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5、数列、数学归纳法与极限


一.基础题组 1.已知数列 ?an ? 是首项为 1,公差为 2 的等差数列, Sn (n ? N ? ) 表示数列 ?an ? 的前 n 项和,
则 lim
n ??

Sn ? n2 ? 1



1 ? a ? a 2 ? ??? ? a n ) ? ________. 2.如果函数 f ( x) ? loga x 的图像过点 P ? ? ,1? , lim( n ?? ?2 ?


3.设数列 {an } ,以下说法正确的是(
*

A.若 an 2 =4n , n ? N ,则 {an } 为等比数列
2 B.若 an ? an?2 ? an ?1 , n ? N ,则 {an } 为等比数列
*

C.若 am ? an ? 2m?n , m, n ? N ,则 {an } 为等比数列
*

D.若 an ? an?3 ? an?1 ? an?2 , n ? N ,则 {an } 为等比数列
*

4.等差数列 ?an? 的通项公式为 an ? 2n ? 8 , 下列四个命题. 数列 ?an ? 是递增数列; ?1 :
数列 ?nan? 是递增数列; 数列 ? ?2 : ?3 : 中真命题的是 .

? an ? 2 数列 ?an ?4 : ? 是递增数列.其 ? 是递增数列; ?n?

5.已知数列 {an } 是首项为 a1 ,公差为 d (0 ? d ? 2? ) 的等差数列,若数列 {cos an } 是等比
数列,则其公比为( )

A. 1

B. ?1

C. ?1

D. 2
的数值

na 6.已知等差数列 ?an? (n ? N* ) 的公差为 3 , a1 ? ?1,前 n 项和为 Sn ,则 n lim n ?? Sn
是 .

7.已知首项 a1 ? 3 的无穷等比数列 ?an ? (n ? N * ) 的各项和等于 4, 则这个数列 ?an ? 的公比
是 .

8.

lim

1 ? 3 ? 5 ? ? (2n ? 1) ? n ?? 3n 2 ? 3n ? 1



二.能力题组 1. 定 义 函 数
f ( x) ? { x ? {x}} , 其 中 { x} 表 示 不 小 于 x 的 最 小 整 数 , 如 {1.4} ? 2 ,

{?2.3} ? ?2 .当 x ? (0 , n] ( n ? N * )时,函数 f ( x) 的值域为 An ,记集合 An 中元素的
个数为 an ,则 lim? ?

?1 1 1 ? ??? n ?? a an ? 1 a2

? ? ? ? ________________. ?

2.设函数 y ?

f ( x) 的定义域为 D ,若对于任意 x1 、 x 2 ? D ,当 x1 ? x2 ? 2a 时,恒有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2b , 则 称 点 (a , b) 为 函 数 y ? f ( x) 图 像 的 对 称 中 心 . 研 究 函 数
f ( x) ? x ? sin ? x ? 3 的某一个对称中心,并利用对称中心的上述定义,可得到

? 1 ? ? 2 ? ? 4026? ? 4027? f? ?? f? ? ??? f ? ?? f? ? 的值为……………………( ? 2014? ? 2014? ? 2014? ? 2014?



A. 4027

B. ? 4027

C. 8054

D. ? 8054

3.已知二次函数 f (x) ? x2 ? ax ? a (x ? R) 同时满足:①不等式 f ( x) ≤ 0 的解集有且只有一
个元素;②在定义域内存在 0 ? x1 ? x2 ,使得不等式 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立.设数列 ?an ? 的前

n 项和为 Sn ,且 Sn ? f (n) .规定:各项均不为零的数列 ?bn ? 中,所有满足 bi ? bi ?1 ? 0 的
正整数 i 的个数称为这个数列 ?bn ? 的变号数.若令 bn ? 1 ? 变号数等于 .
a (n? N *) ,则数列 ?bn ? 的 an

4.以 ?0, m? 间的整数 ?m ? 1, m ? N ?为分子,以 m 为分母组成分数集合 A1 ,其所有元素和
为 a1 ;以 0, m 2 间的整数 ?m ? 1, m ? N ?为分子,以 m 为分母组成不属于集合 A1 的分数
2

?

