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高三数学一轮复习 第二章 第七节 函数的图象课件 理 新人教A版


第七节

函数的图象

1.描点法作图

描点 通过列表、______、连线,三个步骤画出函数的图象.
2.利用基本函数的图象作图

(1)平移变换:
①左右平移:y=f(x±a)(a>0)的图象,可由y=f(x)的图 左 右 a个 象向 ___(+)或向 ____(-)平移_______单位而得到. ②上下平移:y=f(x)±b(b>0)的图象,可由y=f(x)的图 上 下 b个 象向 ____(+)或向 ____(-)平移_______单位而得到.

(2)对称变换: y轴 ①y=f(-x)与y=f(x)的图象关于_______对称. ②y=-f(x)与y=f(x)的图象关于________对称. x轴

原点 ③y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于________对称.
(3)伸缩变换: ①y=Af(x)(A>0)的图象,可将y=f(x)图象上所有点的 原来的A倍 横坐标 纵坐标变为____________,________不变而得到.
②y=f(ax)(a>0)的图象,可将y=f(x)图象上所有点的 1 原来的a倍 横坐标变为____________,___________不变而得到. 纵坐标

1.函数y=|f(x)|与y=f(|x|)的图象有何不同? 【提示】 y=|f(x)|的图象是将y=f(x)的图象在x轴下方

的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方,其余部分不变而得到
的.而y=f(|x|)的图象是将y=f(x),x≥0的部分作出,再利用 偶函数的图象关于y轴的对称性,作出x<0的图象而得到 的.

2.(1)函数y=f(x)的图象关于原点对称与函数y=f(x)与y
=-f(-x)的图象关于原点对称一致吗? (2)若函数y=f(x)的图象关于点(a,0)(a>0)对称,那么 其图象如何变换才能使它变为奇函数?其解析式变为什么? 【提示】 (1)不一致,前者是函数自身的对称,后面

是两个函数图象间的对称.(2)将y=f(x)的图象向左平移a个
单位,得y=f(x+a)为奇函数.

(

1 1.(人教A版教材习题改编)函数f(x)= -x的图象关于 x )

A.y轴对称 C.原点对称

B.直线y=-x对称 D.直线y=x对称

【解析】

函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),

且f(-x)=-f(x),因此函数f(x)是奇函数.

【答案】

C

2.当0<a<1时,在同一坐标系中,函数y=a -x与y=

logax的图象是(

)

1 【解析】 由0<a<1,知 >1. a - ∴y=a x是增函数,y=logax是减函数.
【答案】 C

3.函数y=f(x)为偶函数,则函数y=f(x+1)的一条对称

轴是________.
【解析】 ∵y=f(x)的对称轴为x=0, 左移 又y=f(x)一个单位y=f(x+1), ――→ ∴y=f(x+1)的一条对称轴为x=-1.
【答案】

x=-1

4.(2013·广州质检)若关于x的方程|x|=a-x只有一个 解,则实数a的取值范围是________.

【解析】

在同一个坐标系

中画出函数y=|x|与y=a-x 的图象,如图所示:由图象 知当a>0时,方程|x|=a-x 只有一个解. 【答案】 (0,+∞)

作出下列函数的图象: (1)y=|log2(x+1)|; 2x-1 (2)y= ; x-1 (3)y=x2-2|x|-1.
【思路点拨】 对于(1),(3)可先去掉绝对值号化成分

段函数,再分别画出函数的图象,也可通过图象变换画出 函数图象.对于(2)可先分离常数化简解析式,再用图象变 换画图.

【尝试解答】

(1) 将 函 数 y =

log2x的图象向左平移一个单位,再 将x轴下方的部分沿x轴翻折上去,可

得到函数y=|log2(x+1)|的图象,如
图所示.

1 1 (2)∵y=2+ ,故函数图象可由y= 图象向右平移1 x x-1 个单位,再向上平移2个单位而得,如图所示.

(3)∵y=

?x2-2x-1,x≥0 ? ? 2 ?x +2x-1,x<0 ?

且函数为偶函数,先用描点

法作出[0,+∞)上的图象,再根据对称性作出(-∞,0)上 的图象.得图象如图.

1.“作图”的基本途径是:求出函数的定义域(旨在控

制图象左、右的范围)→尽量求出值域(旨在控制图象上、下
的范围)→变换(化简、平移、对称、伸缩等)出图象的形状→ 描点作图. 2.画函数图象的一般方法有 (1)直接法:当函数表达式是基本函数或函数图象是解

析几何中熟悉的曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线的一部
分)时,就可根据这些函数或曲线的特征直接作出. (2)图象变换法:若函数图象可由某个基本函数的图象 经过平移、翻折、对称变换得到,可利用图象变换作出.

