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2.1.2椭圆的简单几何性质2(第二定义)OK


的几何性质(2)

目标
1、理解椭圆的第二定义,掌握椭圆的准线方程及 准线的几何意义,进一步理解离心率e的几何意义; 2、掌握用坐标法求曲线方程及由方程研究图形性 质的方法; 3、进一步全面理解的椭圆的几何性质,理解焦半 径公式,加深对两种定义等价性的理解。 4、能根据焦距、长轴长、离心率、准线方程,求 椭圆的标准方程。

复习
方程
B2 y A2 F2 F2 A2 x B1 B1 F1 A1 O y

图形

A1 F1

O

B2 x

范围 对称性 顶点

-a≤x≤a,-b ≤y≤b

-b ≤x≤b, -a≤y≤a

关于x轴、y轴、原点对称 A1(-a,0), A2(a,0) A1(0,-a), A2(0,a) B1(0,-b), B2(0,b)
c e? a

B1(-b,0),

B2(b,0)

离心率

?0 ? e ? 1?

练习1 求下列椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、 顶点坐标和离心率。
(1)x2+9y2=81

2a ? 18 2b ? 6 ? 6 2 ,0

?

?

(2) 25x2+9y2=225

2a ? 10 2b ? 6 ?0,?4?
(4) 4x2+5y2=1
2 5 2a ? 1 2b ? 5 ? 5 ? ?? ? ? 10 ,0 ? ? ? 5 5 5? ? 1 ?? ? ?e? ? ? ,0 ? ? 0,? 5 ? ? 2 ?? ?

?? 9,0??0,?3? e ? 2
(3) 16x2+y2=25
2a ? 10 2b ? 5

2

3

?? 3,0??0,?5? e ? 4 5

? 5 15 ? ? 0,? ? 2? 4 ? ? ?

? 5 ? ? ? ,0 ? ?0,?5? e ? 15 4 ? 4 ?

练习2 已知椭圆 x2 ? (m ? 3) y 2 ? m(m ? 0) 的离心率
3 e? , 求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐 2 ? 3 ? 1? ?
? 0,? ? 标、顶点坐标。 m ? 1,2a ? 2,2b ? 1, ? ? ? 2 ,0 ?, ?? 1,0?, ? 2? ? ? ?

练习3: 1. 根据下列条件,求椭圆的标准方程。
2 2 x y ① 长轴长和短轴长分别为8和6,焦点在x轴上 ? ? 1 16 9

② 长轴和短轴分别在y轴,x轴上,经过P(-2,0), Q(0,-3)两点.
x2 y2 ? ?1 4 9

x2 y2 ? ?1 ③一焦点坐标为(0,-3)一顶点坐标为(0,5) 16 25 x2 y2 ④两顶点坐标为(0,±6),且经过点(5,4) ? ? 1 45 36 2 2 x y ⑤焦距是12,离心率是0.6,焦点在x轴上。 ? ? 1 100 64

2. 已知椭圆的一个焦点为F(6,0)点B,C是短 轴的两端点,△FBC是等边三角形,求这个椭圆的 标准方程。 x2 y2
48 12 ? ?1

例1、点M(x,y)与定点F(c,0)的距离和它到 点M的轨迹 解:设 d是点M到直线l的距离, 则
c a2 定直线l 的距离的比是常数 (a ? c ? 0),求 l:x ? a c

.

y

l

由题意知 | MF | ? c
d

a

.
O

M

d
x



( x ? c)2 ? y 2 c ? . 2 a |a ?x| c
2

F

.

化简 (a2 ? c2)x2 ? a2 y2 ? a2(a2 ? c2) .
2 y 设 a2 ? c2 ? b2 ,则 方程化为 x 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) a b ? 点 M 的轨迹是长轴、短轴长 分别为2a、 2b的椭圆.

思考
(1)此椭圆与原来学过的椭圆有何异同? (2)定点、定直线、定值有何意义?

椭圆第二定义
平面内与一个定点的距离和它到一条定直线 的距离的比是常数e=c/a(0<e<1)的动点M的轨 迹叫椭圆。 其中 定点——椭圆的焦点; 定直线——准线; 定值即常数——离心率

思考
1、上述定义中给出了椭圆的一个焦点,一条准线,椭 圆还有另一焦点,是否还有另一准线? 2、另一焦点的坐标和准线的方程是什么?
3、题中的|MF|=ed的d到底是到哪一条准线的距离? 能否随意选一条?
l'
y

l

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

2

2

F` O

.

.

M

d

F

.

说明:
x y 1、对于椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a b
2 2

a2 右焦点F2 (c, 0)对应的右准线方程是x ? . c

a2 左焦点F1 (?c, 0)对应的左准线方程是x ? ? . c 2、左焦点与左准线对应,右焦点与右准线对应,不能

混淆,否则得到的椭圆方程不是标准方程。
3、离心率e的几何意义:椭圆上一点到焦点的距离与 到相应准线的距离的比。

x2 y 2 ? c,0)F2 (c,0), ( 例2 已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)的焦点F 1 a b P ( x0 , y 0 )是椭圆上任意点,求证 : | PF 1 |? a ? ex0 ,

| PF1 | c ?由椭圆的第二定义得: a 2 ? a x0 ? c

a2 x?? 证明:? 椭圆的左准线为 c

| PF2 |? a ? ex0 , 其中e 为椭圆的离心率.
l'

y

l
P

整理得:| PF 1 |? a ? ex0

F1O

.

