + 3 6

π 3

, 可得(?1) = 2sin

=

考点 1 函数 y=Asin( ωx+φ)的图象与变换
典例 1 (2015· 湖北黄石二中模拟) 将函数 y=f(x)的图象向左平移 π 个单位,再把由所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍得
3

到 y=2sin 3A.2sin C.2sin
3 2 3 2

+
π 6

π 6

π 6

的图象,则 f(x)为(

)

B.2sin 6D.2sin 6

π 3 π + 3

+

【解题思路】利用逆向推理将 y=2sin
1 2

π 36 π 6

所有点横坐标缩短为原来的 倍 , 再将所得图象向右平移 个单位即得函数()的解析式. 将 = 2sin 31 2

π 3 π 6

图象上所有点横坐标缩短为原来的 倍得到 = 2sin 6π 的图象, 再将得到的图象向右平移 个单位, 得到 = 3

2sin 6 ?

π 3

?

π 6

= 2sin 6- -2π = 2sin 6-

π 6

π 6

.

【参考答案】 B

三角函数图象左右平移时的三点注意事项 (1)要分清平移哪个函数的图象,要得到哪个函数的图象,即起始 图形的确定 ; (2)要看平移前后两个图象的函数名称是否一致,若不一致应先利 用诱导公式化为同名函数 ; (3)要看两函数的 ω 的系数关系,由 y=Asin ωx 的图象平移得到 y=Asin(ωx+φ)的图象时 ,需平移的单位是 错之处 .


而不是 |φ|,这也是易

【变式训练】
(2015· 福建泉州五中模拟) 已知 f(x)=cos + 与直线 y=1 的两个交点的最短距离是 π,要得到 y=f(x)的图象,只 需要把 y=sin ωx 的图象 ( ) π A.向左平移 个单位
3 π B.向右平移 个单位 3 π C.向左平移 个单位 6 π D.向右平移 个单位 6 π 6

(ω>0)的图象

A 【解析】f(x)=cos 2, 所以( ) = cos 2 + sin 2 + =sin 2
π 3 2π + 3 π 6

π + 6

( > 0)与直线 =
2π = π, 解得 π sin 2向左平移 得到 = 3

1 的两交点的最短距离即为一个周期, 所以 = , 将 =
π 6

=

= cos 2 +

.

考点 2 函数 y=Asin( ωx+φ)解析式的求解
典例 2 (2015· 湖北高考) 某同学用“五点法”画函数 f(x)=Asin(ωx+φ) > 0,|| <
3 ωx+φ 0 π 2π 2 2 5 x 3 6 Asin(ωx+φ) 0 5 -5 0
π 2

在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:

(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数 f(x)的解析式; (2)将 y=f(x)图象上所有点向左平行移动 θ(θ>0)个单位长度,得到 y=g(x)的图象.若 y=g(x)图象的一个对称中心为
5π ,0 12

,求 θ 的最小值.

【参考答案】(1)根据表中已知数据,解得 A=5,ω=2,φ=- .数据补 全如下表:
3 π 2π 2 2 7 5 13 x π 12 3 12 6 12 Asin(ωx+φ) 0 5 0 -5 0 ωx+φ 0

π 6

且函数表达式为 f(x)=5sin 2π (2)由(1)知 f(x)=5sin 26 π 得 g(x)=5sin 2 + 2- . 6

π 6

.

,

因为 y=sin x 的对称中心为(kπ,0),k∈Z, π 令 2x+2θ- =kπ,
6

解得 x= 令

π π + -θ,k∈Z. 2 12

由于函数 y=g(x)的图象关于点
π π 5π + ? = , 2 12 12 π π 解得 θ= ? ,k∈Z. 2 3

5π ,0 12

成中心对称,

由 θ>0 可知,当 k=1 时,θ

π 取得最小值 . 6

对于解析式的确定主要把握以下三点 (1)把握函数 y=sin x 与 y=Asin(ωx+φ)+k 在图象与性质上的关系 ; (2)利用数形结合思想,从图象中观察得到 A,T 的关系,然后利用图 象中的特殊点相对于五点中的哪点来求出 φ; (3)熟记特殊角的三角函数值,并要会进行逆向思考,注意角的取 值范围 .

【变式训练】
(2015· 信阳调研) 函数 y=Asin(ωx+φ)+k A>0,ω>0,|φ|< ,x∈R 的部分图象如图所示,则该函数表达式为 ( )
π 2

A.y=2sin B.y=2sin C.y=2sin D.y=2sin

π π - +1 3 6 π π 6 3 π π + +1 3 6 π π + +1 6 3

A 【解析】由图可知 解得 = 6, 因此 =


π 3 π 1, 又(2,3)为“五点”中的第二点, 所以令 × 3 π π π ? , 因此 = 2sin - +1. 6 3 6

3-(-1) A= 2

= 2, 所以 =

3 1, 又 4 π 2

=
π 3

13 ? 2, 2

= 6, 解得 = , 故 = 2sin

+ +

2 + = , 解得 =

考点 3 三角函数模型的应用
典例 3 y=3sin (2015· 陕西高考) 如图,某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数
π 6

+ +k.据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为

(

)

A.5

B.6

C.8

D.10

【解题思路】运用函数的最小值求解 k 的值 ,再求解最大值.由图可知函数 f(x)min=-3+k=2,k=5,所以 f(x)max=3+5=8. 【参考答案】 C

三角函数模型在实际应用中的两点注意事项 (1)函数模型已知时,审清题意,根据条件 ,确定相应的参数和自变 量的范围. (2)函数模型不清楚时,按下列步骤进行 :①审题,理出条件和结论 与数学问题哪个联系紧密,找到以角为变量的突破口 ;②建立函 数模型 ,设出三角函数表达式,特别注意自变量的范围 ;③用数学 知识解出上述表达式的解 ;④把解返回到实际中进行检验,看是 否符合实际 ;⑤书写结论,回答问题 .

