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(安徽专用)2014届高考数学 第八章 第六节 双曲线课件 文 新人教A版


第六节

双曲线

1.双曲线定义 平 面 内 动 点 P 与 两 个 定 点 F1 、 F2(|F1F2| = 2c > 0) 的 距离之差的绝对值 为常数 2a(2a < 2c) ,则点 P 的轨迹叫 ____________________ 做双曲线. 集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a、c 为常数且a>0,c>0. 2a<|F1F2| 时,P点的轨迹是双曲线; (1)当__________ 2a=|F1F2| 时,P点的轨迹是两条射线; (2)当__________ 2a>|F1F2| 时,P点不存在. (3)当__________

2.双曲线的标准方程和几何性质
x2 y2 y2 x2 标准方程 2- 2=1(a>0,b>0) 2- 2=1(a>0,b>0) a b a b

图形

范围

x≥a或x≤-a _______________

y≤-a或y≥a _____________

坐标轴 坐标轴 对称轴:________ 对称轴:_______ 对称性 原点 原点 对称中心:_______ 对称中心:_____ 性 顶点坐标: 顶点坐标:A1___ (0, 顶点 (a,0) _________ (-a,0) ,A2_________ 质 A1_____________ -a) ,A2_________ (0,a) a b y=± x y=± x 渐近线 b a ___________ _____________ 2 2 c a + b (1 ,+ ∞ ) 离心率 e= ,e∈___________,其中c=_________ a a、b、c间的 a2+b2 c2=___________ (c>a>0,c>b>0) 关系

3.等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,其渐近线 e= 2 . 方程为_________ y=± x ,离心率为_______

1.在平面内满足|PF1|-|PF2|=2a(其中0<2a<|F1F2|)的 动点P的轨迹是双曲线吗? 【提示】 不是双曲线.|PF1|-|PF2|=2a,表示的几何

图形只能说是离焦点F2较近的双曲线的一支. 2 .双曲线的离心率是怎样影响双曲线“张口”大小

的?
x2 y2 c 【提示】 对于双曲线 2- 2=1,由 e=a= a b b 2 b 1+(a) 知,e 越大,则a越大,即双曲线渐近线的斜率 绝对值越大,从而双曲线的“张口”越大.

1.(人教A版教材习题改编)双曲线方程为x2-2y2=1, 则它的右焦点坐标为( ) 2 5 6 A.( ,0) B.( ,0) C.( ,0) D.( 3,0) 2 2 2 2 y 2 【解析】 双曲线的方程可化为x - =1, 1 2 1 2 3 2 2 2 2 ∴a =1,b = ,c =a +b = , 2 2 6 6 ∴c= ,∴右焦点为( ,0). 2 2

【答案】

C

(

x2 y2 2.(2012· 合肥质检)双曲线 - =1的焦点坐标为 5 4 ) A.(3,0)和(-3,0) B.(2,0)和(-2,0) C.(0,3)和(0,-3) D.(0,2)和(0,-2)

【解析】

在双曲线中,c= a2+b2 = 5+4 =3,由

焦点在x轴上,可知其焦点坐标是(± 3,0).
【答案】 A

x2 y2 3.(2012· 福建高考)已知双曲线 2 - =1的右焦点为 a 5 (3,0),则该双曲线的离心率等于( ) 3 14 3 2 3 4 A. B. C. D. 14 4 2 3
由双曲线中a,b,c的关系c2=a2+b2,得 c 3 2 2 2 3 =a +5,∴a =4.∴e= = . a 2 【解析】

【答案】

C

4.(2012·辽宁高考)已知双曲线x2-y2=1,点F1,F2为

其两个焦点,点P为双曲线上一点,若PF1⊥PF2,则|PF1|+
|PF2|的值为________.

【解析】 设P在双曲线的右支上,|PF1|=2+x, |PF2|=x(x>0),因为PF1⊥PF2, 所以(x+2)2+x2=(2c)2=8,所以x= 3+1,所以|PF2|+|PF1|=2 3.
【答案】 2 3

3 -1,x+2=

x2 y2 5.已知双曲线C: 2 - 2 =1(a>0,b>0)的离心率e= a b 2,且它的一个顶点到较近焦点的距离为1,则双曲线C的 方程为________.