F2

.

x

由椭圆的第一定义得:| PF2 |? 2a? | PF1 |? a ? ex0
|PF1|, |PF2|称为椭圆的焦半径,此公式称为焦半径公式

焦半径: | PF 2 |? a ? ex0 1 |? a ? ex0 | PF

方程
B2
y A2 F2 F2 A2 x B1 B1 F1 O y

图形

A1 F1

O

B2 x

范围 对称性 顶点 离心率 准线方程

-a≤x≤a,-b ≤y≤b

-b ≤x≤b, -a≤y≤a

A1

关于x轴、y轴、原点对称 A1(-a,0), A2(a,0) A1(0,-a), A2(0,a) B1(0,-b), B2(0,b) B1(-b,0), B2(b,0)

焦半径

|PF1|=a+ex0;|PF2|=a-ex0|PF1|=a+ey0;|PF2|=a-ey0

1、已知椭圆的对称轴为坐标轴,离心率为 两准线间的距离为4,求此椭圆方程。 x2 2



2、已知椭圆的两焦点把两准线 间的距离三等分,求e
3、已知椭圆

2 y ? y ? 1或x 2 ? ?1 2 2 3 e? 3

,点M(4,y0)在椭圆上,
M
F2
l

求点M到两个焦点的距离。 25 ? 解:椭圆的右准线为 x 3 25 13 M到右准线的距离 d= ? 4 ?
3
3

13 3 13 由椭圆第二定义,M到右焦点的距离为 MF2 ? de ? 3 ? 5 ? 5 13 37 ? M到左焦点的距离为 MF1 ? 2a ? MF2 ? 2 ? 5 ? 5 5

x2 y 2 ? 1的由右焦点,点 4、已知定点A(?2, 3 ), 点F为椭圆 ? 16 12 M在 椭圆上移动,求| MA| ?2 | MF | 的最小值及相应M的坐标。

解: 设点M到椭圆右准线的距离为 d l'
则,由椭圆方程 得

y
?

l

a ? 4 b ? 2 3 c ? 2 ?e ? 1

?由椭圆的第二定义得:
| MF | c 1 ?e? ? d a 2

2

A?

M d
F

.

O

.

x

即 d ? 2 MF

? | MA | ?2 | MF |?| MA | ?d
如图,当MA ? l时, | MA | ?d最小
? (| MA | ? d ) min a2 ? ? x A ? 10 此时M (2 3, 3) c

1、椭圆的第二定义,准线;

2、椭圆的焦半径公式;
3、椭圆第二定义的优点:体现转化思想— —化椭圆上一点到焦点的距离为该点到相 应准线的距离。

x2 y 2 ? ? 1 上一点P到它的右准线的距离 椭圆 100 36
为10,那么点P到它的左焦点的距离是(
A. 12 B. 2 C. 8

)
D. 10

2.如果椭圆的左焦点到左准线的距离等于长半轴的长,
则其离心率为 A. C. 2 解析:由已知-c+ ∴e= 答案:D B. D. =a,∴a2-c2=ac,∴e2+e-1=0, (舍),e= . ( )

3.(2009· 浙江高考)已知椭圆

=1(a>b>0)的左焦

点为F,右顶点为A,点B在椭圆上,且BF⊥x轴,直线 AB交y轴于点P.若 A. ,则椭圆的离心率是( )

3 2

B

2 C. 2

1 3D.

1 2
).

解析:由题意知:F(-c,0),A(a,0),B(-c,± ∵BF⊥x轴,∴ 又∵ 答案:D ,∴ =2即e=

4.已知正方形ABCD,则以A、B为焦点,且过C、D两点的

椭圆的离心率为________.
解析:设正方形边长为2,由题意知, c=1,a= ∴e= 答案: -1 (2+2 )=1+ , -1.

已知F是椭圆5x2+9y2=45的左焦点,P是此椭圆上的动 点,A(1,1)是一定点. (1)求|PA|+ |PF|的最小值,并求相应点P的坐标.

(2)求|PA|+|PF|的最大值和最小值. [思路点拨]

[课堂笔记] 由于椭圆方程为 a=3,b= ,c=2,∴e=

=1, ,2a=6.

(1)如图(a)所示,过P向椭圆左准线作垂线,垂足为Q则由 椭圆第二定义知: ∴|PQ|= 从而|PA|+ |PF|. |PF|=|PA|+|PQ|. ,

显然,当A、P、Q共线时,|PA|+|PQ|最小, 最小值为

(2)如图(b),设椭圆右焦点为F1, 则|PF|+|PF1|=6, ∴|PA|+|PF|=|PA|-|PF1|+6. 利用 -|AF1|≤|PA|-|PF1|≤|AF1| (当P、A、F1共线时等号成立), ∴|PA|+|PF|≤6+ |PA|+|PF|≥6- . ,最小值为6- . ,

故|PA|+|PF|的最大值为6+


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