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北京市昌平区2018届高三上学期期末考试数学(文科)试题+Word版含答案


昌平区 2017-2018 学年第一学期高三年级期末质量抽测 数学试卷(文科)
本试卷共 5 页,共 150 分. 考试时长 120 分钟. 考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上 作答无效.

第一部分(选择题 共 40 分)
一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要 求的一项. 1. 若集合 A ? {x | ?2 ? x ? 1} , B ? {x | x( x ? 3) ? 0} ,则 A ? B ? A. {x | x ? 1或x ? 3} C. {x | ? 2 ? x ? 0或x ? 3} B. {x | ? 2 ? x ? 1} D. {x | ?2 ? x ? 0}

2. |

1+ i |? i
B.

A. ? 2

2

C. ?1

D. 1

? x ? y ? 1, ? 3. 若 x, y 满足 ? x ? y ? 1, 则 x ? 2 y 的最大值为 ? x ? 0, ?

A.4

B. 2

C. 1

D. ?2

4.已知 a , b 是实数,则“ a ? 0 ,且 b ? 0 ”是“ ab(a ? b) ? 0 ”的 A.充分而不必要条件 C. 充分必要条件 B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

5. 直线 y ? kx ? 2 被圆 x2 ? y 2 ? 4 y ? 0 所截得的弦长是 A.2 B. 4 C. 2 6 D. 6

-1-

6. 某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积为
2

A. 2 C. 4

B. 3 D. 6

2 主视图

1 1 左视图

俯视图

7. 《九章算术》中有如下问题: “今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何?”则可
求得该女子第 2 天所织布的尺数为 A.

40 31

B.

20 31

C.

10 31

D.

5 31

(-2,0) (2,0) 8. 已知点 A ,B ,P 是直线 y ? x ? 4 上任意一点,以 A,B 为焦点 (x0 ,y0)
的椭圆过点 P ,记椭圆离心率 e 关于 x0 的函数为 e( x0 ) ,那么下列结论正确的是 A. e 与 x0 一一对应 C.函数 e( x0 ) 无最小值,有最大值 B. 函数 e( x0 ) 是增函数 D. 函数 e( x0 ) 有最小值,无最大值

第二部分(非选择题
二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.

共 110 分)

9. 某校高一(1)班有学生 36 人,高一(2)班有学生 42 人,现在要用分层抽样的方法从 两个班抽出 13 人参加军训表演,则高一(2)班被抽出的人数是
开始

.

10. 执行如图所示的程序框图, 输出的 S 值为 .
S ? 1, n ? 18

n?0




S ? S ?n n ? n?6
输出 S 结束

-2-

11. 已知函数 f ( x ) ? sin x cos x ,那么 f ( x ) 的最小正周期是



12. 已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的左焦点为抛物线 y 2 ? ?12 x 的焦点,双曲线的渐近 a 2 b2

线方程为 y ? ? 2 x ,则实数 a ?

.

uur uuu r AB ? AC ? 1 ,点 E 是 AB 边上的动点, 13.已知 Rt?ABC , 则 CE ? AC 的值为
的最大值为 .

uur uur ; CE ? CB

?? x ? 4, x ? 3, 14.若函数 f ( x) ? ? ( a ? 0 且 a ? 1) ,函数 g ( x) ? f ( x) ? k . log x , x ? 3 ? a
① 若a ?

1 ,函数 g ( x) 无零点,则实数 k 的取值范围是 3




② 若 f ( x) 有最小值,则实数 a 的取值范围是

三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分 13 分) 已知等差数列 { an } 的公差 d 为 1,且 a1 , a3 , a4 成等比数列. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设数列 bn ? 2
an ?5

?n



求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn .

16. (本小题满分 13 分) 在 ?ABC 中, 3a sin C ? c cos A . (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 S?ABC ? 3 , b ? c ? 2 ? 2 3 ,求 a 的值.

17. (本小题满分 13 分)
-3-

随着“中华好诗词”节目的播出,掀起了全民诵读传统诗词经典的热潮.某大学社团为调 查大学生对于“中华诗词”的喜好,在该校随机抽取了 40 名学生,记录他们每天学习“中华 诗词”的时间,并整理得到如下频率分布直方图:
频率/组距

6m 5m 4m 3m 2m m
O

10

20

30

40

50

60

分钟/天

根据学生每天学习“中华诗词”的时间,可以将学生对于“中华诗词”的喜好程度分为 三个等级 : 学习时间 t (分钟/天) 等级
t ? 20 20 ? t ? 50 t ? 50

一般

爱好

痴迷

(Ⅰ) 求 m 的值; (Ⅱ) 从该大学的学生中随机选出一人,试估计其“爱好”中华诗词的概率; (Ⅲ) 假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替,试估计样本中 40 名学生每人 每天学习“中华诗词”的时间.

