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2013年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷


2013 年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,满分 40 分。 1.已知集合 M={0,1,2},N={x},若 M∪N={0,1,2,3},则 x 的值为( A.3 B.2 C.1 D.0 ?1 , ( x ? 1) ,则 f(1)的值为( 2.设 f ( x ) ? ? ) ?x ? ? 2, ( x ? 1) )

A.0 B.1 正视图 侧视图 C .2 D.-1 3.已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体是( ) A.圆柱 B.三棱柱 俯视图 C.球 D.四棱柱 (第3题图) 4.函数 y=2cosx-1,x∈R 的最小值是( ) A.-3 B.-1 C.1 D.3 5.已知向量 a=(1,2),b=(x,4),若 a ∥ b ,则实数 x 的值为( ) A.8 B.2 C.-2 D.-8 6.某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为 600,400,800,为了了解教师的教学情 况,该校采用分层抽样的方法,从这三个年级中抽取 45 名学生进行座谈,则高一、高二、 高三年级抽取的人数分别为( ) A.15,5,25 B.15,15,15 C.10,5,30 D.15,10,20 7.某袋中有 9 个大小相同的球,其中有 5 个红球,4 个白球,现从 y 中任意取出 1 个,则取出的球恰好是白球的概率为( ) A. C.
1 5

B.

1 4

(1,2) (3,2)

4 5 D. 9 9 o 8.已知点(x,y)在如图所示的平面区域(阴影部分)内运动,则 z=x+ y 的最大值是( ) A.1 B.2 C.3 D.5 9.已知两点 P(4,0),Q(0,2),则以线段 PQ 为直径的圆的方程是( ) 2 2 2 2 A.(x+2) +(y+1) =5 B.(x-2) +(y-1) =10 2 2 C.(x-2) +(y-1) =5 D.(x+2)2+(y+1)2=10 10.如图,在高速公路建设中需要确定隧道的长度,工程技 术人员已测得隧道两端的两点 A、 B 到点 C 的距离 AC= BC=1km,且∠ACB=120 ?,则 A、B 两点间的距离为 ( )
A. 3 km C.1.5km B. 2 km D.2km
A 1km

(1,0) (第8题图)

x

B

1km 120° C (第10题图)

选择题答题卡

题号 答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,满分 20 分. 11.计算:log21+log24=______。 12.已知 1,x,9 成等比数列,则实数 x=______。 13.经过点 A(0,3),且与直线 y=-x+2 垂直的直线方程是 __________。 14.某程序框图如图所示,若输入的 x 的值为 2,则输出的 y 值为______。 15.已知向量 a 与 b 的夹角为 则|b|=______。

? ,|a|= 2 ,且 a ? b=4, 4

三、解答题:本大题共 5 小题,满分 40 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.(本小题满分 6 分)已知 cos? ? ,? ? (0, ) 。

1 2

?

2

(1) 求 tan? 的值; (2) 求 sin(? ?

?
6

) 的值。

17.(本小题满分 8 分)某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况,抽样调査了 100 位职员的 早餐日平均费用(单位: 元), 得到如下图所示的频率分布直方图, 图中标注 a 的数字模糊不清。 (1) 试根据频率分布直方图求 a 的值,并估计该公司职员早餐日平均费用的众数; (2) 已知该公司有 1000 名职员,试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于 8 元?

频率 组距 a 0.10 0.05

0

2

4

6

8

10

12 早餐日平均费用(元)

(第17题图)

18.(本小题满分 8 分)如图,在三棱锥 A-BCD 中,AB⊥平面 BCD,BC⊥BD,BC=3,BD =4,直线 AD 与平面 BCD 所成的角为 45?,点 E、F 分别是 AC、AD 的中点。 (1) 求证:EF∥平面 BCD; A (2) 求三棱锥 A-BCD 的体积。
F E B D

C

(第18题图)

19.(本小题满分 8 分)已知数列 ?an ? 满足:a3=-13,an=an-1+4,(n>1,n∈N*)。 (1) 求 a1,a2 及通项 an; (2) 设 Sn 是数列{an}的前 n 项和,则数列 S1,S2,S3,…中哪一项最小?并求出这个最小 值。

20.(本小题满分 10 分)已知函数 f ( x) ? 2x ? ? ? 2? x (? ? R ) 。 (1) 当?=-1 时,求函数 f(x)的零点; (2) 若函数 f(x)为偶函数,求实数?的值; (3) 若不等式

1 ≤f(x)≤ 4 在 x∈上恒成立,求实数?的取值范围。 2

2013 年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷参考答案
一、选择题 题号 答案 1 A 2 B 3 C 4 A 5 B 6 D 7 C 8 D 9 C 10 A

二、填空题 11、2;12、? 3;13、x-y+3=0;14、 2 ;15、4。 三、解答题 16、(1)?? ? (0, ),?cos? ? 0 ,从而 cos ? ? 1 ? sin 2 ? ?

?

2

3 ; 2

(2) sin 2? ? cos 2? ? 2sin ? cos ? ? 1 ? 2sin 2 ? ? 3 ? 1 。
2

17、(1)高一有 200 ?1200 ? 120 (人),高二有 200 ? 120 ? 80 (人); 2000 (2)?频率为 0.015 ? 10 ? 0.03 ? 10 ? 0.025 ? 10 ? 0.005 ? 10 ? 0.75 , ?人数为 0.75 ? 2000 ? 1500 (人)。 18、(1)? ? ?
f (0) ? b ? 6 ?a ? ?2 ?? ? f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 6 ; f (1) ? a ? b ? 1 ? 5 b ? 6 ? ?

(2)? f ( x) ? x2 ? 2x ? 6 ? ( x ? 1)2 ? 5, x ?[?2,2] , ∴x=1 时,f(x)的最小值为 5,x=-2 时,f(x)的最大值为 14。 19、(1)? a1 ? 2, an ? 2an?1 ,? a2 ? 4, a3 ? 8 , 又?

an ? 2(n ? 2, n ? N * ) ,??an ? 为首项为 2,公比为 2 的等比数列,?an ? 2 ? 2n?1 ? 2n ; an ?1

(2)?bn ? log2 an ? log2 2n ? n ,? Sn ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?

n(n ? 1) 。 2

20、(1)∵圆 C:(x+1)2+(y-2)2=5-k,∴C(-1,2); (2)由 5 ? k ? 0 ? k ? 5 ;

?x ? 2 y ? 4 ? 0 (3)由 ? ? 5 y 2 ? 16 y ? 8 ? k ? 0 , 2 2 ?( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 5 ? k

16 8? k 24 , ? ? 162 ? 20(8 ? k ) ? 0 ? k ? , , y1 y2 ? 5 5 5 4k ? 16 , ? x1 ? 2 y1 ? 4, x2 ? 2 y2 ? 4,? x1 x2 ? (2 y1 ? 4)(2 y2 ? 4) ? 4[ y1 y2 ? 2( y1 ? y2 ) ? 4] ? 5 4k ? 16 8 ? k 8 24 ? OM ? ON ,? x1 x2 ? y1 y2 ? 0, 即 ? ? 0 ? k ? (满足k ? ) 。 5 5 5 5
设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ), 则 y1 ? y2 ?


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