【解析】 依题意c-a=1,① c 又e= =2,即c=2a② a 由①②联立,得a=1,c=2.
2 y ∴b2=c2-a2=3,故双曲线C为x2- =1. 3

【答案】

2 y x2- =1 3

(1)(2012· 大纲全国卷)已知F1、F2为双曲线C:x2-y2= 2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cos∠F1PF2 =( ) 1 3 3 4 A. B. C. D. 4 5 4 5 (2)已知定点A(0,7),B(0,-7),C(12,2);以点C为 一个焦点作过A、B的椭圆,求另一个焦点F的轨迹方程.

【思路点拨】
线定义求轨迹方程.

(1)由双曲线定义,求△PF1F2的边长,

根据余弦定理可解.(2)探求|FA|与|FB|间的关系,借助双曲

【尝试解答】

(1)由x2-y2=2,知a=b= 2,c=2.

由双曲线定义,|PF1|-|PF2|=2a=2 2, 又|PF1|=2|PF2|, ∴|PF1|=4 2,|PF2|=2 2, 在△PF1F2中,|F1F2|=2c=4, |PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2 3 由余弦定理cos∠F1PF2= = , 4 2|PF1|·|PF2| 选C. 【答案】

C

(2)设F(x,y)为轨迹上的任意一点,依题意,得 |FA|+|CA|=|FB|+|CB|=2a(a表示椭圆的长半轴长). ∴|FA|-|FB|=|CB|-|CA| = 122+92- 122+(-5)2=2, ∴|FA|-|FB|=2<14. 由双曲线的定义知,F点在以A、B为焦点,2为实轴长 的双曲线的下支上, 2 x ∴点F的轨迹方程是y2- =1(y≤-1). 48

1.(1)抓住“焦点三角形PF1F2”中的数量关系是求解

第(1)题的关键.(2)第(2)小题中,点F的轨迹是双曲线的下
支,一定分清是差的绝对值为常数,还是差为常数. 2.利用双曲线定义求方程,要注意三点:(1)距离之差 的绝对值,(2)2a<|F1F2|,(3)焦点所在坐标轴的位置.

已知动圆 M 与圆 C1 : (x + 4)2 + y2 = 2 外切,与圆 C2:(x-4)2+y2=2内切,求动圆圆心M的轨迹方程.
【解】 设动圆 M 的半径为 r, 则由已知|MC1|=r+ 2,|MC2|=r- 2, ∴|MC1|-|MC2|=2 2, 又 C1(-4,0),C2(4,0), ∴|C1C2|=8, ∴2 2<|C1C2|.

根据双曲线定义知, 点 M 的轨迹是以 C1(-4, 0)、 C2(4, 0) 为焦点的双曲线的右支. 又 a= 2,c=4, ∴b2=c2-a2=14, x2 y2 ∴点 M 的轨迹方程是 - =1(x≥ 2). 2 14

x2 y2 x2 y2 已知双曲线 2 - 2 =1(a>0,b>0)和椭圆 + =1有 a b 16 9 相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则 双曲线的方程为________.

【思路点拨】 的方程.

由已知椭圆的焦点和离心率得a,b满足

x2 y2 【尝试解答】 由 + =1,知c= 16-9= 7, 16 9 7 ∴焦点F1(- 7,0),F2( 7,0),且离心率e′= . 4 x2 y2 x2 y2 又双曲线 2- 2=1与椭圆 + =1有相同的焦点. a b 16 9 ∴a2+b2=( 7)2=7, c 7 ∵双曲线的离心率e= = , a a

7 2 7 ∴a= ,则a=2. 4 从而b2=c2-a2=7-22=3. x2 y2 故所求的双曲线的方程为 - =1. 4 3

【答案】

x2 y2 - =1 4 3

1.确定双曲线的标准方程也需要一个“定位”条件,

两个“定量”条件,“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴
上,“定量”是指确定a,b的值,常用待定系数法. 2 . 利用待定系数法求双曲线的标准方程时应注意选择 恰当的方程形式,以避免讨论. (1)若双曲线的焦点不能确定时,可设其方程为Ax2+By2

=1(AB<0).
(2)若已知渐近线方程为mx+ny=0,则双曲线方程可设 为m2x2-n2y2=λ(λ≠0).

