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数理方程第1讲_图文

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第一章 一些典型方程和定解条件的推导

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数学物理方程,是指在物理学、力学等自然科 学及工程技术中所提出来的偏微分方程。

古 典 数 理 方 程

拉普利斯方程和泊松方程(描述引力势) 纳维-斯托克斯方程组(流体力学有黏 性)和欧拉方程组(无黏性) 圣维南方程组(弹性力学) 波动方程 热传导方程

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新 的 数 理 方 程

麦克斯韦方程组(描述电磁场变化) 薛定谔方程组(微观粒子) 爱因斯坦方程(确定引力场) 广义扩散方程 流体力学方程的耦合

随着现代科学和技术的进步,将会不断涌现新 的数学物理方程,而其产生和应用的范围已经 更多地超出了传统的研究领域。
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§1.1 偏微分方程举例和基本概念
一. 偏微分方程举例 二. 基本概念
1. 偏微分方程:方程中除了含有几个自变量和未知函 数外,还含有未知函数的偏导数(也可仅含偏导数)的 方程称为偏微分方程。 一般来说,它可以写成包含几个自变量x,y, …和这些 变量的未知函数u及其偏导数的方程形式:
?u ?u ? mu F ( x1 ,?, xn , u, , ?, ,?, m1 m2 )?0 mn ?x1 ?xn ?x1 ?x2 ??xn

(1.1)

5

方程(1.1)是在自变量x1,x2, …的n维空间Rn 中的一个适 当的区域D内进行考察的,我们要求能找出在D内恒 满足方程(1.1)的那些函数u。如果这种函数存在,那 么称它们为方程的解。在这些可能解中,我们还要 选出一个满足某些合适的附加条件的特解来。 例如偏微分方程:
? 2u ? 2u ? 2 ?0 2 ?x ?y

(1.2)

容易验证下列两个函数:

u( x, y) ? ( x ? y) 3
u( x, y) ? sin(x ? y)

都是(1.2)的解。

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2. 方程的阶:包含在偏微分方程中的未知函数的偏 导数的最高阶数称为方程的阶。 3. 线性偏微分方程:如果一个偏微分方程对于未知 函数及它的所有偏导数来说都是线性的,且方程中 的系数都仅依赖于自变量,那么这样的偏微分方程 就称为线性偏微分方程。 例如: 书中例1.1、1.2
? 2u ? 2u y 2 ? 2 xy 2 ? u ? 1 ?x ?y

(二阶线性偏微分方程)

否则称之为非线性偏微分方程。 书中例1.5
7

4. 半线性偏微分方程:若非线性方程中未知多元函 数的所有最高阶偏导数都是线性的,而其系数不含 有未知多元函数及其低阶偏导数,则称为半线性偏 微分方程。如书中例1.6 5. 拟线性偏微分方程:若非线性方程中未知多元函 数的所有最高阶偏导数都是线性的,而其系数含有 未知多元函数或其低阶偏导数,则称为拟线性偏微 分方程。如书中例1.8 6. 非齐次项和非齐次方程:在线性偏微分方程中, 不含未知函数及其偏导数的非零项称为非齐次项, 而含有该非齐次项的方程称之为非齐次方程。如书 中例1.1
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下面简单讨论一下偏微分方程中经常遇到的线性算子。

算子是一种数学法则,把它作用在一个函数上时,便 产生另外一个函数。例如,在下列表达式中:
?u ? 2 u ? 3 u L?u ? ? ? ? 3 ?x ?x?y ?y ? 2u ? 2u M ?u ? ? 2 ? x 2 2 ?x ?y

? ?2 ?3 L? ? ? 3 ?x ?x?y ?y



?2 ?2 M ? 2 ? x2 2 ?x ?y

都称为微分算子。

我们定义具有下列性质的算子为线性算子。
(1)常数c可以从算子中提取出来

L?cu? ? cL?u?
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(2) 算子作用于两个函数之和所得的结果等于算子分 别作用于两个函数所得结果之和。

L?u ? v? ? L?u? ? L?v?
现在来考察二阶线性偏微分方程:
? 2u ? 2u ? 2u ?u ?u ? Fu ? G A 2 ?B ?C 2 ? D ? E ?x ?x?y ?y ?x ?y

如果取线性微分算子L为
?2 ?2 ?2 ? ? L? A 2 ?B ?C 2 ? D ? E ? F ?x ?x?y ?y ?x ?y

那么上述偏微分方程可以写成: 或者简写为:

L?u ? ? G
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Lu ? G

§1.2 方程及定解问题的物理推导

11

?

