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高一数学《对数与对数的运算》课件_图文

2.2.1对数与对 数的运算

问题
截止到1999年底,我国人口约13亿.如果今后能 将人口年平均增长率控制在1%,那么经过多少年后, 我国人口将达到18亿?20亿?30亿? 分析:根据题意,经过x年后,我国人口数为y,

则:

y ? 13? (1 ?1%) x ? 13?1.01x

要解决这个问题实际上就是求当 y=18,y=20, y=30时,相对应的x值是多少. 就是从 18 ? 1.01x , 20 ? 1.01x , 30 ?1.01x 分别求出x.即已 13 13 13 知底数和幂的值求指数.这就是要学习的对数问题.

一般地,如果 a

x

? N (a ? 0, 且a ? 1) ,那么数
log a N ? x 其中a叫

x叫做以a为底N的对数,记作
做对数的底数,N叫做真数。

指数
x

真数

a ? N ? loga N ? x
幂 底数 底数
对数

探究:
1. 是不是所有的实数都有对数? logaN=x中的N可以取哪些值?

负数与零没有对数,即:N>0 2. 根据对数的定义以及对数与指数的关系, loga1=? logaa=?
loga1=0, logaa=1

3. 对数恒等式
在ax=N 中, x=logaN,则有

a ? N ? loga N ? x
x

a

log a N

?N

(a>0, a≠1)

探究:
4. 常用对数: 我们通常将以10为底的对数叫做常用对数. 为了 简便,N的常用对数 log10N , 简记作 : lgN. 5. 自然对数 在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828……为 底的对数,以e为底的对数叫自然对数,为了简便,N 的自然对数logeN简记作lnN. 6. 底数的取值范围: (0, 1)∪(1, +∞) 真数的取值范围: (0, +∞)

例题与练习
例1 将下列指数式写成对数式 1 m a (4) ( ) ? 5.73 (3) 3 ? 27 3

log3 27 ? a
x

log 1 5.73 ? m
3

(1) 5 ? 625
4

a ? N ? loga N ? x
( 2) 2
?6

log5 625 ? 4

1 ? 64

1 log2 ? ?6 64

例2 将下列对数式写成指数式

(3) lg0.01 ? ?2 ?2 10 ? 0.01
(1) log1 16 ? ?4
2

(4) ln10 ? 2.303

e
x

2.303

? 10

loga N ? x ? a ? N
(2) log2 128 ? 7
1 ?4 ( ) ? 16 2

2 ? 128
7

例3 求下列各式中的x的值

2 (1) log64 x ? ? 3 2 ?
x ? 64
3

(2) logx 8 ? 6
x?68

x ?8
6

? ?4
x

2 ? 3 3

?

1 ? 16

(3) lg100 ? x
10 ? 100

(4) ? lne ? x
2
2

x?2

ln e x ? ?2 x ? e? ? e

? x ? ?2

对数、指数、根式要熟练转换

1. 负数和零没有对数。 2. log a 1 ? 0 (a ? 0 , a ? 1) 3. log a a ? 1 (a ? 0 , a ? 1)

.a

log a N

?N

练:求下列各式的值:

(1)log99= 1 ;
(3)log131= 0 ;

(2)log0.41=

(5)2

log 2 4
5

;=4
; 5 =10

0; (4)log3.73.7= 1 ; log 27 =27 (6)3 ;
3

(7)10

lg 10

(8)5

log 5 1125

.=1125

练习:
(1) 对数式 log ( 2 x ?1)
1? x2

1 中x的取值范围是__2

? x ____ ?1

2x ?1 14 ) ? 1 则x=____ (2)log 3 ( 9

(3) 31?log3 6

18 ? ________
(B)x<2

(4).log(2-x)(2-x)=1成立的条件是( C ) (A)x

?2

(C)x<2且x

?1

(D)以上都不对

1. 对数的定义;
2. 指数式与对数式互换; 3. 求对数式的值.

作业
课本74页,习题2.2 A组1、2题

拓展提高

1.(1)若 log ( x ?1) (3 ? x)有意义,则x的取值 范围1 ? x ? 3且x ? 2 _____________

(2)若(lg x) ? 2lg x ? 3 ? 0, 则x
2

1 或1000 ? 10 _____

? ? 2 (3)若 log 2 ? log 1 (log 2 x) ? ? 0, 求x ? ____ ? 2 ?

2.计算

() 3 1
(2)

log3 5

? 3

1 log3 5

a

loga b ? logb c ? log c N

2.计算

() 13

log 3 5

? 3

log 3

1 5

解:原式 = 5 + 3

1 1 ?log3 2 5
log3

= 5 +(3

1 1 5 2

)

1 12 = 5 +( ) 5 1 = 5+ 5

6 5 = 5

(2)

a

loga b? logb c ? log c N

??

解:原式 ? a (
? (b
?c
?N

loga b logb c log c N



logb c log c N

)

log c N


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