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离散数学
Discrete Mathematics
汪荣贵 教授
合肥工业大学软件学院专用课件
2010.03
1

命题逻辑习题课内容
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 命题及其表示法 联结词 命题公式与翻译 真值表与等价表达式 重言式与蕴含式

命题及其表示方法
指出下列命题哪些是命题哪些不是命题, 例 1-1 指出下列命题哪些是命题哪些不是命题 , 如果是命题指出他的真值
a)离散数学是计算机科学系的一门必修课 离散数学是计算机科学系的一门必修课 b)计算机有空吗? 计算机有空吗? 计算机有空吗 c)明天我们去看电影 明天我们去看电影 d)请勿随地吐痰 请勿随地吐痰 e)不存在最大质数 不存在最大质数 f)如果我掌握英语,法语,那么学习其他欧洲语言就容易多了 如果我掌握英语, 如果我掌握英语 法语, g) 9 + 5 ≤ 12 h) x = 3 i)我们要努力学习 我们要努力学习
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命题及其表示方法
解: a)是命题,真值为T 是命题,真值为 是命题 b)不是命题,因为不是陈述句 不是命题, 不是命题 c)是命题,真值根据具体情况确定 是命题, 是命题 d)不是命题,该句是祈使句,不是陈述语气 不是命题, 不是命题 该句是祈使句, e)是命题,真值为T 是命题,真值为 是命题 f)是命题,真值为 是命题, 是命题 真值为T g)是命题,真值为 是命题, 是命题 真值为F h)不是命题,存在未知量 ,不能表达判断 不是命题, 不是命题 存在未知量x, i)不是命题,非陈述语气 不是命题, 不是命题

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联结词
例1-2 P:天下雪 Q:我去镇上 R:我有时间.以 : 我去镇上 :我有时间. 符号形式写出下列命题. 符号形式写出下列命题. a)如果天不下雪和我有时间,那么我去镇上 如果天不下雪和我有时间, 如果天不下雪和我有时间

( P ∧ R ) → Q
Q → R

b) 仅当我有时间 我将去镇上 仅当我有时间, 我将去镇上. c)天不下雪 天不下雪

P

d)天下雪,那么我不去镇上 天下雪, 天下雪

P → Q

联结词
例1-3 将下列命题符号化 (1)辱骂和恐吓决不是战斗 ) (2)除非天气好,否则我是不会去公园的 )除非天气好, (3)如果晚上做完作业且没有其他的事情,他就 )如果晚上做完作业且没有其他的事情, 会去看电视或者听音乐
分析: 分析:命题符号化就是利用合理的命题表达式表达相应的 命题,首先要列出原子命题,然后根据命题的含义, 命题,首先要列出原子命题,然后根据命题的含义, 利用联结词将原子命题连结起来

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联结词
解: (1)设P:辱骂不是战斗 ) : Q:恐吓不是战斗 :

P∨Q

(2)设P:今天天气好.Q:我去公园 ) :今天天气好. :

Q→P

(3)设P:他晚上做完了作业.Q:他晚 ) :他晚上做完了作业. : 上没有其他的事情. : 上没有其他的事情.M:他听音乐

( P ∨ Q) → ( L ∨ M )
7 2010-5-24

联结词
例1-4 用符号形式写出下列命题 a)假如上午不下雨,我去看电影,否则就在 假如上午不下雨, 假如上午不下雨 我去看电影, 家里读书看报 b)我今天进城,除非下雨 我今天进城, 我今天进城 c)仅当你走,我将留下 仅当你走, 仅当你走

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联结词
上午天下雨. 我去看电影 我去看电影. 解:a)P:上午天下雨.Q:我去看电影. 上午天下雨 R:我在家读书.S:我在家看报. 我在家读书. 我在家看报 我在家看报. 我在家读书 命题可以分解为:如果天不下雨,我就去看电影;如果 命题可以分解为: 如果天不下雨, 我就去看电影; 天下雨, 我就在家读书或看报. 天下雨 , 我就在家读书或看报 . 这两个命题显然是与 的关系, 的关系,则:(P → Q ) ∧ ( P → ( R ∨ S )) b)P:我今天进城.Q:天下雨. Q → P 我今天进城. :天下雨. 我今天进城 (可以理解为如果今天不下雨,我就进城 可以理解为如果今天不下雨, 可以理解为如果今天不下雨 我就进城) c)P:你走了.Q:我留下. 你走了. 我留下 我留下. 你走了 可以理解为:如果我留下,你就得走. 可以理解为:如果我留下,你就得走.

