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上海市闸北区2014届高三5月模拟考试数学(理)试题


闸北区 2013 学年高三年级五月考试 数 学 试 卷(理科)
考生注意: 1.答卷前,考生务必在答题纸上将学校、姓名及准考证号等填写清楚,并在规定的区域内 贴上条形码.答题时客观题用 2B 铅笔按要求涂写,主观题用黑色水笔填写. 2.本试卷共有 23 道题,共 4 页.满分 150 分,考试时间 120 分钟. 3.考试后只交答题纸,试卷由考生自己保留.

一. 填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸上相应编号的空格 内直接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分.
1.

( 2x ? ) 函数 f ( x) ? sin 的最小正周期为 T ? π

π 3

,

2. 函数 y ? log2 ( x ? 1) 的反函数为___ y ? 2 x ? 1, x ? R ____
2 3. 已知集合 A ? {x x ? 1 ? 1, x ? R} , B ? {x x ? 4 x ? 3 ? 0} ,则 A ? B =_ (1,2) ____

4. 已知 cos x ?
5. (x ?

sin x cos x 3 π 7 , x ? (? ,0) , 则 =____ ? ____ 5 2 5 1 1

1 6 ) 的展开式中 x 2 的系数为_______ 15 ______.(用数字作答) x

6.

设 i 是 虚 数 单 位 , 复 数 1 ? i 为 方 程 x 2 ? 2x ? m ? 0(m ? R) 的 一 个 根 , 则

m =_____2____.
7. 从 4 名男同学和 3 名女同学中随机选出 3 人参加演讲比赛,则女同学被抽到的数学期望 为______

9 ___ 7

8.

某圆锥体的侧面展开图是半圆,当侧面积是 2π 时,则该圆锥体的体积是 已知 ΔABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且

3 π 3



9.

c?b sin A ? , 则 c ? a sin C ? sin B

B ? ___

π ____ 3

10. 极坐标系中, A, B 分别是直线 3 ρ cosθ ? 4 ρ sin θ ? 7 ? 0 和圆 ρ ? 2 cosθ 上的动点,则

A, B 两点之间距离的最小值是

1

.

1

11. 对于正项数列 ?a n ?,定义 H n ?

n 为 ?a n ?的“光阴”值,现知 a1 ? 2a 2 ? 3a3 ? ? ? nan 1 某 数 列 的 “ 光 阴 ” 值 为 Hn ? , 则 数 列 ?a n ? 的 通 项 公 式 为 n?2 1 * _____ an ? 2 ? , n ? N _____ n
1 x2 ,0)( n ? N * ) 且方向向量为 ? y 2 ? 1 于 An , Bn 两点, 的直线交椭圆 ( 2,1 ) n 4
n??

( 2? 12. 过点

记原点为 O , ΔOAn Bn 面积为 S n ,则 lim S n ? __1______ 13. 将正整数 1, 2,3, 4,

, n2 ( n ? 2 )任意排成 n 行 n 列的数表.对于某一个数表,计算各
a ,称这些比值中的最小值为这个数表 b

行和各列中的任意两个数 a , b ( a ? b )的比值

的“特征值”.若 aij 表示某个 n 行 n 列数表中第 i 行第 j 列的数( 1 ? i ? n , 1 ? j ? n ) , 且满足 aij ? ?
一| 网

?i ? ( j ? i ? 1)n, i ? j, 5 ,当 n ? 4 时数表的“特征值”为______ ___ | 4 ?i ? (n ? i ? j ? 1)n,i ? j,

14. 如 图 , 在 直 角 梯 形 A B C D 中 , AB //CD , AB ? BC , AB ? 2 , CD ? 1 ,
C D

BC ? a(a ? 0) , P 为线段 AD (含端点) 上一个动点, 设 AP ? xAD , PB ? PC ? y ,
对于函数 y ? f ( x) ,给出以下三个结论: ○ 1 当 a ? 2 时,函数 f ( x ) 的值域为
B

