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2014年江苏省名校模拟数学试卷


高考数学模拟卷(25)
试题来源:名校试题重组 一,填空题
1. 设 全 集

U ?R

, 集 合

A ? x ? R x2 ? 2x ? 0

?

?



B ? y y ? e x ? 1, x ? R
z1 z2

?

?

, 则

A ? B ? ______.
2. 如图在复平面内,复数 z1 , z2 对应的向量分别是 OA , OB ,则复数 应的点位于第________象限。 3(2013 人大附中高三冲刺) .已知平面区域 D ? {( x, y ) | ?1 ?

??? ?

??? ?



x ? 1,?1 ? y ? 1} ,在区域 D 内任取一点,

则取到的点位于直线 y ? kx ( k ? R )下方的概率为____________ . 4 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是

1 1
正视图 . 侧视图

2
0.6

2.4 俯视图

0.6

5.(2013 人大附中模拟) 定义某种运算 ? , a ? b 的运算原理如右图所示.

f ( x) ? (0 ? x) x ? (2 ? x) . 则 f (2) ? ______; f ( x) 在区间 [?2, 2] 上的最小值为______.


6(2013 天津南开中学高三模拟) 设 a,b 为正实数,现有下列命题:

a - b |=1,则|a-b|<1; 1 1 ②若 - =1,则 a-b<1; b a
①若| ③若 a -b =1,则 a-b<1; ④若|a -b |=1,则|a-b|<1。 其中的真命题的个数为______. 7.(2013 河北衡水中学高三) “
3 3 2 2

cos ? ?

, 3 ”是“ 7 ”的______.(填‘充分而不必要条件’ cos 2? ? ? 5 25

‘必要而不充分条件’‘充要条件 ’ , ‘既不充分也不必要条’ ) 8.已知 sin ?

?

1 ? ? cos ? ,且 ? ? (0, ) ,则 2 2

cos 2? sin(? ?

?
4

的值为________.

)

9(2013 江苏省镇江一中高三模拟) .已知函数

?? x 2 ? ax, x ? 1, f ( x) ? ? 若 ?x1 , x2 ? R , x1 ? x2 ,使得 x ? 1, ?ax ? 1,


f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,则实数 a 的取值范围是

1

10. (2013 江苏省镇江一中高三三模)四棱锥 P ? 长为 1 的正方形, PA

ABCD 的五个顶点都在一个球面上,且底面 ABCD 是边

. ? ABCD , PA ? 2 ,则该球的体积为 11 (2013 镇江一中高三三模) 在 ?ABC 中, . 已知 AB ? AC ? 9 , sin B ? cos A ? sin C ,S ?ABC ? 6 ,

P 为线段 AB 上的点,且 CP ? x ?

CA | CA |

? y?

CB | CB |

,则 xy 的最大值为



12.(金陵中学高三) 定义在 R 上的函数 f(x)的图象过点 M(-6,2)和 N(2,-6),对任意正实数 k,有 f(x+k)<f(x)成立,则当不等式|f(x-t)+2|<4 的解集为(-4,4)时,实数 t 的值为________. 13. (金陵中学高三)平面四边形 ABCD 中,AB= 3,AD=DC=CB=1,△ABD 和△BCD 的面积分别为 S,T, 2 2 则 S +T 的最大值是________. ?xQ=yP+xP, 14(金陵中学高三). 在直角坐标系 xOy 中,点 P(xP,yP)和点 Q(xQ,yQ)满足? 按此规则由 ?yQ=yP-xP, OQ 点 P 得到点 Q,称为直角坐标平面的一个“点变换” .此变换下,若 =m,∠POQ=θ ,其中 O 为坐标原点, OP 则 y=msin(x+θ )的图象在 y 轴右边第一个最高点的坐标为________.

二.解答题
15. (本小题满分 14 分)已知在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中,底面 ABCD 为直角梯形,且满足 AD⊥AB,BC ∥AD,AD=16,AB=8,BB1=8,E,F 分别是线段 A1A,BC 上的点. (1) 若 A1E=5,BF=10,求证:BE∥平面 A1FD.

(2) 若 BD⊥A1F,求三棱锥 A1AB1F 的体积. 16(本题满分 14 分)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且 A,B,C 成等差数列. → → 3 (1)若 AB · BC =- ,b= 3,求 a+c 的值; (2)求 2sinA-sinC 的取值范围.[来 2

17.(2013 天津南开中学). 如图,直角三角形 ABC 中,∠B=90°,AB=1,BC= 3 。点 M,N 分别在边 AB 和 AC 上(M 点和 B 点不重合) ,将△AMN 沿 MN 翻折,△AMN 变为△A′MN,使顶点 A′落在边 BC 上(A′ 点和 B 点不重合) 。设∠AMN=θ 。

(Ⅰ)用θ 表示线段 AM 的长度,并写出θ 的取值范围; (Ⅱ)求线段 A′N 长度的最小值。

2

18. (本小题满分 14 分)

f ( x) ? 2sin x cos x ? 2 3 cos 2 x ? 3 ? 2 (1)求函数 f ( x ) 的对称轴方程;
已知函数 (2)当 x ? (0, (3)若

?
2

) 时,若函数 g ( x) ? f ( x) ? m 有零点,求 m 的范围;
2 ? ? , x0 ? ( , ) ,求 sin(2 x0 ) 的值. 5 4 2

f ( x0 ) ?

19. (2013 无锡一中高三模拟) (本小题满分 16 分)

1 2 , bn ?1 ? bn ? bn , 2 1 1 1 (1)求证: ; ? ? bn ? 1 bn bn ?1 1 1 1 3 (2) Tn ? 若 , 对任意的正整数 n , Tn ? log 2 m ? 5 ? 0 恒成立. 求 ? ??? b1 ? 1 b2 ? 1 bn ? 1
设数列 {bn } 满足: b1

?

m 的取值范围. [来源:Z+ 20. (2013 无锡一中高三模拟) (本小题满分 16 分)

( x1 ? x2 ) 是函数 f ( x) ? ax 3 ? bx 2 ? a 2 x (a ? 0) 的两个极值点. (1)若 x1 ? ?1, x2 ? 2 ,求函数 f (x ) 的解析式;
设 x1 、 x2

x1 | ? | x2 |? 2 2 ,求 b 的最大值; (3)设函数 g ( x ) ? f ' ( x ) ? a ( x ? x1 ) , x ? ( x1 , x2 ) ,当 x2 ? a 时, 1 求证: | g ( x ) |? a(3a ? 2) 2 . 12
(2)若 |

数学Ⅱ(附加题)

21. 【选做题】本题包括 A、B、C、D 四 小题,只能选做 2 题,每小题 10 分,共计 20 分.解答时应 写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. A. 选修 41:几何证明选讲 如图,设 AB 为⊙O 的任意一条不与直线 l 垂直的直径,P 是⊙O 与 l 的公共点,AC⊥l,BD⊥l,垂足 分别为 C,D,且 PC=PD. 求证:(1) l 是⊙O 的切线;(2) PB 平分∠ABD.

3

B. 选修 42:矩阵与变换 已知点 A 在变换 T:]→]=]的作用后,再绕原点逆时针旋转 90°,得到点 B.若点 B 坐标 为(-3,4), 求点 A 的坐标.

C. 选修 44:坐标系与参数方程

?x=t +1, 求曲线 C :? 2t ?y=t +1
2
2 1 2

1 被直线 l:y=x- 所截得的线段长. 2

4

D. 选修 45:不等式选讲 已知 a、b、c 是正实数,求证: 2+ 2+ 2≥ + + .

a2 b2 c 2 b c a b c a a b c

【必做题】第 22 题、第 23 题,每小题 10 分,共计 20 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程 或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分)如图,在四棱锥 OABCD 中,底面 ABCD 是边长为 1 的菱形,∠ABC=45°,OA ⊥底面 ABCD,OA=2,M 为 OA 的中点. (1) 求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小; (2) 求平面 OAB 与平面 OCD 所成二面角的余弦值.

23. (本小题满分 10 分)已知构成某系统的元件能正常工作的概率为 p(0<p<1),且各个元件能否正 常工作是相互独立的. 今有 2n(n 大于 1)个元件可按如图所示的两种联结方式分别构成两个系统甲、 [来 乙. 源:学科网 ZXXK] (1) 试分别求出系统甲、乙能正常工作的概率 p1,p2; (2) 比较 p1 与 p2 的大小,并从概率意义上评价两系统的优劣.

