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重庆市五区2014届高三学生学业调研抽测(第一次)数学试题--文科

[机密]2014 年 1 月 15 日前

2014 届高三学生学业调研抽测(第一次)
数学试题卷(文科)
数学试题卷(文科)共 4 页.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 一、选择题:本大题 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个备选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知全集 U ? ?1, 2,3, 4,5, 6? , A ? ?2, 4,5? , B ? ?1,3,5? ,则 A ? ? UB ? A. ?5? B. ?2, 4?
x0

C. ?1, 3?

D. ?2, 4,5, 6?

2.命题“存在 x0 ? R ,使得 2 A.不存在 x0 ? R ,使得 2

? 0 ”的否定是
B.存在 x0 ? R ,使得 2
x0

x0

?0

?0

C.对任意 x ? R ,都有 2x ? 0 3.函数 f ( x) ? lg( x ? 1) ? 3 ? x 的定义域是 A. (1,3) B. [1,3]
?
2

D.对任意 x ? R ,使得 2 x ? 0

C. (1,3]
2

D. [1,3)

4.过原点且倾斜角为 60 的直线被圆 x ? ( y ? 2) ? 4 所截得的弦长为 A. 2 3 B. 3 C. 2 D. 1

5.下图是某人在 5 天中每天加工零件个数的茎叶图,则该组数据的方差为 A. 2 C. 10 B. 2 D. 10 开始
1 8 9

2 0 1 2

6.执行如右图所示的程序框图,输出的 k 值为 A. 3 C. 5 B. 4 D. 6

5 题图

k ? 1, s ? 0

7.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是 A. (2 ? 5)? C. 4? 8.若函数 f ( x) ? 2 A. [1, ??) C. [?1, ??)
?x

s ? s ? 3k ?1 ? k

B. (4 ? 5)? D. 6?

k ? k ?1

? x 2 ? a 有两个不同的零点,则
B. (1, ??) D. (?1, ??)

s ? 100?
否 输出 k



实数 a 的取值范围是

9.已知 f ( x) 是定义在 R 上的函数,并满足 第1页 共7页 结束 6 题 图

f ( x) f ( x ? 2) ? ?1, 当 1 ? x ? 2 时,

f ( x) ? x3 ? sin 23 8 31 C. 8
A.

?
9

x ,则 f (5.5) ? 23 8 31 D. ? 8
B. ?
2 2 2

x2 y2 a2 10. 设双曲线 2 ? 2 ? 1 的两条渐近线与直线 x ? a b c 分别交于 A, B 两点, F 为该双曲线的右焦点.
若 60 ? ?AFB ? 90 , 则该双曲线的离心率的取值 范围是
? ?

1 正视图 侧视图

1

A. (1, 2) B. ( 2, 2) C. (1, 2) D. ( 2, ??)
俯视图

7 题图

二、填空题:本大题 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填写在答题卡相应的位置上. 11.已知复数 z ? 2 ? i ( i 是虚数单位) ,则 z ? 12.正项等比数列 ? an ? 中, a3 ? 16 , a5 ? 4 ,则 a2 ? . .

13.在 1 个单位长度的线段 AB 上任取一点 P ,则点 P 到 A 、 B 两点的距离都不小于

1 的 6

? ? ? ? ? 14.若向量 a ? ( ?1, k ) , b ? (3,1) ,且 a ? b 与 a 垂直,则实数 k 的值为
15.函数 f (? ) ? sin 2? ? 2 ? sin ? ? cos ? ? ? 3 (? ? R) 的值域为

概率为



. .

三、解答题:本大题 6 个小题,共 75 分,解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理 过程,并答在答题卡相应的位置上. 16. (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 7 分, (Ⅱ)小问 6 分) (Ⅰ)求 ?a n ?的通项公式及前 n 项和 S n ;

1 已 知 等 差 数 列 ?a n ?满 足 : a5 ? 9 , a4 ? 2a2 ? .

