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《走向高考》2013(春季发行)高三数学(人教A版)总复习9章课件9-7用向量方法证明平行与垂直(理)


走向高考· 数学
人教A版 ·高考一轮总复习

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第九章

立体几何

第九章

立体几何

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第九章
第七节 用 量 法 明 行 垂 向 方 证 平 与 直 (理)

第九章

立体几何

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基础梳理导学

3

考点典例讲练

思想方法技巧

4

课堂巩固训练

5

课后强化作业

第九章

第七节

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基础梳理导学

第九章

第七节

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重点难点

引领方向

重点:用向量方法讨论空间中的平行、垂直关系. 难点:将立体几何问题转化为向量问题.

第九章

第七节

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夯基 实础

稳根 固基

一用间量决体何题思 、空向解立几问的路 1. 标 : 果 给 题 图 中 在 相 直 直 坐法如所问的形存互垂的线 (或 面 ), 较 便 立 间 角 标 写 点 坐 , 种 平 比 方 建 空 直 坐 系 出 的 标这 情 下 一 是 立 当 空 直 坐 系 用 标 通 况 , 般 建 恰 的 间 角 标 , 坐 法 过 坐运来决 标算解.

第九章

第七节

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2. 向 法 基量 如果在所给问题中,不好寻找交于一点的互相垂直的三 条 线 或 其 标 于 出 这 常 图 不 面 三 直 , 者 坐 难 求 , 时 选 中 共 的 条 直上线构基,所问的件待决结, 线的段造底将给题条和解的论 用底其性 基及线 表来达通向运来决 示表,过量算解.

第九章

第七节

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二、运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的一般 步 骤 ①建立恰当的空间直角坐标系;②求 相 点 坐 ; 出 关 的 标 ③写 向 的 标 出 量 坐 ; 几结. 何论 ④结 公 进 计 , 证 合 式 行 算 论 ; ⑤转化为

第九章

第七节

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三平的向 、面法量 1. 果 示 量 如表向 则这向垂于面 称个量直平 量a叫 平 做面 α的 向 . 法量 a的向段在线直平 有线所直垂于面 α,

α, 作 a⊥α, 果 a⊥α, 么 记 如 那向

第九章

第七节

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2. 平 的 向 的 法 求面法量方 设n是 面 M的 个 向 , 平 一法量 交 线则 直, AB、CD 是 M 内 两 相 的条 n(向 量

→ → n· =0, CD=0.由 可 出 个 向 AB n· 此求一法量

→ → AB及CD已 ). 知

第九章

第七节

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疑误 难区

点警 拨示

1. 立 标 一 要 合 手 原 . 建坐系定符右系则 2. 明 面 行 , 定 说 直 在 面 . 证线平时一要明线平外

第九章

第七节

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思想方法技巧

第九章

第七节

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一如用间量决体何题 、何空向解立几问 1. 考 向 思方: () 要 决 问 可 什 向 知 来 决 需 用 哪 1 解 的题用 么量识解 ? 要到 些量 向? () 所 要 向 是 已 ? 未 , 否 用 知 件 2 需 的量否 知若知是 可 已条 转成向直表 化的量接示 ?

第九章

第七节

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() 所 要 向 若 能 接 已 条 转 成 向 表 3 需 的量不 直用知件 化 的量 示 则 们 别 易 哪 未 向 表 ? 些 知 量 , 它 分 最 用 个 知 量 示 这 未 向 与 由知件化向有关? 已条转的量何系 () 怎 对 经 示 来 所 向 进 运 , 能 到 4 样 已表出 的需量行 算 才得 需的论 要结?

第九章

第七节

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2.空间问题如何转化为向量问题 () 平行问题?向量共线,注意重合; 1 () 垂直问题?向量的数量积为零,注意零向量; 2 () 距离问题?向量的模; 3 () 求角问题?向量的夹角,注意角范围的统一. 4 3. 量 分 与 成 用 量 解 立 几 问 中 向的解合是向法决体何题经 常 到 问 , 定 适 基 量 建 恰 的 间 角 遇 的 题 确 合 的 向 或 立 当 空 直 坐 标系是关键.