参考答案
1 {x |1 ? x ? 2} 2.二 3. 2 4.12 一填空题 1.
8. ? 5.-2;-6 6.2 个; 7.充分而不必邀 12. 2 13. 7 14. 8

14 2

9. a <

2

10.

4? 3

11.3

?π , 2 ? ?4 ?

二解答题 15. (1) 过 E 作 EG∥AD 交 A1D 于 G,连接 GF. A1E 5 EG 5 ∵ = ,∴ = ,∴EG=10=BF. A1A 8 AD 8 ∵BF∥AD,EG∥AD,∴BF∥EG.

5

∴四边形 BFGE 是平行四边形. ∴BE∥FG.(4 分) 又 FG? 平面 A1FD,BE?平面 A1FD, ∴BE∥平面 A1FD.(6 分) (2) ∵在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中,A1A⊥平面 ABCD,BD? 平面 ABCD,∴A1A⊥BD. 由已知,BD⊥A1F,AA1∩A1F=A1, ∴BD⊥平面 A1AF. ∴BD⊥AF.(8 分) ∵梯形 ABCD 为直角梯形,且满足 AD⊥AB,BC∥AD,

AD AB FB BF 在 Rt△ABF 中,tan∠BAF= = . AB 8
∵BD⊥AF,∴∠ABD+∠BAF = ∴ π , 2

∴在 Rt△BAD 中,tan∠ABD= =2.

= ,BF=4.(10 分) 8 2 ∵在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中,A1A⊥平面 ABCD,∴平面 AA1B1B⊥平面 ABCD, 又平面 ABCD∩平面 AA1B1B=AB,∠ABF=90°, ∴FB⊥平面 AA1B1B,即 BF 为三棱锥 FA1B1A 的高.(12 分) ∵∠AA1B1=90°,AA1=BB1=8,A1B1=AB=8, ∴S△AA1B1=32. 1 128 ∴V 三棱锥 A1AB1F=V 三棱锥 FA1B1A= ×S△AA1B1×BF= .(14 分) 3 3 π 16.解:1)因为 A,B,C 成等差数列,所以 B= . 3 → → 3 3 1 3 ∵AB ·BC =- ,∴accos(π -B) =- ,∴ ac= ,即 ac=3. 2 2 2 2 ∵b= 3,b =a +c -2accosB,∴a +c -ac=3,即(a+c) -3ac=3. 2 ∴(a+c) =12,所以 a+c=2 3. ???????7 分 2π 3 1 (2)2sinA-sinC=2sin( -C)-sinC=2( co sC+ sinC)-sinC= 3cosC. 3 2 2 2π 3 ∵0<C< ,∴ 3cosC∈(- , 3). 3 2 3 , 3). ?? ????????14 分 2 17. 解: (Ⅰ)由对称性可知,∠NMA′=θ ,则∠A′BM=π -2θ ∴2sinA-sinC 的取值范围是(- 设 AM=t(0<t<1) ,则在直角三角形 A′MB 中,BM=1-t,MA′= t (
2 2 2 2 2 2

BF 1

1? t 1 ? ? , ?? ? ,解得 t= t 1 ? cos 2? 4 2 2? ? ? ,利用正弦定理可得: (Ⅱ)在Δ AMN 中,∠ANM= 3
所以 cos(π -2θ )=

1 ? t ? 1) 2
??7 分

6

AN ? sin ?
当θ

AM 1 1 ,AN ? ? 2? 2? 1 ? sin( ??) 2 sin ? ? sin( ? ?) ? sin( 2? ? ) 3 3 2 6 ? 2 = 时,AN′的最小值为 3 3

??14 分

经验证,θ =

? 符合要求 3

18.解: (1) ∵

f ( x) ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 2 = 2sin(2 x ? ) ? 2 ??????3 分 3 ? k? ∴对称轴方程为 x ? , k ? Z .????????????4 分 ? 12 2 ? ? ? 4? (2) ∵ x ? (0, ) 2 x ? ?( , ) 2 3 3 3 ? 3 ∴ sin(2 x ? ) ? ( ? ,1] 3 2

?

) ? 2 ? (? 3 ? 2,4] ??????????? 7 分 3 ∵函数 g ( x ) ? f ( x ) ? m 有零点,即 f ( x ) ? ? m 有解.?????8 分
即 ? m ? (?

∴ 2 sin( 2 x ?

?

3 ? 2,4]

m ? [?4, 3 ? 2) . ?????9 分 2 ? 2 (3) f ( x0 ) ? 即 2sin(2 x0 ? ) ? 2 ? 5 3 5 ? 4 即 sin(2 x0 ? ) ? ? ??10 分 3 5

, ) 4 2 ? 5? 4? ∴ 2 x0 ? ? ( , ) 3 6 3 ? 4 又∵ sin(2 x0 ? ) ? ? , 3 5 ? 4? ∴ 2 x0 ? ? (? , ) ??11 分 3 3 ? 3 ∴ cos(2 x0 ? ) ? ? ?????????????? ????12 分 3 5
∴ sin(2 x0 ) = sin[(2 x0 = sin(2 x0

∵ x0 ? (

? ?

? ) cos ? cos(2 x0 ? ) sin 3 3 3 3 4 1 3 3 = (? ) ? ? (? ) ? 5 2 5 2 3 3?4 = .??????????????????14 分 10 1 2 19.解: (1)∵ b1 ? , b n ?1 ? b n ? b n ? b n ( b n ? 1) , 2
7

?

?

? ) ? ] ?????????????13 分 3 3

?

?

?

?

bn ? 0 . 1 1 1 1 ∴ ? ? ? , b n ?1 b n (b n ? 1) b n b n ? 1 1 1 1 即 .????4 分 ? ? b n ? 1 b n b n ?1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (2) Tn ? ( ? ) ? ( ? ) ??? ( ? )? ? ? 2? b1 b2 b2 b3 bn bn ?1 b1 bn ?1 bn ?1 ? b n ? b 2 ? 0, ? b n ?1 ? b n , n ∴数列 {b n } 是单调递增数列. ∴数列{ Tn }关于 n 递增. ∴ Tn ? T1 .???????????10 分 1 3 ∵ b1 ? ,∴ b2 ? b1 (b1 ? 1) ? 2 4 1 2 ∴ T1 ? 2 ? ? ???????????12 分 b2 3 2 ∴ Tn ? 3 ∵ 3Tn ? log 2 m ? 5 ? 0 恒成立,
∵ b n ?1

∴对任意的 n ? N *,

.?7 分

m ? 3Tn ? 5 恒成立, ∴ log 2 m ? ?3 ???????????14 分[来源:学科网 ZXXK] 1 ∴ 0 ? m ? .???????????16 分 8 3 2 2 20.解: (1)∵ f ( x ) ? ax ? bx ? a x ( a ? 0) , 2 2 ∴ f ?( x ) ? 3ax ? 2bx ? a ( a ? 0) 2 2 依题意有-1 和 2 是方程 3ax ? 2bx ? a ? 0 的两根 2b ? 1? ? ? ? 3a ∴? , ???????????3 分 . a ?? 2 ? ? ? 3 ? ?a ? 6 解得 ? , ?b ? ?9 3 2 ∴ f ( x ) ? 6 x ? 9 x ? 36 x . (经检验,适合) ????????4 分 . 2 2 (2)∵ f ?( x ) ? 3ax ? 2bx ? a ( a ? 0) , 依题意, x1 , x2 是方程 f ?( x ) ? 0 的两个根, a ∵ x1 x 2 ? ? ? 0 且 | x1 | ? | x2 |? 2 2 , 3 2 ∴ ( x1 ? x 2 ) ? 8 .???????????6 分 2b 2 4a ∴ (? ) ? ? 8, 3a 3 2 2 ∴ b ? 3a (6 ? a ) . 2 ∵ b ≥ 0 ∴ 0 ? a ≤ 6 .???????????7 分
∴ log 2

8

p (a ) ? 3a 2 (6 ? a) ,则 p?(a) ? ?9a 2 ? 36a . 由 p?( a ) ? 0 得 0 ? a ? 4 ,由 p?( a ) ? 0 得 a ? 4 .?????????8 分 即:函数 p ( a ) 在区间 (0, 4] 上是增函数,在区间 [4, 6] 上是减函数, ∴当 a ? 4 时, p ( a ) 有极大值为 96, ∴ p ( a ) 在 (0,6] 上的最大值是 96,
设 ∴ b 的最大值为 4 (3)证明:∵ x1 ,

6.

