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高考 三角函数的化简 求值


高考

三角函数式的化简与求值

三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一.通过本节的学习使考生掌握化 简和求值问题的解题规律和途径, 特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧, 以优化我们的 解题效果,做到事半功倍. ●难点磁场 (★★★★★)已知 _________. ●案例探究 [例 1]不查表求 sin220°+cos280°+ 3 cos20°cos80°的值. 命题意图:本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法,对计算能力的要求较 高.属于★★★★级题目. 知识依托:熟知三角公式并能灵活应用. 错解分析:公式不熟,计算易出错. 技巧与方法:解法一利用三角公式进行等价变形;解法二转化为函数问题,使解法更简 单更精妙,需认真体会. 解法一:sin220°+cos280°+ 3 sin220°cos80°

?
2

<β <α <

3? 12 3 ,cos(α -β )= ,sin(α +β )=- ,求 sin2α 的值 4 5 13

1 1 (1-cos40°)+ (1+cos160°)+ 3 sin20°cos80° 2 2 1 1 =1- cos40°+ cos160°+ 3 sin20°cos(60°+20°) 2 2 1 1 =1 - cos40 ° + (cos120 ° cos40 °- sin120 ° sin40 ° )+ 3 sin20 ° (cos60 ° cos20 ° 2 2
= -sin60°sin20°) =1- =1-

3 3 1 1 3 cos40°- cos40°- sin40°+ sin40°- sin220° 4 4 2 4 2

3 3 1 cos40°- (1-cos40°)= 4 4 4

解法二:设 x=sin220°+cos280°+ 3 sin20°cos80° y=cos220°+sin280°- 3 cos20°sin80°,则 x+y=1+1- 3 sin60°=

1 ,x-y=-cos40°+cos160°+ 3 sin100° 2

=-2sin100°sin60°+ 3 sin100°=0 ∴x=y=

1 1 ,即 x=sin220°+cos280°+ 3 sin20°cos80°= . 4 4 1 2
6

[例 2] 设关于 x 的函数 y=2cos2x-2acosx-(2a+1)的最小值为 f(a), 试确定满足 f(a)=

的 a 值,并对此时的 a 值求 y 的最大值. 命题意图:本题主要考查最值问题、三角函数的有界性、计算能力以及较强的逻辑思维 能力.属★★★★★级题目 知识依托:二次函数在给定区间上的最值问题. 错解分析:考生不易考查三角函数的有界性,对区间的分类易出错. 技巧与方法:利用等价转化把问题化归为二次函数问题,还要用到配方法、数形结合、 分类讲座等. 解:由 y=2(cosx-

a 2 a 2 ? 4a ? 2 )- 及 cosx∈[-1,1]得: 2 2

( a ? ?2) ?1 ? 2 ? a f(a) ?? ? 2a ? 1 ( ?2 ? a ? 2) ? 2 1 ? 4a ( a ? 2) ? ?

1 1 1 ,∴1-4a= ? a= ?[2,+∞ ) 2 2 8 2 a 1 故- -2a-1= ,解得:a=-1,此时, 2 2 1 1 y=2(cosx+ )2+ ,当 cosx=1 时,即 x=2kπ ,k∈Z,ymax=5. 2 2
∵f(a)= [例 3]已知函数 f(x)=2cosxsin(x+

?
3

)- 3 sin2x+sinxcosx

(1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)的最小值及取得最小值时相应的 x 的值; (3)若当 x∈[

?
12



7? - - ]时,f(x)的反函数为 f 1(x),求 f- 1(1)的值. 12

命题意图: 本题主要考查三角公式、 周期、 最值、 反函数等知识,还考查计算变形能力, 综合运用知识的能力,属★★★★★级题目. 知识依托:熟知三角函数公式以及三角函数的性质、反函数等知识. - 错解分析:在求 f- 1(1)的值时易走弯路. 技巧与方法:等价转化,逆向思维. 解:(1)f(x)=2cosxsin(x+ =2cosx(sinxcos

?
3

)- 3 sin2x+sinxcosx

?
3

+cosxsin

?
3

)- 3 sin2x+sinxcosx

=2sinxcosx+ 3 cos2x=2sin(2x+ ∴f(x)的最小正周期 T=π (2)当 2x+

?
3

)

?
3

=2kπ -

?
2

,即 x=kπ -

5? (k∈Z)时,f(x)取得最小值-2. 12

], , 2 2 ? ? 3? ? 5? ∴2x+ ∈[ , ],∴2x+ = ,则 3 3 2 3 6 (3)令 2sin(2x+

?

3

)=1,又 x∈[

? 7?

6

x=

?
4

,故 f- 1(1)=


?
4

.