(Ⅱ)若等比数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,且 b1 ? 2a1 , b4 ? a4 ? a5 ,求 Tn . 17. (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 9 分, (Ⅱ)小问 2 分, (Ⅲ)小问 2 分) 由某种设备的使用年限 xi (年)与所支出的维修费 yi (万元)的数据资料,算得

? xi 2 ? 90 , ? xi yi ? 112 , ? xi ? 20 ,
i ?1 i ?1 i ?1

5

5

5

?y
i ?1

5

i

? 25 .

(Ⅰ)求所支出的维修费 y 对使用年限 x 的线性回归方程 y ? bx ? a ; (Ⅱ)判断变量 x 与 y 之间是正相关还是负相关; (Ⅲ)估计使用年限为 8 年时,支出的维修费约是多少.

第2页 共7页

附:在线性回归方程 y ? bx ? a 中, b ?

? x y ? nx y
i ?1 n i i

n

?x
i ?1

2 i

? nx

2

, a ? y ? bx ,其中 x , y 为

? ?a ?. 样本平均值,线性回归方程也可写为 ? y ? bx

18. (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 7 分, (Ⅱ)小问 6 分) 在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,且 b cos C ? (2a ? c) cos B . (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)求 sin A ? sin C 的取值范围.

19. (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 5 分, (Ⅱ)小问 7 分) 如 图 , 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 底 面 ABCD是 菱 形 , PA ? PD , ?BAD ? 60? ,

AB ? 2 , PE ? 3 , PC ? 10 , E 是 AD 的中点, PC 上的点 F 满足 PF ? 2 FC .
(Ⅰ)求证: AD ? 平面 PBE ; (Ⅱ)求三棱锥 F ? BEC 的体积.

P

F D E A
20. (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 5 分, (Ⅱ)小问 7 分) 经调查统计,某种型号的汽车在匀速行驶中,每小时的耗油量 y (升)关于行驶速度 x (千米/时)的函数可表示为 y ? 19 题图

C

B

1 1 18 x3 ? x ? (0 ? x ? 100) .已知甲、乙两 120000 50 5

地相距 100 千米,在匀速行驶速度不超过 100 千米/时的条件下,该种型号的汽车从甲地 到乙地的耗油量记为 f ( x) (升) . (Ⅰ) 求函数 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)讨论函数 f ( x) 的单调性,当 x 为多少时,耗油量 f ( x) 为最少?最少为多少升?

21. (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 4 分, (Ⅱ)小问 8 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 ( ? 3, 0) 、 F2 ( 3, 0) , a 2 b2
第3页 共7页

椭圆上的点 P 满足 ?PF1 F2 ? 90 ,且 ?PF1 F2 的面积 S ?PF1F2 ?
?

3 . 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)是否存在直线 l ,使 l 与椭圆 C 交于不同的两点 M 、 N ,且线段 MN 恰被直线

x ? ?1 平分?若存在,求出 l 的斜率取值范围;若不存在,请说明理由.

高 2014 级学生学业调研抽测 (第一次) 数学(文科)参考答案及评分意见
一、选择题: 1—5.BDCAB; 6—10.BADCB. 二、填空题: 11. 5 ; 三、解答题: 16.解: (Ⅰ)设等差数列 ?a n ?的公差为 d ,由题设得: 12. 32 ; 13.

2 ; 3

14. ?2 或 1 ;

15. ?1, 4 ? 2 2 ? .

?

?

? ? a1 ? 4d ? 9, , ? a ? 3 d ? 2 a ? d ? 1 ? ? ? 1 1 ?
即?

………………………………(2 分)

? an ? 1 ? ? n ? 1? ? 2 ? 2n ? 1 ,

?a1 ? 4d ? 9, ? a1 ? 1, ,解得 ? . ?d ? 2 ??a1 ? d ? 1

………………………………(4 分) ………………………………(5 分) ………………………………(7 分)

Sn ?

n ?1 ? 2n ? 1? 2

? n2 .

