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(高一新课:同角三角比关系与诱导公式)2014年02月16日昂立智立方教学备课讲义—教师版2.17-2.24(重要)


源于名校,成就所托
序号: 日期 主课题: 教学目标: 1.探求公式 1.由三角比的定义,我们可以得到以下关系: sin ? ? cos ? ? 1
2 2

高中数学备课组 上课时间

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例题 2:已知 tan ? ?

5 ,求 sin?、 cos ? 和 cot ? ; 12

同角三角比关系和诱导公式前半

提问:你能用学过锐角三角比来解答上述问题吗? (1)利用直角三角形计算三角比的值;

理论证明: (采用定义)

y x 1 ?x ? y ? r 且 sin? ? , cos ? ? ? sin2 ? ? cos 2 ? ? 1 r r ? sin? y x y r y 2 ? 当? ? k? ? ( k ? Z )时, ? ? ? ? ? ? tan ? 2 cos ? r r r x x
? 2 2 2

(2)利用象限角确定三角比的符号. [说明]已知一个角的某一个三角比的值,便可运用基本关系式求出其它三角比的值。在求值中,确定角的终边位置 是关键和必要的。有时,由于角的终边位置的不确定,因此解的情况不止一种。解题时产生遗漏的主要原因是:①没 有确定好或不去确定角的终边位置;②利用平方关系开平方时,漏掉了负的平方根。 新课导入 1.公式一:

sin? ? ?sin2 ? ? cos 2 ? ? 1 ? sin? ? csc? ? 1 tan ? ? ? ? cos ? (3)平方关系: ?1 ? tan 2 ? ? sec2 ? (1)倒数关系: ? cos ? ? sec? ? 1 (2)商数关系: ? ? cos ? ? tan ? ? cot ? ? 1 ? cot ? ? ?1 ? cot 2 ? ? csc2 ? ? ? sin? ?
[说明] ①注意“同角” ,至于角的形式无关重要,如 sin 4? ? cos 4? ? 1 ,
2 2

sin(2k? ? ? ) ? sin? cos(2k? ? ? ) ? cos ?

tan( 2k? ? ? ) ? tan ? cot( 2k? ? ? ) ? cot ? (其中 k ? ? )

2 ? tan ? 等; ? 2 cos 2 k? ②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的,如 tan ? ? cot ? ? 1(? ? ,k ? Z) ; 2
③对这些关系式不仅要牢固掌握,还要能灵活运用(正用、反用、变形用) ,如:

sin

?

用角度可写成: sin(k ? 360? ? ? ) ? sin?

cos(k ? 360? ? ? ) ? cos ?

tan( k ? 360? ? ? ) ? tan ?

cot( k ? 360? ? ? ) ? cot ? (其中 k ? Z )

2 .讨论 公式一的作用:把任意角的正弦、余弦、正切化为 0?―360?之间角的正弦、余弦、正切,其方法是先 在 0?―360?内找出与角 ? 终边相同的角,再把它写成诱导公式一的形式,然后得出结果. 这组公式可以统一概括为 f (? ? 2k? ) ? f (? )( k ? Z) 的形式,上述一组公式叫做任意角三角比的第一组诱导公 式,其特征是:等号两边是同名三角比,且符号都为正. 说 明 ] 运 用 公 式 时 , 注 意 “ 弧 度 ” 与 “ 角 度 ” 两 种 度 量 制 不 要 混 用 , 如 写 成 sin(80? ? 2k? ) ? sin80? ,

cos ? ? ? 1 ? sin2 ? , sin2 ? ? 1 ? cos 2 ? , cos ? ?

sin? 等。 tan ?

④据此,由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另两个三角函数值,且因为利用“平方关系”公式, 最终需求平方根,会出现两解,因此应尽可能少用(实际上,至多只要用一次) 。 2.例题分析

cos(

?
3

? k ? 360? ) ? cos

?
3

是不对的.
y

4 例题 1:已知 cos ? ? , 且 ? 为第四象限的角,求 ? 的其他三角比的值; 5

二、学习新课 1.公式推导 公式二:

P(x,y)

sin(??)? -sin?
M
O

?
??
x

cos(??)? cos?
提问:(1)如果去掉 ? 为第四象限的角这个条件,应如何求 ? 的其他三角比的值? (2)变式练习:已知 cos ? ?
P’(x,-y)

它说明角- ? 与角 ? 的正弦值互为相反数,而它们的余弦值相等.这是因为,若角 ? 的终边与单位圆交于点 P(x, y),则角- ? 的终边与单位圆的交点必为 P?(x,-y)(如图 1).由正弦、余弦三角比的定义,即可得

8 ,求 ? 的其他三角比的值? 17

sin? ? y, cos? ? x, sin(?? ) ? ? y, cos(?? ) ? ? 所以:sin(?? ) ? ?sin? cos(?? ) ? cos?

