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自主招生数学试题及答案(7) 一、仔细选一选(本题有 10 个小题,每小题 3 分,共 30 分) 1.下列计算中,结果正确的是( ) A. ( a 2 ) 3 ? a 5 B. 2 0 ? 1 ? ?1 C.

A.

1 2

B.

1 3
)个

C.

3 4

D.

3 8

7.下列说法错误 的有( ..
4

1 2 ? 2 2

①无理数包括正无理数、零、负无理数; ② 3.0 ? 10 精确到千位,有 2 个有效数字 ③命题“若 x2= 1,则 x =1”的逆命题是真命题;④若等腰三角形一腰上的高 等于腰长的一半,则此等腰三角形的底角为 30°和 60°;⑤若两数和为 ? 6 , 两数积为 ? 1 ,则以这两数为根的一元二次方程的一次项系数为 6. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8.如图,一张半径为 1 的圆形纸片在边长为 4 的正方形 内任意移动,则在该正方形内,这张圆形纸片“能接触到 的部分”的面积是( ) A. 4 ? ? B.

D. a 6 ? a 2 ? a 3 2.如图,在 4× 4 的正方形网格中,cosα=( A.

) D.

1 2

B.2

C.

2 5 5

5 5

3. 如图,⊙ O 的弦 AB=8,M 是 AB 的中点, 且 OM=3,则⊙ O 的直径等于( ) A.8 B. 2 C. 10 D. 5 4.若 a 、 b 均为正整数,且 a ? 7 , b ? 3 2 则 a ? b 的最小值 是( ...

(第 3 题图)

)

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5.如图,下列四个几何体中,其各自的主视图、左视图、俯视图中有两个 相同,而另一个不同的是( )

?

C. 12 ? ?

D. 15 ?

? 4

(第 8 题图)

9.边长为 1 的正方形 OABC 的顶点 A 在 x 正半轴上,点 C 在 y 正半轴上, 将正方形 OABC 绕顶点 O 顺时针旋转 75°,如图所示,使点 B 恰好落 在函数 y ? ax2 (a ? 0) 的图像上, 则 a 的值为( A. ? 2 B. ? 1 C. ? )
-1 0 O C 1
J'

3 2 4

D. ?

2 3

2 B

① 正方体 ② 球 ③ 圆锥 ④ 圆柱 A.① ② B.② ③ C.② ④ D.③ ④ 6.杭州市某公交站每天 6:30~7:30 开往某学校的三辆班车票价相同,但车的舒 适程度不同.学生小杰先观察后上车,当第一辆车开来时,他不上车,而是仔 细观察车的舒适状况,若第二辆车的状况比第一辆车好,他就上第二辆车;若 第二辆车不如第一辆车,他就上第三辆车.若按这三辆车的舒适程度分为优、 中、差三等,则小杰坐上优等车的概率是( )

10.已知在⊿ABC 中,∠BAC=90°,M 是边 BC 的中 点,BC 的 延长线上的点 N 满足 AM⊥AN. ⊿ABC 的内切圆与 边 AB、AC 的切点分别为 E、F,延长 EF 分别与 AN、BC 的延长线交于 P、Q,则 A. 1 B.

A

(第 9 题图)

PN =( QN

)

0 .5

C. 2

D. 1.5
(第 14 题图 )

二、认真填一填(本题有 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分) 11.分解因式: 2 x 2 ? 8 = .

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12.甲乙两台机床生产同一种零件,并且每天产量相等,在 6 天众每天生产零件中 的次品数依次是:甲:3、0、0、2、0、1、 ;乙:1、0、2、1、0、2.则甲、 乙两台机床中性能较稳定的是 . 13.若二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 图像的最低点的坐标为 (1,?1) ,则关于 x 的一元二次方程 ax ? bx ? c ? ?1的根为
2

18.(本题满分 8 分)如图,已知直线 y1 ? ?2 x 经过点 P( ?2 , a ) ,点 P 关于 y 轴 的对称点 P′在反比例函数 y2 ?

k ( k ? 0 )的图象上. x

(1)求点 P′的坐标; (2)求反比例函数的解析式,并说明反比例函数的增减性; (3)直接写出当 y2<2 时自变量 x 的取值范围.



