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抽象函数专题1


抽象函数专题

类型一、一次函数模型(形如 f ( x) ? kx ? b ) 1.已知函数 f(x)对于任意 a,b∈R,总有 f(a+b)= f(a)+ f(b)﹣1, 并且当 x>0 时,f(x)>1. (1)求证:f(x)在 R 上是增函数; (2)若 f(4)=5,解不等式 f(3m2-m-2)<3. (3)若关于 x 的不等式 f(nx-2)+f(x-x2)<2 恒成立, 求实数 n 的取值范围.

【同步训练 1】.已知函数 f(x)对于任意 x,y∈R, 总有 f(x)+f(y)=f(x+y),且当 x>0 时,f(x)<0, f(1)=﹣1。 (1)求证:f(x)在 R 上是减函数; (2)求 f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值。

类型二、指数函数模型(形如 f ( x) ? a x ) 2. 设 f ( x) 是定义在 R 上的函数,对 m 、 n ? R 恒有 f (m ? n) ? f (m) ? f (n) ,且当 x ? 0 时, 0 ? f ( x) ? 1。 (1)求: f (0) ; (2)证明: x ? R 时恒有 f ( x) ? 0 ; (3)求证: f ( x) 在 R 上是减函数; (4)若 f ( x) ? f (2x ? x 2 ) ? 1 ,求 x 的范围。

【同步训练 2】1、已知函数 f ( x) 是定义域为 R ,对任意
f ( y)

f ( x) x , y ? f ( x ? y ) 成立,且当 x ? 0 时, f ( x) ? 1 , 实数 ,都有:

则不等式 f (log2 x) ? 1 的解集是___________.

2、.已知函数 f ( x) 的定义域为 R,并满足以下条件: ①对任意 x ? R ,有 f ( x) >0; ②对任意 x, y ? R ,有 f ( xy) ? [ f ( x)] ;③
y

1 f ( ) ? 1. 3

(1)求 f (0) 的值; (2)求证: f ( x) 在 R 上是单调增函数;

类型三、对数函数模型(形如 f ( x) ? loga x, a ? 0, a ? 1) 3. 函数 f ( x) 对于 x>0 有意义,且满足条件
f (2) ? 1, f ( xy) ? f ( x) ? f ( y), 当 x ? 1时,f ( x) ? 0 。

(1)求 f (1) ; (2)判定 f ( x) 在 (0, ??) 上的单调性,并给出证明; (3)若 f ( x) ? f ( x ? 3) ? 2 成立,求 x 的取值范围。

【同步训练 3】已知定义在区间(0,+∞)上的函数 ?x ? ? 1? f(x)满足 f?x ?=f(x1)-f(x2),且当 x>1 时,f(x)<0. ? 2? (1)求 f(1)的值; (2)判断 f(x)的单调性,并给予证明; (3)若 f(3)=-1,求 f(x)在[2,9]上的最小值. (4)若 f(6) = -1,解不等式 f( x+3 )- f(2) <2 .

类型四、幂函数模型(形如 f ( x) ? xa ) 4.已知函数 f ( x) 的定义域为 R,并满足以下条件: ①当 0 ? x ? 1 时,有 0 ? ③ f (?1) ? 1, f (27) ? 9 . (1)判定 f ( x) 的奇偶性,并给出证明; (2) 判定 f ( x) 在 [0, ??) 上的单调性,并给出证明;
f ( x) ? 1 ;

②对任意 x, y ? R ,有 f ( xy) ? f ( x) f ( y) ;

【思考与交流】已知函数 f(x)是定义在[-1,1]上 的奇函数,且 f(1)=1,若 x,y∈[-1,1],x+y≠0, f?x?+f?y? >0. x+y (1)证明:f(x)在[-1,1]上是增函数; 1 (2)解不等式 f(x+2)+ f(1)<0; (3)若 f(x)≤t -2at+1 对所有 x∈[-1,1]且 a∈[-1,1]恒成立,求实数 t 的范围.
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