???????????9 分

x 2 是方程 f ' ( x) ? 0 的两根, ∴ f ' ( x ) ? 3a ( x ? x1 )( x ? x2 ) . .?????????10 分 a ∵ x1 ? x2 ? ? , x2 ? a , 3 1 ∴ x1 ? ? . 3 1 1 1 ∴ | g ( x ) |?| 3a ( x ? )( x ? a ) ? a ( x ? ) |?| a ( x ? )[3( x ? a ) ? 1] | 3 3 3 1 ∵ x1 ? x ? x2 ,即 ? ? x ? a. 3 1 ∴ | g ( x ) |? a ( x ? )(?3 x ? 3a ? 1) ???13 分 3 1 3a ? 1 ) | g ( x) | ? ?3a ( x ? )( x ? 3 3 a 3a 3 1 ? ?3a ( x ? ) 2 ? ? a 2 ? a ??14 分 2 4 3 3 3a 1 a (3a ? 2) 2 ≤ ? a2 ? a ? . 4 3 12 a ∴ | g ( x) | ≤ (3a ? 2) 2 成立. ???????????16 分 12

???12 分

数学附加题参考答案及评分标准 21. A: (1) 连接 OP,∵AC⊥l,BD⊥l,∴AC∥BD. 又 OA=OB,PC=PD,∴OP∥BP,从而 OP⊥l. ∵P 在⊙O 上,∴l 是⊙O 的切线.(6 分)

(2) 连接 AP,∵l 是⊙O 的切线, ∴∠BPD=∠BAP. 又∠BPD+∠PBD=90°,∠BAP+∠PBA=90°, ∴∠PBA=∠PBD,即 PB 平分∠ABD.(10 分) B:]]=].(6 分) 设 A(a,b),则由]]=], ?-b=-3, 得? ?a+2b=4,

9

?a=-2, ∴? ?b=3,
2

即 A(-2,3).(10 分) 2

?x=t +1,① C:C :? 2t ?y=t +1,②
1 2

② y 2 2 得 t= ,代入①,化简得 x +y =2x. ① x 2 2 2 又 x= 2 ≠0,∴C1 的普通方程为(x-1) +y =1(x≠0).(6 分) t +1 1 圆 C1 的圆心到直线 l:y=x- 的距离 2 ?1-0-1? 2? ? 1 d= = . 2 2 2 所求弦长为 2 1-d = D:由? -
2

14 .(10 分) 2

a b?2 ?b c?2 ?c a?2 a2 b2 c2 a b c + - + - ≥0,得 2? 2+ 2+ 2?-2? + + ?≥0, ?b c? ?c a? ?a b? ?b c a ? ?b c a? a2 b2 c2 b c a ∴ 2+ 2+ 2≥ + + .(10 分) b c a a b c 22. 作 AP⊥CD 于点 P, 分别以 AB、 、 所在直线为 x、y、 轴建立坐标系, A(0,0,0), (1,0,0), AP AO z 则 B P?0,

?

2 ? ? 2 2 ? ,0 ,D - , ,0 ,O(0,0,2),M(0,0,1). 2 ? ? 2 2 ?

→ → 2 2 (1) AB=(1,0,0),MD=?- , ,-1?, ? 2 2 ? 1 → → 则 cos〈AB,MD〉=- , 2 π 故 AB 与 MD 所成角为 .(4 分) 3 → → 2 2 2 (2) OP=?0, ,-2?,OD=?- , ,-2?, ? 2 ? ? 2 2 ? 设平面 OCD 的法向量 n=(x,y,z ), → → 则 n·OP=0,n·OD=0,

? 22y-2z=0, 即? 2 2 ?- 2 x+ 2 y-2z=0,
取 z= 2,则 n=(0,4, 2).(6 分) 易得平面 OAB 的一个法向量为 m=(0,1,0), 2 2 cos〈n,m〉= ,(9 分) 3 故平面 OAB 与平面 OCD 所成二面角的平面角余弦值为
n n

2 2 .(10 分) 3

23. (1) p1=p (2-p ),(2 分) p2=pn(2-p)n.(4 分) (2) (用二项式定理证明) p2-p1=pn{n-2+n} n =p {-2 +} n =p >0.(10 分) n n 说明:作差后化归为用数学归纳法证明:(2-p) >2-p 也可.[来源:学.科.网 Z.X.X.

10

模拟卷(26)试题来源:名校试题重组
一、填空题
1.. (2013 华师大二附中周练)复数 4 ? 3a ? a 2 设定义域为 R 的函数 f ? x ? = ? 充要条件是_________ 2 1 * * 3.(2013 无锡一中)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,对任意 n∈N 都有 Sn= an- ,若 1<Sk<9(k∈N ) ,则 k 3 3 的值为____________. 4..对于函数 ① ③ 当
2

i 与复数 a 2 ? 4ai 相等,则实数 a 的值为_________.

? lg x-1 ,x ? 1, ? ?0,x =1 ?

, 则关于 x 的方程 f 2 ? x ? +bf ? x ? +c =0 有 7 个不同实数解的

f (x) 定义域中任意的 x1 . x2

( x1 ≠ x2 ),?有如下结论:? ② ④

f ( x1 ? x2 ) = f ( x1 ) f ( x2 ) ;? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0; x1 ? x2
x

f ( x1 ? x 2 ) = f ( x1 ) + f ( x2 ) ;? x ?x f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( 1 2) ? 2 2


f (x) = 2 x 时,上述结论中正确结论的序号是

1 ?1? * ,O 为坐标原点,An 为函数 y ? f ( x ) 图象上横坐标为 n ( n ? N ) f ( x) ? x ? ? ? ? 2 ? x ?1 ? ???? ? 5 的点, 向量 OAn 与向量 i ? (1, 0) 的夹角为 ? n , 则满足 tan ?1 ? tan ? 2 ? ? ? tan ? n ? 的最大整数 n 3
5. 设函数 的值为_____ → → → → → → 6.已知同一平面上的向量 a 、 b 、 c 两两所成的角相等,并且| a |=2,| b |=3,| c |=4, → → → 则向量 a + b + c 的长度为 7.已知各项为正数的等比数列 {an }满足 : a7 则

? a6 ? 2a5 , 若存在两项 am 、 an 使得 am ? an ? 2 2a1 ,

1 4 的最小值为 ? m n

8 已知二次函数 向量 a

y ? f (x) 的图像为开口向下的抛物线,且对任意 x ? R 都有 f (1 ? x) ? f (1 ? x) .若

? ( m ,?1) , b ? ( m ,?2) ,则满足不等式 f (a ? b) ? f (?1) 的 m 取值范围为 9.(2013 华师大二附中高三)设△ ABC 的内角 A, B, C 所对的边为 a, b, c ,则下列命题正确的个数是
_____ .
①若 ab

? c 2 ,则 C ?

?
3

; ②若 a ? b

? 2c ,则 C ?
⑤若 ( a
2

?
3

; ③若 a

3

? b3 ? c3 ,则 C ?

?
2





2 3 2 2 10 当 a 和 b 取遍所有实数时, 则函数 f ( a, b) ? ( a ? 5 ? 3 cos b ) ? ( a ? 2 sin b ) 所能达到的最小值
为_____________. 11 记区间 [c, d ].[c, d ),(c, d ],(c, d )(c ? d ) 的长度均为 d ? c ,已知 a ? b 则,满足 数 x 构成的区间长度之和为

若 ( a ? b )c

? 2ab ,则 C ?

?



? b 2 )c 2 ? 2a 2b 2 ,则 C ?

?

.

1 1 ? ? 1 的实 x?a x?b

12 在平面直角坐标系中, O 为坐标原点,设向量 OA ? (1, 2) , OB ? (2, ?1) ,若 OP ? xOA ? yOB 且

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

1 ? x ? y ? 2 ,则点 P 所有可能的位置所构成的区域面积是
13 若不等式

x ? y ? k 2x ? y

对于任意正实数 x ,

y 成立,则 k 的取值范围是

f (? ) ? cos ? ?
14.(2013 华师大二附中)记函数

2 ? m (? ? R, m ? R) 3 ? cos ? 的最大值为
11

g ( m) .则:学科网 g ( m) 的最小值为

二,解答题
15.. (本小题满分 14 分)已知函数 f(x)= 3sin x+sinxcosx- π (1) 若 x∈?0, ?,求 f(x)的最大值; ? 2? 1 BC (2) 在△ABC 中,若 A<B,f(A)=f(B)= ,求 的值. 2 AB
2

3 (x∈R). 2

16. (本小题满分 14 分)已知在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中,底面 ABCD 为直角梯形,且满足 AD⊥AB,BC ∥AD,AD=16,AB=8,BB1=8,E,F 分别是线段 A1A,BC 上的点. (1) 若 A1E=5,BF=10,求证:BE∥平面 A1FD. (2) 若 BD⊥A1F,求三棱锥 A1AB1F 的体积.