14.如图,矩形 ABCD 中,由 8 个面积均为 1 的小正方形组成的 L 型 模板如图放置,则矩形 ABCD 的周长为 _. 15.长为 1,宽为 a 的矩形纸片(

1 ? a ?1) , 2
(第 18 题图)

如图那样折一下,剪下一个边长等于矩形宽度 的正方形(称为第一次操作) ;再把剩下的矩形 如图那样折一下,剪下一个边长等于此时矩形 宽度的正方形(称为第二次操作) ;如此反复操 作下去.若在第 n 此操作后,剩下的矩形为正 方形,则操作终止.当 n=3 时,a 的值为______.

(第 15 题图)

19.(本题满分 10 分)一次测试九年级若干名学生 1 分钟跳绳次数的频数分布直方 图如图.请根据这个直方图回答下面的问 题: (1) 在频数分布直方图上画出频数分布 折线图,并求自左至右最后一组的频率; (2) 若图中自左至右各组的跳绳平均次数 分别为 137 次,146 次,156 次,164 次,177 次. 小丽按以下方法计算参加测试学生跳绳次数 的平均数是: (137+146+156+164+177)÷5=156. 请你判断小丽的算式是否正确, 若不正确, 写出正确的算式 (只列式不计算) ; (3)如果测试所得数据的中位数是 160 次,那么测试次数为 160 次的学生至少 有多少人?
第 2 页 共 2 页
0

16. 若 D 是等边三角形 ABC 的内心, 点 E, F 分别在 AC、 BC 上, 且满足 CD= 3 ,

九年级若干名学生 1 分钟跳绳次数 频数分布直方图

?DEF ? 60? ,记⊿DEF 的周长为 C,则 C 的取值范围是
三、 全面答一答(本题有 7 个小题,共 66 分)

_.

频 数 ( 人 )
4 6 8

20

12

3x x 2x ? ) ,其中 x= 3 -4. 17.(本题满分 6 分)先化简,再求值: ÷( 2 4?x x?2 x?2

135 145 155 165 175 跳绳次数(次)

(第 19 题图)

20. (本题满分 10 分)由于受到手机更新换代的影响, 某手机店经销的 Iphone4 手机 二月售价比一月每台降价 500 元.如果卖出相同数量的 Iphone4 手机,那么一月 销售额为 9 万元,二月销售额只有 8 万元. (1)一月 Iphone4 手机每台售价为多少元? (2)为了提高利润,该店计划三月购进 Iphone4s 手机销售,已知 Iphone4 每台 进价为 3500 元,Iphone4s 每台进价为 4000 元,预计用不多于 7.6 万元且不少 于 7.4 万元的资金购进这两种手机共 20 台,请问有几种进货方案? (3)该店计划 4 月对 Iphone4 的尾货进行销售,决定在二月售价基础上每售出 一台 Iphone4 手机再返还顾客现金 a 元,而 Iphone4s 按销售价 4400 元销售, 如要使(2)中所有方案获利相同,a 应取何值?

21.(本题满分 10 分)定义 ?a, b, c? 为函数 y ? ax2 ? bx ? c 的“特征数”.如:函 数 y ? x2 ? 2x ? 3 的“特征数”是 ?1, ?2,3? ,函数 y ? 2 x ? 3 的“特征数”是

?0,2,3? ,函数 y ? ? x 的“特征数”是 ?0, ?1,0?
(1)将“特征数”是 ?0,

? ?

3 ? ? ,1? 的函数图象向下平移 2 个单位,得到一个新函数, 3 ? ?


这个新函数的解析式是

(2)在(1)中,平移前后的两个函数分别与 y 轴交于 A、B 两点,与直线 x ? 3 分别交于 D、C 两点,在给出的平面直角坐标系中画出图形,判断以 A、B、C、 D 四点为顶点的四边形形状,并说明理由; (3)若(2)中的四边形与“特征数”是 ?1, ?2b, b ? ? 的函数图象的有交点,
2

? ?

1? 2?

试写出满足条件的实数 b 的一个值.