P

A

[1, 4]; ○ 2 对任意 a ? 0 ,都有 f (1) ? 1 成立;

3 对任意 a ? 0 , 函数 f ( x ) 的最大 ○

值都等于 4. ④存在实数 a ? 0 ,使得函数 f ( x) 最小值为 0 。其中所有正确结论的序号 是______②③④___. 二. 选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题只有一个正确答案.考生应在 答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分 15. 执行如图所示的程序框图.若输入 x ? 3 ,则输出 k 的值是( A. 3 C. 5 B. 4 D. 6 C )
开始

输入 x

k ?0
x ? x?5
k ? k ?1

16. 某高中学校采用系统抽样方法,从该校全体 800 名学生中抽 50 名学生做牙齿健

800 康检查。现将 800 名学生从 1 到 800 进行编号,求得间隔数 k = =16,即每 50
16 人抽取一个人。在 1~16 中随机抽取一个数,如果抽到的是 7,则从 33 ~ 48 这 16 个数中应取的数是( B ) A. 40. B.39.
2

C.38.

D.37.

x ? 24
是 输出 k



结束

17. 已知 F1 , F2 为双曲线 C : x 2 ? y 2 ? 2 的左右焦点,点 P 在 C 上, | PF 1 |? 2 | PF 2 | ,则

cos?F1PF2 ? (
A.

D

) B.

1 4

3 5

C.

4 5

D.

3 4

18. 函数 y ? f ( x) 的定义域为 [?2,0) ? (0,2] ,其图像上任一点 P( x, y ) 都位于椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1 上,下列判断①函数 y ? f ( x) 一定是偶函数;②函数 y ? f ( x) 可能既不 4
是偶函数,也不是奇函数;③函数 y ? f ( x) 可能是奇函数;④函数 y ? f ( x) 如果是偶 函数,则值域是 [?1,0)或(0,1] ;⑤函数 y ? f ( x) 值域是 (?1,1) ,则一定是奇函数。其 中正确的命题个数有( C A 1 B 2 C 3 D 4 )个

三. 解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应 编号的规定区域内写出必要的步骤. 19. ( 本 题 满 分
?

z A1

E C1

12

分 ) 如 图 , 直 三 棱 柱 ABC ? A1B1C1
B1

中, ?BAC ? 90 , AB ? AA , AC ? 2 , E 为 A1C! 中点,求直线 1 ?2 (结果用反三角函数值表示) CC1 与平面 BCE 所成角的大小。 解:如图建立空间直角坐标系,设平面 BCE 的法向量 n ? (u, v, ω) ,

A

C

y

x

B

直 线 CC1 与 平 面 BCE 所 成 角 为 θ : B(2,0,0), C (0,2,0), E(0,1,2),C1 (0,2,2)

BC ? (?2,2,0), n ? BC ? 0 ? ?2u ? 2v ? 0 CE ? (0,?1,2), n ? CE ? 0 CC1 ? (0,0,2)
? sin θ ?
? ?v ? 2ω ? 0

+2 分 +4 分 令 v ? 2 ,则 n ? (2,2,1) +6 分

n ? CC1 n ? CC1

?

2 1 ? 3? 2 3
1 3

+10 分 ? θ ? arcsin

1 3

直线 CC1 与平面 BCE 所成角大小为 arcsin

+12 分

3

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 7 分,第(2)小题满分 7 分. 如图,某污水处理厂要在一正方形污水处理池 ABCD 内修建一个三角形隔离区以投放净化 物质,其形状为三角形 APQ ,其中 P 位于边 CB 上, Q 位于边 CD 上。已知 AB ? 20 米,

?PAQ ?

π 正方形ABCD面积 ,设 ?PAB ? θ ,记 f (θ ) ? ,当 f (θ ) 越大,则污水净化 6 ΔPAQ面积

效果越好。 (1)求 f (θ ) 关于的函数解析式,并求定义域; (2)求 f (θ ) 最大值,并指出等号成立条件? 解: (1) 0 ? θ ?

