两条直线平行与垂直的判定
复习
倾斜角 斜率
经过 P1 (x1 , y 1 ) , P2 (x 2 , y 2 ) 的直线斜率公式
y 2 ? y1 k? (x1 ? x 2 ) x 2 ? x1
平面上两条直线位置关系
y
o
x 有平行,相交两种
如果两条直线互相平行,它们的倾斜 角满足什么关系? 它们的斜率呢? y
L1 L2
o
x
前提:两条直线不重合 → ? 直线倾斜角相等 L1// L2← L1// L2 ← ? k1=k2
或k1,k2都不存在 两条直线平行,它们的斜率相等吗?
前提:两条直线不重合,斜率都存在
L1// L2? k1=k2
结论1: 如果直线L1,L2的斜率为k1,k2. 那么 L1∥L2 ? k1=k2
注意:上面的等价是在两直线斜率存在的前提下才成立的, 缺少这个前提,结论并不存立.
特殊情况下的两直线平行: 两直线的倾斜角都为90°,互相平行.
Y
O
X
例题:
已知( A 2,3),B(-4,0),P(-3,1), Q(-1,2),试判断直线BA与PQ的位置关系, 并证明你的结论.
y
Q P
B
0
A
x
练习:已知四边形ABCD的四个顶点分别为
A (0,0),B(2,-1),C(4,2),D(2,3), 试判断四边形ABCD的形状,并给出证明.
y
D C
O
A B
x
当L1// L2时,有k1=k2。 L1⊥ L2时,
k1与k2满足什么关系?
y
?
1
?
2
x
(1)? 1 ? 45
0
0
(2)? ? 30
1
0
(3)?
2
? 2 ? 135
? ? 120
2
0
k 1 ?1 k 2 ? ?1
Y
3 k1 ? 3 k2 ? ? 3
Y
? ? 150
1
? 60
0
0
k k
2X
1
3 ?? 2 3
Y
? 3
?
1
?
2
X
?
1
?
?
1
?
2
X
(1)
0
(2)
(3)
? 2 ? ?1 ? 90 , k1k2 ? ?1
当L1// L2时,有k1=k2。 L1⊥ L2时,
k1与k2满足什么关系?
y
?
1
?
2
x
→ L1 ⊥ L2 ←
K1k2= -1
或直线L1 与 L2中有 一条斜率为零,另一条 斜率不存在
两条直线垂直,一定是它们的斜率 乘积为-1这种情况吗?
前提条件: 两条直线都有斜率,并且都
不等于零.
L1⊥ L2? k1k2= -1
结论2: 如果两直线的斜率为k1, k2,那么,这两条直线垂直 的充要条件是k1·k2= -1 注意:上面的等价是在两直线斜率存在的前提下才成立的, 缺少这个前提,结论并不存立. 特殊情况下的两直线平行与垂直. 当两条直线中有一条直线没有斜率时:
l1 ? l2 ? k1 ? k2 ? ?1或l1 , l2一斜率不存在另一斜率 为0
Y
O
X
练习:
已知( A -6,0),B(3,6),P(0,3), Q(6,6),试判断直线BA与PQ的位置关系.
解:直线AB的斜率k AB
2 ? , 3
3 直线PQ的斜率k PQ ? ? . 2 2 3 由于k AB k PQ ? ? (? ) ? ?1 3 2 所以直线AB ? PQ.
练习
试确定m的值,使过点( A m,1),B(-1,m)的直线 与过点P(1,2),Q(-5,0)的直线 (1)平行 (2)垂直
练习
已知( A 1,-1),B(2,2),C(3,0), 三点,求点D,使直线CD ? AB,且CB //AD.
学完一节课或一个内容,
应当及时小结,梳理知识
一、知识内容上
L1// L2? k1=k2 (前提:两条直线不重合,斜率都
存在) L1⊥ L2? k1k2= -1 (前提:两条直线都有斜率, 并且都不等于零.)
二、思想方法上
(1)运用代数方法研究几何性质及其相互位置关系 (2)数形结合的思想
练习:
已知( A -6,0),B(3,6),P(0,3),Q(m,6), 直线BA与直线PQ垂直,请确定Q点的坐标.
已知( A -6,0),B(3,6),P(0,3),Q(6,n) (或Q(m,6))直线BA与直线PQ垂直,请确定Q点的坐标.
练习:
已知( A -6,0),B(3,6),P(m,3),Q(6,6), 直线BA与直线PQ垂直,请确定P点的坐标.
已知( A -6,0),B(3,6),P(m,3)(或P(0,n)), Q(6,6),直线BA与直线PQ垂直,请确定P点的坐标.