18.(本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是菱形,∠ABC=60° , ?PAB 为正三角形, 且侧面 PAB⊥底面 ABCD. E,M 分别为线段 AB,PD 的中点.
P M

(I)求证:PE⊥平面 ABCD; (II)求证:PB//平面 ACM; (III)在棱 CD 上是否存在点 G, 使平面 GAM⊥平面 ABCD,请说明理由.
B

A E C

D

19.(本小题满分 14 分)

-4-

已知椭圆 C: 距离为
3 . 2

x2 2 2 ? y 2 ? 1(a ? 1) , A (a, 0), B (0,1) ,圆 O : x ? y ? 1 的圆心到直线 AB 的 a2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若直线 l 与圆 O 相切,且与椭圆 C 相交于 P, Q 两点,求 PQ 的最大值.

20.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? e x ( x 2 ? 2) , g ( x ) ? x . e (Ⅰ)求曲线 y = f ( x ) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在区间 [?2, 0] 上的最大值和最小值.

昌平区 2017-2018 学年第一学期高三年级期末质量抽测
-5-

数学试卷(文科)参考答案 一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.)
题号 答案 1 D 2 B 3 B 4 D 5 B 6 A 7 C 8 C

二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.) 9. 7 12. 10. 37 11. π ;
2

3

13.

?1

14.

[?1,1) ; (1 , 3]

三、解答题(共 6 小题,共 80 分.) 15.(共 13 分) 解: (Ⅰ)在等差数列 { an } 中,因为 a1 , a3 , a4 成等比数列, 所以 a32 ? a1a4 , 即 (a1 +2d )2 ? a12 ? 3a1d ,
2 解得 a1d ? 4d ? 0 .

因为 d ? 1, 所以 a1 ? ? 4, 所以数列 ?an ? 的通项公式 an ? n ? 5 . (Ⅱ)由(Ⅰ)知 an ? n ? 5 , 所以 bn ? 2
an ?5

?????6 分

? n ? 2n ? n . 得

Sn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ? (2 ? 22 ? 23 ? ? ? 2n ) ? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) 2(1 ? 2n ) n(1 ? n) ? 1? 2 2 n(n ? 1) ? 2n?1 ? ?2 2 =
?????13 分 16. (共 13 分)

-6-

解: (I)因为 3a sin C ? c cos A ,所以 cos A ? 0 , 由正弦定理

a b c ? ? , sin A sin B sin C

得 3 sin A ? sin C ? sin C ? cos A . 又因为 C ? (0, ?) , sin C ? 0 , 所以 tan A ?

3 . 3

又因为 A ? (0, ?) , 所以 A ? (II)由 S ?ABC

? . ????? 6 分 6 1 1 ? bc sin A ? bc ? 3 ,得 bc ? 4 3 , 2 4

由余弦定理 a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ,
2 2 2 得 a ? b ? c ? 2bc cos

? , 6

即 a2 ? (b ? c)2 ? 2bc ? 3bc ? (b ? c)2 ? 8 3 ?12 , 因为 b ? c ? 2 ? 2 3 , 解得 a ? 4 .
2

因为 a ? 0 , 所以 a ? 2 . 17. (共 13 分)

?????13 分

解:(Ⅰ) 由图知, (m ? 2m ? 3m ? 4m ? 2 ? 6m) ? 10 ? 1 ,得 m ? 0.005 .
(0.030 ? 0.020 ? 0.015) ? 10 ? 65% ,

??3 分

(Ⅱ) 由 图 知 , 该 大 学 随 机 选 取 的 40 名 学 生 中 , “爱好”中华诗词的频率为

所以从该大学中随机选出一人, “爱好”中华诗词的概率为 0.65 . ?????6 分 (Ⅲ) 由该大学学习“中华诗词”时间的频率分布直方图及题意,得该大学选取的 40 名学 生学习“中华诗词”时间的数据分组与频率分布表: 组号 分组 频率 由题意可得, 1
[0 , 10]
0.1

2
(10 , 20]
0.2

3
(20 , 30]
0.3

4
(30 , 40]
0.2

5
(40 , 50]
0.15

6
(50 , 60]
0.05

-7-

10 ? 0.1 ? 20 ? 0.2 ? 30 ? 0.3 ? 40 ? 0.2 ? 50 ? 0.15 ? 60 ? 0.05 ? 32.5 (分钟)

故估计样本中 40 名学生每人每天学习“中华诗词”的时间为 32.5 分钟. ???13 分 18. (共 14 分) (I)证明:因为 ?PAB 为正三角形,E 为 AB 的中点, 所以 PE⊥AB, 又因为面 PAB⊥面 ABCD,面 PAB∩面 ABCD=AB, PE ? 平面 PAB. 所以 PE⊥平面 ABCD. (II)证明:连接 BD 交 AC 于 H 点,连接 MH, 因为四边形 ABCD 是菱形, 所以点 H 为 BD 的中点. 又因为 M 为 PD 的中点, 所以 MH // BP. 又因为 BP ? 平面 ACM, MH ? 平面 ACM. 所以 PB // 平面 ACM. ?????8 分
B A E H C D

