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北京市昌平区2018届高三上学期期末考试数学(理科)试题+Word版含答案


昌平区 2017-2018 学年第一学期高三年级期末质量抽测 数学试卷(理科)
2018.1

本试卷共 5 页,共 150 分. 考试时长 120 分钟. 考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上 作答无效.

第一部分(选择题 共 40 分)
一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要 求的一项. 1. 若集合 A ? {x | ?2 ? x ? 1} , B ? {x | x( x ? 3) ? 0} ,则 A ? B ? A. {x | x ? 1或x ? 3} C. {x | ? 2 ? x ? 0或x ? 3} B. {x | ? 2 ? x ? 1} D. {x | ?2 ? x ? 0}

2. |

1+ i |? i
B.

A. ? 2

2

C. ?1

D. 1

3. 执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为

A.43 C. 61

B. 55 D. 81

-1-

? x ? y ? 1, ? 4.设 x, y 满足 ? x ? y ? 1, 则 z ? 2 x ? 2 y 的最大值为 ? x ? 0, ?

A.

1 4

B. 2

C. 4

D. 16

5.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的四个侧面中,面积的最小值为

A. 1

B.

2

C. 2

D. 2 2

6.已知函数 f ( x) ? e ? e , 则函数 f ( x )
x

?x

A.是偶函数,且在 ( ??, 0) 上是增函数 C. 是偶函数,且在 ( ??, 0) 上是减函数

B. 是奇函数,且在 ( ??, 0) 上是增函数 D. 是奇函数,且在 ( ??, 0) 上是减函数

7. 设 0 ? x ?

π ,则“ cos x ? x 2 ”是“ cos x ? x ”的 2
B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

A.充分而不必要条件 C. 充分必要条件

8. 四个足球队进行单循环比赛(每两队比赛一场) ,每场比赛胜者得 3 分,负者得 0 分,平 局双方各得 1 分. 比赛结束后发现没有足球队全胜,且四队得分各不相同,则所有比赛中可能 出现的最少平局场数是 A.0 B. 1 C. 2 D. 3

-2-

第二部分(非选择题
二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. (1 ? x)7 的二项展开式中 x 2 的系数为

共 110 分)



10. 已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2 sin ? ,以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立 平面直角坐标系,那么曲线 C 的直角坐标方程为 .

11. 已知直线 l : 4 x ? 3 y ? 5 ? 0 ,点 P 是圆 ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 1 上的点,那么点 P 到直 线 l 的距离的最小值是 .

uur uuu r 12. 已知 Rt?ABC , AB ? AC ? 1 ,点 E 是 AB 边上的动点,则 CE ? AC 的值为 uur uur CE ? CB 的最大值为
.



13. 某商业街的同侧有 4 块广告牌,牌的底色可选用红、蓝两种颜色,若要求任意相邻两块 牌的底色不都为红色,则不同的配色方案有 种.

14.若函数 f ( x) ? ? ①若 a ?

?? x ? 4, x ? 3, ( a ? 0 且 a ? 1) ,函数 g ( x) ? f ( x) ? k . ?log a x, x ? 3
; .

1 ,函数 g ( x) 无零点,则实数 k 的取值范围是 3

②若 f ( x) 有最小值,则实数 a 的取值范围是

三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题 13 分) 已知等差数列 { an } 的公差 d 为 1,且 a1 , a3 , a4 成等比数列. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设数列 bn ? 2
an ?5

?n



求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn .

-3-

16. (本小题 13 分) 在 ?ABC 中, 3a sin C ? c cos A . (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 S?ABC ? 3 , b ? c ? 2 ? 2 3 ,求 a 的值.

17. (本小题 13 分) 随着“中华好诗词”节目的播出,掀起了全民诵读传统诗词经典的热潮.某社团为调查大 学生对于“中华诗词”的喜好,从甲、乙两所大学各随机抽取了 40 名学生,记录他们每天学 习“中华诗词”的时间,并整理得到如下频率分布直方图:

图 1:甲大学

图 2:乙大学

根据学生每天学习“中华诗词”的时间,可以将学生对于“中华诗词”的喜好程度分为 三个等级 : 学习时间 t (分钟/天) 等级
t ? 20 20 ? t ? 50 t ? 50