D

Q

C P

AP ?

20 cos θ

π π π π π ? ?θ ? ,0 ? ?θ ? 4 3 4 12 4 20 +4 分 AQ ? π cos( ? θ ) 3

+2 分

π 6

A
+6 分

θ

B

S ΔAPQ ?

1 π 100 AP ? AQ sin ? 2 6 cos θ ? cos( π ? θ ) 3
400 100

f (θ ) ?

π π π ( , ) +7 分 ? 4 cosθ ? cos( ? θ ) , θ ? 12 4 3

π cosθ ? cos( ? θ ) 3
(2) f (θ ) ? 2 cos θ ? 2 3 sin θ cos θ ? cos 2θ ? 3 sin 2θ ? 1 ? 2 sin( 2θ ?
2

π ) ? 1 +11 分 6

π π 2 π π π ? 2θ ? ? π 当 2θ ? ? 时,即 θ ? 时 f (θ ) max ? 3 6 3 6 3 6 2 π 答 :当 θ ? 时, f (θ ) 的最大值为 3. +14 分 6

+13 分

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 8 分. 数列 {an } 的首项 a1 ? a , an ? an?1 ? 3n ? 54, n ? N * (1) 求数列 {an } 的通项公式; (2) 设 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 S n 的最小值为 ? 243 ,求 a 的取值范围? 解: (1) a1 ? a, a2 ? ?51? a +1 分

又 an?1 ? an?2 ? 3n ? 51, an ? an?1 ? 3n ? 54 则 an?2 ? an ? 3 即奇数项成等差,偶数项成等差 +3 分
4

?3k ? a ? 3, n ? 2k ? 1 ? an ? ? (k ? N * ) 3 k ? a ? 54 , n ? 2 k ?

?3 (n ? 1) ? a, n为奇数 ? ?2 +6 分 (或: ? an ? ? ) ? 3 n ? a ? 54, n为偶数 ?2 ?
k (k ? 1) ? 6 ? 3(k ? 9) 2 ? 243 2

(2)当 n 为偶数,即 n ? 2k 时: S n ? ?51k ?

? Sn ? S18 ? ?243

+9 分

当 n 为奇数,即 n ? 2k ? 1 时: S n ? S 2 k ? a2 k ? 3(k ?

19 2 3 ) ? a ? 216 2 4

? Sn ? S17 ? S19 ? a ? 216

+12 分 +14 分

?(Sn )min ? ?243 ? a ? 216 ? ?243 ? a ? ?27

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 4 分,第(2)、(3)小题满分各 6 分. 在平面直角坐标系 xOy 中, 原点为 O ,抛物线 C 的方程为 x 2 ? 4 y ,线段 AB 是抛物线 C 的一 条动弦。 (1)求抛物线 C 的准线方程和焦点坐标 F ; (2)求 OA ? OB ? ?4 ,求证:直线 AB 恒过定点;
2 (3)当 AB ? 8 时,设圆 D : x 2 ? ( y ? 1) 2 ? r( r ? 0) ,若存在且仅存在两条动弦 AB ,满足直

线 AB 与圆 D 相切,求半径 r 的取值范围? 解(1)准线方程: y ? ?1 +2 分 焦点坐标: F (0,1) +4 分

(2)设直线 AB 方程为 y ? kx ? b , A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )

? y ? kx ? b 2 得 x ? 4kx ? 4b ? 0 ? 2 ?x ? 4 y
2

? x1 ? x2 ? 4k ?? ? x1 x2 ? ?4b
2

+6 分

OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ?
b?2

x1 x2 ? ?4 16

? x1 x2 ? ?8
+9 分

? ?4b ? ?8

+8 分

直线 y ? kx ? 2 过定点(0,2)
2

(3) AB ? 1 ? k

16 k 2 ? 16b ? 8

1 ? k 2 k 2 ? b ? 2 +11 分

d?

b ?1 1? k
2

?r

+12 分

r?