(2012· 天津高考改编)已知双曲线C的右焦点为(

5 ,

x2 y2 0),且双曲线C与双曲线C′: - =1有相同的渐近线, 4 16 求双曲线C的标准方程.

【解】 线,

x2 y2 ∵双曲线C与双曲线 - =1有相同的渐近 4 16

x2 y2 ∴设双曲线C的方程为 - =λ(λ≠0). 4 16 x2 y2 则双曲线C: - =1,又双曲线C的右焦点为 4λ 16λ ( 5,0), 1 ∴c= 5,则4λ+16λ=5,∴λ= . 4 2 y 故所求双曲线C的方程为x2- =1. 4

x2 y2 (2013· 宁波模拟)已知椭圆C1: 2 + 2 =1(a>b>0)与双 a b 2 y 曲线C2:x2- =1有公共的焦点,C2的一条渐近线与以C1 4 的长轴为直径的圆相交于A,B两点.若C1恰好将线段AB 三等分,则( ) 13 2 A.a = B.a2=13 2 1 2 C.b = D.b2=2 2

取一条C2的渐近线,将其与C1联立求 2 得弦长|AB|,令|AB|= a,方可得出结论. 3 【尝试解答】 由题意知b2=a2-5,则椭圆方程可化 为(a2-5)x2+a2y2+5a2-a4=0,取双曲线的一条渐近线y= 2x,
? ?y=2x 由? , 2 2 2 2 2 4 ? ?(a -5)x +a y +5a -a =0

【思路点拨】

得(5a2-5)x2+5a2-a4=0, ∴ x= ± a4-5a2 , 2 5a -5 a4-5a2 , 5a2-5

∴渐近线被椭圆截得的弦长为2 5·

又椭圆C1把AB三等分, ∴2 5·
2 2

a4-5a2 2a 11 2 = ,解得a = , 2 5a2-5 3

1 ∴b =a -5= . 2
【答案】 C

1.本题涉及到三种曲线,较复杂,可采用数形结 合,寻找解题的突破口,关键是发现曲线C1截直线AB所得 1 弦长为 |AB|. 3 2.双曲线中c2=a2+b2,双曲线渐近线的斜率与离心 b c 2 率的关系 a = e -1(e= a ).抓住双曲线中“六点”、“四 线”、“两三角形”,研究a,b,c,e间相互关系及转 化,简化解题过程.

x2 y2 (2012· 湖北高考改编)如图8-6-1,双曲线 2 - 2 = a b 1(a,b>0)的两顶点为A1,A2,虚轴两端点为B1,B2,两焦 点为F1,F2.若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2,切 点分别为A,B,C,D.则双曲线的离心率e=________.

【解析】 由题设|OB2|=b,|OF1|=c, ∵点B是以A1A2为直径的圆与菱形F1B1F2B2的切点, ∴OB⊥B2F1,在Rt△F1OB2中,易知|F1B2|= b2+c2, bc ∴由等面积法,|OB|= 2 2, b +c bc 因此 2 2=a,∴b2c2=a2(b2+c2)(*) b +c 又b2=c2-a2,将(*)化为c4-3a2c2+a4=0,

∴e -3e +1=0,又e>1,∴e = 1+ 5 . 2

4

2

2

3+ 5 2

,则e=

【答案】

1+ 5 2

双曲线为等轴双曲线?双曲线的离心率 e = ?双曲线 的两条渐近线互相垂直(位置关系).

求双曲线的标准方程: (1) 定义法,由条件判定动点的

轨迹是双曲线,求出a2,b2,写出方程.
(2) 待定系数法,即 “ 先定型,后定量 ” ,如果不能确 定焦点的位置,应注意分类讨论或恰当设置简化讨论.