?

集合 A2 ,其所有元素和为 a2 ;……,依次类推以 0, m
n

?

n

?间的整数 ?m ? 1, m ? N ?为分子,

以 m 为分母组成不属于 A 1, A 2 ,??? , A n? 1的 分 数 集 合 An , 其 所 有 元 素 和 为 an ; 则

a1 ? a2 ? ??? ? an =________.

5.设各项均不为零的数列 ?cn ?中,所有满足 ci ? ci ?1 ? 0 的正整数 i 的个数称为这个数列

?cn ?的变号数.已知数列 ?an ?的前 n 项和 Sn ? n 2 ? 4n ? 4 , bn ? 1 ?
数列 ?bn ? 的变号数为 .

4 (n? N *) ,则 an

6. 已 知 定 义 在 ?0,??? 上 的 函 数
则 lim S n ?
n??

f ( x) 满 足 f ( x) ? 3 f ( x ? 2) . 当 x ? ?0,2? 时

f ( x) ? ? x 2 ? 2x .设 f ( x) 在 ?2n ? 2,2n? 上的最大值为 an ,且数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,
. (其中 n ? N * ) ;当 n ? 3k 时, a ? n ,那 n

7.已知数列 ?a ? ,对任意的 k ? N* ,当 n ? 3k 时,
n

an ? a n
3

么该数列中的第 10 个 2 是该数列的第

项.

8.函数 y ?

1 ? ( x ? 2) 2 图像上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列,则以下不可 ..


能 成为公比的数是-------------------- ( . A.

3 2

B.

1 2

C.

3 3

D. 3

三.拔高题组 1.一个三角形数表按如下方式构成(如图:其中项数 n ? 5 ) :第一行是以 4 为首项,4 为
公差的等差数列,从第二行起,每一个数是其肩上两个数的和,例如:

f ? 2,1? ? f ?1,1? ? f ?1,2? ; f ? i, j ? 为数表中第 i 行的第 j 个数.
(1) 求第 2 行和第 3 行的通项公式 f ? 2, j ? 和 f ?3, j ? ; (2) 证明:数表中除最后 2 行外每一行的数都依次成等差数列,并求 f ? i,1? 关于 i ( i ? 1, 2,

, n )的表达式;

(3)若 f ?i,1? ? ?i ?1?? ai ?1? , bi ?

1 ,试求一个等比数列 g ? i ?? i ? 1, 2, ai ai ?1

, n? ,使

得 S n ? b1 g ?1? ? b2 g ? 2 ? ? 当 n ? ? 时,都有 Sn ? m .

? bn g ? n ? ?

1 ? 1 1? ,且对于任意的 m ? ? , ? ,均存在实数 ? ?, 3 ? 4 3?

f ?1,1?

f ?1, 2 ? f ? 3,1?

f ?1, n ? 1? f ? 3, n ? 2 ?

f ?1, n ?

f ? 2,1?

f ? 2, 2 ?

f ? 2, n ? 1?

f ? n,1?

2.设数列 {an} ,{bn} ,{cn} ,已知 a1 ? 4 , b1 ? 3 , c1 ? 5 , an ?1 ? an , bn ?1 ?
cn ?1 ? an ? bn * (n?N ) . 2

an ? cn , 2

(1)求数列 {cn ? bn } 的通项公式; (2)求证:对任意 n ? N , bn ? cn 为定值;
*

(3)设 Sn 为数列 {cn } 的前 n 项和,若对任意 n ? N ,都有 p ? (Sn ? 4n) ?[1 , 3] ,求
*

实数 p 的取值范围.