1

源于名校,成就所托
由三角比的商数关系,得: tan( ?? ) ?

sin(?? ) ? sin? ? ? ? tan ? cos(?? ) cos ?
类似可得 cot( ?? ) ? ? cot ?

公式的推导并不难,然而推导中的化归意识和策略是值得我们关注的. 四组诱导公式可概括为: k·360?+ ? (k∈Z),- ? ,180?± ? ,360?- ? 的三角比值,等于 ? 的同名三角比的值,前面加上一个把 ? 看成锐角时原三角比的符号. [说明]这里的“同名三角比值”是指等号两边的三角比名称相同;“把 ? 看成锐角”是指 ? 原本是任意角,这里 只是把它视为锐角处理;“前面加上一个??符号”是指 ? 的同名三角比值未必就是最后结果,前面还应添上一个符
y
??



tan( ??) ? ?tan ?

这组公式叫任意角三角比的第二组诱导公式

? 变式练习:求 ? 的正弦、余弦、正切和余切的值. 3
[说明]公式二也可以由特殊到一般,既从特殊三角比的计算,猜测出公式,再证明. 公式三: 用角度可表示如下:
P(x,y) M
180?

号(正号或负号,主要是负号,正号可省略),而这个符号是把任意角 ? 视为锐角情况下的原三角比的符号.应注意讲 清这句话中每一词语的含义,特别要讲清为什么要把任意角α 看成锐角.建议通过实例分析说明.

sin(? ? ?)? -sin?

sin(180? ? ?)? -sin?

?
O

M’ x P’(-x,-y)

变式练习:求下列各式的值: (1)sin(-

4? );(2)cos(-60?)-sin(-210?) 3

分析:本题是诱导公式二、三的巩固性练习题.求解时一般先用诱导公式三把负角的正弦、余弦化为正角的正弦、 余弦,然后再用诱导公式二把它们化为锐角的正弦、余弦来求.

cos(? ? ?)? -cos? tan(? ? ?) ? tan?

cos(180? ? ?)? -cos? tan(180? ? ?) ? tan?
cot(180? ? ? ) ? sin?

cot(? ? ? ) ? cot ?

它刻画了角 180?+ ? 与角 ? 的正弦值(或余弦值)之间的关系,这个关系是:以角 ? 终边的反向延长线为终边的 角的正弦值(或余弦值)与角 ? 的正弦值(或余弦值)是一对相反数.这是因为若设 ? 的终边与单位圆交于点 P( x, y),则角 ? 终边的反向延长线,即 180?+ ? 角的终边与单位圆的交点必为 P?(-x,-y)(如图 2).由正弦、余弦三角 比的定义,即可得 sin ? =y, cos ? =x, sin(180?+ ? )=-y, cos(180?+ ? )=-x,

2.例题分析 例 1:利用诱导公式,求下列各三角比: (1) sin

26? ; 3

(2) tan( ?

13? ) 4

所以 :sin(180?+ ? )=-sin ? ,cos(180?+ ? )=-cos ? . [说明]公式二、三的获得主要借助于单位圆及正弦、余弦比的定义.根据点 P 的坐标准确地确定点 P?的坐标是关键, 这里充分利用了对称的性质.直观的对称形象为我们准确写出 P?的坐标铺平了道路,体现了数形结合这一数学思想的 优越性. 变式练习:求下列三角比的值: (1) cos 210 ;
?

例 2 化简:

cos(2? ? ? ) cot(? ? ? ) tan( ?? ? ? ) sin(? ? ? ) cot( 3? ? ? )

(2) sin

5? 4
例 3 根据条件,求角 x : (1) 已知 sin x ?

分析:本题是诱导公式二的巩固性练习题.求解时,只须设法将所给角分解成 180?+ ? 或(π + ? ) ,? 为锐角即可. 公式四: 把第三组公式中的 ? 换成 ? ? ,得第四组诱导公式:

3 1 , x ? [?? , ? ) . , x ? [0,2? ) ;(2)已知 tan x ? 3 2

sin(? ? ?)? sin? tan(? ? ?)? ?tan ?

sin(180? ? ?)? sin?

cos(? ? ?)? -cos?

cos(180? ? ?)? -cos?
cot(180? ? ? ) ? ? cot ?

tan( 180? ? ?) ? ?tan ? cot(? ? ? ) ? ? cot ?

[说明]这组公式均可由前面学过的诱导公式直接推出, 体现了把未知问题化为已知问题处理这一化归的数学思想.
2


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