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江西省崇义中学2015-2016学年高二数学下学期第一次月考试题 理


崇义中学 2016 年下学期高二月考一数学 (理)试卷
(考试时量:120 分钟 满分:150 分)2016.3.29 第Ⅰ卷 一.选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的) 1.函数 y ? (2 x ? 1) 2 在 x ? 1 处的导数值是( A. 6 2.函数 y ? x ? B. 8 C.10 ) ) D.12

1 的极值情况是( x

A.有极大值 2,极小值 -2 B.有极大值-2,极小值 2 C.无极大值,但有极小值-2 D.有极大值 2,无极小值. 3.在平面上,若两个正三角形的边长之比 1:2,则它们的面积之比为 1:4,类似地,在空间中,若两 个正四面体的棱长之比为 1:2,则它的体积比为( ) A.1:4 B.1:6 C.1:8 D.1:9 4. 已知 a ? 1? 7, b ? 3 ? 5, c ? 4 则 a, b, c 的大小关系为( ) A. a ? b ? c B. c ? a ? b C. c ? b ? a D. b ? c ? a 2 2 5.用反证法证明命题“ 若a ? b ? 0, 则a、b全为0(a、b ? R)”,其反设正确的是( A. a、b至少有一个不为0 C. a、b全不为0 B. a、b至少有一个为0 D. a、b中只有一个为0 ) D.(0,3) ) D. e
2



6.函数 f ( x) ? ( x ? 3)e x 的单调递增区间是 ( A. (2,??) B. (??,2) C.(1,4) 7.曲线 y ? e A.
1 x 2

在点 (4,e ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( B. 4e
2

2

9 2 e 2

C. 2e

2

8. 设函数 f ( x ) 在定义域内可导, y ? f ( x) 的图象如图所示,则导函数 y ? f '( x) 可能为( ) y x y x O C y x y x O y=f(x) ) y

O A

O B

O D

x

9. 函数 f ( x) ? x 3 ? ax ? 2 在区间(1,+∞)内是增函数,则实数 a 的取值范围是( A. [ 3 ,+∞) B. [ ?3 ,+∞) C.(-3,+∞) D.(-∞,-3)

10. 设点 M (a, b) 是曲线 C : y ? 么直线 l 斜率的最小值为( A. ?2 B. 0 11.正整数按下表的规律排列

1 2 x ? ln x ? 2 上的任意一点,直线 l 曲线 C 在点 M 处的切线,那 2
) C. 2 D. 4

1

则上起第 2015 行,左起第 2016 列的数应为( A. 2015
2

) D. 2015 ? 2016 )

B. 2016

2

C. 2015 ? 2016

2 12.如右图是函数 f ( x) ? x3 ? bx2 ? cx ? d 的大致图象,则 x12 ? x2 等于(

A.

2 3

B.

4 3

C.

8 3

D.

12 3

第Ⅱ卷 二.填空题 (每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卷中的横线 13.函数 y ? x sin x 的导函数为
2

上)

14 . 曲线 f ?x ? ? ln x 在点 M ?1,0 ? 处的切线方程是 15. 已知函数 y ? x3 ? 3x ? c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,则 c = 16. 已知函数 f ( x) ? xe x ,记 f 0 ( x) ? f ?( x) , f1 ( x) ? f0?( x) ,?, f n ( x) ? f n??1 ( x) , n ? N 且

x2 ? x1 ? 0 ,对于下列命题:
①函数 f n ( x) 存在平行于 x 轴的切线; ③ ②

f n ( x1 ) ? f n ( x2 ) ? 0; x1 ? x2

? ( x) ? xe x ? 2017e x ; f 2015

④ f ( x1 ) ? x2 ? f ( x2 ) ? x1 .

其中正确的命题序号是____________(写出所有满足题目条件的序号). 三.解答题(本大题共 6 小题,总分 70 分) 17. (本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ?

x3 ? x 2 ? 2ax(a ? R) ,若 f '(1) ? ?1 ,求 y ? f ( x) 的单调区间. 3

18. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? , a1 ? 3 , an ?1 ?
3an ? 4 , (n ? N * ) . an ? 1

(1)求 a 2 , a 3 , a 4 的值,并猜想 a n 的通项公式; (2)用数学归纳法证明你的猜想.
2

19.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x3 ? 3x (1)求函数 f ( x) 的极值; (2)过点 P(2, ?6) 作曲线 y ? f ( x) 的切线,求此切线的方程.