.17(本题满分 14 分) . 某仓库为了保持库内的湿度和温度,四周墙上均装有如图所示的自动通风设施.该设施的下部 ABCD 是 矩形,其中 AB=2 米,BC=1 米;上部 CDG 是等边三角形,固定点 E 为 AB 的中点.△EMN 是由电脑控制其形 状变化的三角通风窗(阴影部分均不通风) MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和 AB 平行的伸缩横 , 杆. (1)设 MN 与 AB 之间的距离为 x 米,试将△EMN 的面积 S(平方米)表示成关于 x 的函数; (6 分) (2)求△EMN 的面积 S(平方米)的最大值(8 分)

M

N C

1 2 18.. (本小题满分 16 分)已知函数 f(x)= ax -(2a+1)x+2lnx(a 为正数). (理 17 题) 2 (1) 若曲线 y=f(x)在 x=1 和 x=3 处的切线互相平行,求 a 的值; (2) 求 f(x)的单调区间; 2 (3) 设 g(x)=x -2x,若对任意的 x1∈(0,2],均存在 x2∈(0,2],使得 f(x1)<g(x2),求实数 a 的取

12

值范围.

19.(2011 金陵中学)(本小题满分 16 分)设数列{an}满足:a1=1,a2=2,an+2=

2 an? an+1+1? (n≥1, 2 an+1

n∈N* ).
(1) 求证:数列?

?

an+1

an+ ? ? a n?

1 是常数列;
2 2

?

(2) 求证:当 n≥2 时,2<an-an-1≤3; (3) 求 a2 011 的整数部分.

13

20. ( 本 小 题 16 分 ) 设

C1 是 以 F 为 焦 点 的 抛 物 线 y 2 = 2 px ( p > 0) , C2 是 以 直 线 2 x - 3 y = 0 与 2 x + 3 y = 0 为渐近线,以 0, 7 为一个焦点的双曲线.

(

)

(1)求双曲线 C2 的标准方程; (2)若 C1 与 C2 在第一象限内有两个公共点

A 和 B ,求 p 的取 ??? ??? ? ? 值范围,并求 FA ×FB 的最大值; ? ? 2 ??? ??? (3)若 D FAB 的面积 S 满足 S = FA FB ,求 p 的值. 3

参考答案 1. 1.-4 2.. b<0,c=0_ (

ar (1 ? r ) n ; (1 ? r ) n ? 1

3.4

4. ①③ ④;

5. 3

6. 9 或

3
13.

7.

11 6
14.

?0,1?
8.

9.3

10.2

11.2

12. 15.

5 2

k?

6 2
3?

3 4

15. (1) f(x)=

1-cos2x? 1 3 + sin2x- 2 2 2

π 1 3 = sin2x - cos2x=sin?2x- ?.(4 分) 3? 2 2 ? π π π 2π ∵0<x< ,∴- <2x- < .(6 分) 2 3 3 3 π π 5π ∴当 2x- = 时,即 x= 时,f(x)取最大值 1.(7 分) 3 2 12 π? π π 5π (2) ∵f(x)=sin?2x- ,x 是三角形的内角,则 0<x<π ,- <2x- < . 3? 3 3 3 ? π 1 1 令 f(x)= ,得 sin?2x- ?= ,[来源:学科网] 3? 2 2 ? π π π 5π ∴2x- = 或 2x- = . 3 6 3 6 π 7π 解得 x= 或 x= .(9 分) 4 12 1 π 7π 由已知,A,B 是△ABC 的内角,A<B 且 f(A)=f(B)= ,∴A= ,B= . 2 4 12 π ∴C=π -A-B= .(11 分) 6 π 2 sin 4 2 BC sinA 由正弦定理,得 = = = = 2.(14 分) AB sinC π 1 sin 6 2 16. (1) 过 E 作 EG∥AD 交 A1D 于 G,连接 GF. A1E 5 EG 5 ∵ = ,∴ = ,∴EG=10=BF. A1A 8 AD 8

14

∵BF∥AD,EG∥AD,∴BF∥EG.

∴四边形 BFGE 是平行四边形. ∴BE∥FG.(4 分) 又 FG? 平面 A1FD,BE?平面 A1FD, ∴BE∥平面 A1FD.(6 分) (2) ∵在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中,A1A⊥平面 ABCD,BD? 平面 ABCD,∴A1A⊥BD. 由已知,BD⊥A1F,AA1∩A1F=A1, ∴BD⊥平面 A1AF. ∴BD⊥AF.(8 分) ∵梯形 ABCD 为直角梯形,且满足 AD⊥AB,BC∥AD,

AD AB FB BF 在 Rt△ABF 中,tan∠BAF= = . AB 8
∵BD⊥AF,∴∠ABD+∠BAF = ∴ π , 2

∴在 Rt△BAD 中,tan∠ABD= =2.

= ,BF=4.(10 分) 8 2 ∵在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中,A1A⊥平面 ABCD,∴平面 AA1B1B⊥平面 ABCD, 又平面 ABCD∩平面 AA1B1B=AB,∠ABF=90°, ∴FB⊥平面 AA1B1B,即 BF 为三棱锥 FA1B1A 的高.(12 分) ∵∠AA1B1=90°,AA1=BB1=8,A1B1=AB=8, ∴S△AA1B1=32. 1 128 ∴V 三棱锥 A1AB1F=V 三棱锥 FA1B1A= ×S△AA1B1×BF= .(14 分) 3 3 17 解: (1) ①如图 1 所示,当 MN 在矩形区域滑动, 即 0<x≤1 时, △EMN 的面积 S=

BF 1

1 ? 2? x = x 2
G

②如图 2 所示,当 MN 在三角形区域滑动, 即 1<x< 1 ? 3 时, 如图,连接 EG,交 CD 于点 F,交 MN 于点 H, ∵ E 为 AB 中点, ∴ F 为 CD 中点,GF⊥CD,且 FG= 又∵ MN∥CD, ∴ △MNG∽△DCG. ∴

3.
D

M

H F

N C

MN GH ,即 2[ 3 ? 1 ? x] . ? MN ? DC GF 3

A

故△EMN 的面积 S= 1 ? 2[ 3 ? 1 ? x] ? x

E

B

图2

2

3

=?

3 2 3 ; x ? (1 ? )x 3 3

综合可得:

15

? x ,所以有 0 ? S ? 1 ; 3 2 3 ②当 MN 在三角形区域滑动时,S= ? x ? (1 ? )x . 3 3 1 3 ? 1? 3 3 (平方米). 因而,当 x ? (米)时,S 得到最大值,最大值 S= 2 2 1 3 ∵ ? ? 1, 2 3 1 3 平方米. ∴ S 有最大值,最大值为 ? 2 3
(2)①当 MN 在矩形区域滑动时, S 2 18. f′(x)=ax-(2a+1)+ (x>0).

? x, ? 0<x ≤ 1? ? S ?? 3 2 ? 3? ?? 3 x ? ?1 ? 3 ? x. 1<x<1 ? 3 ? ? ? ? ?

?

?

x

2 (1) f′(1)=f′(3),解得 a= .(4 分) 3 ? ax-1? ? x-2? (2) f′(x)= (x>0).

x

1 1 ①当 0<a< 时, >2, 2 a 1 在区间(0,2)和? ,+∞?上,f′(x)>0;

?a

?

1 在区间?2, ?上,f′(x)<0,

?

a?

1 1 故 f(x)的单调递增区间是(0,2)和? ,+∞?,单调递减区间是?2, ?.(6 分)

?a

?

?

a?

1 ? x-2? ②当 a= 时,f′(x)= ≥0,故 f(x)的单调递增区间是(0,+∞).(8 分) 2 2x 1 1 1 1 ③当 a> 时,0< <2,在区间?0, ?和(2,+∞)上,f′(x)>0;在区间? ,2?上,f′(x)<0,故 2 a ? a? ?a ? 1 1 f(x)的单调递增区间是?0, ?和(2,+∞),单调递减区间是? ,2?.(10 分)

2

?

a?

?a

?