4 ? k 2 ?1 k ?1
2

k ?1
2

令 t ? k 2 ?1 ? 1

5

r?

4 ?t t3

当 1 ? t ? 2 时, r ?

4 ? t 单调递减, 0 ? r ? 3 t3

+13 分

当t ?

2 时, r ? t ?

k 存在两解即 t 一解

4 单调递增, r ? 0 +14 分 t3 ?r ? 3 +16 分

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 5 分,第(2)小题满分 5 分,第(3) 小题满分 8 分 定 义 函 数 y ? f ( x), x ? D ( D 为 定 义 域 ) 图 像 上 的 点 到 坐 标 原 点 的 距 离 为 函 数 的

y ? f ( x), x ? D 的模。若模存在最大值,则称之为函数 y ? f ( x), x ? D 的长距;若模存在
最小值,则称之为函数 y ? f ( x), x ? D 的短距。 (1)分别判断函数 f 1 ( x) ? 出; (2)求证:指数函数 y ? a x (a ? 0, a ? 1) 的短距小于 1; (3)对于任意 x ?[1,2] 是否存在实数 a ,使得函数 f ( x) ?

1 与 f 2 ( x) ? ? x 2 ? 4 x ? 5 是否存在长距与短距,若存在,请求 x

2 x x ? a 的短距不小于 2 且长距

不大于 4。若存在,请求出 a 的取值范围;不存在,则说明理由? 解(1)设 u ( x) ?

x2 ?

1 ? 2 (当且仅当 x ? ?1 取得等号) x2
+2 分 +3 分

f1 ( x) 短距为 2 ,长距不存在。
设 v( x) ?

x 2 ? (? x 2 ? 4 x ? 5) ? 5 ? 4 x , x ? [?5,1]

v( x)min ? v(1) ? 1

v( x)m a x? v(?5) ? 5
+5 分

f 2 ( x) 短距为 1 ,长距为 5。
(2)设 t ( x) ?

x 2 ? (a x ) 2

?t (0) ? 1
+7 分

? y ? a x (a ? 0, a ? 1) 的短距不大于 1
x 2 ? (a x ) 2 ? 1 ? a x ? 1 ? x 2
当 a ? 1 时,存在 ? 1 ? x0 ? 0 使得 a
x0

? y ? a x 与单位圆存在两个交点
? 1 ? x0
2

?t ( x0 ) ? 1

6

当 0 ? a ? 1 时,存在 0 ? x0 ? 1 使得 a

x0

? 1 ? x0

2

?t ( x0 ) ? 1

? 指数函数 y ? a x (a ? 0, a ? 1) 的短距小于 1;
(3)设 h( x) ?

+10 分

x 2 ? 2 x x ? a , x ? [1,2]

? 函数 f ( x) ? 2 x x ? a 的短距不小于 2 且长
+11 分

距不大于 4 即 4 ? x2 ? 2x x ? a ? 16对于 x ?[1,2] 始终成立

x2 ? 2x x ? a ? 4 对于 x ?[1,2] 始终成立:
1 4 5 ( x ? ) 对于 x ?[1,2] 始终成立 ? a ? 2 2 x 当 1 ? a ? 2 时:取 x ? a 即可知显然不成立 1 4 1 当 a ? 1 时: a ? (3 x ? ) 对于 x ?[1,2] 始终成立 ? a ? ? 2 x 2
当 a ? 2 时: a ?

+14 分

x2 ? 2x x ? a ? 16 对于 x ?[1,2] 始终成立,
3x ? 即 ( 1 2 16 1 16 ) ? a ? ( x ? ) 对于 x ?[1,2] 始终成立: x 2 x ? ?1 ? a ? 5 +17 分 1 5 综上 a ? [ ?1,? ] ? [ ,5] +18 分 2 2

7


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