20. (本小题满分 12 分) 某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量 y ( 单位:千克)与销售价格 x (单 位:元/千克)满足关系式 y ?

a 2 ? 10 ? x ? 6 ? ,其中 3 ? x ? 6 , a 为常数,已知销售价格为 5 元 x?3

/千克时,每日可售出该商品 11 千克. (1) 求 a 的值; (2) 若该商品的成品为 3 元/千克, 试确定销售价格 x 的值,使商场每日销售该商品所获得的利 润最大.

21. (本小题满分 12 分) 如图 4 3 所示,在四棱锥 P ? ABCD 中, AB ? 平面 PAD , AB // CD , PD ? AD , E 是 PB 的中点, F 是 CD 上的点且 DF ? (1)证明: PH ? 平 面 ABCD ; (2)证明: EF ? 平面 PAB .

1 AB , PH 为△ PAD 中 AD 边上的高. 2

3

22. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? a ln x ?

b 在 x ? 1 处取得极值. x

(1)求 a 与 b 满足的关系式; (2)若 a ? R ,求函数 f ( x) 的单调区间;
2 2 (3)若 a ? 3 ,函数 g ( x) ? a x ? 3 ,若存在 m1 , m2 ? [ , 2] ,使得 f (m1 ) ? g (m2 ) ? 9 成立,

1 2

求 a 的取值范围.

4

一、DBCCA

崇义中学 2016 年下学期高二月考一数学(理)试卷 参考答案 ADDBC DC 14、 y ? x ? 1 15、 ?2 16、①②③

二、13、 2 x sin x ? x 2 cos x 三、 17.解:

f ? ? x ? ? x2 ? 2x ? 2a
由 f '(1) ? ?1 ? 2a ? ?1 得 a ? 0 令 f ? ? x ? ? x ? 2x ? 0 得 x ? 0 或 x ? 2
2

????2 分 ????4 分 ????6 分 ????8 分

令 f ? ? x ? ? x ? 2x ? 0 得 0 ? x ? 2
2

所以函数 y ? f ( x) 的单调增区间为 ? ??,0? , ? 2, ??? ,减区间为 (0, 2) ?10 分 18 解: (1)? a1 ? 3 ,且 an ?1 ?
3an ? 4 an ? 1

3? 3 ? 4 5 ? a2 ? ? , a3 ? 3 ?1 2
2n ? 1 n

5 3? ? 4 7 2 ? , 5 3 ?1 2

7 3? ? 4 9 3 a4 ? ? ; 7 4 ?1 3

???3 分

由此猜想 an ?

??????????????6 分

(2)用数学归纳法进行证明如下: ①当 n ? 1 时, a1 ?
2 ?1 ? 1 ? 3 ,满足要求,猜想成立; ???????7 分 1

②假设 n ? k ? k ? 1且k ? N* ? 时,猜想成立,即 ak ?
3a ? 4 ? k ? ak ? 1 3?

2k ? 1 , ??????8 分 k

那么当 n ? k ? 1 时, ak ?1

2k ? 1 ?4 2k ? 3 2 ? k ? 1? ? 1 k , ? ? 2k ? 1 k ? 1 k ? 1 ?1 k

这就表明当 n ? k ? 1 时,猜想成立,

????????????11 分
2n ? 1 .???12 分 n

根据①②可以断定,对所有的正整数该猜想成立,即 an ? 19 解: (1)? f ?x? ? x ? 3x,? f ??x? ? 3x ? 3 ? 3?x ?1??x ? 1?
3 2

???1 分

令 f ??x ? ? 0, 解得 x ? ?1 或 x ? 1 列表如下

??????????????2 分

x

? ??, ?1?

-1

?? 1,1?

1

?1, ???
5

f ??x ? f ?x ?

+

0 极大值

-

0 极小值

+

?

?

?

?????4 分 当 x ? ?1 时,有极大值 f ?? 1? ? 2 ;当 x ? 1 时,有极小值 f ?1? ? ?2
3 (2)设切点 x? , x? ? 3x? ,

????6 分

?

?

? k ? x 3 ? 3x

?

??

x ? x?

? 3x?2 ? 3 ??????7 分

? 切线方程 y ? x?3 ? 3x? ? 3x?2 ? 3 ?x ? x? ? ? 切线过点 P(2, ?6)
??6 ? ? x?3 ? 3 x? ? ? ? 3 x?2 ? 3? ? 2 ? x? ?

?

? ?

?