例1 弦的振动 设有一根均匀柔软的细弦, 其线密度为常数 ? . 长 为l,两端被固定在O,A两点,且在单位长度上受到 垂直于OA向上的力F作用。当它在平衡位置(取为 x轴)附近作垂直于OA方向的微小横向振动时,求 弦上各点的运动规律。

u

F P Q

O

x x+△x

A

x
12

※所谓“横向”是指全部运动出现在一个平 面上, 而且弦上的点沿垂直于x轴的方向运动. ※所谓“微小”是指弦的振动幅度及弦在任 意位置处切线的倾角都很小, 即弦在偏离平衡位 置后,弦上任何一点的斜率远小于1.

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横向振动微小,故可认为弦在振动过程中并未伸长,即 弧长PQ=△x ,则所受的张力大小恒为常数T,即与位置 和时间无关。弦是柔软有弹性的,即它不能抵抗弯矩, 因此在任何时刻弦的张力T总是沿着弦的切线方向。

u
P

F
△x

Q

?

T

a

T
O

N x

N' x+△x

x
14



综合上述分析,由牛顿第二定律可得
T sin ? ? T sin a ? F?x ? ??xutt (1.3)

又 tana ? ux ,故
sin a ? tana 1 ? tan a
2

?

ux
2 1 ? ux

﹤ 由于弦作微小振动,ux ﹤1 ,则
sin a ? u x ( x, t ) sin ? ? u x ( x ? ?x, t )

代入(1.3)式可得
15

Tux ( x ? ?x, t ) ? Tux ( x, t ) ? F?x ? ??xutt
应用微分中值定理可得

Tuxx ( x ? ? , t )?x ? F?x ? ??xutt
其中 ? ? (0, ?x) 。令 ?x ? 0 ,则上式可写为

Tuxx ( x, t ) ? F ? ?utt
简写为
其中 a ?
2

utt ? a uxx ? f
2

(1.4)

T

?

,f ?

F

?

.

方程(1.4)称为弦的强迫横振动方程。
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若外力消失F=0,则方程变为

utt ? a u xx
2

(a ?
2

T

?

)

(1.5)

上式称为弦的自由振动方程。 我们虽然称 (1.4)、(1.5)为弦振动方程,但在力学上弹 性杆的纵振动,管道中气体小扰动的传播以及电报方 程等问题,都可以归结为上述偏微分方程的形式。 只是其中的未知函数表示的物理意义不同。

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例2 薄膜平衡方程 将均匀柔软的薄膜张紧于微翘的固定框架上 ,除膜自身的重力作用外,无其他外力作用。由 于框架的微翘,薄膜形成一曲面。求静态薄膜上 各点的横向位移。
设展平的薄膜所在平面为oxy坐标面,垂直于oxy 面的方向称为薄膜的横向。设薄膜的面密度为常数ρ ,薄膜所形成的曲面方程为u=u(x,y)。 用平行于oux与ouy的坐标面作平面任意截取薄膜微 元PQRS,它在oxy坐标面上的投影四边分别平行于对应 坐标轴的矩形P′Q′R′S′,其顶点坐标如图所示。

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T—张力密度,沿边缘单位长度上的拉力。 由物理学可知,边缘上任一点的张力密度T的方向是 在该点处的薄膜切平面内,垂直于边缘。 u a3 T Q R
T P
a1
a2

x+△x x
x o

a4

T

Q′

S

T R′

P′

S′ y+△y y
19

y

设 a1、a 2、 a3、 a 4 分别为PQ,RS,QR,SP四边上的

张力密度T与水平面所成的锐角,由于薄膜微翘,故

a1﹤ , a 2﹤ ,a3﹤ ,a 4﹤ ﹤1 ﹤1 ﹤1 ﹤1
PQ=RS≈△x,QR=SP ≈△y 作用在边缘PQ与RS上的张力 u 沿u方向的合力为
(T sin a 2 ? T sin a1 )?x ? (T t ana 2 ? T t ana1 )?x ? T (u y| y ? ?y ? u y| y ) ?x ? Tu yy ?y?x