Q→P
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联结词
用汉语写出一个句子, 例1-5用汉语写出一个句子,对应下面每一个命题 用汉语写出一个句子 a) Q ( R ∧ P) b) R ∧ Q c) (Q → R ) ∧ ( R → Q ) 解a)设Q:我将去镇上.R:我有时间.P:天下雨 设 :我将去镇上. 我有时间. 天下雨 我有时间 我将去镇山当且仅当 当且仅当(联结词 我有时间和 我将去镇山当且仅当 联结词 )我有时间和(联结 我有时间 联结 下雨. 天 联结词 下雨 词 ∧ )天不(联结词 )下雨. b)设R:我去镇上开会.Q:我去镇上买书 我去镇上开会. 我去镇上买书 设 我去镇上开会 我去镇上开会并 联结词 我去镇上开会并(联结词 ∧ )买书 买书



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联结词
c)设Q:一个数是奇数.R:一个数不能被 整除 设 :一个数是奇数. :一个数不能被2整除 一个数是奇数, 联结词 他不能被2整除 一个数是奇数,则(联结词 → )他不能被 整除并 他不能被 整除并 一个数不能被2整除 且(联结词 ∧ )一个数不能被 整除, 则(联结 联结词 一个数不能被 整除, 联结 他是奇数. 他是奇数 词 →)他是奇数.

联结词
例1-6将下列复合命题分成若干原子命题 将下列复合命题分成若干原子命题 a)天气炎热且正在下雨 天气炎热且正在下雨 b)天气炎热但湿度较低 天气炎热但湿度较低 c)天正在下雨或湿度很高 天正在下雨或湿度很高 d)刘英和李进上山 d)刘英和李进上山 e)老王和小李是革新者 老王和小李是革新者 f)如果你不看电影,我也不看电影 如果你不看电影, 如果你不看电影 g)我既不看电视也不外出,我在睡觉 我既不看电视也不外出, 我既不看电视也不外出 h)控制台打字机既可作输入设备,又可作输出设备 控制台打字机既可作输入设备, 控制台打字机既可作输入设备

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联结词
解: a) P:天气炎热.Q:正在下雨 :天气炎热. :

P∧Q

b) P:天气炎热. R:湿度较低 :天气炎热. 湿度较低

P∧R

c) Q:正在下雨.S:湿度很高 :正在下雨. 湿度很高

Q∨S

d) E:刘英上山.G:李进下山 刘英上山. : 刘英上山

E ∨ G

联结词
老王是革新者. : 解: e) W:老王是革新者.L:小李是革新者 老王是革新者

W ∨L

f) S:你看电影. H:我看电影 :你看电影. 我看电影

S → H

g) P:正在下雨.Q:湿度很高.R:我不睡觉 :正在下雨. 湿度很高. 我不睡觉 湿度很高

P ∧ Q ∧ R

h) P:控制台打字机做输入设备.Q:控制台 控制台打字机做输入设备. : 控制台打字机做输入设备 打字机作输出设备

P∧G

命题公式与翻译
判断下列公式哪些是合式公式, 例1-7 判断下列公式哪些是合式公式,哪些不是 a) (Q → R ∧ S ) b) ( P ( R → S )) c) ((P → Q) → (Q → P ))) d) ( R S → T ) e) (( P → (Q → R)) → (( P → Q)( P → R)))

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命题公式与翻译
非合式公式(若规定运算次序亦可作为合式 解:a)非合式公式 若规定运算次序亦可作为合式 非合式公式 公式) 公式 b)合式公式 合式公式 c)非合式公式 括号不配对 非合式公式(括号不配对 非合式公式 括号不配对) d)非合式公式 非合式公式(RS之间没有关联词 之间没有关联词) 非合式公式 之间没有关联词 e)合式公式 合式公式

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命题公式与翻译
例1-8 说明下列公式是合式公式 a) ( A → ( A ∨ B )) b) ((A ∧ B ) ∧ A) c) d)
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((A → B )( B → A))