一般

爱好

痴迷

(Ⅰ)从甲大学中随机选出一名学生,试估计其“爱好”中华诗词的概率; (Ⅱ)从两组“痴迷”的同学中随机选出 2 人,记 ? 为选出的两人中甲大学的人数,求 ? 的 分布列和数学期望 E ?? ? ; (Ⅲ)试判断选出的这两组学生每天学习“中华诗词”时间的平均值 X 甲 与 X 乙 的大小,及 方差 S 2甲 与 S 2乙 的大小.(只需写出结论)

-4-

18.(本小题 14 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,∠ABC=60° , ?PAB 为 正三角形,且侧面 PAB⊥底面 ABCD, E 为线段 AB 的中点, M 在线段 PD 上. (I)当 M 是线段 PD 的中点时, 求证:PB // 平面 ACM; (II)求证: PE ? AC ; (III)是否存在点 M ,使二面角 M ? EC ? D 的大小为 60° ,若存在,求出 在,请说明理由.

PM 的值;若不存 PD

19.(本小题 14 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? ln( x ? 1) , a ? R . (I)当 a = 2 时,求曲线 y = f ( x ) 在点( 0,f (0) )处的切线方程; (II)求函数 f ( x) 在区间[0 , e -1]上的最小值.

20.(本小题 13 分) 已知数列 1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16, L ,其中第一项是 20,接 下来的两项是 20,21,再接下来的三项是 20,21,22,依此类推. 设该数列的前 n 项和为 Sn ,
* p 规定:若 ? m ? N ,使得 Sm ? 2 ( p ? N ) ,则称 m 为该数列的“佳幂数”.

(Ⅰ)将该数列的“佳幂数”从小到大排列,直接写出前 3 个“佳幂数”; (Ⅱ)试判断 50 是否为“佳幂数”,并说明理由; (III) (i)求满足 m >70 的最小的“佳幂数” m ; (ii)证明:该数列的“佳幂数”有无数个.

昌平区 2017-2018 学年第一学期高三年级期末质量抽测
-5-

数学试卷(理科)参考答案 一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分)
题号 答案 1 D 2 B 3 C 4 C 5 B 6 C 7 A 8 B

二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 9. 21 12. ?1 ;
2

10.

x2 ? ( y ?1)2 ? 1

11. 2

13. 6 , 7 , 8 答对一个即可给满分

14. [?1,1) ; (1 , 3]

三、解答题(共 6 小题,共 80 分) 15.(共 13 分) 解: (Ⅰ)在等差数列 { an } 中,因为 a1 , a3 , a4 成等比数列, 所以 a32 ? a1a4 , 即 (a1 +2d )2 ? a12 ? 3a1d ,
2 解得 a1d ? 4d ? 0 .

因为 d ? 1, 所以 a1 ? ? 4, 所以数列 ?an ? 的通项公式 an ? n ? 5 . (Ⅱ)由(Ⅰ)知 an ? n ? 5 , 所以 bn ? 2an ?5 ? n ? 2n ? n . 得 ?????6 分

Sn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ? (2 ? 22 ? 23 ? ? ? 2n ) ? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) 2(1 ? 2n ) n(1 ? n) ? 1? 2 2 n ( n ? 1) ? 2n?1 ? ?2 2 =
?????13 分 16. (共 13 分)
-6-

解: (I)因为 3a sin C ? c cos A ,所以 cos A ? 0 , 由正弦定理

a b c ? ? , sin A sin B sin C

得 3 sin A ? sin C ? sin C ? cos A . 又因为 C ? (0, ?) , sin C ? 0 , 所以 tan A ?

3 . 3

又因为 A ? (0, ?) , 所以 A ? (II)由 S ?ABC

? . ????? 6 分 6 1 1 ? bc sin A ? bc ? 3 ,得 bc ? 4 3 , 2 4

由余弦定理 a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ,
2 2 2 得 a ? b ? c ? 2bc cos

? , 6

即 a2 ? (b ? c)2 ? 2bc ? 3bc ? (b ? c)2 ? 8 3 ?12 , 因为 b ? c ? 2 ? 2 3 , 解得 a ? 4 .
2

因为 a ? 0 , 所以 a ? 2 .