T

a2 M(RS上的点)

a1 N(PQ上的点) -T
o
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y

同理可得,作用在边缘QR与SP上的张力沿u方向的合 力为 Tuxx?x?y ,微元质量 m ? ??? ? ??x?y ,其中 ? ? 为微元面积。

由微元力的平衡关系可得

T (uxx ? u yy )?x?y ? ?g?x?y ? 0
即 设f ?
?g
T

u xx ? u yy ?

?g
(1.6)

,则

T uxx ? u yy ? f

这就是微翘的薄膜平衡方程。

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通常我们称形如 uxx ? u yy ? f ( x, y)

(1.7)

的方程为二维泊松方程。
若薄膜自身的重力可忽略,即 ? ? 0 ,则 f ? 0 ,这 时方程(1.7)化为 uxx ? u yy ? 0 (1.8) 称之为二维拉普拉斯方程(或调和方程)。 在三维空间中,相应的有 uxx ? u yy ? uzz ? f ( x, y, z) 当 f ( x, y, z) ? 0 时, uxx ? u yy ? uzz ? 0

(1.9) (1.10)
22

分别称之为三维泊松方程和拉普拉斯方程(调和方程)。 在数学上、物理学与工程技术中有很多典型问题都 归结为求泊松方程或拉普拉斯方程的解。如热传导 问题中定常温度分布、静电场的电势分布、不可压 缩流体的定常无旋流场的速度位势等问题。

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复习高等数学内容 以i,j,k分别表示沿x,y,z轴正向的单位向量, 则 任何一个三维空间的点或者向量a可表示为 a=xi+yj+zk, 或表示为a=(x,y,z) 则二向量a1=(x1,y1,z1)和a2=(x2,y2,z2)的数量积 或点积为: a1· 2=x1x2+y1y2+z1z2 a 它们的向量积或叉积为
i a ? b ? x1 x2 j y1 y2 k z1 z2
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? ( y1 z2 ? y2 z1 )i ? ( z1 x2 ? z2 x1 ) j ? ( x1 y2 ? x2 y1 )k

用M来代表三维空间中的一点x,y,z, 则一个数 量场函数就是一个三元函数, 用f(M)表示. 一 个向量场函数F(M), 表示每给一点, 都有一个 向量与之对应, F(M)可表示为 F(M)= P(M)i+Q(M)j+R(M)k 其中P(M), Q(M), R(M)都是数量函数. 一个数量场函数f(M)在某点x,y,z的沿l方向的 方向导数为 ?f ?f ?f ?f ? cos a ? cos ? ? cos ? ?l ?x ?y ?z 其中a,?,?为方向l的方向角。
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数量场函数f(M)的梯度是一个向量场函数, 记 为grad f(M) ?f ?f ?f grad f ( x, y, z ) ? i ? j? k ?x ?y ?z 函数在某点的梯度是这样一个向量, 它的方向 与取得最大方向导数的方向一致, 而它的模为 方向导数的最大值.

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向量场函数F(M)=P(M)i+Q(M)j+R(M)k在点M 处的散度是一个标量场函数, 记为div F, ?P ?Q ?R div F ? ? ? ?x ?y ?z divF在这里可看作稳定流动的不可压缩流 体在点M的源头强度—在单位体积内所产 生的流体的质量. 如果为负, 表示点M处 流体在消失.