(( A → B) ∨ ( B → A))

命题公式与翻译
是合式公式, 是合式公式, 解:a)A是合式公式, A ∨ B ) 是合式公式,则 是合式公式 ( 是合式公式,过程可以简记为: ( A → ( A ∨ B)) 是合式公式,过程可以简记为: A; ( A ∨ B ) ; ( A → ( A ∨ B )) 以下同理 b)A; A ; (A ∧ B) ; ((A ∧ B ) ∧ A) c)A; A ; B; (A → B ) ; ( B → A) ; d)A;B; ( A → B ) ; ( B → A) ; (( A → B) ∨ ( B → A))
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((A → B)( B → A))

命题公式与翻译
试把原子命题表示为P, , , 例1-9 试把原子命题表示为 ,Q,R,然后用符 号译出下列各句子 a)或者你没有写信给我,或者它在途中丢失了 或者你没有写信给我, 或者你没有写信给我 b)如果张三和李四都不去,他就去 如果张三和李四都不去, 如果张三和李四都不去 c)我们不能既划船又跑步 我们不能既划船又跑步 d)如果你来了 , 那么他唱不唱歌将看你是否伴 如果你来了, 如果你来了 奏而定

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命题公式与翻译
你没有给我写信. :信在途中丢失了; 解:a)P:你没有给我写信.R:信在途中丢失了; 你没有给我写信 由于P和 不可能同时成立 不可能同时成立, 由于 和 R不可能同时成立, 故根据语句二者之间的关 系是异或 P ∨ R b) P:张三不去.Q:李四不去.R:他就去 张三不去. 李四不去 李四不去. : 张三不去 命题P和Q是与的关系 是与的关系, R之间有一个条 命题P和Q是与的关系,合式 ( P ∧ Q ) 与R之间有一个条 件的关系,故使用蕴含关系 则:( P ∧ Q ) → R 件的关系, c) P:我们能划船.Q:我们能跑步 我们能划船. 我们能跑步 我们能划船 我们不能划船和跑步, 我们不能划船和跑步,表示不可能两者兼顾 ( P ∧ Q) d) P:你来了.Q:他唱歌.R:你伴奏. 你来了. 他唱歌 他唱歌. 你伴奏 你伴奏. 你来了 由命题可知唱歌与伴奏是当且仅当的等价关系使用 原子命题P与 是蕴含关系, 原子命题 与 Q R 是蕴含关系,则 P → (Q R)
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命题公式与翻译
一个人起初说, 占据空间的, 例1-10 一个人起初说,"占据空间的,有质量的 而且不断变化的叫做物质" 后来他改说, 而且不断变化的叫做物质 " ; 后来他改说 , " 占据空间的有质量的叫做物质, 占据空间的有质量的叫做物质 , 而物质是不断 变化的" 问他前后主张的差异在什么地方, 变化的 " . 问他前后主张的差异在什么地方 , 以命题的形式进行分析. 以命题的形式进行分析.
分析:首先需要将复合命题分解成为若干原子命题, 分析:首先需要将复合命题分解成为若干原子命题,然后 根据各命题的关系写出命题公式, 根据各命题的关系写出命题公式,结合命题公式对它 们之间的差异进行分析

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命题公式与翻译
解: P:它占据空间.R:它不断变化. 它占据空间. 它不断变化 它不断变化. 它占据空间 Q:它有质量. S:它是物质. 它有质量. 它是物质. 它有质量 它是物质 这个人开始主张: 这个人开始主张: ( P ∧ Q ∧ R ) S 后来改说: ( P ∧ Q S ) ∧ ( S → R ) 后来改说: 此人开始与后来主张的不同点在于: 此人开始与后来主张的不同点在于 : 后来认为 必同时有R, 如有 P ∧ Q 必同时有 ,而开头时没有这个主 张