分别画出下列函数的图象: x+2 (1)y= ;(2)y=|log2x-1|. x+3
【解】 x+2 1 (1)∵y= =1- , x+3 x+3

1 可见原函数图象是由y=- 图象向左平移3个单位再向 x 上平移1个单位而得,如图①.

(2)先作出y=log2x的图象,再将其图象向下平移一个单
位,得函数y=log2x-1的图象. 保留x轴上方的部分,将x轴下方的图象翻折到x轴上 方,得y=|log2x-1|的图象,如图②.

1 (1)(2012· 课标全国卷)已知函数f(x)= , ln(x+1)-x 则y=f(x)的图象大致为( )

(2)(2013·佛山模拟)已知y=f(2x+1)是偶函数,则函数y

=f(2x)的图象关于直线________对称.
【审题视点】 (1)利用特殊点和变化趋势判断.

(2)根据图象平移求解或根据偶函数的定义求解.

1 【尝试解答】 (1)当x=1时,y= <0,排除A; ln 2-1 当x=0时,y不存在,排除D. 当x从负方向无限趋近0时,y趋向于-∞,排除C,选 B.

函数y=f(2x+1)的图象是由函数y=f(2x)的图 1 象沿x轴方向,向左平移 个单位得到的, 2 又y=f(2x+1)是偶函数,其图象关于y轴对称, 1 所以函数y=f(2x)的图象关于直线x= 对称. 2 (2)法一

法二 ∵y=f(2x+1)是偶函数, ∴f(-2x+1)=f(2x+1),∴f(1-x)=f(1+x). 故函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称, 1 函数y=f(2x)的图象关于直线x= 对称. 2
【答案】 (1)B 1 (2)x= 2

1.(1)从函数的定义域,判断图象左右的位置;从函数
的值域,判断图象上下的位置;(2)从函数的单调性(有时可 借助导数判断),判断图象的变化趋势. 2.结合函数的性质,抓住函数图象上的特殊点、极值 点、拐点的函数值,找准解析式与图象的对应关系.

x (1)函数y= -2sin x的图象大致是( 2

)

(2)若本例中第(2)题,函数y=f(2x+1)是“偶函数”改 为是“奇函数”,则函数y=f(2x)的图象关于下列哪个点成 中心对称( ) A.(1,0) B.(-1,0) 1 1 C.( ,0) D.(- ,0) 2 2

x 【解析】 (1)∵函数y= -2sin x是奇函数,图象关于 2 原点对称,当x→+∞时,f(x)→+∞. 1 1 又y′= -2cos x,令y′=0,得cos x= , 2 4 1 x ∴cos x= 有无穷多个解,因此y= -2sin x有多个极 4 2 值点,只有C符合. (2)∵y=f(2x+1)是奇函数, ∴f(2x+1)的图象关于原点(0,0)对称. 1 又f(2x+1)的图象向右平移 个单位得到f(2x)的图象. 2

1 ∴y=f(2x)的图象关于点( ,0)成中心对称. 2

【答案】

(1)C

(2)C

已知函数f(x)=x|m-x|(x∈R),且f(4)=0.

(1)求实数m的值;
(2)作出函数f(x)的图象并判断其零点个数; (3)根据图象指出f(x)的单调递减区间; (4)根据图象写出不等式f(x)>0的解集; (5)求集合M={m|使方程f(x)=m有三个不相等的实根}. 【思路点拨】 求解本题先由f(4)=0,求得函数解析

式,再根据解析式结构选择适当的方法作出函数的图象,进

而应用图象求解(3)(4)(5)三个小题.

【尝试解答】 4;

(1)∵f(4)=0,∴4|m-4|=0,即m=

(2)∵f(x)=x|m-x|
?x(x-4),x≥4, ? =x|4-x|=? ?-x(x-4),x<4. ?

∴函数f(x)的图象如图:

由图象知f(x)有两个零点.

(3)从图象上观察可知:f(x)的单调递减区间为[2,4];
(4)从图象上观察可知:不等式f(x)>0的解集为:{x|0< x<4或x>4}. (5)由图象可知若y=f(x)与y=m的图象有三个不同的交 点,则0<m<4, ∴集合M={m|0<m<4}.

1.(1)有关方程解的个数问题常常转化为两个函数图象
的 公 共 点 的 个 数 问 题;利用 此法也可 由解的个数求参数 值.(2)有关不等式问题常常转化为两个函数图象的上、下关 系问题. 2.从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极

值;从图象的对称性,分析函数的奇偶性;从图象的走向趋
势,分析函数的单调性、周期性等.