1.区分双曲线中a,b,c的大小关系与椭圆a,b,c的 关系,在椭圆中a2=b2+c2,而在双曲线中c2=a2+b2. 2.双曲线的离心率大于1,而椭圆的离心率e∈(0, 1). x2 y2 3.双曲线 2 - 2 =1(a>0,b>0)的渐近线方程是y= a b b y2 x2 a ±ax, 2- 2=1(a>0,b>0)的渐近线方程是y=± bx. a b

从近两年的高考看,双曲线的标准方程及几何性质是高 考的热点,特别是双曲线的几何性质,几乎每年均有涉及,

且主要以选择题和填空题为主,属中低档题目,在解答过程
中,为了挖掘题目的隐含条件,应充分利用数形结合的思 想.

易错辨析之十三 双曲线几何性质的求解误区 x2 y2 (2011· 山东高考)已知双曲线 2 - 2 =1(a>0,b>0) a b 的两条渐近线均和圆C:x2+y2-6x+5=0相切,且双曲线 的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为( ) x2 y2 x2 y2 A. - =1 B. - =1 5 4 4 5 x2 y2 x2 y2 C. - =1 D. - =1 3 6 6 3

【错解】 由x2+y2-6x+5=0,知圆心C(3,0),半 径r=2, x2 y2 又 2- 2=1的渐近线为ax± by=0,且与圆C相切, a b |3a| 2 2 ∴ 2 = 2 ,即 5 a = 4 b ① 2 a +b ∵双曲线的右焦点为圆C的圆心 ∴c=3,从而9=a2+b2,② 由①②联立,得a2=4,b2=5, x2 y2 所以该曲线的方程为 - =1,选B. 4 5
【答案】 B

错因分析: (1) 错求双曲线的渐近线方程,导致方程①
错误;致使误得a2=4,b2=5, (2)概念不清误以为焦点为(2c,0)或混淆a,b,c间的关 系,错认为a2=b2+c2,导致无果而终. 防范措施: (1) 双曲线的渐近线方程,只需将双曲线方

程右端的常数“1”变为“0”即可.
(2)区别好椭圆与双曲线中 “ a, b,c之间关系” ,双曲 线中a,b,c三者之间,c最大,应为c2=a2+b2.

【正解】 将错解中双曲线的渐近线改为bx± ay=0. 由直线与圆相切, |3b| 2 2 得 2 = 2 ,即 5 b = 4 a ① 2 a +b 由①②联立,得a2=5,b2=4, x2 y2 故所求双曲线方程为 - =1,选A. 5 4
【答案】 A

1.(2012· 浙江高考)如图8-6-2,中心均为原点O的 双曲线与椭圆有公共焦点,M,N是双曲线的两顶点.若 M,O,N将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的 比值是( ) A.3 B.2 C. 3 D. 2

x2 y2 【解析】 设椭圆的标准方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b 半焦距为c1, c1 则椭圆的离心率为e1= . a x2 y2 设双曲线的标准方程为 2 - 2 =1(m>0,n>0),半焦 m n c2 距为c2,则双曲线的离心率为e2=m.

由双曲线与椭圆共焦点知c1=c2.由点M,O,N将椭圆 长轴四等分可知m=a-m,即2m=a. c2 e2 m a ∴ = =m=2. e1 c1 a

【答案】

B

x2 y2 2.(2012· 福建高考)已知双曲线 - 2 =1的右焦点与 4 b 抛物线y2=12x的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线 的距离等于( ) A. 5 B.4 2 C.3 D.5
【解析】 抛物线y2=12x的焦点坐标为(3,0),故双 x2 y2 曲线 - 2 =1的半焦距c=3.由9=4+b2得b= 5 ,所以双 4 b 5 曲线的渐近线方程为y=± x.由点到直线的距离公式,得 2 3 5 | | 2 双曲线焦点到其渐近线的距离d= = 5. 5 +1 4 【答案】 A


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