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真值表与等价式
证明: 例1-11证明:P →(Q →R) (P →Q) →(P →R) 证明 分析:这是蕴含式证明,可以使用多种方法: 分析:这是蕴含式证明,可以使用多种方法: 1,直接证法:假设前提为真,推证结论为真; ,直接证法:假设前提为真,推证结论为真; 2,反证法:假设蕴含式的后件为假,推证蕴含式 ,反证法:假设蕴含式的后件为假, 前件为假; 前件为假; 3,蕴含式定义: S C 代表 S → C 永真 ,蕴含式定义: 4,真值表法:根据真值表情况可以看出两边的真 ,真值表法: 值情况是否一样, 值情况是否一样,如果一样则代表等价

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真值表与等价式
解: (Ⅰ)列真值表 Ⅰ 列真值表

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真值表与等价式
解:设 S P → (Q → R) ( P → Q) → ( P → R) 从上面的真值表上观察: 从上面的真值表上观察: a)直接证法: →(Q → R)的真值为 (有七种),其 直接证法: 的真值为T(有七种) 直接证法 P 均为T. 对应指派下 (P → Q) → (P → R) 均为 . b)反证法:P → Q) → (P → R)真值为 (有一种),其 反证法: 真值为F(有一种) 反证法 ( 真值为F. 对应指派下 P →(Q → R) 真值为 . c)条件永真式:从表面上看 的真值永远为 ,即 条件永真式: 的真值永远为T, 条件永真式 从表面上看S的真值永远为 为永真式. 为永真式.

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真值表与等价式
(Ⅱ)逻辑推证 Ⅱ 逻辑推证 a)直接证法:设 P → (Q → R ) 为T,则 直接证法: 直接证法 , Q (1)P为T, → R 为T,有三种情况: 为 , ,有三种情况: ①P为T,Q为T,R为T,则 ( P → Q) → ( P → R) 为T 为 , 为 , 为 , ② P为T,Q为F,R为T,则 ( P → Q) → ( P → R) 为T 为 , 为 , 为 , ③ P为T,Q为F,R为F,则 ( P → Q) → ( P → R) 为T 为 , 为 , 为 , (Q (2)若P为F, → R)为F,则P为F,Q为T,R为F, 若 为 , , 为 , 为 , 为 , (P 所以 ( P → Q)为T, → R)为T,得 ( P → Q) → ( P → R) , , 为T. .
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真值表与等价式
(Q (3)若P为F, → R) 为T,则: 若 为 , , ①P为F,Q为T,R为T,则 ( P → Q) → ( P → R) 为T 为 , 为 , 为 , ② P为F,Q为F,R为F,则 ( P → Q) → ( P → R) 为T 为 , 为 , 为 , ③ P为F,Q为F,R为T,则 ( P → Q) → ( P → R) 为T 为 , 为 , 为 , 综上各点,当 P →(Q → R) 为T时,必有 (P →Q) →(P →R) 综上各点, 时 为T. . b)间接证法:设 ( P → Q) → ( P → R) 为F,则必有(P →Q) 间接证法: 间接证法 , ( 为T,P → R)为F,故P为T,Q为T,R为F.所以 , , 为 , 为 , 为 . P → (Q → R) 为F. .
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真值表与等价式
(Ⅱ)等价变换 Ⅱ 等价变换 S P → (Q → R) ( P → Q) → ( P → R)

(P ∨ (Q ∨ R)) → ((P ∨ Q) → (P ∨ R)) (P ∨ Q ∨ R) ∨ ((P ∨ Q) ∨ (P ∨ R)) (P ∧ Q ∧ R) ∨ (( P ∧ Q) ∨ (P ∨ R) (P ∧ Q ∧ R) ∨ ((P ∨ R ∨ P) ∧ (P ∨ R ∨ Q)) (P ∧ Q ∧ R) ∨ (P ∨ Q ∨ R) (P ∧ Q ∧ R) ∨ ( P ∧ Q ∧ R) T

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真值表与等价式
例1-12 试求下列各命题的真值表并解释其结果

a )( P → Q ) ∧ ( Q → P )

b )( P ∧ Q ) → P c )Q → ( P ∨ Q ) d )( P → Q ) ( P ∨ Q ) e )( P ∨ Q ) ∧ ( ( P ∧ Q ))
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真值表与等价式
解:a)由等价公式 ( P → Q) ∧ (Q → P) P Q ) 因而其真值与 P Q 相同