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向量场函数F(M)=P(M)i+Q(M)j+R(M)k在点M 处的旋度是一个向量场函数, 记为rot F, ? ?R ?Q ? ? ?P ?R ? ? ?Q ?P ? ? ? rot F ? ? ? ? j ?? ?i ? ? ?k ? ?y ?z ? ? ?z ?x ? ? ?x ?y ? i j k ? ? ? ? ?x ?y ?z P Q R

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向量微分算子?的定义为 ? ? ? ?? i? j? k ?x ?y ?z 它又称为?(Nabla)算子或哈密尔顿(Hmilton) 算子. 运用向量微分算子, 设数量场函数为 f(x,y,z), 向量场函数为F(x,y,z)=Pi+Qj+Rk,

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? ? ? ?? i? j? k ?x ?y ?z ?f ?f ?f ?f ? i ? j ? k ? grad f ?x ?y ?z

? f ? f ? f ? f ? 2 ? 2 ? 2 ? ?f ?x ?y ?z 2 2 2 ? ? ? 其中 ? ? 2 ? 2 ? 2 ?x ?y ?z
2 2 2 2

称为拉普拉斯(Laplace)算子.
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? ? ? ?? i? j? k ?x ?y ?z

? ? ? ? ? j ? k ??( Pi ? Qj ? Rk ) ??F ? ? i ? · · ?y ?z ? ? ?x ?P ?Q ?R ? ? ? ? div F ?x ?y ?z i ? ?? F ? ?x P j ? ?y Q k ? ? rot F ?z R

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? ? ? ?? i? j? k ?x ?y ?z

高斯公式和斯托克斯公式可分别写成
· ??? ??F d v ? ? F d S , ?? ? ?
n

?? (? ? F ) ?

n

d S ? ?Ft d s ?
?

其中Fn为向量场函数在曲面元法线方向上 的投影, 而Ft为向量场函数在曲线切线方向 上的投影.
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例3 热传导方程 在物体中任取一闭曲面S, 它所包围的区域记 作V. 假设在时刻t,区域V内的点M(x,y,z)处的温 度为u(x,y,z,t), n为曲面元素?S的法向(从V内指 向V外). 由传热学中傅里叶实验定律可知, 物体在无穷 小时间段dt内, 流过一个无穷小面积dS的热量 dQ与时间dt、 曲面面积dS、物体温度u沿曲 面dS的法线方向的方向导数三者成正比

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?u d Q ? ?k d S d t ?n ? ? k (grad u ) n d S d t ? ? k grad u ?d S d t ·

?S

n

M

k为热传导系数. 从时刻t1到 t2, 通过曲面S流入区域V的 全部热量为

V

S

Q1 ? ?

t2

t1

? k grad u ?d S ? d t · ? ?? ? ?S ?
34

? k grad u ?d S ? d t Q1 ? ? ?? · ? t1 ? ?S ? 因S为闭曲面, 式中的二重积分可利用高斯公 式化为三重积分, 即
t2

?d ?? k grad u· S ? ??? k div grad u dV
S V

? ??? k ? u d V
2 V

Q1 ? ?

t2

t1

? k ? 2u d V ? d t ? ??? ? ?V ?
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流入的热量使V内温度发生了变化, 在时间间 隔[t1,t2]内区域V内各点温度从u(x,y,z,t1)变化到 u(x,y,z,t2), 则在[t1,t2]内温度升高所需要的热量 为 11 ??? c?[u ( x, y, z, t2 ) ? u ( x, y, z, t1 )]dV (1.20)
V

? t2 ?u ? ? ??? c ? ? ? d t ? dV ? t1 ?t ? V ??
t2 t1

?u ? ? ? ??? c ? ?t d V ? d t ?V ?
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c—物体的比热, ?—物体的密度.

流入的热量应等于物体吸收的热量, 因此有 t2 ? ?u ? k ? 2u d V ? d t ? t 2 ? 12 ? ??? c? d V ? d t (1.20)' ?t1 ? ??? ?t1 ? ? ?V ? ?t ? V 由于[t1,t2]及V是任取的, 上式成立的条件就 是被积函数相等, 即

? ? 2u ? 2u ? 2u ? ?u 2 2 2 ? a ? u ? a ? 2 ? 2 ? 2 ? , (1.21) 13 ?t ?y ?z ? ? ?x k 2 其中 a ? c?
方程(1.13)称为三维热传导方程.
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若物体内有热源, 其强度为F(x,y,z,t), 则相应的 热传导方程为

? ? 2u ? 2u ? 2u ? ?u 2 ? a ? 2 ? 2 ? 2 ? ? f ( x, y , z , t ) ?t ?y ?z ? ? ?x 其中 F f ? c?

