第三节函数的奇偶性与周期性 1.了解函数奇偶性的含义. 2.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性. 3.会运用函数图象理解和研究函数的性质. 知识点一 函数的奇偶性 奇偶性 偶函数 定义 一般地,如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x, 都有 __________,那么函数 f(x)就叫做偶函数 一般地,如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x, 都有 __________,那么函数 f(x)就叫做奇函数 答案 f(-x)=f(x) y 轴 f(-x)=-f(x) 原点 图象特点 关于____对称 奇函数 关于____对称 1.(必修①P39 习题 1.3B 组第 3 题改编)下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函 数的是( ) B.y=sinx,x∈R A.y=-x3,x∈R C.y=x,x∈R ?1?x D.y=? ? ,x∈R ?2? 解析:选项 B 在其定义域内是奇函数但不是减函数;选项 C 在其定义域内既是奇函数又 是增函数;选项 D 在其定义域内不是奇函数,是减函数.故选 A. 答案:A 2.已知 f(x)=ax +bx 是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么 a+b 的值是( 2 ) 1 A.- 3 C. 1 2 B. 1 3 1 D.- 2 1 2 解析: ∵f(x)=ax +bx 是定义在[a-1,2a]上的偶函数, ∴a-1+2a=0, ∴a= .又 f(- 3 x)=f(x),∴b=0,∴a+b= . 答案:B 3.(必修①P39A 组第 6 题改编)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x>0 时,f(x) 1 2 =x + ,则 f(-1)等于( 1 3 x ) B.0 D.2 A.-2 C.1 解析:f(-1)=-f(1)=-(1+1)=-2. 答案:A 知识点二 周期性 1.周期函数 对于函数 y=f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的任何值时,都有 __________,那么就称函数 y=f(x)为周期函数,称 T 为这个函数的周期. 2.最小正周期 如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个______的正数, 那么这个________就叫做 f(x) 的最小正周期. 答案 1.f(x+T)=f(x) 2.最小 最小正数 4.判断正误 (1) 函数 f(x) 在定义域上满足 f(x + a)=- f(x) ,则 f(x) 是周期为 2a(a>0) 的周期函 数.( ) ) (2)函数 f(x)为 R 上的奇函数,且 f(x+2)=f(x),则 f(2 014)=0.( 答案:(1)√ (2)√ 5.(2016·四川卷)已知函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数,当 0<x<1 时,f(x) 5 x =4 ,则 f(- )+f(1)=________. 2 解析:因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数,所以 f(0)=0.又 f(x)=-f(-x),f(x+2)= f(x),所以 f(x+1)=-f(1-x),令 x=0,得 f(1)=-f(1),所以 f(1)=0.f(- )=f(-2 1 1 1 5 - )=f(- )=-f( )=-2,所以 f(- )+f(1)=-2. 2 2 2 2 答案:-2 5 2 热点一 函数奇偶性的判断 ) B.y=|sinx| D.y=e -e x -x 【例 1】 (1)下列函数为奇函数的是( A.y= x C.y=cosx