第九章

第七节

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二用间量究间面平与直系 、空向研空线的行垂关 1. 向 方 研 两 线 的 置 系 用量法究直间位关 设 线 l1、l2 的 向 量 别 直 方向分为 a、b. t, a=tb. 使

() l1∥l2 或 l1 与 l2 重 ?a∥b?存 实 1 合 在数 () l1⊥l2?a⊥b?a· 2 b=0.

第九章

第七节

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2. 向 方 研 直 与 面 位 关 用量法究线平的置系 设线 l的向量 直 方向为 是 α平 的 个 共 向 . 与 行两不线量 () l∥α 或 l?α?存 两 实 1 在个数 =0. () l⊥α?a∥n?存 实 2 在数
?a⊥v , ? 1 ? l⊥α? ?a⊥v2. ?

a, 面 α 的 向 为 平 法量

n,v1、v2

λ、 使 a=λv1+μv2?a· μ, n

t, a=tn. 使

?a· =0, ? v1 ?? ?a· 2=0. ? v

第九章

第七节

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3. 向 方 研 两 平 的 置 系 用量法究个面位关 设 面 α、β 的 向 分 为 平 法量别 n1、n2. t, n1=tn2. 使

() α∥β 或 α 与 β 重 ?n1∥n2?存 实 1 合 在数

第九章

第七节

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() α⊥β?n1⊥n2?n1·2=0. 2 n 若 v1、v2 是 α 平 的 个 共 向 , 与 行两不线量 法量 向. 则①α∥β 或 α 与 β 重 ?v1∥β 且 v2∥β?存 实 合 在数 对β内 一 量 任向 a, a=λv1+μv2. 有
?n· =0, ? v1 ?? ?n·2=0. ? v

n是面 β的 平

λ、 μ,

?n⊥v , ? 1 ? ②α⊥β? ?n⊥v2. ?

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第七节

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考点典例讲练

第九章

第七节

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用向量证明线面平行

[例 1]

如 所 ,面 图 示平

PD ⊥平面 AC ,边 A BD 四 形

AC BD

为正方形,△PD 是直角三 形 且 A 角,

PA=AD=2,E、F、G

分别是线段 PA、PD、CD 的中点.求证:PB∥平面 EFG.

第九章

第七节

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分: 欲线平,考找平 析 证面行可虑出面 → 量 n, 明 PB· 证 n=0, 可 考 将 也以虑 线量性示由四形 向线表,于边 AC BD → PB用 面 平

EFG 的 个 向 一法 EFG 内 不 两共 PD ⊥ A

为方,面 正形平

平 AC ,PA⊥AD, 可 立 间 角 标 , 向 的 面 BD 故建空直坐系用量 坐运证. 标算明

第九章

第七节

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证: 明

∵平 PD ⊥平 AC 面 A 面 BD 直三形 角角, PA⊥AD,

且 AB D 为 方 , C 正形

△PD 为 A

第九章

第七节

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∴AB、AP、AD 两 垂 , 两直以 所的间角标 示空直坐系 则 A(0) 0, ,0 F(1) 0, ,1 、G(2) 1, ,0 、 2,) B(0 ,0 . A-xyz, 、 2,) C(2 ,0

A为标点建如 坐原,立图

、 0,) D(2 ,0

、 0,) P(0 ,2

、 0,) E(0 ,1



→ → → ∴PB=(0 ,-2),FE=(0,-1,0),FG=(1 ,-1), 2 , 1 , → → → 设PB=sFE+tFG, 即(0 , 2)=s(0, 1) +t(1 , 1), 2 , - - 0 , 1 , -

第九章

第七节

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?t=2, ? ∴?t-s=0, ?-t= 2, - ?