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真值表与等价式
b)列出 ( P ∧ Q ) → P 真值表,如表 列出 真值表,如表1-11所示: 所示: 所示 始终为真, 由于 ( P ∧ Q ) → P 始终为真,故该式为永真式

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真值表与等价式
c)列出 Q → ( P ∨ Q )真值表,如表 列出 真值表,如表1-12所示: 所示: 所示 始终为真, 由于Q → ( P ∨ Q )始终为真,故该式为永真式

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真值表与等价式
c) 列出( P → Q) (P ∨ Q ) 真值表 , 如表 真值表, 如表1-13所 所 示: 由于 ( P → Q) (P ∨ Q ) 始 终 为 真 , 故 该 式为永真式

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真值表与等价式
c)列出 (P ∨ Q) ∧ (( P ∧ Q)) 真值表 , 如表 列出 真值表, 如表1-14所 所 示: (P ∨ Q) ∧ (( P ∧ Q))

P ∨ Q P → Q ( P ∧ Q)

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真值表与等价式
作出下面命题的真值表:并非" 例1-13 作出下面命题的真值表:并非"室内很冷 或很乱"也不是"室外暖和且室内太脏" 或很乱"也不是"室外暖和且室内太脏". 首先需要将命题分解为原子命题: 解:首先需要将命题分解为原子命题: P:室内很冷.Q: P:室内很冷.Q:室内很乱 R:室外暖和.S:室内太脏 :室外暖和. : 将上面的命题符号化为: 将上面的命题符号化为:

( P ∨ Q) ∧ ( R ∧ S )
最后列出其真值表如下: 最后列出其真值表如下:
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真值表与等价式

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真值表与等价式
例1-14 由下表求出公式 E1 , E2 , E3 , E4 , E5 , E6 . 在 表上有问号的地方可以以F或 带入都可以 带入都可以, 表上有问号的地方可以以 或 T带入都可以 , 只 要所求公式形式比较简单. 要所求公式形式比较简单.

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真值表与等价式
解:对上面的表格,我们如上图将表格各问号处都 对上面的表格, 填入相应的真值情况. 填入相应的真值情况.根据真值表可得公式 E1 , E2 , E3 , E4 , E5 , E6 ,表达如下: 表达如下: E1 : ( Q → P ) → R

E 2 : ( P ∧ Q ∧ R ) ∨ ( P ∧ Q ∧ R ) E 3 : ( P Q ) ∧ (Q ∨ R ) E 4 : ( P ∨ Q ∨ R ) ∧ ( P ∨ Q ∨ R ) E5 : ( P ∨ Q ∨ R ) ∧ ( P ∨ Q ∨ R ) E6 : ( P ∨ Q ∨ R )
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真值表与等价式
例1-15 证明下列等价式
a) A →(B → A) A →( A →B) b)( A B) ( A∨ B) ∧( A∧ B) c)( A → B) A∧B d)( A B) ( A∧B) ∨ (A∧ B) e)((( A∧ B ∧C) → D) ∧ (C →( A∨ B ∨ D))) ((C ∧ ( A B)) → D)

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真值表与等价式
解:a)
A → (B → A) A ∨ (A ∨ B) A ∨ ( A ∨ B ) A ∨ ( A → B ) A → (A → B)

b) ( A B) (( A → B ) ∧ ( B → A)) ((A ∨ B) ∧ (B ∨ A)) ((A ∧ B) ∨ (A ∧ A) ∨ ( B ∧ B ) ∨ ( B ∧ A)) (( A ∨ B ) ∨ ( B ∧ A)) ( A ∨ B) ∧ ( A ∧ B)
40

真值表与等价式
c) ( A → d) ( A

B) (A ∨ B) A ∧ B

B ) (( A → B) ∧ ( B → A)) ((A ∨ B ) ∧ (B ∨ A)) ( A ∧ B) ∨ ( B ∧ A)

