高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第三节函数的奇偶性与周期性学案文

第三节函数的奇偶性与周期性 1.了解函数奇偶性的含义． 2．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性． 3．会运用函数图象理解和研究函数的性质． 知识点一 函数的奇偶性 奇偶性 偶函数 定义 一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x， 都有 __________，那么函数 f(x)就叫做偶函数 一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x， 都有 __________，那么函数 f(x)就叫做奇函数 答案 f(－x)＝f(x) y 轴 f(－x)＝－f(x) 原点 图象特点 关于____对称 奇函数 关于____对称 1．(必修①P39 习题 1.3B 组第 3 题改编)下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函 数的是( ) B．y＝sinx，x∈R A．y＝－x3，x∈R C．y＝x，x∈R ?1?x D．y＝? ? ，x∈R ?2? 解析：选项 B 在其定义域内是奇函数但不是减函数；选项 C 在其定义域内既是奇函数又 是增函数；选项 D 在其定义域内不是奇函数，是减函数．故选 A. 答案：A 2．已知 f(x)＝ax ＋bx 是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么 a＋b 的值是( 2 ) 1 A．－ 3 C. 1 2 B. 1 3 1 D．－ 2 1 2 解析： ∵f(x)＝ax ＋bx 是定义在[a－1,2a]上的偶函数， ∴a－1＋2a＝0， ∴a＝ .又 f(－ 3 x)＝f(x)，∴b＝0，∴a＋b＝ . 答案：B 3．(必修①P39A 组第 6 题改编)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x>0 时，f(x) 1 2 ＝x ＋ ，则 f(－1)等于( 1 3 x ) B．0 D．2 A．－2 C．1 解析：f(－1)＝－f(1)＝－(1＋1)＝－2. 答案：A 知识点二 周期性 1．周期函数 对于函数 y＝f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 __________，那么就称函数 y＝f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期． 2．最小正周期 如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个______的正数， 那么这个________就叫做 f(x) 的最小正周期． 答案 1．f(x＋T)＝f(x) 2.最小 最小正数 4．判断正误 (1) 函数 f(x) 在定义域上满足 f(x ＋ a)＝－ f(x) ，则 f(x) 是周期为 2a(a>0) 的周期函 数．( ) ) (2)函数 f(x)为 R 上的奇函数，且 f(x＋2)＝f(x)，则 f(2 014)＝0.( 答案：(1)√ (2)√ 5．(2016·四川卷)已知函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数，当 0<x<1 时，f(x) 5 x ＝4 ，则 f(－ )＋f(1)＝________. 2 解析：因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数，所以 f(0)＝0.又 f(x)＝－f(－x)，f(x＋2)＝ f(x)，所以 f(x＋1)＝－f(1－x)，令 x＝0，得 f(1)＝－f(1)，所以 f(1)＝0.f(－ )＝f(－2 1 1 1 5 － )＝f(－ )＝－f( )＝－2，所以 f(－ )＋f(1)＝－2. 2 2 2 2 答案：－2 5 2 热点一 函数奇偶性的判断 ) B．y＝|sinx| D．y＝e －e x －x 【例 1】 (1)下列函数为奇函数的是( A．y＝ x C．y＝cosx (2)判断下列函数的奇偶性： ①f(x)＝|x＋1|－|x－1|； ②f(x)＝ 9－x ＋ x －9； 1－x ③f(x)＝ ； |x＋2|－2 ④f(x)＝(x－1) 1＋x ，x∈(－1,1)． 1－x 2 2 2 【解析】 (1)因为函数 y＝ x的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，所以函数 y＝ x 为非奇非偶函数，排除 A；因为 y＝|sinx|为偶函数，排除 B；因为 y＝cosx 为偶函数，排除 C；因为 y＝f(x)＝e －e ，f(－x)＝e －e ＝－(e －e )＝－f(x)，所以函数 y＝e －e 为 奇函数，选 D. (2)解：①函数的定义域 x∈(－∞，＋∞)，关于原点对称． 因为 f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1| ＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)， 所以 f(x)＝|x＋1|－|x－1|是奇函数． ? ?9－x ≥0， ②由? 2 ?x －9≥0， ? 2 x －x －x x x －x x －x 得 x＝±3.所以 f(x)的定义域为{－3,3}，关于原点对称． 又 f(3)＋f(－3)＝0，f(3)－f(－3)＝0. 即 f(x)＝±f(－x)． 所以 f(x)既是奇函数，又是偶函数． ?1－x ≥0， ? ③由? ?|x＋2|－2≠0， ? 2 ?－1≤x≤1， ? 得? ?x≠0且x≠－4. ? 故 f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称，且有 x＋2>0. 从而有 f(x)＝ 1－x 1－x ＝ ， x＋2－2 x 1－ －x －x 2 2 2 这时有 f(－x)＝ ＝－ 1－x 2 x ＝－f(x)， 故 f(x)是奇函数． ④已知 f(x)的定义域为(－1,1)，其定义域关于原点对称． 因为 f(x)＝(x－1) 所以 f(－x)＝－ 1＋x ＝－ 1－x ＋x －x ＋x ， －x ＝f(x)． 即 f(－x)＝f(x)，所以 f(x)是偶函数． 【答案】 (1)D 【总结反思】 1．判断函数的奇偶性，首先看函数的定义域是否关于原点对称；在定义域关于原点对称的 条件下，再化简解析式，根据 f(－x)与 f(x)的关系作出判断． 2．分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数．分段函数奇偶性的判断，要分 别