(3) 由已知,在(0,2]上有 f(x)max<g(x)max.(11 分) 由已知,g(x)max=0,由(2)可知, 1 ①当 0<a≤ 时,f(x)在(0,2]上单调递增, 2 故 f(x)max=f(2)=2a-2(2a+1)+2ln2 =-2a-2+2ln2, 1 ∴-2a-2+2ln2<0,解得 a>ln2-1,ln2-1<0,故 0<a≤ .(13 分) 2 1 1 ②当 a> 时,f(x)在?0, 2 ? a 故 f(x)max=f? ]上单调递增,在]上单调递减,

1? 1 ?a?=-2-2a-2lna.

1 1 1 由 a> 可知 lna>ln >ln =-1,2lna>-2,-2lna<2, 2 2 e ∴-2-2l na<0,f(x)max<0,(15 分) 综上所述,a>0.(16 分)

16

19. (1) 易知,对一切 n≥1,an≠0,由 an+2= 依次利用上述关系式,可得

an? a2+1+1? an+2 an+1 n ,得 = . 2 an+1 1 1 an+1+ an+ an+1 an

an+1
1



an
1



an-1
1

=?=

an+ an-1+ an-2+ an an-1 an-2 an+1 ? ?
从而数列?

2 = =1, 1 a 1+ 1+ a1 1 1

a2

an+ ? ? a n?

1 是常数列.(4 分)

1 (2) 由(1)得 an+1=an+ .

an

1 又 a1=1,∴可知数列{an}递增,则 对一切 n≥1,有 an≥1 成立,从而 0< 2≤1.(6 分)

an

当 n≥2 时,an=?an-1+
2

?

an-1?

1

? =an
2 2

-1



1

a2-1 n

+2,

于是 an-an-1=
2 2

2

2

1

a2-1 n

+2, 1

∴2<an-an-1≤3.(8 分) (3) 当 n≥2 时,an=an-1+ ∴an= 1
2 2 2

a2-1 n

+2,

2 +?+ 2+a1+2(n-1). a2-1 a1 n a2=1,a2=4,则当 n≥3 时, 1 2

1

1

a2= 2 +?+ 2+a2+2(n-1) n 1 an-1 a1
= = 1 1

1

a2-1 n a2-1 n

1 +?+ 2+1+1+2(n-1)

a2 a2

1 +?+ 2+2n>2n. 1 1

a2 011= 2 +?+ 2+2(2 011-1)+1>4 021 2 a2 010 a1
>3 969=63 ,(10 分)[来源:Z|xx|k.Com] 1 1 a2 011= 2 +?+ 2+2(2 011-1)+1 2
2

a2 010

a1

=4 021+ 2+?+

1

1

a1

a2 010 2

1 1 1 1 <4 020+ + + +?+ 1 4 6 2×2 010 1 ? 1 1 1 =4 022+ ? + +?+ 2 010? 2?2 3 1 =4 022+ 2

? 1 + 1 +?+ 1 ?+? 1 + 1 +?+ 199? ?200 201 2 ?40 41
1 <4 022+ 2

1 ? 010?

]

? 1 + 1 +?+ 1 ?+? 1 + 1 +?+ 1 ? ][来源:学.科.网 Z.X.X.K] 40? ?200 200 200? ?40 40 1 1 1 1 =4 022+ ? ×38+ ×160+?+ ×1 811? 40 200 2 ?2 ?
1 2 <4 022+ (19+4+10)<4 039<4 096=64 .(14 分) 2 ∴63<a2 011<64,即 a2 011 的整数部分为 63.(16 分)

17

20.解 (1)由于双曲线 C2 的焦点

(0, 7 ) 在 y 轴上,设 C 的标准方程为
2

y 2 x2 = 1 (a, b > 0) . a 2 b2
一方面,显然有 a
2

+ b2 = 7 ;

2分

另一方面, C2 的渐近线方程为 解得 a
2

y=

a a 2 x ,与已知条件相比较得 = . b b 3

= 4, b 2 = 3 .
4分

y 2 x2 = 1. 4 3 (2)设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ,其中 x1 , y1 , x2 , y2 > 0, x1
故 C2 的标准方程为
2 2

x2 .

y x 5分 = 1 ,并化简得: 2 x 2 - 3 px + 6 = 0 . 4 3 2 由已知得,该方程有两个不相等的正根 x1 , x2 ,故 D = 9 p - 48 > 0 且 3 p > 0 ,解得 p 的取值范


y 2 = 2 px 代入

围是

p>

4 3 . 3

6分

在上述条件下,有 x1 + 又注意到,故

x2 =

3p , x1 x2 = 3 . 2

7分

p p2 ( x1 + x2 ) + + 2 px1 2 px2 2 4 2 1 p 3 p p2 p- 2 3 + 9 9 , = 3- ? + 2 3p = 2 2 2 4 ??? ??? ? ? 4 3 当 p= 2 3> 时,上述等号取到. 故 FA ×FB 的最大值为 9. 3 ??? ??? ? ? (3)设向量 FA, FB 的夹角为 q . ? ? 2 ??? ??? 在 S = FA FB 的条件下,利用三角形面积公式及数量积定义可得: 3 ? ? ? ? 1 ??? ??? 2 ??? ??? FA ? FB sin q FA FB cos q , 2 3 ??? ??? ? ? 4 FA ×FB 3 即 tan q = .从而 ??? ??? = cos q = . 一方面,由抛物线的定义可知 ? ? 5 3 FA × FB = x1 x2 -

(

)

p p2 x1 + x2 ) + ( 2 4 p 3 p p2 = p2 + 3 . = 3+ ? 2 2 4 ??? ??? ? ? p2 另一方面,由(2)的计算可得 FA ?FB + 2 3 p + 3 ,所以 2 p2 + 2 3p + 3 3 2 = , 2 p +3 5 = x1 x2 +
化简得 11 p 注意到
2

- 20 3 p - 12 = 0 ,即 11 p + 2 3 p - 2 3 = 0 .
4 3 ,故 p = 2 3 . 3
18

(

)(

)

p>

模拟卷(27)试题来源:名校试题重组
一、填空题
1. 已知 A={x|1≤x≤2},B={x|x +2x+a≥0},A,B 的交集不是空集,则实数 a 的取值范围是________. 2. 双曲线 x - =1 的渐近线被圆 x +y -6x-2y+1=0 所截得的弦长为________. 4 π 3. 已知向量 p 的模是 2,向量 q 的模为 1 ,p 与 q 的夹角为 ,a=3p+2q,b=p-q,则以 a、b 为邻边 4 的平行四边形的长度较小的对角线的长是________. 4.
2 2

y2

2

2

?x-y+5≥0, ? 若 x,y 满足不等式组?x≤3, ? ?x+y-k≥0,

且 z=2x+4y 的最小值为-6,则 k 的值为________.

5. 右图是一个算法流程图,则输出的 S 的值是_____ 6. lg x
2

7.已知函数

? 6 ? (| x | ?2010)(| x | ?2012) 的解的个数为 f ( x) 满足:①对任意 x ? (0, ??) ,恒有 f (2 x) ? 2 f ( x) 成立;②当 x ? (1, 2] 时,
1? x x?2

f ( x) ? 2 ? x .若 f (a) ? f (2012) ,则满足条件的最小的正实数 a 是
y?
8.函数 的值域为

9 已知矩形 ABCD,AB=1,BC= 2 .将△ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的直线进行翻折,在翻折过程中,下 列哪一个说法是对的 (A)存在某个位置,使得直线 AC 与直线 BD 垂直 (B)存在某个位置,使得直线 AB 与直线 CD 垂直 (C)存在某个位置,使得直线 AD 与直线 BC 垂直 (D)对任意位置,三对直线“AC 与 BD”“AB 与 CD”“AD 与 BC”均不垂直 , , 10 如果一个正四位数的千位数 a 、百位数 b 、十位数 c 和个位数 d 满足关系 ( a 11 己知实数 a 使得只有一个实数 x 满足关于 x 的不等式 |

b)(c - d ) < 0 ,则称

其为“彩虹四位数” ,例如 2012 就是一个“彩虹四位数”.那么,正四位数中“彩虹四位数”的个数为

x 2 ? 2ax ? 3a |? 2 求满足条件的所有的实数

a 的值

.

12 在△ABC 中,已知 b =6, c =5,cos(C-B)=

1 ,则 cosA=______ 10
19

13.

14 . 在 复 平 面 内 , 设 点 A 、 P 所 对 应 的 复 数 分 别 为 ?