解 s=t=2. 得

→ → → ∴PB=2FE+2FG, → → → → → 又∵FE与FG不 线 共 , ∴PB、FE与FG共 . 面 ∵PB?平 EFG,∴PB∥平 EFG. 面 面 自再平 己用面 EFG 的 向 与 法量 → PB垂 的 法 明 . 直方证之

第九章

第七节

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点 : () 证 直 评 1 明线

l1∥l2 时 分 取 ,别

l1、l2 的 个 向 一方向 a1 a2 b1=b2

量 a、b,则 a∥b?存 实 在数

k,使 a=kb 或 用 坐 利其标

a3 = (其 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)). 中 b3 () 证 直 2 明线 ①可 直 取线 =0; l∥平 α 时 面 , l的 向 量 方向 a与 面 α的 向 平 法量 n,明 a· 证 n

第九章

第七节

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②可 平 在面

α内 基 量 取向

{e1,e2}, 明 线 证直 l不 平 在面 α内 可 即;

l的向 方向

量 a=λ1e1+λ2e2, 后 明 然说 ③在 面 α 内 两 平 找点

A、 证 直 B,明 线

l的 向 量 方向

→ n∥AB.

第九章

第七节

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() 证 平 3 明面 则需明 只证

α∥平 β 时 设 α、 的 向 分 为 面 , β 法量别

a、 b,

a∥b.

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第七节

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(21· 北京海淀期末)在 三 柱 01 斜棱 A C 1A1⊥平面 ABC,∠A B =9° C C 0 .

ABC-A1B1C1 中,侧面

第九章

第七节

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() 求 : BC⊥AA1; 1 证 () 若 M,N 是 BC 上 两 三 分 , 证 2 棱 的个等点求: 面 AB1M. A1N∥平

第九章

第七节

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证 : () 因 ∠A B =90° 所 明 1 为 C , 以 AC⊥CB, 又 面 A C 1A1⊥平 ABC, 侧 C 面 且 面 A C 1A1∩平 ABC=AC, 平 C 面 BC?平 ABC, 以 BC⊥平 A C 1A1, 面 所 面 C 又 AA1?平 A C 1A1, 以 BC⊥AA1. 面 C 所

第九章

第七节

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() 证 一 连 2 法:接

A1B, AB1 于 O 点 连 交 ,接

MO,

在△A1BN 中 O,M 分 为 A1B,BN 的 点 , 别 中, 所 OM∥A1N. 以 又 OM?平 AB1M,A1N?平 AB1M, 面 面 所 A1N∥平 AB1M. 以 面

第九章

第七节

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证二 法 : ∵M、N 为 BC 的 等 点 三分,

→ → ∴BM=MN,

→ → → → → → → → → A1N=A1A+AM+MN=B1B+AM+BM=AM+B1M, ∵A1N?平 AB1M,∴A1N∥平 AB1M. 面 面

第九章

第七节

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用向量证明线面垂直

[例 2]

如所,四锥 图示在棱

P-AC BD

中,PA⊥底面

AC ,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60° BD ,PA=AB=BC,E 是 PC 的中点.证明:

第九章

第七节

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() AE⊥CD; 1 () PD⊥平 ABE. 2 面

第九章

第七节

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证明:∵AB、AD、AP 两 垂 , 立 图 示 空 两 直建 如所 的 间 直坐系 角标, 设 PA=AB=BC=1, P(,1 则 0,) 0 .

第九章

第七节

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() ∵∠ABC=6° , 1 0 ∴△ABC 为正三角形. 1 3 1 3 1 ∴C(2, 2 ,0 ,E(4, 4 ,2). ) 设 D(0,y,0),由 AC⊥CD, → → 得AC· =0, CD 2 3 2 3 ∴y= ,即 D(0, ,0 , ) 3 3 1 3 → ∴CD=(-2, 6 ,0 . )
第九章 第七节

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3 1 → 1 又AE=(4, 4 ,2), 1 1 3 3 → → ∴AE· =-2×4+ 6 × 4 =0, CD → → ∴AE⊥CD,即 AE⊥CD.

第九章

第七节

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() 设平面 ABE 的 个 向 为 2 一法量 → ∵AB=(0) 1, ,0

n=(x,y,z),

3 1 → 1 ,AE=(4, 4 ,2), ?x=0, ? 即?1 3 1 . ?4x+ 4 y+2z=0 ?

? → ?n· =0, AB ∴? → ?n· =0, ? AE

令 y=2,则 z=- 3,∴n=(2 ,- 3). 0 ,

第九章

第七节

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2 3 3 → → ∵PD=(0, 3 ,-1 ,显然PD= 3 n. ) → → ∵PD∥n,∴PD⊥平面 ABE.即 PD⊥平面 ABE.