●锦囊妙计 本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有: 1.求值问题的基本类型:1°给角求值,2°给值求值,3°给式求值,4°求函数式的最 值或值域,5°化简求值. 2.技巧与方法: 1°要寻求角与角关系的特殊性,化非特角为特殊角,熟练准确地应用公式. 2°注意切割化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用. 3°对于条件求值问题,要认真寻找条件和结论的关系,寻找解题的突破口,很难入手 的问题,可利用分析法. 4°求最值问题,常用配方法、换元法来解决. ●歼灭难点训练 一、选择题 1.(★★★★★)已知方程 x2+4ax+3a+1=0(a>1)的两根均 tanα 、tanβ ,且α ,β ∈ (-

? ?
2 2 1 A. 2 ,

),则 tan

???
2

的值是( B.-2

) C.

4 3

D.

1 或-2 2

二、填空题

3 ? 1 , α ∈( , π ), tan(π -β )= , 则 tan(α -2β )=_________. 5 2 2 ? 3? ? ? 3 3? 5 3.(★★★★★)设α ∈( , ),β ∈(0, ),cos(α - )= ,sin( +β )= ,则 4 13 4 4 4 4 5
2.(★★★★)已知 sinα = sin(α +β )=_________. 三、解答题 4.不查表求值:

2 sin130? ? sin100?(1 ? 3 tan 370?) 1 ? cos10?

.

sin 2 x ? 2 sin2 x 3 17? 7? ,( <x< ),求 的值. 1 ? tan x 5 4 4 12 1 ? cos(? ? ? ) ? ? 8 6.(★★★★★)已知α -β = π ,且α ≠kπ (k∈Z).求 ? 4 sin2 ( ? ) 的 ? ? 4 4 3 csc ? sin 2 2
5.已知 cos(

?

+x)=

最大值及最大值时的条件. 7.(★★★★★)如右图,扇形 OAB 的半径为 1,中心角 60°,四 边形 PQRS 是扇形的内接矩形,当其面积最大时,求点 P 的位置,并 求此最大面积. 8.(★★★★★)已知 cosα +sinβ = 3 , sinα +cosβ 的取值范围是 D,x∈D,求函数 y= log 1
2

2x ? 3 的最小值,并求取得最小值时 x 4 x ? 10

的值.
6

参考答案 难点磁场

? 3? ? 3? <β <α < ,∴0<α -β < .π <α +β < , 2 4 4 4 5 4 ∴sin(α -β )= 1 ? cos 2 (? ? ? ) ? , cos(? ? ? ) ? ? 1 ? sin2 (? ? ? ) ? ? . 13 5
解法一:∵ ∴sin2α =sin[(α -β )+(α +β )] =sin(α -β )cos(α +β )+cos(α -β )sin(α +β )

5 4 12 3 56 ? (? ) ? ? (? ) ? ? . 13 5 13 5 65 5 4 解法二:∵sin(α -β )= ,cos(α +β )=- , 13 5 72 ∴sin2α +sin2β =2sin(α +β )cos(α -β )=- 65 40 sin2α -sin2β =2cos(α +β )sin(α -β )=- 65 1 72 40 56 ∴sin2α = (? ? )?? 2 65 65 65 ?
歼灭难点训练 一、1.解析:∵a>1,tanα +tanβ =-4a<0. tanα +tanβ =3a+1>0,又α 、β ∈(-

??? ? ? ? ? , )∴α 、β ∈(- ,θ ),则 ∈(- ,0),又 2 2 2 2 2

??? 2 tan tan ? ? tan ? ? 4a 4 4 2 ? ? , 又 tan(? ? ?) ? ? , tan(α +β )= ? ? ? 1 ? tan ? tan ? 1 ? (3a ? 1) 3 3 1 ? tan 2 2 ??? ??? ??? 整理得 2tan2 2 ? 3 tan 2 ? 2 =0.解得 tan =-2. 2
答案:B

3 4 ? ,α ∈( ,π ),∴cosα =- 5 5 2 3 1 1 则 tanα =- ,又 tan(π -β )= 可得 tanβ =- , 4 2 2
2.解析:∵sinα =

1 2 ? (? ) 2 tan ? 2 ? ? 4. tan 2? ? ? 2 1 3 1 ? tan ? 1 ? (? ) 2 2 3 4 ? ? (? ) tan ? ? tan 2 ? 7 4 3 tan(? ? 2?) ? ? ? 3 4 1 ? tan ? ? tan 2? 1 ? (? ) ? (? ) 24 4 3
答案:

7 24
6

3.解析:α ∈(

? 3? ? ? ? 3 ),又 cos(α - )= . , ),α - ∈(0, 4 4 4 2 4 5

? 4 ? 3? 3? 3? 5 3? 12 ? sin(? ? ) ? , ? ? (0, ).? ? ? ? ( , ?). sin( ? ?) ? ,? cos( ? ?) ? ? . 4 5 4 4 4 4 13 4 13 ? 3? ? ? sin(? ? ?) ? sin[(? ? ) ? ( ? ?) ? ] 4 4 2 ? 3? ? ? cos[(? ? ) ? ( ? ?)] 4 4 ? 3? ? 3? 3 12 4 5 56 ? ? cos(? ? ) ? cos( ? ?) ? sin(? ? ) ? sin( ? ?) ? ? ? (? ) ? ? ? . 4 4 4 4 5 13 5 13 65 56 即sin(? ? ?) ? 65
答案:

56 65

三、4.答案:2

3 ? 7 ? x ) ? ,? sin 2 x ? ? cos 2( ? x ) ? . 4 5 4 25 17? 7 5? ? ? 4 又 ? x ? ? ,? ? x ? ? 2? ,? sin(x ? ) ? ? 12 4 3 4 4 5 2 2 sin 2 x ? 2 sin x 2 sin x cos x ? 2 sin x 2 sin x (sin x ? cos x ) cos x ? ? sin x 1 ? tan x cos x ? sin x 1? cos x 7 4 ? ? (? ) sin 2 x sin( ? x ) 5 ? 28 4 ? ? 25 ? 3 75 cos( ? x ) 4 5 5.解 :? cos(
1 ? cos(? ? ?) ? ? ? 4 sin 2 ( ? ) ? ? 4 4 csc ? sin 2 2 ? ? ? ? ? sin (1 ? cos ?) 1 ? cos( ? ) sin ? 2 cos 2 2 2 2 ? 2 2 ? 4( 1 ? 1 sin ? ) ? ?4 ? ? 2 2 2 2 1 ? sin 2 cos 2 2 2 ? ? ??? ? ?? ? 2(sin ? sin ) ? 2 ? 4 sin cos ?2 2 2 2 2 8 2? ? ? 8 ? ?? 3 ? ? ? 2? . ? ? ? ? ? ?,? ? 3 4 4 2 3 ? 2 1 ? 2? ? t ? 4 sin( ? ?) ? (? ) ? 2 ? ?2 sin( ? ) ? 2 2 3 2 2 3 6.解 : 令t ?

?

? 2 k? 2? (k∈Z) ? ?? ? 2 3 2 3 ? 2? ? ? 2 ? ∴当 ? ? 2k? ? , 即 ? ? 4k? ? (k∈Z)时, sin( ? ?) 的最小值为-1. 2 3 2 2 3 3
? ? ? k? (k∈Z),?
7.解:以 OA 为 x 轴.O 为原点,建立平面直角坐标系,并设 P 的坐标为(cosθ ,sinθ ),
6

则 |PS|=sinθ .直线 OB 的方程为 y= 3 x,直线 PQ 的方程为 y=sinθ .联立解之得 Q( θ ;sinθ ),所以|PQ|=cosθ - 于是 SPQRS=sin θ (cos θ -

3 sin 3

3 sinθ . 3

3 3 3 3 sin θ )= ( 3 sin θ cos θ - sin2 θ )= ( sin2 θ - 3 3 3 2 3 3 3 3 1 ? cos 2? 1 1 ? )= ( sin2θ + cos2θ - )= sin(2θ + )- . 3 2 3 6 2 2 2 6 1 ? ? ? 5 ? ∵0<θ < ,∴ <2θ + < π .∴ <sin(2θ + )≤1. 6 2 3 6 6 6 3 ? ? ∴sin(2θ + )=1 时,PQRS 面积最大,且最大面积是 ,此时,θ = ,点 P 为 的 6 6 6 3 1 , ). 中点,P( 2 2
8.解:设 u=sinα +cosβ .则 u2+( 3 )2=(sinα +cosβ )2+(cosα +sinβ )2=2+2sin(α +β )≤4. ∴u2≤1,-1≤u≤1.即 D=[-1,1],设 t= 2 x ? 3 ,∵-1≤x≤1,∴1≤t≤ 5 .x=

t2 ? 3 . 2

?M ?

2x ? 3 t 1 1 2 ? 2 ? ? ? . 4 4 x ? 10 2t ? 4 2t ? 8 4 2 t

4 2 当且仅当2t ? ,即t ? 2时, M max ? .? y ? log0.5 M在M ? 0时是减函数, t 8 ? y min ? log0.5 2 5 1 ? log0.5 2 ? log0.5 8 ? 时, 此时t ? 2 , 2 x ? 3 ? 2 , x ? ? . 8 2 2

6


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