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高一数学典型例题分析:指数函数

指数函数·例题解析 【例 1】求下列函数的定义域与值域:
1

(1)y=3 2? x


(2)y= 2 x?2 ? 1

(3)y= 3 ? 3x?1

(1)定义域为 x∈R 且 x≠2.值域 y>0 且 y≠1.

(2)由 2x+2-1≥0,得定义域{x|x≥-2},值域为 y≥0. (3)由 3-3x-1≥0,得定义域是{x|x≤2},∵0≤3-3x-1<3,

∴值域是0≤y< 3.
【例 2】指数函数 y=ax,y=bx,y=cx,y=dx 的图像如图 2.6-2 所示,则 a、 b、c、d、1 之间的大小关系是 [ A.a<b<1<c<d B.a<b<1<d<c C. b<a<1<d<c D.c<d<1<a<b ]

解 选(c),在 x 轴上任取一点(x,0),则得 b<a<1<d<c. 【例 3】比较大小:

(1) 2 、 3 2 、5 4 、8 8、 9 16的大小关系是: (2)0.6
? 4 5 1 3 ?2 ( ) 2



(3)4.54.1________3.73.6
1 1 2 3 4

解 (1) ∵ 2 ? 2 2 , 3 2 ? 2 3 ,5 4 ? 2 5 ,8 8 ? 2 8 , 9 16 ? 2 9 , 函数y= 2 x , 2 >1,该函数在 ( -∞,+∞ ) 上是增函数, 1 3 2 4 1 又 < < < < ,∴ 3 2 <8 8<5 4 < 9 16< 2 . 3 8 5 9 2

-1-

4 3 ?1 ? 解 (2) ∵ 0.6 5 >1,1> ( ) 2 , 2 4 1 3 ? ? ∴ 0.6 5 > ( ) 2 . 2



(3)借助数 4.53.6 打桥,利用指数函数的单调性,4.54.1>4.53.6,作函数 y1

=4.5x,y2=3.7x 的图像如图 2.6-3,取 x=3.6,得 4.53.6>3.73.6 ∴ 4.54.1>3.73.6.

说明 如何比较两个幂的大小:若不同底先化为同底的幂,再利用指数函数的 单调性进行比较,如例 2 中的(1).若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时,有 两个技巧,其一借助 1 作桥梁,如例 2 中的(2).其二构造一个新的幂作桥梁,这个新 的幂具有与 4.54.1 同底与 3.73.6 同指数的特点, 即为 4.53.6(或 3.74.1), 如例 2 中的(3).

【例4】比较大小 n ?1 a n 与 n a n ?1 (a> 0且a≠1,n>1) .
n ?1



an

n

a n ?1

?a

1 n ( n ?1)

当 0<a<1,∵n>1,
1

1 > 0, n( n ? 1)

∴a n ( n ?1) <1,∴ n ?1 a n < n a n ?1 1 当a>1时,∵n>1, > 0, n( n ? 1) ∴a
1 n ( n ?1)

>1, n ?1 a n > n a n ?1
(2)y= 2 x - 2 ,
(4)y=|1-

【例 5】作出下列函数的图像:

1 (1)y= ( ) x?1 2
(3)y=2|x-1|

-2-

3x|

1 1 解 (1)y=( ) x ?1 的图像( 如图2 .6-4) ,过点(0, ) 及( -1,1) . 2 2 1 是把函数y=( ) x 的图像向左平移1个单位得到的. 2
解 得到的. (2)y=2x-2 的图像(如图 2. 6-5)是把函数 y=2x 的图像向下平移 2 个单位



(3)利用翻折变换,先作 y=2|x|的图像,再把 y=2|x|的图像向右平移 1 个

单位,就得 y=2|x-1|的图像(如图 2.6-6). 解 (4)作函数 y=3x 的图像关于 x 轴的对称图像得 y=-3x 的图像, 再把 y=-

3x 的图像向上平移 1 个单位,保留其在 x 轴及 x 轴上方部分不变,把 x 轴下方的图像 以 x 轴为对称轴翻折到 x 轴上方而得到.(如图 2.6-7)

3 2 【例6】求函数y=( ) x -5x+ 6 的单调区间及值域. 4 3 解 令u=x 2 -5x+6,则y=( ) u 是关于u的减函数,而u=x 2 -5x 4 5 5 +6在x∈( ? ∞, ]上是减函数,在x∈[ , ? ∞) 上是增函数.∴函数 2 2 3 2 5 5 y=( ) x -5x+ 6 的单调增区间是( ? ∞, ],单调减区间是[ , ? ∞) . 4 2 2
5 1 1 又∵u=x 2 -5x+ 6= ( x ? ) 2 ? ≥ ? , 2 4 4 3 1 函数y= ( ) u ,在u∈[ ? , ? ∞ ) 上是减函数, 4 4 4 3 2 108 所以函数y= ( ) x - 5x+ 6 的值域是 (0, ]. 4 3
-3-

1 1 【例7】求函数y= ( ) x ? ( ) x +1(x≥ 0) 的单调区间及它的最大值. 4 2 1 1 1 1 3 1 解 y=[( ) x ]2 ? ( ) x ? 1 ? [( ) x ? ]2 ? ,令u= ( ) x ,∵x≥ 0, 2 2 2 2 4 2 1 x 1 ∴ 0<u≤1,又∵u= ( ) 是x∈[0,+∞ ) 上的减函数,函数y= ( u ? ) 2 2 2
? 3 1 1 1 1 在u∈ (0, ]上为减函数,在[ ,1) 上是增函数.但由 0< ( ) x ≤ 4 2 2 2 2 1 1 x 1 x 1 x 得x≥1,由 ≤ ( ) ≤1,得 0≤x≤1,∴函数y= ( ) ? ( ) +1单调增 2 2 4 2 区间是[1,+∞ ) ,单调减区间[0,1]

当 x=0 时,函数 y 有最大值为 1.

【例8】已知f(x) =

ax ?1 (a>1) ax ?1

(1)判断 f(x)的奇偶性; (2)求 f(x)的值域; (3)证明 f(x)在区间(-∞,+∞)上是增函数. 解 (1)定义域是 R.

a ?x ? 1 ax ?1 f( -x) = ? x ?? x =-f(x) , a ?1 a ?1
∴函数 f(x)为奇函数.

(2) 函数y=

ax ?1 ?1? y y ?1 ,∵y≠1,∴有a x = ? >0 ? -1<y<1, x y ?1 1? y a ?1

即 f(x)的值域为(-1,1). (3)设任意取两个值 x1、x2∈(-∞,+∞)且 x1<x2.f(x1)-f(x2)

a xl ?1 a x 2 ?1 2(a xl ? a x 2 ) = xl ?1 ? x 2 ?1 = xl ,∵a>1,x1 <x 2 ,a x1 <a x 2 ,(a x1 +1) a a (a ? 1)(a x 2 ? 1) (a x 2 +1) >0,∴f(x1 ) <f(x 2 ) ,故f(x) 在R上为增函数.

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