? 为 锐 1 ? sin ? ? cos ? 1 ? sin ? ? cos ? ? ?2 sin ? sin ? tan? tan ? =
. 已 知 、

?

角 ,



且 则

i、 ? ? ? , cos(2t ? ) ? i sin( 2t ? )( i 为虚数单位) 则当 t 由 3 3 12 ??? ? ? 连续变到 时 , 向 量 AP 所 扫 过 的 图 形 区 域 的 面 积 4
是 .

二,解答题
15.已知命题 p:方程 a x +ax?2=0 在[?1,1]上有解;命题 q:只有一个实数 x 满足不等式 x +2ax+2a?0, 若命题“p 或 q”是假命题,求 a 的取值范围.
2 2 2

16.已知集合 A={x|x ?3(a+1)x+2(3a+1)<0},B={x|
2

x?2a <0}, x?(a2+1)

(Ⅰ)当 a=2 时,求 A?B; (Ⅱ)求使 B?A 的实数 a 的取值范围.

17.某地方政府准备在一块面积足够大的荒地上建一如 图所示的一个矩形综合性休闲广场,其总面积为 3000 平方米,其中场地四周(阴影部分)为通道,通道宽度 均为 2 米,中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运 动场地 (其中两个小场地形状相同) 塑胶运动场地占地 , 面积为 S 平方米. (Ⅰ)分别写出用 x 表示 y 和用 x 表示 S 的函数关系式 (写 出函数定义域) ; (Ⅱ)怎样设计能使 S 取得最大值,最大值为多少?

18(金陵中学高三)(本小题满分 16 分)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0),⊙O:x +y =b ,点 A,F 分别 是椭圆 C 的左顶点和左焦点,点 P 是⊙O 上的动点. (1) 若 P(-1, 3),PA 是⊙O 的切线,求椭圆 C 的方程;

x2 y2 a b

2

2

2

20

(2) 是否存在这样 的椭圆 C,使得 是常数?如果存在,求 C 的离心率,如果不存在,说明理由.

PA PF

?f(x), x?0 2 19(苏州中学高三月考) .已知函数 f(x)=ax +bx+1(a,b 为常数),x?R.记 F(x)=? . ??f(x),x<0 (Ⅰ)若 f(?1)=0,且函数 f(x)的值域为[0,+??,求 F(x)的表达式; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,当 x?[?2,2]时,g(x)=f(x)?kx 是单调函数,求实数 k 的取值范围; (Ⅲ)设 m?n<0,m+n>0,a>0 且 f(x)为偶函数,判断 F(m)+F(n)能否大于零?

20. (2013 苏州第一中学三模) (本小题满分 16 分) 已知数列 {a n } , {bn } ,且满足 an ?1

? an ? bn ( n ? 1, 2,3,? ).

(1)若 a1 ? 0, bn ? 2n ,求数列 {a n } 的通项公 式; (2)若 bn ?1 ? bn ?1 ? bn (n ≥ 2) ,且 b1 ? 1, b2 ? 2 .记 cn ? a6 n ?1 (n ≥ 1) ,求证:数列 {cn } 为常数列; (3)若 bn ?1bn ?1 ? bn (n ≥ 2) ,且 a1 ? 1 , b1

? 1, b2 ? 2 .求数列 {an } 的前 36 项和 S36 .

A
数学Ⅱ(附加题) 21.[选做题]本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题,并在相应的答题 ............... 区域内作 .... 答.若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或 .. 演算步骤. A.[选修 4 - 1:几何证明选讲](本小题满分 10 分) 如图,在梯形 ABCD 中, AD ∥BC,点 E , F 分别在边 AB , CD 上, 设 ED 与 AF 相 交 于 点 G , 若 B , C , F , E 四 点 共 圆 , 求 证 : AG ? GF ? DG ? GE . B.[选修 4 - 2:矩阵与变换](本小题满分 10 分)

D

E F

B

C

(第 21—A 题图)

21

?1 b ? ? 2? M ?? ? 有 特 征 值 ?1 ? 4 及 对 应 的 一 个 特 征 向 量 e1 ? ?3 ? ?c 2 ? ? ? 2 2 5 x ? 8 xy ? 4 y ? 1 在 M 的作用下的新曲线方程.
已知矩阵

,求曲线

C.[选修 4 - 4:坐标系与参数方程](本小题满分 10 分)

1 ? ? x ? 2t ? 在直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,若以直角坐标系 xOy 的 O 点 ?y ? 2 ? 3 t ? ? 2 2
为极点, Ox 为极轴,且长度单位相同,建立极坐标系,得曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2cos(? ? 线 l 与曲线 C 交于 A, B 两点,求 AB .

?

4

) .直

D.[选修 4 - 5:不等式选讲](本小题满分 10 分) 设

f ( x) ? x 2 ? x ? 13 ,实数 a 满足 x ? a ? 1 ,求证: f ( x) ? f (a) ? 2( a ? 1) .

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明 ........ 过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 在某社区举办的《有奖知识问答比赛》中,甲、乙、丙三人同时回答某一道题,已知甲回答对这道题 的概率是

3 1 1 ,甲、丙二人都回答错的概率是 ,乙、丙二人都回答对的概率是 . 4 12 4

(Ⅰ)求乙、丙二人各自回答对这道题的概率; (Ⅱ)设乙、丙二人中回答对该题的人数为 X,求 X 的分布列和数学期望.

23. (本小题满分 10 分)

A ? {a1 , a 2 ,? ? ?, a n } , 其 中 0 ? a1 ? a 2 ? ? ? ? ? a n , 且 n ? 3 , 若 对 ?i, j ( 1 ? i ? j ? n ) a j ? a i 与 a j ? a i 两数中至少有一个属于 A ,则称数集 A 具有性质 P . , (Ⅰ)分别判断数集 {0,1,3} 与数集 {0,2,4,6} 是否具有性质 P ,说明理由; (Ⅱ)已知数集 A ? ?a1 , a 2 ,? , a8 ?具有性质 P . ①求证: 0 ? A ; ②判断数列 a1 , a 2 ,? , a8 是否为等差数列,若是等差数列,请证明;若不是,请说明理由.
已知数集

参考答案
22

1.略 2.4 5.-9 6.,6 7.92 8.

3. 29

4.0

14.

?
6

? 1 ? ?? 2 , 0? ? ?

9.B10,364,

11,a=1,2

12,

49 _13.1 50



15.解:由题意 a 若

? 0.
1 2 或? a a
????2 分

p 正确, a 2 x 2 ? ax ? 2 ? (ax ? 2)(ax ? 1) ? 0 的解为

若方程在[-1,1]上有解,

1 ???????????4 分 ?1 a 即 a ? ( ??,?1] ? [1,??) ???????????6 分 2 若 q 正确,即只有一个实数 x 满足 x ? 2ax ? 2a ? 0 , 则有 ? ? 0, 即 a ? 0 或 2 ?????? 8 分 若 p 或 q 是假命题,则 p 和 q 都是假命题, ??????????10 分
只需满足-1 ? 有?

?? 1 ? a ? 1 所以 a 的取值范围是(1,0) ? (0,1) ?a ? 0且a ? 2

????12 分

16.解:(Ⅰ)当 a ? 2 时, A ? (2,7), B ? (4,5) ? A ? B ? (4,5) ???????? 4 分 (Ⅱ)∵ a ? 1 时, B ? (2a, a ? 1); a ? 1时,B ? ?
2

???????????? 5 分

①当 a ?

1 时, A ? (3a ? 1,2) 要使 B ? A 必须 3 ? ?2a ? 3a ? 1 此时 a ? ?1 ??????????????????????7 分 ? 2 ?a ? 1 ? 2 ?

②当 a ? ③a ?

1 时 A=?,B=?,所以使 B ? A 的 a 不存在,???????9 分 3

1 , A ? (2,3a ? 1) 要使 B ? A ,必须 3 ? ?2 a ? 2 此时 1 ? a ? 3 .???????????????????11 分 ? 2 ?a ? 1 ? 3a ? 1 ?

综上可知,使 B ? A 的实数 a 的范围为[1,3]?{?1}.?????????12 分

3000 (6 ? x ? 500), ??2 分 x y ?6 S ? ? x ? 4 ? a ? ? x ? 6 ? a ? ? 2 x ? 10 ? a ? ? 2 x ? 10 ? · = ? x ? 5 ?? y ? 6 ? 2 15000 ? 3030 ? 6x ? (6 ? x ? 500). ?????????????????6 分 x 15000 15000 ? 3030 ? 2 6x ? (Ⅱ) S ? 3030 ? 6 x ? =3030-2×300=2430??10 分 x x
解:(Ⅰ)由已知 xy =3000 ,

2a ? 6 ? y ,则 y ?