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真值表与等价式
e) ((( A ∧ B ∧ C ) → D ) ∧ ( C → ( A ∨ B ∨ D ))) (( ( A ∧ B ∧ C ) ∨ D ) ∧ ( C ∨ ( A ∨ B ∨ D ))) ( A ∨ B ∨ C ∨ D ) ∧ ( C ∨ A ∨ B ∨ D ) ( C ∨ D ) ∨ (( A ∨ B ) ∧ ( B ∨ A )) ( C ∨ D ) ∨ (( A ∧ B ) ∨ ( B ∧ A )) ( C ∨ D ) ∨ (( A ∨ B ) ∧ ( B ∨ A )) ( C ∧ ( A ∨ B ) ∧ ( B ∨ A )) ∨ D ( C ∧ ( A → B ) ∧ ( B → A )) ∨ D (( C ∧ ( A B )) → D )
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真值表与等价式
例1-16 如果 A ∨ C B ∨ C,是否有 A B ? 如 是否有 果 A ∧ C B ∧ C 是否有 A B ?如果 A B 是否有 A B ?
分析:对于此种类型例题,判断结论是否正确,一般可 以采用带入法,采用某种特殊指定判断其是否为错误的 .若找不到合适的指定证明其错误,就要采用逻辑推理 的方法.

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真值表与等价式
解: 1)设有某种指定,使C的值为 ,但A的真值 的值为T, )设有某种指定, 的值为 的真值 的真值为F( 为T,B的真值为 (或A为F,B为T),则 , 的真值为 为 , 为 ) A ∨ B 与 A ∨ C 的真值为 ,显然 A ∨ C B ∨ C 的真值为T, 成立,但 A B 不一定成立. 成立, 不一定成立. 2)设有某种指定,使C的值为 ,但A的真值为 的值为F, 的真值为T )设有某种指定, 的值为 的真值为 的真值为F( ,B的真值为 (或A为F,B为T),则 A ∧ C 的真值为 为 , 为 ) 的真值为F. 成立时, 与 B ∧ C的真值为 .故 A ∧ C B ∧ C 成立时, A B 不一定成立. 不一定成立.
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真值表与等价式
3) ) 因为 ( A → B ) (B → A) ,所以 (B → A) 所以 为永真式时, ( A → B) 也是永真式.即 B A 为永真式时, 也是永真式. A B 时, B .同理 A B 时, A . 所以, 所以, A B 时,A B .

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重言式与蕴含式
例1-17 证明下列各式为重言式 a) P → ( P → Q) b) (( P → Q) ∧ (Q → R )) → ( P → R) 例1-18 不构造真值表证明下列蕴含式 a) ( P → Q ) P → ( P ∧ Q ) b) ( P → Q ) → Q P ∨ Q

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重言式与蕴含式
例1-17 解: a) P →

(P →

Q )



P ∨ ( P ∨ Q ) T ∨ Q T

b)根据传递性,因为 (( P → Q) ∧ (Q → R)) ( P → R) 根据传递性, 根据传递性 是永真的, 所以 (( P → Q) ∧ (Q → R )) → ( P → R) 是永真的,因 而为重言式

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重言式与蕴含式
解法1: 例1-18 解:a)解法 :设 P → Q 为T 解法 (1)若P为T,得Q为T,所以 P ∧ Q 为T,故 ) 为 , 为 , , P → (P ∧ Q) 为T (2)若P为F,得Q为F,所以 P ∧ Q 为F,故 ) 为 , 为 , , P → (P ∧ Q) 为T. . P 解法2: 解法 :设 P → (P ∧ Q) 为F,则P为T, ∧ Q 为F,故 , 为 , , 必有P为 , 为 , 必有 为T,Q为F,所以 P → Q 为F. .

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重言式与蕴含式
解法3(公式推理证明 : 解法 公式推理证明): 公式推理证明 (P → Q) P → (P ∧ Q)

( P ∨ Q ) ∨ ( P ∨ ( P ∧ Q )) ( P ∨ Q ) ∨ (( P ∨ P ) ∧ ( P ∨ Q )) T
所以 ( P → Q ) P → ( P ∧ Q ) b)设 P ∨ Q 为F,则P为F,且Q为F,故 P → Q 为 设 , 为 , 为 , ( T, P → Q) → Q 为F.因此可以得到结果: , .因此可以得到结果:

( P → Q) → Q P ∨ Q

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重言式与蕴含式
叙述下列各命题的逆换式和逆反式, 例1-18 叙述下列各命题的逆换式和逆反式,并以 符号写出. 符号写出. a)如果天下雨,我不去 如果天下雨, 如果天下雨 b)仅当你走,我留下 仅当你走, 仅当你走 了解逆换式,反换式,逆反式的概念) (注:了解逆换式,反换式,逆反式的概念)