(Ⅱ)设等比数列 ?bn ? 的公比为 q ,由(Ⅰ)和题设得:

b1 ? 2a1 ? 2 , b4 ? a4 ? a5 ? 16 .
? b4 ? b1q ,
3

………………………………(9 分) ………………………………(10 分)

? q ? 8, q ? 2 . ……………………………… (11 分) ?数列 ?bn ? 是以 b1 ? 2 为首项,公比 q ? 2 的等比数列.
3

?Tn ?
17.解: (Ⅰ)?

2(1 ? 2n ) ? 2 ? 2n ? 1? ? 2n ?1 ? 2 . 1? 2
5 5

……………………………(13 分)

? xi ? 20 ,
i ?1

?y
i ?1

i

? 25 ,

?x ?

1 5 1 5 xi ? 4 , y ? ? yi ? 5 . ? 5 i ?1 5 i ?1

………………………………(4 分)

第4页 共7页

?b ?

? x y ? 5x y
i ?1 5 i i

5

?x
i ?1

2 i

? 5x

2

?

112 ? 5 ? 4 ? 5 ? 1.2 , 90 ? 5 ? 42

………………………………(7 分)

a ? y ? bx ? 5 ? 1.2 ? 4 ? 0.2 .

………………………………(8 分) ………………………………(9 分)

?线性回归方程 y ? 1.2 x ? 0.2 .
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 b ? 1.2 ? 0 , ?变量 x 与 y 之间是正相关.

………………………………(11 分)

(Ⅲ)由(Ⅰ)知,当 x ? 8 时, y ? 1.2 ? 8 ? 0.2 ? 9.8 (万元) ,即估计使用年限为 8 年 时,支出的维修费约是 9.8 万元. 18.解: ………………………………(13 分)

(Ⅰ)在 ?ABC 中,∵ b cos C ? (2a ? c) cos B , 由正弦定理,得 sin B cos C ? (2sin A ? sin C ) cos B .………………………(3 分)

? 2sin A cos B ? sin B cos C ? cos B sin C ? sin( B ? C ) ? sin A .…………(5 分)
∵ 0 ? A ? ? , ∴ sinA ? 0 , ∴ cos B ? ∵ 0 ? B ? ? ,∴ B ? (Ⅱ)由(Ⅰ)得 C ?
1 . 2

……………………………(6 分) ………………………………(7 分) ………………………………(8 分)

?
3



2? 2? , ? A且 0 ? A ? 3 3

? sin A ? sin C ? sin A ? sin(

2? 3 3 ? ? A) ? sin A ? cos A ? 3 sin( A ? ) . 3 2 2 6
………………………………(11 分)

?

?
6

? A?

?
6

?

5? ? 1 ,? sin( A ? ) ? ( ,1] . 6 6 2
3 , 3] . 2

………………………………(12 分)

? sin A ? sin C 的取值范围是 (
19.解:

………………………………(13 分)
P

(Ⅰ)证明: ? PA ? PD , E 是 AD 的中点, …………………(2 分) ? AD ? PE . , ?BAD ? 60? , ? AD ? AB ? 2 , …………………(3 分) ? ABD 是正三角形, …………………(4 分) ? AD ? BE . 又? PE ? BE ? E ,
E

F D G C

? AD ? 平面 PBE .

…………………(5 分) A
?

B

(Ⅱ)由(Ⅰ)和题设知:在 ?EBC 中, ?EBC ? 90 , 第5页 共7页

19 题答图

BE ? 3 , BC ? 2 ,
? EC ? BE 2 ? BC 2 ? 7 .
…………………………(6 分)

? PE ? 3 , PC ? 10 ,满足 PC 2 ? EC 2 ? PE 2 ,

? PE ? EC . 又? PE ? AD , AD ? EC ? E , ? PE ? 平面 ABCD .