(第 21 题图)

90

第 3 页 共 3 页

22.(本题满分 10 分) 如图,C 为以 AB 为直径的⊙O 上一点,AD 和过点 C 的切 线互相垂直,垂足为点 D. D (1)求证:AC 平分∠BAD; C (2)过点 O 作线段 AC 的垂线 OE, 垂足为点 E(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法); A B (3)若 CD=4,AC=4 5,求垂线段 OE 的长. O

(第 22 题图)

23.(本题满分 12 分)已知二次函数 y ? x ? 2mx ? 2m (m ? 0) 的图像与 x 轴交
2 2

于 A、B 两点,它的顶点在以 AB 为直径的圆上. (1)证明:A、B 是 x 轴上两个不同的交点; (2)求二次函数的解析式; (3)设以 AB 为直径的圆与 y 轴交于 C,D,求弦 CD 的长.

第 4 页 共 4 页

12 ? 0.24 ??????1 分 50

答 案

(2)不正确??????1 分

C

D

A

B

D

A

C

C

D

A

137 ? 4 ? 146 ? 6 ? 156 ? 8 ? 164 ? 20 ? 177 ? 12 ??????3 分 50
(3)8 人??????3 分 20.解: (1)设今年甲型号手机每台售价为 x 元,由题意得,

自主招生数学试题及答案(7)评分标准
一. 选择题: (本大题 10 个小题,每小题 3 分,共 30 分) 二.填空题: (本大题 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分) 11、 2( x ? 2)( x ? 2) 13、 x1 ? x2 ? 1 15、 12、 乙 14、 4 5 16、 3 ? C ?

90000 80000 ? .解得 x=4000.经检验 x=4000 是方程的解.4000+500=4500 x ? 50 x
故一月 Iphone4 手机每台售价为 4500 元.??????4 分(不检验扣 1 分) (2)设购进 Iphone4 手机 m 台,由题意得,74000≤3500m+4000(20-m)≤76000,

3 3 or 4 5

3? 3 3 2

8≤m≤12.因为 m 只能取整数, 所以 m 取 8、9、10、11、12,共有 5 种进货方案.??????3 分 (3)设总获利 W 元,则 W=(500-a)m+400(20-m) , W=(100-a)m+8000.

三.解答题(本题有 8 小题,共 66 分)

17.解:原式 ? ?

3 1 ???2 分 当 x ? 3 ? 4 时,原式= ? ???2 分 ( x ? 4) 3

所以当 a=100 时, (2)中所有的方案获利相同.??????3 分 21.(1) y ?

18.解: (1) P' (2,4) ??????2 分 (2) y ?

3 x ? 1 ??????2 分 3

8 ??????2 分 x

(2)图??????2 分

在每个象限内,y 随着 x 的增大而减小??????1 分 (3) x ? 0 或 x ? 4 ??????3 分 19.解: (1)画出频数分布折线图??????2 分

第 5 页 共 5 页

AE 2 5 ∴OE= ×CD= ×4= 5即垂线段 OE 的长为 5 AD 8
2 2 2

??????3 分

23. (1)? ? 4m ? 8m ? 12m ? 0 , 所以 A、 B 是 x 轴上两个不同的交点??? 3分 (2) AB ? 2 3 m , 顶点(m,?3m 2 ) , 所以 3 m ? 3m , m ? ?
2

3 ?????? 3

4分

y ? x2 ?
??????4 分

2 3 2 x ? ??????2 分 3 3

(3)因为⊿ABC 为直角三角形,由射影定理得,

2 6 (3) ? ,在这范围内给分??????2 分 ?b? 3? 2 2
22. 解:(1)连接 OC,∵CD 切⊙O 于点 C,∴OC⊥CD;又∵AD⊥CD;∴OC∥AD ∴∠OCA=∠DAC;∵OC=OA;∴∠OCA=∠OAC;∴∠OAC=∠DAC ∴AC 平分∠DAB ??????3 分 (2)解:点 O 作线段 AC 的垂线 OE 如图所示??????2 分 (3)解:在 Rt△ACD 中,CD=4,AC=4 5, ∴AD= AC -CD = (4 5) -4 =8 ??????1 分 1 ∵OE⊥AC,∴AE= AC=2 5 2 ??????2 分
2 2 2 2

OC 2 ? OA ? OB ?

2 2 6 , CD ? 2OC ? . ??????3 分 3 3

∵∠OAE=∠CAD,∠AEO=∠ADC,∴△AEO∽△ADC ∴ OE AE = CD AD
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