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重言式与蕴含式
解:a)设P:天下雨.Q:我不去.P → Q 设 :天下雨. :我不去. 表示命题:如果我不去, 逆换式 Q → P 表示命题:如果我不去,天则下雨 表示命题:如果我去, 逆反式 Q → P 表示命题:如果我去,则天不下雨 b)在本题中,原命题:仅当你走我将留下,理解为 在本题中, 在本题中 原命题:仅当你走我将留下, 我留下的必要条件是你走. :我留下的必要条件是你走.或者就是你不走我则 留下. 留下. 设S:你走了.R:我将留下. R → S :你走了. :我将留下. 逆换式: 表示命题: 逆换式: → R 表示命题:如果你走了则我留下 S 逆反式: 表示命题:如果你不走, 逆反式:S → R 表示命题:如果你不走,则我 不留下. 不留下.
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重言式与蕴含式
检验下述论证的有效性. 例1-19 检验下述论证的有效性. 如果我学习,那么我数学不会不及格. 如果我学习,那么我数学不会不及格. 如果我不热衷于玩扑克,那么我将学习. 如果我不热衷于玩扑克,那么我将学习. 但我数学不及格. 但我数学不及格. 因此我热衷于玩扑克. 因此我热衷于玩扑克.

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重言式与蕴含式
首先将命题符号化: 解: 首先将命题符号化: 设P:我学习.Q:我的数学课考试不及格.R: :我学习. :我的数学课考试不及格. : 我热衷于玩扑克. 我热衷于玩扑克. 符号化为: 符号化为: P →Q, R → P, Q R 设 ( P → Q) ∧ (R → P) ∧ (Q R) 为T,则因 为T ,则因Q为 P , → Q为T,可得 为F,由 R → P 为T,得 ,可得P为 , , 到 R 为F,即R为T,故本题的论证是有效的. , 为 ,故本题的论证是有效的.

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重言式与蕴含式
例1-20 逻辑推证下列各式

a )C A ∨ B ∨ B b )( A ∧ B ) A ∨ B c )A → ( B ∨ C ), D ∨ E , ( D ∨ E ) → A B ∨ C d )( A ∧ B ) → C , D , C ∨ D A ∨ B

54

重言式与蕴含式
是永真的, 解:a)因为 A ∨ B ∨ B 是永真的,故, 因为 C A ∨ B ∨ B 成立 b)假定 ( A ∧ B ) 为T,则 A ∧ B 为F 假定 , 若A为F,B为T,则A为T, B 为F,故 A ∨ B 为 , 为 , , , 为T. . 若A为T,B为F,则A为F, B 为T,故 A ∨ B 为 , 为 , , , 为T. . 若A为F,B为F,则 A T, B为T,故 A ∨ B 为 , 为 , 为 , , 为T. .
55

重言式与蕴含式
故, ( A ∧ B ) A ∨ B 成立 c)假定 A → ( B ∨ C ), D ∨ E , ( D ∨ E ) → A三者为 三者为T 假定 ,则因为 D ∨ E与( D ∨ E ) → A 为T,必有 A 为T , ,又由于 A → ( B ∨ C ) 为T,故必有 B ∨ C 为T d) 我们假定A ∨ B 为F,则 ( A ∧ B) 为F.因为 , . 在条件式 ( A ∧ B ) → C 中,A ∧ B 为T,故: , (1)若C为T,则 C 为F,若D为T,则 D 为 ) 为 , , 为 , F,故有 (( A ∧ B ) → C ) ∧ (D) ∧ (C ∨ D) 为F. , .
56

重言式与蕴含式
(2)若D为F,则 C ∨ D为F,若D为T, 故有 ) 为 , , 为 (( A ∧ B ) → C ) ∧ (D) ∧ (C ∨ D)为F. . (3)若C为F,则 (A∧B) →C为F,因此 ) 为 , , (( A ∧ B ) → C ) ∧ (D) ∧ (C ∨ D) 为F. .
(( 综上各种情况 A ∧ B) → C) ∧ (D) ∧ (C ∨ D) ( A ∧ B) 成立. 成立.

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