23

当且仅当 6x

?

15000 ,即 x ? 50 时, ? ”成立,此时 x ? 50 , y ? 60 , S max ? 2430 “ x
2430

. 平 方

即 设 计 x=50 米 , y=60 米 时 , 运 动 场 地 面 积 最 大 , 最 大 值 为 米. ?????????????????????????????12 分 18. (1) ∵P(-1, 3)在⊙O:x +y =b 上, 2 ∴b =4.(2 分) → → 又∵PA 是⊙O 的切线,∴PA⊥OP,∴OP·AP=0, 即(-1, 3)·(-1+a, 3)=0,解得 a=4. ∴椭圆 C 的方程为 + =1.(5 分) 16 4 2 2 2 (2) 设 F(c,0),c =a -b ,
2 2 2

x2

y2

PA 2 2 PF 2 2 2 2 即 b +2ax1+a =λ (b +2cx1+c ),(8 分) 2 2 2 2 比较两边,b +a =λ (b +c ),a=λ c,(10 分) 2 2 2 2 2 3 2 3 故 cb +ca =a(b +c ),即 ca -c +ca =a , 3 即 e -2e+1=0,(12 分)
(e-1)(e +e-1)=0,符合条件的解有 e= 即这样的椭圆存在,离心率为 5-1 .(16 分) 2
2

设 P(x1,y1),要使得 是常数,则有(x1+a) +y1=λ ,λ 是常数.

5-1 , 2

?a ? b ? 1 ? 0 ?a ? 1 ? 19.解:(Ⅰ)由题意,得: ?a ? 0 ,解得: ? ,??????3 分 ?b ? 2 ?b 2 ? 4a ? 0 ? 2 ? ( x ? 0) ?( x ? 1) 所以 F (x ) 的表达式为: F ( x ) ? ? .??????????4 分 2 ?? ( x ? 1) ( x ? 0) ?

? x 2 ? (2 ? k ) x ? 1 2?k k ?2 图象的对称轴为: x ? ? ? 2 2 k ?2 k ?2 由题意,得: ? ?2或 ?2 2 2 解得: k ? 6或k ? ?2
(Ⅱ) g ( x )
2

???????????????5 分

?????????????? 8 分 ???10 分

?ax 2 ? 1 ( x ? 0) ? (Ⅲ)? f (x ) 是偶函数, ? f ( x ) ? ax ? 1, F ( x ) ? ? ?? ax 2 ? 1 ( x ? 0) ? ? m ? n ? 0 ,不妨设 m ? n ,则 n ? 0 ?m ? n 又 m ? n ? 0 ,则 m ? ? n ? 0

F (m) ? F (n) ? f (m) ? f (n) ? (am 2 ? 1) ? an 2 ? 1 ? a (m 2 ? n 2 ) ? 0 ????????? 14 分 ? F (m) ? F (n) 大于零. 2 20,解: (Ⅰ) an ? n ? n . ????????????????4 分 (Ⅱ)先证 bn ? 3 ? bn ? 0 ,即 b6 n ? 3 ? b6 n ? 0 ,???????????????7 分 然后 Cn ?1 ? Cn ? a6 n ?5 ? a6 n ?1 ? 2(b6 n ?3 ? b6 n ) ? 0 ,数列 {cn } 为常数列???????10 分 (Ⅲ) S 36 ? 795 ??????????16 分
21 . A 证 明 : 连 结 EF . ∵ B , C , F , E 四 点 共 圆 , ∴ ?ABC ? ∠EFD . ∵ AD ∥ BC , ∴

?BAD ? ?ABC ? 180°.

24

∴ ?BAD ? ?EFD ? 180°. ∴ A, D , F , E 四点共圆. ∵ ED 交 AF 于点 G,∴ AG ? GF ? DG ? GE . ?10 分

?1 2? / / / 21 以 M ? ? ? .设曲线上任一点 P( x, y ) , P 在 M 作用下对应点 P ( x , y ) , ?3 2? ? y/ ? x/ x? / / ? ? x ? ?1 2 ? ? x ? ?x ? x ? 2 y ? ? 2 则? ? ? ? ,即 ? ,解之得 ? , ?? y? / / / / ? y ? 3x ? 2 y ? y ? ?3 2? ? ? ? y ? 3x ? y ? ? ? ? 4 ?

? 8 xy ? 4 y 2 ? 1 ,得 x / ? y / ? 2 . 2 2 2 2 即曲线 5 x ? 8 xy ? 4 y ? 1 在 M 的作用下的新曲线方程是 x ? y ? 2 .???????10 分
代入 5 x
2

2

2

21 . C

l 的 直 角 坐 标 方 程 为 y ? 3x ?

2 ? , ? ? 2cos(? ? ) 的 直 角 坐 标 方 程 为 2 4

2 2 2 2 ) ? (y ? ) ?1, 2 2 ? 2 2? 6 10 所以圆心 ? ? 2 , 2 ? 到直线 l 的距离 d ? 4 ,? AB ? 2 ? ? ? (x ?
21.D 证 : ?

???????10 分

f ( x) ? x 2 ? x ? 13 ,

?| f ( x) ? f (a ) |?| x 2 ? x ? a 2 ? a | ? x ? a ? x ? a ? 1 ? x ? a ? 1 ,
又? 分

x ? a ? 1 ? ( x ? a ) ? 2a ? 1 ? x ? a ? 2a ? 1 ? 1 ? 2a ? 1 ? 2( a ? 1) .??????10

1 ? ? P( A) P(C ) ? 12 , 3 ? C 则 22. (Ⅰ) 解: 设甲、 丙回答对这道题分别为事件 A 、B 、 , P ( A) ? , 乙、 且有 ? 4 ? P( B) P(C ) ? 1 , ? 4 ? 3 1 ? ?(1 ? 4 )[1 ? P(C )] ? 12, ? 即? ? P( B) P(C ) ? 1 . ? 4 ? 3 2 解得 P ( B ) ? , P (C ) ? . ???????4 分 8 3 1 5 1 5 (Ⅱ)由题意, X ? 0,1,2 . P ( X ? 2) ? , P ( X ? 0) ? P ( B ) P (C ) ? ? ? . 4 8 3 24 13 . P( X ? 1) ? 1 ? P( X ? 0) ? P( X ? 2) ? 24 所以随机变量 X 的分布列为 5 13 1 25 . ???????10 分 E( X ) ? 0 ? ? 1? ? 2? ? 24 24 4 24 23. 解: (Ⅰ)由于 3 ? 1 和 3 ? 1 都不属于集合 ?0,1,3? ,所以该集合不具有性质 P ; 由于 2 ? 0 、 4 ? 0 、 6 ? 0 、 4 ? 2 、 6 ? 2 、 6 ? 4 、 0 ? 0 、 2 ? 2 、 4 ? 4 、 6 ? 6 都属于集合 ?0,2,4,6?,所以该数集具有性质 P . ???????????????4 分 (Ⅱ)①? A ? {a1 , a 2 ,? ? ?, a8 } 具有性质 P ,所以 a8 ? a8 与 a8 ? a8 中至少有一个属于 A , 由 0 ? a1 ? a 2 ? ? ? ? ? a8 ,有 a8 ? a8 ? a8 ,故 a8 ? a8 ? A ,? 0 ? a8 ? a8 ? A ,
25

???????????????4 分 ? 0. ②? 0 ? a1 ? a 2 ? ? ? ? ? a8 ,? a8 ? a k ? a8 ,故 a8 ? a k ? A( k ? 2,3,? ? ?,8) . 由 A 具有性质 P 知, a8 ? a k ? A( k ? 2,3,? ? ?,8) , 又? a8 ? a8 ? a8 ? a 7 ? ? ? ? ? a8 ? a 2 ? a8 ? a1 , ? a8 ? a8 ? a1 , a8 ? a 7 ? a 2 ,? ? ?, a8 ? a 2 ? a 7 , a8 ? a1 ? a8 , 即 a i ? a 9 ?i ? a8 (i ? 1,2,? ? ?,8) ??① 由 a 2 ? a 7 ? a8 知, a 3 ? a 7 , a 4 ? a 7 ,?, a 7 ? a 7 均不属于 A , , 由 A 具有性质 P , a 7 ? a 3 , a 7 ? a 4 ,?, a 7 - a 7 均属于 A , , ? a 7 ? a 7 ? a 7 ? a 6 ? ? ? a 7 ? a 4 ? a 7 ? a3 ? a8 ? a3 ,而 a8 ? a3 ? 6 , ? a 7 ? a 7 ? 0 , a 7 ? a 6 ? a 2 , a 7 ? a5 ? a3 ,?, a 7 ? a3 ? a5 即 a i ? a8?i ? a 7 (i ? 1,2,? ,7 ) ??② 由①②可知 a i ? a8 ? a 9 ?i ? a8 ? ( a 7 ? a i ?1 )(i ? 1,2,? ,8) , 即 a i ? a i ?1 ? a8 ? a 7 ( i ? 2,3,? ? ?,8 ) .故 a1 , a 2 ,? , a8 构成等差数列.??????10 分 故 a1

模拟卷(28)试题来源:名校试题重组
一,填空题
1. 定义集合运算:A⊙B={z|z=xy(x+y),x?A,y?B},设集合 A={0,1},B={2,3},则集合 A⊙B 的所有 元素之和为_______.

