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江苏赣榆县智贤中学高三数学总复习 专题一 第4讲 不等式(1)教学案

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江苏赣榆县智贤中学高三数学总复习 专题一 第 4 讲 不等式(1)教学案
复备栏 教学内容:不等式(1) 教学目标: 掌握不等式解法;基本不等式;线性规划;不等式的实际应用。 教学重点: 一元二次不等式的解法、基本不等式及线性规划问题。 教学难点: 不等式成立问题. 教学过程: 一、知识点复习: 1.必记的概念与定理 已知 x>0,y>0,则: (1)如果积 xy 是定值 p,那么当且仅当 x=y 时,x+y 有最小值是 2 p.(简记:积定和 最小) p2 (2)如果和 x+y 是定值 p,那么当且仅当 x=y 时,xy 有最大值是 4 .(简记:和定积最 大) 确定二元一次不等式表示的平面区域时,经常采用“直线定界,特殊点定域”的方法 (1)直线定界,即若不等式不含等号,则应把直线画成虚线;若不等式含有等号,把直 线画成实线;(2)特殊点定域,即在直线 Ax+By+C=0 的某一侧取一个特殊点(x0,y0) 作为测试点代入不等式检验,若满足不等式,则表示的就是包括该点的这一侧,否则 就表示直线的另一侧.特别地,当 C ≠0 时,常把原点作为测试点;当 C=0 时,常选 点(1,0)或者(0,1)作为测试点. 2.记住几个常用的公式与结论 (1)几个重要的不等式 b a a2+b2≥2ab(a,b∈R);a+b≥2(a,b 同号). ab≤

?a+b?2(a,b∈R);?a+b?2≤a2+b2(a,b∈R). 2 ? 2 ? ? 2 ?

(2)一元二次不等式的解法 先化为一般形式 ax2+bx+c>0(a≠0),再求相应一元二 次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根,最后根据相应二次函数图象与 x 轴的位置关系,确 定一元二次不等式的解集. (3)简单分式不等式的解法 ①变形? ②变形? >0(<0)?f(x)g(x)>0(<0),g(x)≠0; ≥0(≤0)?f(x)g(x)≥0(≤0)且 g(x)≠0.

(4)两个常用结论

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▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚 =^_^= 成就梦想 ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌ ?a>0, ? ①ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立的条件是? ? ?Δ<0. ?a<0, ? ②ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立的条件是? ?Δ<0. ?

3.需要关注的易错易混点 (1)利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围, 但应注意两点: 一是必须严格运用 不等式的性质; 二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.解决 的途径是先建立所求范围 的整体与已知范围的整体的等量关系,最后通过 “一次性” 不等关系的运算求解范围. (2)在应用基本不等式求最值时,要把握不等式成立的三个条件,就是“一正——各项 均为正;二定——积或和为定值;三相等——等号能否取得”,若忽略了某个条件,就 会出现错误. 二、基础训练: 1 1.函数 f(x)=x lg(2+x-x2)的定义域为__________. 解析:?
? ?x≠0 ?2+x-x2>0 ?

?-1<x<0 或 0<x<2,所以函数 f(x)的定义域为(-1,0)∪(0,2)

4 2.(2014· 天津模拟)已知 x<0,则 f(x)=2+x +x 的最大值为________. 4 ? 4 解析:∵x<0,∴-x>0,∴f(x)=2+x +x=2- -x+

?



?. ?

4 4 ∵-x +(-x)≥2 4=4,当且仅当-x= ,即 x=-2 时等号成立. -x

? 4 ∴f(x)=2- -x+ ?



?≤2-4=-2,∴f(x)的最大值为-2. ?

3. (2014·高 考 课 标 全 国 卷 Ⅱ 改 编 ) 设 x , y 满 足 约 束 条 件 x+y-7≤0, ? ? ?x-3y+1≤0, 则 z=2x-y 的最大值为________. ? ?3x-y-5≥0, 解析: 已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示, 根据目标函数的几何意义可知,目标函数在点 A(5,2)处取得 最大值,故目标函数的最大值为 2×5-2=8.
? ?x+2,x≤0 4.已知函数 f(x)=? ,则不等式 f(x)≥x2 的解集是 ?-x+2,x>0 ?

________. 解析:依题意得? 三、例题教学:
? ?x≤0 ? ?x+2≥x2

或?

? ?x>0 ? ?-x+2≥x2

?-1≤x≤0 或 0<x≤1?-1≤x≤1.

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例 1 已知函数 f(x)=x2+ax+b(a, b∈R)的值域为[0, +∞), 若关于 x 的不等式 f(x)<c 的解集为(m,m+6),则实数 c 的值为________. a2 ? a? [解析] 由题意知 f(x)=x2+ax+b= x+2 2+b- 4 . ? ? a2 a2 ∵f(x)的值域为[0,+∞),∴b- 4 =0,即 b= 4 . a a ? a? ? a? ∴f(x)= x+2 2.又∵f(x)<c.∴ x+2 2<c,即-2- c<x<-2+ c. ? ? ? ?