?????13 分

17. (共 13 分) 解 : (Ⅰ) 由 图 知 , 甲 大 学 随 机 选 取 的 40 名 学 生 中 , “爱好”中华诗词的频率为

(0.030 ? 0.020 ? 0.015) ?10 ? 0.65 ,
所以从甲大学中随机选出一名学生, “爱好”中华诗词的概率为 0.65 . ???3 分

(Ⅱ) 甲大学随机选取的 40 名学生中“痴迷”的学生有 40 ? 0.005 ? 10 ? 2 人, 乙大学随机选取的 40 名学生中“痴迷”的学生有 40 ? 0.015 ? 10 ? 6 人, 所以,随机变量 ? 的取值为 ? ? 0,1, 2 . 所以, P(? ? 0) ?
2 C0 2 C6

C

2 8

?

15 , 28

-7-

P (? ? 1) ?

1 C1 2 C6

C

2 8

?

12 3 ? , 28 7 1 . 28

P(? ? 2) ?

0 C2 2 C6

C

2 8

?

所以 ? 的分布列为

?
P

0 15 28

1 3 7

2 1 28 ?????10 分

? 的数学期望为 E(? ) ? 0 ?
(Ⅲ) X 甲 ? X 乙 ; s 2 n ? s 2 n .

15 3 1 1 ? 1? ? 2 ? ? . 28 7 28 2
?????13 分

18. (共 14 分) (I)证明:连接 BD 交 AC 于 H 点,连接 MH, 因为四边形 ABCD 是菱形, 所以点 H 为 BD 的中点. 又因为 M 为 PD 的中点, 所以 MH // BP. 又因为 BP ? 平面 ACM, MH ? 平面 ACM. 所以 PB // 平面 ACM. ?????4 分

(II)证明:因为 ?PAB 为正三角形,E 为 AB 的中点, 所以 PE⊥AB . 因为平面 PAB⊥平面 ABCD,平面 PAB∩平面 ABCD=AB,PE ? 平面 PAB, 所以 PE⊥平面 ABCD. 又因为 AC ? 平面 ABCD , 所以 PE ? AC . ?????8 分

(Ⅲ) 因为 ABCD 是菱形,∠ABC=60° ,E 是 AB 的中点, 所以 CE⊥AB . 又因为 PE⊥平面 ABCD, 以 E 为原点,分别以 EB, EC , EP 为 x, y, z 轴, 建立空间直角坐标系 E ? xyz , 则 E ? 0, 0, 0 ? , B ?1, 0, 0 ? ,

-8-

P 0,0, 3 , C 0, 3,0 , D ?2, 3, 0 . ???10 分

?

?

?

?

?

?

???? ? ??? ? 假设棱 PD 上存在点 M ,设点 M 坐标为 ? x, y, z ? , PM ? ? PD ? 0 ? ? ? 1? ,
则 x, y, z ? 3 ? ? ?2, 3, ? 3 , 所以 M ?2? , 3? , 3(1 ? ? ) ,

?

???? ? ??? ? 所以 EM ? ?2? , 3? , 3(1 ? ? ) , EC ? 0, 3, 0 ,

?

? ?

?

?

?

?

?

?

设平面 CEM 的法向量为 n ? ? x, y, z ? ,则 ???? ? ? ? ?n ? EM ? ?2? x ? 3? y ? 3(1 ? ? ) z ? 0 ?y ? 0 ,解得 ? . ? ? ??? ? ? ?2? x ? 3(1 ? ? ) z ?n ? EC ? 3 y ? 0 令 z ? 2? ,则 x ? 3(1 ? ? ) ,得 n ?

?

3(1 ? ? ),0, 2? .

?

因为 PE⊥平面 ABCD, 所以平面 ABCD 的法向量 m ? ? 0, 0, 1? ,

n?m 2? 2? ? ? . 2 2 2 | n |?| m | 4? ? 3(1 ? ? ) 7 ? ? 6? ? 3 因为二面角 M ? EC ? D 的大小为 60° , 2? 1 ? , 所以 7 ? 2 ? 6? ? 3 2
所以 cos? n, m ? ? 即 3? 2 ? 2? ? 1 ? 0 , 1 解得 ? ? ,或 ? ? ?1 (舍去) 3 PM 1 所以在棱 PD 上存在点 M ,当 . ? 时,二面角 M ? EC ? D 的大小为 60° PD 3 ???????14 分