??????????????8 分

? x? ? 0 或 x? ? 3
所以切线方程为 y ? ?3x 或 y ? 24x ? 54 20. 解:(1)因为 x ? 5 时 y ? 11 ,所以

??????????????10 分 ??????????????12 分

a ? 10 ? 11 ∴ a ? 2 ; ?????3 分 2 2 2 ? 10 ? x ? 6 ? , (2)由(1)知该商品每日的 销售量 y ? ?????4 分 x?3
所以商场每日销售该商品所获得的利润:

2? 2 ? 2 f ? x ? ? ? x ? 3? ? ? 10 ? x ? 6 ? ? ? 2 ? 10 ? x ? 3?? x ? 6 ? ,3 ? x ? 6 ;??6 分 ?x ?3 ?

2 2 f / ? x ? ? 10 ?? x ? 6? ? 2 ? x ? 3?? x ? 6? ? ? 30 ? x ? 4 ?? x ? 6 ? . ? ?

令f

/

? x? ? 0 得 x ? 4 .

???????????????8 分

/ / 当 3 ? x ? 4 时, f ? x ? ? 0 ,当 4 ? x ? 6 时, f ? x ? ? 0

函数 f ? x ? 在 ? 3, 4 ? 上递增,在 ? 4, 6 ? 上递减, 所以当 x ? 4 时函数 f ? x ? 取得最大值 f ? 4? ? 42

??????????10 分 ???????????11 分

答:当销售价格 x ? 4 时,商场每日 销售该商品所获得的利润最大,最大值为 42. ??????????????????????12 分

6

21 解析:此题考查 线面垂直问题的证明;考查学生空间想象、运算求解、转化与划归的能力;线线 垂直 ? 线面垂直 ? 面面垂直是有关垂直的几何问题的常用转化方法; (1)证明:因为 AB ? 平面 PAD , 所以 PH ? AB 。 ????2 分

因为 PH 为△ PAD 中 AD 边上的高, 所以 PH ? AD 。 ????4 分

因为 AB ? AD ? A , 所以 PH ? 平面 ABCD 。??6 分

ME 。 (2) 证明: 取 PA 中点 M , 连结 MD ,
因为 E 是 PB 的中点,

1 ? 2 AB 。 1 // DF , 因为 DF // AB ,所以 ME ? ? 2
所以 ME // 所以四边形 MEDF 是平行四边形, 所以 EF // MD 。 因为 PD ? AD ,所以 MD ? PA 。 因为 AB ? 平面 PAD , 所以 MD ? AB 。 因为 PA ? AB ? A ,所以 MD ? 平面 PAB , 所以 EF ? 平面 PAB 。 22.解: (1) f ?( x) ? 1 ? ??????????????12 分 ????????????8 分

a b ? , x x2
???????????????? 2分

由 f ?(1) ? 0 得 b ? 1 ? a . (2)函数 f ( x) 的定义域为 (0,??) , 由(1)可得 f ?( x) ? 1 ?

a 1 ? a x 2 ? ax ? (1 ? a ) ( x ? 1)[ x ? (a ? 1)] . ? ? ? x x2 x2 x2
??????????? 4 分

令 f ?( x) ? 0 ,则 x1 ? 1 , x 2 ? a ? 1 . 1. a ? 1

单调递减区间为 (0,1) ,单调递增区间为 (1,??) .

2. 1 ? a ? 2 单调递减区间为 (0, a - 1) , (1,??) ;单调递增区间为 (a ? 1,1) 3. a ? 2 ? 无减区间;单调递增区间为 (0, ??) 4. a ? 2 单调递减区间为 (1, a - 1 ;单调递增区间为 (0,1), ( a ? 1, ??) ) ? 8分

7

(3)当 a ? 3 时, f ( x) 在 [ ,1) 上为增函数,在 (1, 2] 为减函数, 所以 f ( x) 的最大值为 f (1) ? 2 ? a ? 0 . 因为函数 g ( x) 在 [ , 2] 上是单调递增函数, 所以 g ( x) 的最小值为 g ( ) ? ??????????? 9 分

1 2

1 2

1 2

1 2 a ?3? 0. 4

?????????? 10 分

所以 g ( x) ? f ( x) 在 [ , 2] 上恒成立. 要使存在 m1 , m2 ? [ , 2] ,使得 f (m1 ) ? g (m2 ) ? 9 成立,只需要 g ( ) ? f (1) ? 9 , 即

1 2

1 2

1 2

1 2 a ? 3 ? (2 ? a ) ? 9 ,所以 ? 8 ? a ? 4 . 4
所以 a 的取值范围是 a ? (3, 4) . ??????? 12 分

又因为 a ? 3 ,

8


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