?-2- ∴? a - ? 2+
a

c=m,① ②-①,得 2 c=6,∴c=9. c=m+6.②

[方法归纳] 二次函数、二次不等式是高中数学的重要基础知识,也是高考的热 点.本题考查了二次函数的性质及一元二次不等式的解法.突出考查将二次函数、二 次方程、二次不等式三者进行相互转化的能力和转化与化归的数学思想方法. 变式训练: 2 (1)已知 a=(1,x),b=(x2+x,-x),则关于 x 的不等式 a· b+2>m(a· b+1)(其中 m 是 满足 m<-2 的常数)的解集是________. (2) 已知:函数 f(x) = x2-2ax+a2-1 的 定义域为 A,2 ? A ,则 a 的取值范围是 ________. 解析:(1)∵a=(1,x),b=(x2+x,-x),∴a· b=x2+x-x2=x ,故原不等式等价于: 2 x+2>m(x +1)? + x - >0,m<-2 时,不等式的解集为:(m,-2)∪(0,

+∞). (2)∵2?A,∴4-4a+a2-1<0,即 a2-4a+3<0,解得 1<a<3 例 2 4 1 (1)(2014· 泰州模拟)若 A,B,C 为△ABC 的三个内角,则A+ 的最小值为 B+C

________. (2)设 x,y 为实数,若 4x2+y2+xy=1,则 2x+y 的最大值是________. [ 解析 ] 2 B+C 4 1 A (1) 因为 A + B + C = π ,且 (A + B + C)· (A+ ) = 5 + 4· A + ≥5 + B +C B+C

B+C A B+C 4 1 9 A 4· A · =9,因此A+ ≥π,当且仅当 4· A = ,即 A=2(B+C)时等 B+C B+C B+C

号成立. 3 (2)法一:∵4x2+y2+xy=1,∴(2x+y)2-3xy=1,即(2x+y)2-2· 2xy=1, 3 ?2x+y? 8 2 10 ∴(2x+y)2-2· 2 2≤1,解之得(2x+y)2≤5,即 2x+y≤ 5 . ? ? 10 10 等号当且仅当 2x=y>0,即 x= 10 ,y= 5 时成立. 法二:令 t=2x+y,则 y=t-2x,代入 4x2+y2+xy=1,

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8 得 6x2-3tx+t2-1=0,由于 x 是实数,故 Δ=9t2-24(t2- 1)≥0,解得 t2≤5, 2 10 2 10 2 10 即- 5 ≤t≤ 5 ,即 t 的 最大值也就是 2x+y 的最大值,为 5 . [方法归纳] 用基本不等式求函数的最值,关键在于将函数变形为两项和或积的形 式,然后用基本不等式求出最值.在求条件最值时,一种方法是消元,转化为函数最 值;另一种方法是将要 求最值的表达式变形,然后用基本不等式将要求最值的表达 式放缩为一个定值,但无论哪种方法在用基本不等式解题时都必须 验证等号成立的 条件. 变式训练: b (1)设△ABC 的 BC 边上的高 AD=BC,a,b,c 分别表示角 A,B,C 对应的三边,则 c + c b的取值范围是________. (2)若正数 x,y 满足 x+3y=5xy,则 3x+4y 的最小值是________. 1 1 解析:(1)因为 BC 边上的高 AD=BC=a,.所以 S△ABC=2a2=2bc· sin A,所以 sin A= b2+c2-a2 1 b c a2 a2 b c b =2( c +b-bc),所以 c +b=2cos A+sin A≤ 5,同时 c + bc.又因为 cos A= 2bc c b c b ≥2,所以 c +b∈[2, 5]. 1?1 3? (2)∵x>0,y> 0,由 x+3y=5xy 得5 y + x =1.

?

?

12y? 1 ?1 3? 1?3x ∴3x+4y=5(3x+4y) y + x =5 y +4+9+ x

?

?

?

?

13 1 ?3x 12y? 13 1 = 5 +5 y + x ≥ 5 +5×2

?

?

3x 12y y · x =5(当且仅当 x=2y 时取等号),

∴3x+4y 的最小值为 5. 巩固练习: 1 1.若不等式(2)x2-2ax<23x+a2 对任意实数 x 都成立,则 a 的取值范围是________. 1 1 解析: 先把不等式两边化成同底数, 得(2)x2-2ax<(2)-3x-a2.由指数函数的单调性, 得 x2-2ax>-3x-a2, 即 x2-(2a-3)x+a 2>0.由题意,解集为 R,∴Δ=(2a-3)2-4a2=-12a+9<0,即 3 a>4. 2.若不等 式 x2-kx+k-1>0 对 x∈(1,2)恒成立,则实数 k 的取值范围是________. 解析:不等式 x2-kx+k-1>0 对 x∈(1,2)恒成立可化为(1-x)k>1-x2 对 x∈(1,2)恒成 立,即 k<1+x 对 x∈(1,2)恒成立,而函数 y=1+x 在 x∈(1,2)为单调增函数,所以 k≤1 +1=2,即实数 k 的取值范围是(-∞,2] 3. 若 x>0,y>0 且 2x+8y-xy=0,则 x+y 的最小值为________. 解析: 法一:由 2x+8y-xy=0 得 y(x-8)=2x, 因为 x>0,y>0,所以 x-8>0,

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y= 10≥2

2x 2x ,所以 x+y=x+ =x+ x-8 x-8 -

- +16 16 = (x - 8) + + x-8 x-8

16 +10=18(当且仅当 x=12,y=6 时取得最小值 18), x-8 16xy xy =18(当

所以 x+y 的最小值为 18. 2 8 2 8 2x 8y 法二: 由已知得y+x =1, 所以 x+y=(x+y)(y+x )=10+ y + x ≥10+2

且仅当 x=12,y=6 时取得最小值 18),所以 x+y 的最小值为 18. 1 4.关于 x 的不等式 x2-4ax+4a2+a+ ≤0 不成立,则实数 a 的取值范围是 a-1 ________. 1 解析:由题意,不等式 x2-4ax+4a2+a+ ≤0 的解集为?, a-1 1 则 x2-4ax+4a2+a+ >0 对 x ∈R 都成立, a-1 1 1 ∴Δ=16a2-4(4a2+a+ )<0,即 a+ >0, a-1 a-1 ∴ a2-a+1 1 3 >0.又∵a2-a+1=(a-2)2+4>0 恒成立,∴a-1>0,即 a>1. a-1

课后反思:

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