【变式训练】
如图所示,某地一天从 6 时到 14 时的温度变化曲线近似满足 函数 y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0,0<φ<π). (1)求这段时间的最大温差; (2)写出这段曲线的函数解析式.

【解析】(1)由图可得,这段时间的最大温差是 30-10=20 ℃. (2)图中从 6 时至 14 时的图象是函数 y=Asin(ωx+φ)+b 的半个周 期的图象,
1 2π 则 · =14-6, 2 π 解得 ω= . 8 1 由图可得,A= (30-10)=10, 2 1 b= (30+10)=20. 2 π 这时 y=10sin + +20. 8

将 x=6,y=10 代入上式, 可取 φ= . 综上,所求解析式为 y=10sin
π 8 3π 4

+

3π 4

+20,x∈[6,14].

三角函数图象变换与性质相综合的解答题
典例 (2015· 福建高考) 已知函数 f(x)的图象是由函数 g(x)=cos x 的图象经如下变换得 到:先将 g(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变),再将所得到的图象 π 向右平移 个单位长度. (1)求函数 f(x)的解析式,并求其图象的对称轴方程. (2)已知关于 x 的方程 f(x)+g(x)=m 在[0,2π)内有两个不同的解 α,β,求实数 m 的取值范围.
【解题思路】 由题意得 f(x),列出 f(x)+g(x),化成 asin x+bcos x 的形式 ,构造√ 2 + 2 sin x·
2 +
2

2

+cos x·

2 +
2

,利用和角公式结合三角函数的值域求参数的取值范围.

【参考答案】(1)将 g(x)=cos x 的图象上所有点的纵坐标伸长到 原来的 2 倍(横坐标不变)得到 y=2cos x 的图象, 再将 y=2cos x
π 的图象向右平移 个单位长度后得到 2

y=2cos

π x2

的图象, 故 f(x)=2sin x. π 从而函数 f(x)=2sin x 图象的对称轴方程为 x=kπ+ (k∈Z). 2 (2)f(x)+g(x)=2sin x+cos x 2 1 =√5 sin + cos =√5sin(x+φ), 1 2 其中 sin φ= ,cos φ= .
√5 √5 √5

依题意,sin(x+φ)= 在[0,2π)内有两个不同的解 α,β 当且仅当
√5

√5

√5

<1,故 m 的取值范围是(-√5, √5).

(1)三角函数图象与性质问题首先通过三角恒等变换把函数化为 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)或 y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)形式 ; (2)利用对应 y=sin x 与 y=cos x 函数图象与性质(主要指对称轴、 对称中心、奇偶性、周期性、单调性等)来确定所求函数的相关 问题 ; (3)与交点或零点问题利用数形结合转化为两个图象的交点问题 ; (4)证明恒等式问题通常利用恒等变换公式求解.

【针对训练】
已知向量 a=(m,cos 2x),b=(sin 2x,n),函数 f(x)=a· b,且 y=f(x)的图象过点
2π ,- 2 3 π , √3 12

和点

.

(1)求 m,n 的值; (2)将 y=f(x)的图象向左平移 φ(0<φ<π)个单位后得到函数 y=g(x)的图象,若 y=g(x)图象 上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为 1,求 y=g(x)的单调递增区间.

【解析】(1)由题意知 f(x)=a· b=msin 2x+ncos 2x. 因为 y=f(x)的图象过点 所以
π , √3 12 π π 3 = sin + cos , √ 6 6 4π 4π -2 = sin + cos , 3 3 1
√3



2π ,-2 3

,



√3 = 2 + -2 =

2 1 √3 - - , 2 2

,

解得 m=√3,n=1.

(2)由(1)知 f(x)=√3sin 2 + cos 2 = 2sin 2 + 由题意知 g(x)=f(x+φ)=2sin 2x+2φ+
π 6

π 6

,

.

设 y=g(x)的图象上符合题意的最高点为(x0,2), 2 由题意知0 +1=1, 所以 x0=0, 即到点(0,3)的距离为 1 的最高点为(0,2). 将其代入 y=g(x), 得 sin 2φ+
6 π 6

=1.

因为 0<φ<π , π 所以 φ= , 因此 g(x)=2sin 2x+
2 π 2

=2cos 2x.

由 2kπ-π≤2x≤2kπ,k∈Z, π 得 kπ- ≤x≤kπ,k∈Z, 所以函数 y=g(x)的单调递增区间为 kπ- ,kπ ,k∈Z.
π 2


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