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作为特例, 如果所考虑的物体是一根细杆(或 一块薄板), 或者即使不是细杆(或薄板)而其中 的温度u只与x,t(或x,y,t)有关, 则(1.13)就变成 一维或二维热传导方程 2 ?u 2 ? u ?a 2 ?t ?x

? ? 2u ? 2u ? ?u 2 ?a ? 2 ? 2 ? ?t ?y ? ? ?x

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如果考虑稳恒温度场, 即在热传导方程中物体 的温度趋于某种平衡状态, 这时温度u已与时 间无关, 此时方程(1.13)就变成拉普拉斯方程 (1.10). 由此可见稳恒温度场内的温度u也满足 拉普拉斯方程. 在研究气体或液体的扩散过程时, 若扩散系数 是常数, 则所得的扩散方程与热传导方程完全 相同.

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§1.3 初始条件与边界条件

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上面讨论的是如何将一个具体问题所具有的 物理规律用数学式子表达出来. 除此以外, 我 们还需要把这个问题所具有的特定条件也用 数学形式表达出来, 这是因为任何一个具体的 物理现象都是处在特定条件之下的. 例如弦振 动问题, 上节所推导出来的方程是一切柔软均 匀的弦作微小横向振动的共同规律, 在推导这 个方程时没有考虑到弦在初始时刻的状态.

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另外, 弦的两端所受的约束也会影响弦的振动, 端点处的物理条件不同就会产生不同的影响, 因而弦的振动也不同. 所以对弦振动问题来说, 除了建立振动方程以外, 还需列出它所处的特 定条件. 对热传导方程, 拉普拉斯方程也是如 此. 提出的条件应该能够用来说明某一具体物理 现象的初始状态或者边界上的约束情况. 用以 说明初始状态的条件称为初始条件; 用以说明 边界上的约束情况的条件称为边界条件.
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下面具体说明初始条件和边界条件的表达形 式. 先谈初始条件, 对于弦振动问题来说, 初始 条件就是弦在开始时刻的位移及速度, 若以 j(x), y(x)分别表示初位移和初速度, 则初始条 件可以表达为
? u t ?0 ? j ( x), ? ? ?u ? y ( x). ? ?t ? t ?0 (1.22) 14

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而对热传导方程来说, 初始条件是指在开始时 刻物体温度的分布情况, 若以j(M)表示t=0时 物体内任一点M处的温度, 则热传导方程的初 始条件就是 u(M,t)|t=0=j(M). (1.23) 15 泊松方程与拉普拉斯方程都是描述稳恒状态 的, 与初始状态无关, 所以不提初始条件.

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再谈边界条件. 还是先从弦振动问题说起, 从 物理学得知, 弦在振动时, 其端点(以x=a表示 这个端点)所受约束情况, 通常有以下三种类 型: 第一, 固定端, 即弦在振动过程中这个端点始 终保持不动. 对应于这种状态的边界条件为 u|x=a=0, (1.24) 16 或 u(a,t)=0.

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第二, 自由端, 即弦在这个端点不受位移方向 的外力, 从而在这个端点弦在位移方向的张力 应该为零. 由前面的推导过程可知, 此时对应 的边界条件为
?u T ? 0, ?x x ? a ?u ? 0. ?x x ? a u x (a, t ) ? 0.