第九章

第七节

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点 : () 证 直 评 1 明线 b, 明 a· 证 b=0. () 证 直 2 明线

l1 与 l2 垂 时 取 直,

l1、2 的 向 量 l 方向

a、

l与 面 α垂 时 取 平 直,

α的 向 法量

n,l 的 方

向 量 a, 明 a∥n. 向 证 或平 取面 方向 向量 α内 两 交 线 方 向 的相直的向量 a、b 与 线 l 的 直

e, 明 a· 证 e=0,b· e=0.

第九章

第七节

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() 证 平 3 明面

α 与 β 垂 时 ,取 α、β 的 向 直 法量 α的 向 法量 n,另 个 面 在一平

n1、n2,证 β内 取

明 n1·2=0.或 一 平 n 取个面

基 量 {e1,e2}, 明 n=λe1+μe2. 向 证 () 证 平 与 直 关 是 待 问 中 线 方 向 4 明 行垂的 键将证题 直 的向 量平的向表出 和面法量示来 (用 知 量 示 用 标 示 已向表或坐表 ).

第九章

第七节

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(02 21·

湖理 南 , 18)如 , 四 锥 图在 棱

P-AC BD

中 PA⊥平 ,

面 AC ,AB=4,BC=3,AD=5,∠DB =∠ABC=90° BD A , E 是 CD 的 点 中.

第九章

第七节

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() 证 : CD⊥平 PE ; 1 明 面 A () 若 线 PB 与 面 PE 所 的 和 2 直 平 A 成角 成角等求棱 的相,四锥 P-AC BD 的积 体.
第九章 第七节

PB 与 面 AC 平 BD



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解: 如, 析 图以

A为标点 坐原,

AB、AD、AP 所 直 在线 PA=h, 则 ,D(5) 0, ,0 ,

分为 x轴 y轴 z轴立间角标. 别 、 、 建空直坐系设 相关各点的坐标为:A(0) 0, ,0 E(4) 2, ,0 ,P(0 ,h). 0 , ,B(0) 4, ,0 ,C(3) 4, ,0

第九章

第七节

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→ → () 易 CD=(-4,2,0),AE=(4) 1 知 2, ,0

→ ,AP=(0 ,h). 0 ,

→ → → → 因 CD· = 8+8+0=0,CD· =0, 以 CD⊥AE, 为 AE - AP 所 CD⊥AP.而 AP、AE 是 面 PE 内 两 相 直 , 以 平 A 的 条 交 线所 ⊥平 PE . 面 A → → () 由 设 2 题 和 () 知 CD、PA分 是 面 1 , 别平 的向. 法量 而 PB 与 面 PE 所 的 和 平 A 成角 相, 等
第九章 第七节

CD

PE 、 面 AC A 平 BD

PB 与 面 AC 平 BD

所的 成角

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→ → → → 所 cs 〈CD,PB〉|=|o 〈PA,PB〉|, 以o | cs ? → → ? ? → → ? PB PB ? CD· ? ? PA· ? 即? = . → →? ?→ →? | | ?|CD|·PB|? ?|PA|·PB|? → → 由() 知 CD=(-4,2,0),PA=(0 , h), 1 , 0 , - → 又PB=(0 , h), 4 , -
? -16+0+0 ? ? 0+0+h2 ? ? ? ? 故? 2?=? 2?. ? ?2 5· 16+h ? ?h· 16+h ?

8 5 解 h= 5 . 得
第九章 第七节

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又 形 AC 梯 BD 所四锥 以棱

的积 面为 P-AC BD

1 S= ×(5+3)×4=16, 2 的积 体为

1 1 8 5 128 5 V= ×S×PA= ×16× = . 3 3 5 15

第九章

第七节

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用向量方法证明面面垂直与平行

[例 3 ]

已正体 知方

AC -A1B1C1D1 的 长 BD 棱为

2, F、 E、

G 分 是 BB1、DD1、DC 的 点 ,求 : 别 中 证

第九章

第七节

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() 平 A E ∥平 B1C1F; 1 面 D 面 () 平 A E ⊥平 A1D1G; 2 面 D 面 () 在 AE 上 一 3 求点 M, 得 A1M⊥平 DE . 使 面 A