????? 4 分

P M

(III)在棱 CD 上存在点 G,G 为 CD 的中点时,平面 GAM⊥平面 ABCD.?? 9 分 证明: (法一)连接 EC . 由(Ⅰ)得,PE⊥平面 ABCD, 所以 PE⊥CD, 因为 ABCD 是菱形,∠ ABC=60° ,E 为 AB 的中点, 所以 ?ABC 是正三角形,EC⊥AB . 因为 CD // AB, 所以 EC⊥CD. 因为 PE∩EC=E, 所以 CD⊥平面 PEC, 所以 CD⊥PC. 因为 M,G 分别为 PD,CD 的中点, 所以 MG//PC, 所以 CD⊥MG. 因为 ABCD 是菱形,∠ADC=60° , 所以 ?ADC 是正三角形. 又因为 G 为 CD 的中点, 所以 CD⊥AG, 因为 MG∩AG=G, 所以 CD⊥平面 MAG, 因为 CD ? 平面 ABCD,
-8P M

A E B C G

D

所以平面 MAG⊥平面 ABCD.

?????14 分

(法二) :连接 ED,AG 交于点 O. 连接 EG, MO. 因为 E,G 分别为 AB,CD 边的中点. 所以 AE / / DG 且 AE ? DG , 即四边形 AEGD 为平行四边形, O 为 ED 的中点. 又因为 M 为 PD 的中点, 所以 MO / / PE . 由(I)知 PE⊥平面 ABCD. 所以 MO ⊥平面 ABCD. 又因为 MO ? 平面 GAM, 所以 平面 GAM⊥平面 ABCD ?????14 分
B A E
O

P M

D G C

19. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)由已知得,直线 AB 的方程为:

x ? y ? 1,即:x ? ay ? a ? 0 . a
a 1? a
2

由 a ? 1 , 得点 O 到直线 AB 的距离为:

?

3 , 解得 a ? 3 2

故椭圆 C 的方程为

x2 ? y2 ? 1 . 3

?????5 分

(Ⅱ)①当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 的方程为 x ? ?1 , 代入

x2 6 2 6 ? y 2 ? 1 ,得 y ? ? ,此时 PQ ? . 3 3 3

②当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? kx ? m , 因为直线 l 与圆 O 相切,所以

|m| 1? k2

? 1, 即 m2 ? 1 ? k 2

? x2 2 ? ? y ?1 由? 3 ,消去 y ,整理得 (1 ? 3k 2 ) x2 ? 6kmx ? 3(m2 ? 1) ? 0 ? y ? kx ? m ?
2 2 2 2 2 2 2 所以 ? ? 36k m ? 12(1 ? 3k )(m ? 1) ? 12(1 ? 3k ? m ) ? 24k ,

由 ? ? 0, 得 k ? 0 , 设点 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ?

6km 3( m 2 ? 1) , x x ? , 1 2 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2

-9-

(1 ? k 2 ) ? 2k 2 24k 2 所以 |PQ |= ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? 1 ? k 2 ? =2 3 ? 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2

(1 ? k 2 ) ? 2k 2 2 ? 2 3? ? 3, 1 ? 3k 2
当且仅当 1 ? k 2 ? 2k 2 , 即 k ? ?1 时, | PQ | 有最大值为 3 . 综上所述, | PQ | 的最大值为 3 . ????? 14 分

20.(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ) f ?( x) ? ex ( x2 ? 2x ? 2) , f ?(0) ? 2 , 又 f (0) ? 2 . 故曲线 y = f ( x ) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 y ? 2 x ? 2 (Ⅱ) h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? e x ( x 2 ? 2) ? x e 设
p ( x) ? h?( x) ? e x ( x 2 ? 2 x ? 2) ? 1 e,

. ????? 4 分

x 2 x 2 则 p?( x) ? e ( x ? 4x ? 4)=e ( x ? 2) ? 0 ,

则 p(x)在区间 [?2, 0] 上单调递增,又 p(?1) ? 0 , 当 x ? [?2, ?1] 时, p( x) ? h?( x) ? 0 ; 当 x ? [?1, 0] 时, p( x) ? h?( x) ? 0 . 所以函数 h( x) 在区间 [?2, ?1] 上单调递减,在区间 [?1, 0] 上单调递增, 又因为 所以 .

h(?2) ?

h( x) min

6 ? 2e 2e2 ? 2 ? 2 ? h(0) , e2 e 4 ? h(?1) ? , h( x) max ? h(0) ? 2 . e

?????13 分

- 10 -


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