即 或

(1.25) 17

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第三, 弹性支承端, 即弦在这个端点被某个弹 性体所支承. 设弹性支承原来的位置为 u=0, 则 u|x=a 就表示弹性支承的应变,这时弦在 x=a ?u 处沿位移方向的张力T 应该等于?ku|x=a, ?x x ? a ?u T ? ? ku x ? a 即 ?x x ? a ? ?u ? 18 (1.26) 或 ? ? ? u ? ? 0, ? ?x ? x?a 其中 k 为弹性体的倔强系数, ?=k/T.
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对热传导方程来说, 也有类似的情况. 以S表示 某物体V的边界, 如果在导热过程中边界S的 温度为已知的函数f(x,y,z,t), 则这时的边界条 件为 u|S=f (1.27) 19 f是定义在S上(一般依赖于t)的函数. 如果在导热过程中, 物体V与周围介质处于绝 热状态, 则在S上的热量流速始终为零, 则在边 界S上必满足 ?u ?0 (1.28) 20 ?n S
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如果物体的内部和周围的介质通过边界 S 有 热量交换, 以 u1 表示物体接触处的介质温度, 这时利用另一个热传导实验定律: 从一介质 流入另一介质的热量和两介质间的温度差成 正比 dQ=k1(u?u1)dSdt, 其中 k1 是两介质间的热交换系数. 在物体内 部任取一个无限贴近于边界 S 的闭曲面?, 由 于在 S 上内侧热量不能积累, 所以在?上的热 量流速应等于边界 S 上的热量流速, 而在?上 ?Q ?u ? ?k 的热量流速为 , d S dt ? ?n ?
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所以, 当物体和外界有热交换时, 相应的边界 条件为 ?u ?k ? k1 (u ? u1 ) |S ?n S 即
? ?u ? ? ? ? u ? ? ? u1 |S ? ?n ?S (1.29) 1

其中?=k1/k

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综上所述可知, 不论对弦振动问题, 还是对热 传导问题, 它们所对应的边界条件, 从数学角 度看不外有三种类型: 一是在边界S上直接给出了未知函数u的数值, 即 u|S=f1 (1.30) 22 这种形式的边界条件称为第一类边界条件. 二是在边界S上给出了未知函数u沿S的外法线 方向的方向导数, 即 ?u ? f2 (1.31) 23 ?n S 这种形式的边界条件称为第二类边界条件.
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三是在边界S上给出了未知函数u及其沿S的外 法向的方向导数某种线性组合的值, 即 ? ?u ? 24 (1.32) ? ? ? u ? ? f3 ? ?n ?S 这种形式的边界条件称为第三类边界条件. 需要注意的是(1.22),(1.23),(1.24)右端的 fi(i=1,2,3)都是定义在边界S上(一般说来, 也 依赖于t)的已知函数. 不论哪一类型的边界 条件, 当它的数学表达式中的自由项(即不依 赖于u的项)恒为零时, 则这种边界条件称为 是齐次的, 否则称为非齐次的.
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§1.4 定解问题的解法

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如果一个函数具有某偏微分方程中所需要的 各阶连续偏导数, 并且代入该方程中能使它变 成恒等式, 则此函数称为该方程的解(古典解). 由于每一个物理过程都处在特定的条件之下, 所以我们的任务是要求出偏微分方程的适合 某些特定条件的解. 初始条件和边界条件都称 为定解条件, 把某个偏微分方程和相应的定解 条件结合在一起, 就构成了一个定解问题.

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对于定解问题 只有初始条件, 没有边界条件的定解问题称为 初值问题(或柯西(Cauchy)问题); 反之, 没有初始条件, 只有边界条件的定解问 题称为边值问题. 即有初始条件也有边界条件的定解问题称为 混合问题.

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定解问题的验证 一个定解问题提得是否符合实际情况, 当然必 须靠实践来证实. 然而从数学角度来看, 可以 从三方面加以检验: 1) 解的存在性, 即看所归结出来的定解问题是 否有解; 2) 解的惟一性, 即看是否只有一个解; 3) 解的稳定性, 即看当定解条件有微小变动时, 解是否相应地也只有微小的变动. 如果确实如 此, 此解便称为稳定的, 否则所得的解就无实 用价值.
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如果一个定解问题存在惟一且稳定的解, 则此 问题称为适定的. 在以后讨论中我们把着眼点 放在讨论定解问题的解法上, 而很少讨论它的 适定性, 这是因为讨论定解问题的适定性往往 十分困难, 而本书所讨论的定解问题都是经典 的, 它们的适定性都是经过证明了的.