3.平面直角坐标系 xoy 中,已知点 (n, an ) (n ? N *) 在函数 y ? a x (a ≥ 2, a ? N ) 的图像上,点
(n, bn ) (n ? N *) 在直线 y ? (a ? 1) x ? b (b ? R) 上.

(1)若点 (1, a1 ) 与点 (1, b1 ) 重合,且 a2 ? b2 ,求数列 ?bn ? 的通项公式; (2)证明:当 a ? 2 时,数列 ?an ? 中任意三项都不能构成等差数列; (3)当 b ? 1 时,记 A ? x | x ? an , n ? N ? , B ? x | x ? bn , n ? N ? ,设 C ? A B ,将集合 C 的元素按从小到大的顺序排列组成数列 ?cn ? ,写出数列 ?cn ? 的通项公式 c n .

?

?

?

?

4.某市 2013 年发放汽车牌照 12 万张, 其中燃油型汽车牌照 10 万张, 电动型汽车 2 万张. 为
了节能减排和控制总量,从 2013 年开始,每年电动型汽车牌照按 50%增长,而燃油型汽车 牌照每一年比上一年减少 0.5 万张,同时规定一旦某年发放的牌照超过 15 万张,以后每一 年发放的电动车 的牌照的数量维持在这一年的水平不变. ...

(1)记 2013 年为第一年,每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列 ?an ? ,每年发放的电动 型汽车牌照数为构成数列 ?bn ? ,完成下列表格,并写出这两个数列的通项公式; (2)从 2013 年算起,累计各年发放的牌照数,哪一年开始超过 200 万张?

a1 ? 10 b1 ? 2

a2 ? 9.5

a3 ? b3 ?

a4 ? b4 ?

………… …………

b2 ? 3

5.已知数列 ?an ?满足 a1 ? 1, a2n ? a2n?1 ? (?1) n , a2n?1 ? a2n ? 3n ( n ? N* ).
(1)求 a3、a5、a7 的值; (2)求 a2 n?1 (用含 n 的式子表示); (3) (理)记数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,求 S n (用含 n 的式子表示).

6.设各项都是正整数的无穷数列 ?an ?满足:对任意 n ? N * ,有 an ? an?1 .记 bn ? aa
(1)若数列 ?an ? 是首项 a1 ? 1 ,公比 q ? 2 的等比数列,求数列 ?bn ? 的通项公式; (2)若 bn ? 3n ,证明: a1 ? 2 ;

n



(3) 若数列 ?an ? 的首项 a1 ? 1 , 记 d n ? ?2 n ? an , ?cn ?是公差为 1 的等差数列. c n ? aa n ?1 ,

Sn ? d1 ? d2 ? ? ? dn ?1 ? dn ,问:使 S n ? n ? 2 n?1 ? 50 成立的最小正整数 n 是否存在?并
说明理由.

7.已知曲线 C 的方程为 y2 ? 4x ,过原点作斜率为1 的直线和曲线 C 相交,另一个交点记
为P 1 ,过 P 1 作斜率为 2 的直线与曲线 C 相交,另一个交点记为 P 2 ,过 P 2 作斜率为 4 的直

线与曲线 C 相交,另一个交点记为 P3 ,……,如此下去,一般地,过点 Pn 作斜率为 2 的直 线与曲线 C 相交,另一个交点记为 Pn ?1 ,设点 Pn ( xn , yn ) ( n ? N ) .
*

n

(1)指出 y1 ,并求 yn ?1 与 yn 的关系式( n ? N ) ;
*

(2)求 ? y2n?1? ( n ? N )的通项公式,并指出点列 P 1,P 3 ,…, P 2 n ?1 ,… 向哪一点无
*

限接近?说明理由; (3)令 an ? y2n?1 ? y2n?1 ,数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,设 bn ?

1 ,求所有可能的乘 3 Sn ? 1 4

积 bi ? bj (1 ? i ? j ? n) 的和.


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