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湖北省高中数学 第1章《解三角形》函数中的对称性问题教案 新人教A版必修5

湖北省浠水县团陂高级中学高中数学 第 1 章《解三角形》函数中的对称性 问题教案 新人教 A 版必修 5 一、教学目标 函数图象的对称性是一类函数的特性,是函数性质的重要方面,它包括自身对称和两个函数图象之间 的对称,理解掌握函数对称性,对数学问题的解决有很大的帮助,对也是数形结合思想的重要体现。 1.自身对称函数,函数图象本身具有对称轴或是对称中心,该函数的图 象是轴 对称图形或是中心对 称图形,奇函数与偶函数是最典型的两类函数,其它自身对称的函数都可以由奇偶函数平移得到; 2.两个函数图象的对称,是指两个图形之间的关系,它们之间存在某种关联,即 它们关于某一点对 称或是关 于某一条直线对称,研究其中一个函数的性质就可知另一个函数的特点(互为反函数的两个函数 图象) 。 二、举例分析 例 1. 设 f ? x ? 是定义在 R 上的函数, (1)若对任意 x ? R ,都有 f ? a ? x ? ? f ?b ? x ? 成立,则函数 f ? x ? 的图象关于直线 x ? a?b 对称; 2 (2)若对任意 x ? R ,都有 f ? x ? ? f ? 2a ? x ? ? 2b ,则函数 f ? x ? 的图象关于点 ? a, b ? 成中心对称。 选题目的:通过此题的学习,让学生明白一个道理,函数 f ? x ? 的图象是轴对称或是中心对称,函数 解析式 f ? x ? 应满足一关系式是什么,并能通过奇偶函数的平移获得理解这种关系式的钥匙。 思路分析: ( 1 )要证明 f ? x ? 图象上任意一点 P ? x0 , y0 ? 关于直线 x ? a?b 对称的点 Q ? a ? b ? x0 , y0 ? 也在 2 f ? x ? 的图象上。 事实上, y0 ? f ? x0 ? ? f ? ? a ? ? a ? x0 ? ? ?? f? ? b ? ? a ? x0 ? ? ? ? f ? a ? b ? x0 ? ,即得点 Q ? a ? b ? x0 , y0 ? 也 在 f ? x ? 的图象上。 特别地,当 a , b 都为 0 时,就是偶函数的特征了。 (2)要证明 f ? x ? 图象上任意一点 A? x0 , y0 ? 关于点 ? a, b ? 的对称点 B ? 2a ? x0 ,2b ? y0 ? 也在 f ? x ? 的 图 象 上 。 事 实 上 , 由 A? x0 , y0 ? 在 的 图 象 上 及 f ? x ? ? f ? 2a ? x ? ? 2b 可 得 , y0 ? f ? x0 ? 及 f ? x0 ? ? f ? 2a ? x0 ? ? 2b ,则有 2b ? y0 ? 2b ? f ? x0 ? ? f ? 2a ? x0 ? ,从而得到 B ? 2a ? x0 ,2b ? y0 ? 也在 f ? x ? 的图象上。 特别地,当 a , b 都为 0 时,就是奇函数 的特征了。 例 2.对于定义在 R 上的函数 f ? x ? 有下列命题: (1)若 f ? x ? 是奇函数,则函数 f ? x ?1? 的图象关于点 ?1,0 ? 对称; 其中正确命题的个数是--------------------------------------------------( ) A.1 B.2 C.3 D.4 选题目的:学生通过此题学习,加深理解图象具有对称性函数的特征,掌握图象平移后的形状保持不 变,所变的是对称位置;另外要清楚是函数图象本身的对称特征还是两个函数图象的对称关系。 思路分析: (1) 、 (2)两小题较为简单,就是平移后图象问题; (3)是函数 f ? x ? 自身的对称问题,函数 f ? x ? 满足关系: f ? 2 ? x ? ? f ? x ? ? 2 ,由例 1 中的结论 知, 函数 f ? x ? 图象关于点 ?1,1? 成中心对称。 也 可 以 从 对 应 点 的 关 系 中 获 取 , 设 图 象 上 任 意 点 P x, f ? x ? ,则图象上必存在与之对应的点 ? ? Q ? 2 ? x, 2? f ? x ?? ,则 P、Q 的中点为定点 ?1,1? ,即为对称中心。 (4) 首先要清楚这是两个函数图象的对称问题, 它们都是由函数 y ? f ? x ? 图象变换得到的;y ? f ? x ? ? y ? f ? x ?1? 的图象; 图象 ?? ? ? ? ? y ? f ? ? x ? ?? ? y ? f ?1 ? x ? y ? f ? x ? 图象 ?? 例 3 .如图,正比例函数和反比例函数的图象相交于 A、B 两 点。分别以 A、B 两点为圆心,画出与 y 轴相切的两个圆。 若点 A 的坐标为(1,2) ,则图中两个阴影部分面积的和是 ___________。 选题目的:充分运用正比例函数和反比例函数的图象都是关于坐标原点成中 心对称的特点,注重图形的割补法来求解; 思路分析:分别求两个阴影部分面积显然不可行。由于正比例函数与反比例 函数图象都关于原点对称,可知 A、B 两点关于原点对称。从而⊙A 与⊙B 也关于 原点对称,故阴影部分面积和等于⊙A(或⊙B)的面积。⊙A 与 y 轴相切,则⊙A 的 半径 为 1,故阴影部 2 分的面积和等于 ? ? 1 ? ? 。 例 4. 曲线 C 的方程是 y ? x ? x , 将 C 沿 X 轴、 Y 轴的正向分别平移 t , s 个单位长度后得到曲线 C1 , 求证: 3 曲线 C 与 C1 关于点 A ? ?t s? , ? 对称。 ?2 2? 选题目的:学会证明两曲线的对称的方法,培养运算能力; 思路分析:两条曲线的对称问题证明必须是双向的,即曲线 C 上的任意一 点关于点 A 的对称点在曲线 C1 上;曲线 C1 上的任意一点关于点 A 的对称点也 在曲线 C 上。 三、巩固练习 1.已知函数 f ? x ? ? A.

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