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2.3.2双曲线的简单几何性质


阆中中学校高 2011 级数学小练习

2.3.2 双曲线的简单几何性质
学号____________ 姓名______________ 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1. 设双曲线 (A) 4 成绩_____________

x2 y2 ? ? 1( a ? 0) 的渐近线方程为 3x ? 2 y ? 0 ,则 a 的值为 ( a2 9
(B)3 (C) 2 (D) 1 )

)

x2 y2 ? ? 1 的离心率 e ? (1,2) ,则实数 k 的取值范围是 ( 2.双曲线 4 k
(A) (0,4) (B) (?12,0) (C) (0,2 3)

(D) (0,12) )

3.双曲线的离心率为 2 且双曲线过点 P(3,1) ,则此双曲线的方程为( (A) x 2 ? y 2 ? 2 (B) y 2 ? x 2 ? 2 (C) x 2 ? y 2 ? 8

(D) y 2 ? x 2 ? 8

4.中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线的实轴与虚轴相等,一个焦点到一条渐近线的距离为

2 ,则双曲线的方程为(
(A) x ? y ? 1
2 2 2

)
2

(B) x ? y ? 2

(C) x 2 ? y 2 ?

2

(D) x ? y ?
2 2

1 2

5. 设双曲线的一个焦点为 F,虚轴的一个端点为 B,如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近线 垂直,那么此双曲线的离心率为( ) (A)

2

(B)

3

(C)

3 ?1 2

(D)

5 ?1 2

二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)

1 x2 y2 ? 2 ? 1(b ? 0) 的渐近线方程为 y ? ? x ,则 b ? _________ 6.若双曲线 . 2 4 b
7. 已知双曲线

x2 y2 x2 y2 ? 2 ? 1 的离心率为 2,焦点与 ? ? 1 的焦点相同,那么双曲线的 a2 b 25 9

焦点坐标为___________;渐近线方程为__________. 8.若双曲线 C 与双曲线

x2 y2 ? ? 1 共渐近线,且过点 A(3, 2 ) ,则双曲线 C 的方程为 12 8

________. 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 9. 一个椭圆,中心在原点,焦点在同一坐标轴上,焦距为 2 13 ,一双曲线和这个椭圆有公 共焦点,且双曲线的半实轴长比椭圆的半长轴长小 4,双曲线的离心率与椭圆的离心率之比 为 7:3,求椭圆和双曲线的方程
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阆中中学校高 2011 级数学小练习

10, 。 已 知 点 N (1,2) , 过 点 N 的 直 线 交 双 曲 线 x ?
2

y2 ?1 于 A、B 两点,且 2

ON ?

1 (OA ? OB ) 2

(1)求直线 AB 的方程; (2)若过点 N 的直线交双曲线于 C、D 两点,且 CD ? AB ? 0 ,那么 A、B、C、D 四点是否 共圆?为什么?

【真题体验】 1.(2011·新课标全国卷·理·T7·5 分)设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点,且与 C 的一条 对称轴垂直, l 与 C 交于 A、B 两点, AB 为 C 的实轴长的 2 倍,则 C 的离心率为 ( (A) )

2

(B)

3

(C) 2

(D) 3

2. (2010·福建·理·T7·5 分)若点 O 和点 F (?2,0) 分别为双曲线

x2 ? y 2 ? 1(a ? 0) 的 a2
)

中心和左焦点,点 P 为双曲线右支上的任意一点,则 OP ? FP 的取值范围为( (A) [3 ? 2 3,??) (B) [3 ? 2 3,??) (C) [ ?

7 ,?? ) 4

(D) [ ,?? )

7 4

3. (2010·浙江·理·T8·5 分)设 F1 、 F2 分别为双曲线
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x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、 a 2 b2

阆中中学校高 2011 级数学小练习

右焦点,若在双曲线右支上存在点 P,满足 PF ? PF2 ,且 F2 到直线 PF 的距离等于双曲 1 1 线的实轴长,则该双曲线的渐近线方程为____________. (A) 3x ? 4 y ? 0 (B) 3x ? 5 y ? 0 (C) 4 x ? 3 y ? 0 (D) 5x ? 4 y ? 0

4. (2010·辽宁·理·T13·5 分)已知点 ( 2,3) 在双曲线 C: C 的焦距为 4,则它的离心率为___________.

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 上, a 2 b2

x2 y2 5. (2010·湖南·文·T13·5 分)过双曲线 C: 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一个焦点 F 作 a b
圆 x 2 ? y 2 ? a 2 的两条切线,切点分别为 A、B,若 ?AOB ? 120 ? (O 为坐标原点) ,双曲 线的离心率为____________. 6. (2010·山东·理·T21·12 分)如图,已知椭圆

x2 y2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , 2 a b 2

以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点 F1 、 F2 为顶点的三角形的周长 4( 2 ? 1) ,一等轴双 曲线的顶点是该椭圆的焦点,设 P 为该双曲线上异于顶点的任一点,直线 PF 和 PF2 与椭 1 圆的交点分别为 A、B 和 C、D. (1)求椭圆和双曲线的标准方程. (2)设直线 PF , PF2 的斜率分别为,证明 k1 ? k2 ? 1 ; 1 (3)是否存在常数 ? , 使得 AB ? CD ? ? AB ? CD 恒成立?若存在, ? 的值, 求 若不存在, 请说明理由.

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