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湖南省师大附中2015届高三月考数学(理)试题


湖南师大附中 2015 届高三月考(五)

数学(理)试题
(考试范围:高中理科数学全部内容) 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分。时量 120 分钟。满分 150 分。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 1.设全集 U={x|x≥3,x∈ N},集合 A={x|x2≥10,x∈N}.则 ? UA= A. ? B.{3} C.{10} D.{3,4,5,6,7,8,9} 2.下列函数中,在其定义域内,既是奇函数又是减函数的是 A.f(x)= ? x C.f(x)=-tan x B.f(x)=-x3 D.f(x)=

1 x

3. 已知数列{an}满足 an+1= 3an (n∈ N *) , 且 a2+a4+a6=9. 则 log (a5+a7+a9) 的值是 A.-5 C.5 B.- D.

1 5

1 5

4.某程序的框图如图所示,输入 N=5,则输出的数等于

5 4 6 C. 5
A.

4 5 5 D. 6
B.

5.某几何体的三视图如图所示,其正视图、侧视图、俯视图均为全等的正方形,则该几何体的体积 为 A.

4 3

B.

8 3

C. 6

D.2 6

6.三个班级分别有 1 名、2 名、3 名学生获奖,这 6 名学生要排成 一排合影,则同班学生排在一起的概率是

1 30 1 C. 10
A.

1 15 1 D. 5
B.

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7.将函数 y=sin

? x 的图象向右平移 2 个单位后,得到函数 f(x)的图象,则函数 f(x)的单调递减 2
B.[1+4k,3+4k],k∈ Z D.[-l+4k+

区间是 A.[-1+2k,1+2k],k∈ Z C.[-1+4k,1+4k],k∈ Z

4

?

,l+4k+

4

?

],k∈ Z

?3x ? y ? 6 ? 0 ?x ? y ? 2 ? 0 2 3 ? 8. 设 x, y 满足约束条件 ? , 若目标函数 z=ax+by (a>0, b>0) ) 的最大值为 12, 则 ? a b ?x ? 0 ? ?y ? 0
的最小值为 A.

25 6

B.

8 3

C.

11 3

D.4

9.在△ ABC 中,点 D 在线段 BC 的延长线上,且 BC ? CD ,点 O 在线段 CD 上(点 O 与点 C,D 不 重合) ,若 AO ? x AB ? y AC ,则 x 的取值范围是 A. (0,1) C. (-1,0)

1 ) 3 1 D. (- ,0) 3
B. (0,

10.已知斜率为 2 的直线 l 与双曲线 C: AB 的中点,则 C 的离心率等于 A.2 2 B.2

x2 y2 ? =l(a>0,b>0)交于 A,B 两点,若点 P(2,1)是 a2 b2

C. 3

D. 2

二、填空题:本大题共 6 小题,考生作答 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分。把答案填在答题卡中对 应题号后的横线上. (一)选做题(请考生在第 11,12,13 三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题计分) 11. (坐标系与参数方程)若直线 ? sin (? ?

?
4

)?

2 与直线 3x+ky=1 垂直,则常数 k= 2



12. (几何证明选讲)如图,△ ABC 内接于圆 O,AB=AC,直线 MN 切圆 O 于点 C,BE∥ MN 交 AC 于点 E.若 AB=6,BC=4.则 AE 的长为 . 2 13. (不等式选讲)若不等式|x+3|+|x-7|≥a -3a 的解集为 R,则实数 a 的取 值范围是 . (二)必做题(14~16 题) 14. 若随机变量 ? ~N (2 , 1) , 且P ( ? >3) =0. 158 7, 则P ( ? >1) = . .

15.设(x2+1) (2x+1)9=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+an(x+2)n.则 a0+a1+a2+…+an 的值为
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16.定义[x]表示不超过 x 的最大整数(x∈ R) ,如:[-1,3]=-2.[0.8]=0,[3.4]=3.定义{x}=x-[x].
2 3 ? 999 1000 ? ? 999 ? ? 999 ? ? 999 ? (1) ? ?? ??? ??? ? ? …+ ? ?1000? ?1000? ?1000? ? 1000 ?



(2)若 x∈ [0,316],函数 f(x)=sin2[x]+sin2{x}-1 的零点个数为 m,则 m= . 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本题满分 12 分)根据空气质量指数 AQJ(为整数)的不同,可将空气质量分级如下表:

某市 2014 年 11 月 1 日-11 月 30 日,对空气质量指数 AQI 进行监测,获得数据后得到如下条形 图:

(1)市教育局规定在空气质量类别达到中度污染及以上时学生不宜进行户外跑步活动,估计该 城市本月(按 30 天计)学生可以进行户外跑步活动的概率; (2)在上述 30 个监测数据中任取 2 个,设 ? 为空气质量类别颜色为绿色的天数,求 ? 的分布列 与数学期望.

18. (本题满分 12 分)已知函数 f(x)= 2 sin( ?x ) ,其中常数 ? >0.

? ,求 ? 的值; 2 ? (2)在(1)的条件下,将函数 y=f(x)的图象向右平移 个单位,再向下平移 1 个单位.得到 6
(1)若 y=f(x)的图象相邻两条对称轴之间的距离为 函数 y=g(x)的图象.若 y=g(x)在[0,b](b>0)上至少含有 10 个零点,求 b 的最小值.

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19. (本题满分 12 分)在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 是等腰梯形,AB∥ CD, o ∠DAB= 60 ,FC⊥平面 ABCD,AE⊥BD,CB= CD=CF. (1)求证:BD⊥平面 AED; (2)求二面角 F-BD-C 的余弦值.

20. (本题满分 13 分)已知 Sn 为数列{an}的前 n 项和,且对任意 n∈ N*,点(an,Sn)都在函数 f(x) =?

1 1 x ? 的图象上. 2 2

(1)求{an}的通项公式; (2)若 bn=log 1 a2n+1,Tn 为数列{bn}的前项和,且
3

1 1 1 ? +…+ ≤x2+ax+1 对任意正整数 n 和任意 T1 T2 Tn

x∈ R 恒成立,求实数 a 的取值范围。

21. (本题满分 13 分)已知两个定点 A1(-2,0) ,A2(2,0) ,动点 M 满足直线 MA1 与 MA2 的斜率 之积是定值

m (m≠0) . 4

(1)求动点 M 的轨迹方程,并指出随 m 变化时方程所表示的曲线 C 的形状; (2)若 m=-3,过点 F(-l,0)的直线交曲线 C 于 A 与 B 两点,线段 AB 的中点为 G,AB 的中 垂线与 x 轴、y 轴分别交于 D,E 两点.记△ GFD 的面积为 Sl,△ OED(O 为坐标原点)的面积为 S2。 试问:是否存在直线 AB,使得 Sl=S2?说明理由。

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22. (本题满分 13 分)已知 f(x)=kex-ex2(x∈ R) ,其中无理数 e 是自然对数的底数。 (1)若 k=l,求 f(x)的图象在 x=l 处的切线 l 的方程; (2)若 f(x)有两个不同的极值点 x1, x1 ,求实数 k 的取值范围; (3)若 k 依序取值 I,

?

4 2n ? ,…, (n∈ N*)时,分别得到 f(x)的极值点对(x1, x1 ) , (x2, 3 n ?1 ? ? ? x2 ) ,…, (xn, x n ) ,其中 x1< x 2 (i=1,2,…,n) .

求证:对任意正整数 n≥2,有(2-x1) (2-x2)…(2-xn)<

1 n ?1 ? x1 ? x2 ??? xn ?n 。 x1 x 2 ? xn e

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