…………………………(7 分) …………………………(8 分)

过 F 作 FG ? EC 于 G ,则 FG ? PE , FG ? 平面 ABCD ,

1 3 . ? PF ? 2FC ,? FG ? PE ? 3 3

…………………………(10 分)

1 1 1 3 1 ?VF ? BEC ? S? BEC ? FG ? ? ? 2 ? 3 ? ? .…………………………(12 分) 3 3 2 3 3
20.解: (Ⅰ)由题意得,汽车从甲地到乙地行驶了

100 小时, x

…………………………(2 分)

1 1 18 100 ? f ( x) ? ( x3 ? x ? ) ? 120000 50 5 x 1 2 360 ? x ? ? 2(0 ? x ? 100) . 1200 x
/

…………………………(5 分)

1 360 x3 ? 216000 x? 2 ? (Ⅱ)由(Ⅰ)有, f ( x) ? . 600 x 600 x 2
令 f ( x) ? 0 ,得 x ? 216000 ? 0 , x ? 60 .
/

……………………(8 分)

3

…………………………(9 分) …………………………(10 分)

①当 x ? (0,60) 时, f ( x) ? 0 , f ( x) 是减函数;
/

②当 x ? (60,100] 时, f ( x) ? 0 , f ( x) 是增函数; …………………………(11 分)
/

?当 x ? 60 ,即汽车的行驶速度为 60 (千米/时)时,从甲地到乙地的耗油量 f ( x) 为
最少,最少耗油量为 f (60) ? 7 (升) . 21.解: (Ⅰ)由题意知: F1 F2 ? 2c ? 2 3 , …………………………(1 分) …………………………(12 分)

?椭圆上的点 P 满足 ?PF1F2 ? 90? ,且 S?PF1F2 ?
? S?PF1F2 ?

3 , 2

1 1 3 F1 F2 ? PF1 ? ? 2 3 ? PF1 ? . 2 2 2
第6页 共7页

? PF1 ?

1 , PF2 ? 2

F1F2 ? PF1 ?

2

2

7 . 2
…………………………(2 分) …………………………(3 分)

? 2a ? PF1 ? PF2 ? 4, a ? 2 .
又? c ? 3,? b ?

a2 ? c2 ? 1 .

?椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 4

…………………………(4 分)

(Ⅱ)假设这样的直线 l 存在.? l 与直线 x ? ?1 相交,?直线 l 的斜率存在. 设 l 的方程为 y ? kx ? m , …………………………(5 分)

? x2 2 ? ? y ? 1, 2 2 2 由? 4 得 (1 ? 4k ) x ? 8kmx ? 4m ? 4 ? 0 . (*)………………(6 分) ? y ? kx ? m ?

?直线 l 与椭圆 C 有两个交点, ?(*)的判别式 ? ? (8km)2 ? 4(1 ? 4k 2 )(4m2 ? 4) ? 0 ,即 m2 ? 4k 2 ? 1 .①
…………………………(7 分) 设 M ( x1 , y1 ) 、 N ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?

? MN 被直线 x ? ?1 平分,可知 k ? 0 ,

?8km . …………………………(8 分) 1 ? 4k 2

1 ? 4k 2 x1 ? x2 ?4km . ② ? ? ? ?1, m ? 4k 2 1 ? 4k 2
把②代入①,得 (

…………………………(9 分)

1 ? 4k 2 2 ) ? 4k 2 ? 1 ,即 48k 4 ? 8k 2 ? 1 ? 0 .………………(10 分) 4k

? k 2 ? 0 ,? k 2 ?
?k ? ?

1 . 12

…………………………(11 分)

3 3 或k ? .即存在满足题设条件的直线 l ,且 l 的斜率取值范围是 6 6
3 3 ) ? ( , ??) . 6 6
…………………………(12 分)

(??, ?

第7页 共7页


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