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§1.5 两个重要原理

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一、杜阿梅尔原理
设w ? w( x, t ,? ) 是初值问题
??2w ?2w ? a2 2 , ? ? ? x ? ?, t ? ? (1 ? 25) ? 2 ?x ? ?t ? ?w ? 0, ?w ? f ( x,? ), ? ? ? x ? ?(1 ? 26) t ?? ? ?t t ?? ?

的两次连续可微解,则 是初值问题

u( x, t ) ? ? w( x, t ,? )d?
0

t

(1 ? 27)
60

? ? 2u ? 2u ? a 2 2 ? f ( x, t ), ? ? ? x ? ?, t ? ? (1 ? 28) ? 2 ?x ? ?t ? ?u ? 0, ?u ? 0, ? ? ? x ? ?(1 ? 29) t ?0 ? ?t t ?0 ? 的解。 证明:由(1-27)可得 u t ?0 ? 0

由(1-26)可得

w( x,? ,? ) ? 0

对(1-27)关于t求偏导可得 t ? u ( x, t ) ? w( x, t , t ) ? ? w( x, t ,? )d? 0 ?t t ? ?? w( x, t ,? )d? (1 ? 30) 0 ?t 61

则当t=0时, 并且,

?u ?0 ?t

2 t ? ? 2u ?w ? ? 2 w( x, t ,? )d? ? 2 0 ?t ?t ?t ? ?t

? ? a ? 2 w( x, t ,? )d? ? f ( x, t ) 0 ?x ? 2u ? a 2 2 ? f ( x, t ) ?x
2 t 2

62

二、叠加原理
叠加原理1.设 u ? uk ( x, t )(k ? 1,2,?) 是齐次方程
?u ? 2u ? a2 2 , ?t ?x ( x, t ) ? G (1 ? 31)

的解。若函数级数 ?

? C u ( x, t )
k ?1 k k ?

在G内收敛,并且对t可逐项求导一次,对x可逐项求 导两次,则和函数
u ( x, t ) ? ? C k u k ( x, t )
k ?1

在G内仍然是方程(1-31)的解。
63

叠加原理2.设 u ? uk ( x, t )(k ? 1,2,?) 是非齐次方程
?u ? 2u ? a 2 2 ? f k ( x, t ) ?t ?x ( x, t ) ? G (1 ? 32)

的解。若函数级数 ?

? C u ( x, t )
k ?1 k k ?

在G内收敛,并且对t可逐项求导一次,对x可逐项求 导两次,则和函数
u ( x, t ) ? ? C k u k ( x, t )
k ?1

是方程(1-32)在G内的解。
64

叠加原理3.设 u ? uk ( x, t , M ) 是含参量 M ? D 的非齐次方程
?u ? 2u ? a 2 2 ? f ( x, t , M ) ?t ?x ( x, t ) ? G

的解。若 ( x, t ) ? G时,函数
U ( x, t ) ? ? u ( x, t , M )dM
D

可在积分号下对t求导 一次,对x求导两次,则 U ( x, t ) 在G上是非齐次方程
?U ? 2U ? a 2 2 ? ? f ( x, t , M )dM D ?t ?x

的解。
65

叠加原理4.设 v ? v( x, t )是定解问题
? ?v ? 2v ? a 2 2 ? f ( x, t ),0 ? x ? l , t ? 0 ? ?t ? ?t (1)? v x ?0 ? 0, v x ?l ? 0 t ? 0 ?v ? 0 0? x?l t ?0 ? ?

w 的解, ? w( x, t ) 是定解问题
? ?w ?2w ? a 2 2 ,0 ? x ? l , t ? 0 ? ?x ? ?t (2)? w x ?0 ? 0, w x ?l ? 0 t ? 0 ?w ? j ( x ) 0? x?l t ?0 ? ?

的解,则函数 u( x, t ) ? v( x, t ) ? w( x, t )
66

是定解问题
? ?u ? 2u ? a 2 2 ? f ( x, t ),0 ? x ? l , t ? 0 ? ?x ? ?t ? u x ?0 ? 0, u x ?l ? 0 t ? 0 ?u ? j ( x) 0? x?l t ?0 ? ?

的解。

67

作业 习题一 第15页 第1,4,5题

68


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