19. (共 14 分) 解: (I)f (x)的定义域为 (?1, ??) . 因为 f '( x) ? a ? ?????1 分

1 ,a = 2, x ?1

所以 f ' (0) ? 2 ? 1 ? 1 , f (0) ? 0 . 所以 函数 f (x)在点 (0, f (0)) 处的切线方程是 y ? x . (II)由题意可得 f '( x) ? a ? ?????4 分

1 . x ?1

(1)当 a ? 0 时, f '( x) ? 0 , 所以 f ( x) 在 (?1, ??) 上为减函数, 所以在区间 [0, e ? 1] 上, f ( x )min ? f (e ? 1) ? a(e ? 1) ? 1 . ?????6 分

-9-

(2) 当 a ? 0 时, 令 f '( x) ? a ? ① 当

1 1 ? 0 ,则 x ? ? 1 ? ?1 , x ?1 a

1 ? 1 ? 0 ,即 a ? 1 时, a

' 对于 x ? (0, e ? 1) , f ( x) ? 0 ,

所以 f (x)在 (0, e ? 1) 上为增函数, 所以 f ( x)min ? f (0) ? 0 .
1 ② 当 a ? 1 ? e ? 1, ,即 0 ? a ? 1 时, e
' 对于 x ? (0, e ? 1) , f ( x) ? 0 ,

所以 f (x)在 (0,e ? 1) 上为减函数, 所以 f ( x )min ? f (e ? 1) ? a(e ? 1) ? 1 .
1 ③ 当 0 ? a ? 1 ? e ? 1, 即 1 ? a ? 1 时, e

当 x 变化时, f ( x) , f '( x) 的变化情况如下表:

x
f '( x )

0

(0,

1 ? 1) a
-

1 ?1 a
0 极小值

1 ( ? 1,e ? 1) a

e ?1

+

f ( x)

?

?

1 1 1 f ( x)min ? f ( ? 1) ? a( ? 1) ? ln ? 1 ? a ? ln a a a a 所以 . ???13 分
综上, 当 a ? 1 时, f ( x )min ? a(e ? 1) ? 1 ; e 当 1 ? a ? 1 时, f ( x )min ? 1 ? a ? ln a ; e 当 a ? 1 时, f ( x ) min ? 0 . ?????14 分

- 10 -

20. (共 13 分) (Ⅰ)1,2,3; (Ⅱ)由题意可得,数列如下: 第 1 组:1,第 2 组:1,2;第 3 组:1,2,4; L 第 k 组: 1, 2, 4, L, 2k ?1 . 则该数列的前 1 ? 2 ? L ? k ?
k (k ? 1) 项的和为: 2

?????3 分

S k ( k ?1) ? 1 ? (1 ? 2) ? L ? (1 ? 2 ? L ? 2k ?1 ) ? 2k ?1 ? k ? 2 ,①
2

当 k (k ? 1) ? 50 时, k ? 9 , 2 则 S50 ? S45 ? 1 ? 2 ? 22 ? 23 ? 24 ? 210 ?11 ? 31 ? 210 ? 20 , 由于 210 ? 210 ? 20 ? 211 ,对 ?p ? N , S50 ? 2 p ,故 50 不是“佳幂数”. ?????7 分 (III) (i)在①中,要使
k (k ? 1) ? 70 ,有 k ? 12 , 2

k +1 1 k 此时 1+2+4+L +2k =2k +1 ? 1=(1+1) ? 1 ? 1 ? Ck ?1 ? L ? Ck ?1 ? 1 ? 1 ? k ? 2 ,

L, 2k 的部分项的和, 所以 k ? 2 是第 k ? 1 组等比数列 1, 2, 4,

设 k ? 2 ? 1 ? 2 ? L ? 2t ?1 ? 2t ? 1, t ? N*. 所以 k ? 2t ? 3 ? 12 ,则 t ? 4 ,此时 k ? 24 ? 3 ? 13 , 所以对应满足条件的最小“佳幂数” m ?
13 ? 14 ? 4 ? 95 . 2

?????11 分

(ii)由(i)知: k ? 2 ? 1 ? 2 ? L ? 2t ?1 ? 2t ? 1, t ? N*.

k (k ? 1) 当 t ? 2 ,且取任意整数时,可得“佳幂数” m ? ?t, 2
所以,该数列的“佳幂数”有无数个. ?????13 分

- 11 -


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