第九章

第七节

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→ → → 解 : 以D为 点 析 原 , DA、DC、DD1为 交 底 立 间 正基建空 直坐系 角标 E(2) 2, ,1 O-xyz, D(0) 则 0, ,0 ,G(1) 0, ,0 , 1(0) D 0, ,2 ,B1(2) 2, ,2 , 2,) A(0 ,0 ,C1(2) 0, ,2 , 1(0) A 2, ,2 . AE 、 D ,

,F(0) 0, ,1

() 设 n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2)分 是 面 1 别平 平 B1C1F 的 向 , 面 法量则 → → n1⊥DA,n1⊥AE.

? → ?2x =0, ?n1· =0, DA ? 1 ∴? ∴? ?2y1+z1=0, → ? ?n · =0, ? 1 AE
第九章 第七节

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取 y1=1,z1= 2,∴n1=(1 , 2 . - 0 , - ) 同可 理求 n2=(1 , 2). 0 , -

∵n1∥n2,∴平 A E ∥平 B1C1F. 面 D 面

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→ → () ∵DA· 1G=(0), 2 D 2,(1 ,0 0 · → → ∴DA⊥D1G. → → ∵AE· 1G=(2), D 0,(1 ,1 0 ·

, 2)=0, -

→ → , 2)=0,∴AE⊥D1G. -

→ → ∵DA、AE不 线 共 , ∴D1G⊥平 A E . 面 D 又∵D1G?平 A1D1G,∴平 A E ⊥平 A1D1G. 面 面 D 面

第九章

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() 由 点 3 于 (2 λ,λ), 0 ,

→ → M 在 AE 上,所 可 以 设 AM=λ· =λ· AE (2) 0, ,1



→ ∴M(2 λ,λ),A1M=(2 λ,λ-2). 2 , 0 , 要 A1M⊥平 DE ,只 A1M⊥AE, 使 面 A 需 → → ∴A1M· =(2 λ,λ-2,1 AE 0 , (2) 0, ) · =5λ-2=0,

2 2 ∴λ=5.故 AM=5AE 时,A1M⊥平 DE . 当 面 A

第九章

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(02 21·

巢湖市期末)如图,已知正方形 AC BD

的边长为 1,

FD⊥平面 AC ,EB⊥平面 AC ,FD=BE=1,M 为 BC BD BD 边上的动点.

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() 证 : ME∥平 FD ; 1 明 面 A () 试 究 2 探点 M的 置 使 面 位,平 A E ⊥平 AEF. M 面

第九章

第七节

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解析:() 以 D 为 标 点 分 以 1 坐原,别 直线为 x 轴、 轴、 轴建 空 直 坐 系 图则 y z ,立 间 角 标 如 , A(0) 1, ,0 、F(0) 0, ,1 、C(1) 0, ,0 、B(1) 1, ,0

DA、DC、DF 所在 D(0 0, ,0 , )、

、E(1) 1, ,1

第九章

第七节

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因 M 为 BC 边 的 点 所 设 为 上 动 ,以 (1-λ,0,1), 平 而面 FD 的 个 向 为 A 一法量

→ M(λ,1,0), 以 ME= 所 → DC=(1) 0, ,0 .

→ → 因为ME· =(1-λ,0),,) DC 10 ,(1 0 · 平 FD , 以 ME∥平 FD . 面 A 所 面 A

=0+0+0=0,且 ME?

第九章

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() 设 面 2 平 的向为 法量

AEF 的 向 为 法量

n1=(x1,y1,z1), 面 平

AE M

n2=(x2,y2,z2), () 知 M(λ,1) . 由1 0 , → ,AF=(-1,0,1),
?y +z =0, ? 1 1 ? 即 ?z1-x1=0, ?

→ ∵AE=(1) 0, ,1

? → ?n1· =0, AE ∴? → ?n · =0, AF ? 1

令 z1=1 得 x1=1,y1=-1,∴n1=(1, 1,1), -

第九章

第七节

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→ 又AE=(1) 0, ,1

→ ,AM=(λ-1,1,0),
?y +z =0, ? 2 2 ? 即 ?x2?λ-1?+y2=0, ?