已知函数y=f(x)的周期为2,当x∈[-1,1]时,f(x)=

x2,那么函数y=f(x)的图象与函数y=|lg x|的图象的交点共有
( ) A.10个 C.8个 B.9个 D.1个

【解析】
可作图如下:

根据f(x)的性质及f(x)在[-1,1]上的解析式

可验证当x=10时,y=|lg 10|=1; 0<x<10时,|lg x|<1; x>10时|lg x|>1. 结合图象知y=f(x)与y=|lg x|的图象交点共有10个. 【答案】 A

数形结合的思想方法是学习函数内容的一条主线.

1.(1)一个函数的图象关于原点对称与两个函数的图象关 于原点对称不同,前者是自身对称,后者是两个不同的函数 图象对称. (2)一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y 轴对称也不同,前者也是自身对称,后者也是两个不同函数 图象的对称关系.

2.函数y=|f(x)|与y=f(|x|)的图象不同,y=|f(x)|的图象 是保留y=f(x)图象在x轴上方的部分,把x轴下方的翻折上

去;y=f(|x|)的图象是保留y轴右侧的部分,左侧部分和右侧
部分关于y轴对称.

研究函数图象形状和位置通常借助以下三种途径. (1)图象变换:平移变换、伸缩变换、对称变换.

(2)函数解析式的等价变换.
(3)研究函数的性质.

从近两年高考试题看,高考命题主要涉及图象的识辨与

应用,函数图象的对称性,2012年全国有4省市考查函数图
象的应用,题型以选择题为主,中等难度,考查识图、作图 能力及数形结合的数学思想. 函数图象涉及面广,形式灵活,常以新面孔出现,2014 年高考复习应予以高度关注,解题时应注意作图规范,莫要

忽视自变量的取值范围.

易错辨析之四

作图不规范导致用图解题错误

1 (2011· 课标全国卷)函数y= 的图象与函数y=2sin 1-x π x(-2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( ) A.2 B.4 C.6 D.8
1 【错解】 函数y= 与y=2sin πx(-2≤x≤4)的 1-x 图象都关于点(1,0)成中心对称.

作两函数的图象(如图)

可知两函数图象有四个交点,
由对称性知每两个对应点横坐标之 和为2. 故所有交点的横坐标之和等于4. 【答案】 B

错因分析:(1)错选B的主要原因在于作出的图象不规 1 3 范,事实上,y= 的图象,过y=2sin πx的最低点( , 2 1-x -2),两函数在x>1时,应有4个交点,不是2个交点. (2)掌握不住函数的性质,挖掘不出两函数图象关于点 (1,0)对称,盲目作答致错.另外,本题还易忽视自变量的 范围导致作图错误. 防范措施:(1)掌握基本初等函数的图象是正确求解的 关键,并善于发掘隐含条件.

(2)重 视 数 形 结 合, 注 意 图 象 的 变 化 趋 势,抓住极 值

点,特殊点的函数值等.
1 【正解】 两函数y= 1-x 与y=2sin πx(-2≤x≤ 4)的图象都关于点(1,0)对 称,在同一坐标系内作出 函数的图象,

3 1 注意到当x= 与x= 时,两函数的图象相交,∴两函 2 2 数图象有8个交点, 根据对称性,知每两个对应点的横坐标之和为2, 故所有交点的横坐标之和等于8.

【答案】

D

1.(2012·湖北高考)已知定义在区间[0,2]上的函数y= f(x)的图象如图2-7-1所示,则y=-f(2-x)的图象为( )

【解析】

法一

由y=f(x)的图象知f(x)=

?x(0≤x≤1), ? ? ?1(1<x≤2). ? ?1(0≤x≤1), ? 所以f(2-x)=? ?2-x(1<x≤2). ? ?-1(0≤x≤1), ? 故y=-f(2-x)=? 图象应为B. ?x-2(1<x≤2). ?

法二 利用特殊点确定图象. 当x=0时,-f(2-x)=-f(2)=-1;当x=1时,-f(2 -x)=-f(1)=-1.观察各选项,可知应选B.

【答案】

B

cos 6x 2.(2012· 山东高考)函数y= x - 的图象大致为( 2 -2 x

)

【解析】 ∵y=f(x)= cos(-6x) =-f(x), -x x 2 -2

cos 6x 2x-2-x

,∴f(-x)=

∴f(x)是奇函数,其图象关于原点对称,排除选项A. cos 6x 当x从正方向趋近0时,y=f(x)= x -x 趋近+∞,排 2 -2 cos 6x 除选项B;当x趋近+∞时,y=f(x)= x -x 趋近0,排除选 2 -2 项C.故选择选项D.
【答案】 D


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