? → ?n2· =0, AE ∴? → ?n · =0, AM ? 2

令 x2=1,得 y2=1-λ,z2=λ-1,∴n2=(1 -λ,λ-1). 1 , 若 面 A E ⊥平 AEF,则 n1⊥n2,∴n1·2=0,即 1- 平 M 面 n 1 (1-λ)+λ-1=0, 得 λ= , 时 M 为 BC 的 点 解 此 中, 2 ∴当 M 为 BC 的 点 , 面 中时平 A E ⊥平 AEF. M 面
第九章 第七节

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课堂巩固训练

第九章

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一、解答题 1 已知四棱锥 P-AC BD 的底面是直角梯形, ∠ABC=∠

B D =90° C ,AB=BC=PB=PC=2CD,侧面 PBC⊥底面 AC . BD

第九章

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() 证 : PA⊥BD; 1 明 () 证 : 面 2 明平 PD ⊥平面 PB . A A

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[证明]

() 取 BC 的 点 O, 1 中

∵侧面 PBC⊥底面 AC ,△PBC 为等边三角形, BD ∴PO⊥底面 AC . BD 以 O 为 标 点以 坐原, BC 所在直线为 x 轴 过 ,点 O 与 AB

平行的直线为 y 轴,建立如图所示空间直角坐标系.

第九章

第七节

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不妨设 CD=1,则 AB=BC=2,PO= 3. ∴A(1,-2,0),B(0) 1, ,0 ,D(-1,-1,0),P(0 , 3). 0 ,

第九章

第七节

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→ → ∴BD=(-2, 1,0),PA=(1, 2, - - - 3). → → → → ∵BD· =0,∴PA⊥BD,∴PA⊥BD. PA

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第七节

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() 取 PA 的 点 M, 结 DM, 2 中 连 则

?1 M? , ?2 - ?

3? ? 1, ?. 2?

3? → → ?3 ? ∵DM=? ,0, ?,PB=(0 , 1 , - 3), 2 2? ? ? → → → → ∴DM· =0,∴DM⊥PA, DM⊥PA. PA 即 → → → → 又DM· =0,∴DM⊥PB, DM⊥PB. PB 即 ∵PA∩PB=P,∴DM⊥平 PB , 面 A ∵DM?平 PD ,∴平 PD ⊥平 PB . 面 A 面 A 面 A

第九章

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[点评]

线垂 即线 方 向 垂 ;面 直 线直 直的 向 量 直 线垂 即

直的向量平的向平;面直二面 线方向与面法量行面垂即平的 法向量垂直.

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2.(01 21· AE CF

六安月考)如 所 , 知 方 图 示 已 正 形

AC BD

和矩形

所的面相直 在平互垂,

AB= 2,AF=1,M 是 段 EF 线

的点 中.

求 : () AM∥平 B E ; 证 1 面 D () AM⊥平 B F . 2 面 D
第九章 第七节

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[证明]

() 建 如 所 的 间 角 标 , 1 立 图 示 空 直 坐 系设

AC∩BD

=N,连接 NE.

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2 2 则点 N、E 的坐标分别为( 2 , 2 ,0)、(0,0,1). 2 2 → ∴NE=(- 2 ,- 2 ,1). 2 2 又点 A、M 的坐标分别是( 2, 2,0)、( 2 , 2 ,1), 2 2 → ∴AM=(- 2 ,- 2 ,1). → → ∴NE=AM且 NE 与 AM 不共线.∴NE∥AM. 又∵NE?平面 BDE,AM?平面 BDE, ∴AM∥平面 BDE.
第九章 第七节

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2 2 → () 由() 知AM=(- , 2 1 - ,1), 2 2 ∵D( 2,0,0),F( 2, 2,1), → ∴DF=(0, 2,1). → → → → ∴AM· =0,∴AM⊥DF,∴AM⊥DF. DF 同 AM⊥BF.又 DF∩BF=F, 理 ∴AM⊥平 B F . 面 D

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