( 2. (2012 江苏省木渎高级中学) sin ?

3 4 ? ) (cos ? ? )i 是纯虚数,则 tan ? ? ? 5 5

.

3.(2012 江苏省木渎高级中学)已知 tan ? ? 1 ,则 sin ?

cos ? ? 2 sin 2 ? ?

2

4.用 a 、 b 、 c 表示三条不同的直线,

y 表示平面,给出下列命题: ①若 a ∥ b , b ∥ c ,则 a ∥ c ;②若 a ⊥ b , b ⊥ c ,则 a ⊥ c ; ③若 a ∥ y , b ∥ y ,则 a ∥ b ;④若 a ⊥ y , b ⊥ y ,则 a ∥ b . 5.已知数列 {an } 为等差数列,且 a1 ? a7 ? a13 ? 4? ,则 tan( a2 ? a12 ) =
6.条件 p:不等式 log 2 ( x ? 1) . 7.已知定义在 R 上的连续函数 y ? f (x) 的图象在点 M (1, +
2

______.

? 1 的解;条件 q:不等式 x ? 2 x ? 3 ? 0 的解,则 p 是 q 的
f (1)) 处的切线方程为 y ? ?

f ? (1)=________. ? ? ? ? ? ? ? ? 8.已知向量 a , b 满足 a ? 1 , b ? 2 , a 与 b 的夹角为 60°,则 a ? b ?
9.在塔底的水平面上某点测得塔顶的仰角为θ ,由此点向塔沿直线行走 30 米,测得塔顶的仰角为 2θ ,再向塔前进 10 3 米,又测得塔顶的仰角 为 4θ ,则塔高是_____ .米. 10. (2013.镇江一中)当 x ? (0,1) 时,不等式 x 立,则实数 a 的范围为 ___ 11.直线 点,若
2

1 x ? 2 ,则 f (1) 2
.

P

2

? log a ( x ? 1) 恒成
A

? B

2? C

4?

Q

y ? kx ? 3 与圆 ? x ? 3? ? ? y ? 2 ? ? 4 相交于
2

M,N 两

MN ? 2 3 ,则 k 的取值范围是

.

26

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? ?) 的右焦点 F ,其右准线与 x 轴的交点为 A,在椭圆上存在点 P 满足线 a 2 b2 段 AP 的垂直平分线过点 F ,则椭圆离心率的取值范围是 . 1 1 2 ? ? 10ac ? 25c 2 的最小值是 13.设 a ? b ? c ? 0 ,则 2a ? . ab a (a ? b) ?2 ? 2 14 ( 2013 镇 江 一 中 ) . 设 函 数 f ( x ) ? x ? 1 , 对 任 意 x ? ? ? 3 , ?? ? , ? ?x? . f ? ? ? 4m 2 f ( x) ? f ( x ? 1) ? 4 f (m) 恒成立,则实数 m 的取值范围是 ?m?
12.椭圆

二,解答题 15.已知 ?a n ? 是公差不为零的等差数列, a1 ? 1 ,且 a1 , a 3 , a 9 成等比数列.
(Ⅰ)求数列

?a n ?的通项;

(Ⅱ)求数列

?2 ?的前 n 项和 S
an

n

.

16.在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(-1,-2)、B(2,3)、C(-2,-1). (1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长; (2)设实数 t 满足(

AB ? t OC )· OC =0,求 t 的值.

17 本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分. 已知 a,b,c 分别为△ ABC 三个内角 (1)求 B 的取值范围;

A 、 B 、 C 所对的边长,a,b,c 成等比数列.

(2)若 x = B,关于 x 的不等式 cos2x?4sin( 围.

?
4

?

x ? x )sin( ? )+m>0 恒成立,求实数 m 的取值范 2 4 2

18.江苏某地区要建造一条防洪堤,其横断面为等腰梯形,腰与底边成角为 60 (如图) ,考虑到防洪堤 坚固性及石块用料等因素,设计其横断面要求面积为 9 不低于

?

3 平方米,且高度

3 米.记防洪堤横断面的腰长为 x (米) ,外周长(梯形的上底线 ......
y (米).

段 BC 与两腰长的和)为 . ...... ⑴求

y 关于 x 的函数关系式,并指出其定义域; ⑵要使防洪堤横断面的外周长不超过 10.5 米,则其腰长 x 应在什么范围

60?

内? ⑶当防洪堤的腰长 x 为多少米时,堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即断面的外周长最小)?求此时外 周长的值.

19. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小题满分 7 分. 已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点为 F1 (?c,0) 、 F2 (c,0) , c 2 是 a 2 与 b 2 的等差中项,其中 a 、 a2 b2
27

b 、 c 都是正数,过点 A(0,?b) 和 B(a,0) 的直线与原点的距离为
(1)求椭圆的方程; (2)点 P 是椭圆上一动点,定点

3 . 2

A1 (0,2) ,求△ F1 PA1 面积的最大值; (3)已知定点 E (?1,0) ,直线 y ? kx ? t 与椭圆交于 C 、 D 相异两点.证明:对任意的 t ? 0 ,都 存在实数 k ,使得以线段 CD 为直径的圆过 E 点.

20. (2013 人大附中) (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小题满分 6 分. 函数

y ? f (x) ,x ? D ,其中 D ? ?.若对任意 x ? D , f ( x ) ? f ( x)

, 则称

y ? f (x) 在 D

内为对等函数.

y ? x , y ? x 3 , y ? 2 x 在其定义域内哪些为对等函数; (2)试研究对数函数 y ? log a x ( a ? 0 且 a ? 1 )在其定义域内是否是对等函数?若是,请说明
(1)指出函数 理由;若不是,试给出其定义域的一个非空子集,使 (3)若

?0? ? D , y ?

y ? log a x 在所给集合内成为对等函数;

f (x) 在 D 内为对等函数,试研究 y ? f (x) ( x ? D )的奇偶性.

数 学 (理科加试题) (09 启东中学) (加试题每小题 10 分,共 40 分,考试时间 30 分钟) 1. (选修 4—2:矩阵与变换) 已知二阶矩阵 A 的属于特征值-1 的一个特征向量为 ? 矩阵 A. 2. (选修 4—4:坐标系与参数方程)[来源:Z|xx|k.Com] 在极坐标系中,从极点 O 作直 线与另一直线 l : ? cos ?

?1? ?1? ? ,属于特征值 3 的一个特征向量为 ?1? ,求 ?? ? ?3?

? 4 相交于点 M,在 OM

上取一点 P ,使

OM ? OP ? 12 . (1)求点 P 的轨迹方程;
(2)设 R 为 l 上任意一点,试求 RP 的最小值.[来源:Z§xx§k.Com] 3.为防止风沙危害,某地决定建设防护绿化带,种植杨树、沙柳等植物。某人一次种植了 n 株沙柳,各株 沙柳成活与否是相互独立的,成活率为 p,设 ? 为成活沙柳的株数,数学期望 E? ? 3 ,标准差 ?? 为

(1)求 n,p 的值并写出 ? 的分布列; (2)若有 3 株或 3 株以上的沙柳未成活,则需要补种,求需要补种沙柳的概率.

6 . 2

4.设 m, n ? N ,

f ( x) ? (1 ? x) m ? (1 ? x) n ,

28

(1)当 m (2)当 m (3)

? n ? 7 时, f ( x) ? a7 x 7 ? a6 x 6 ? ? ? a1 x ? a0 ,求 a0 ? a2 ? a4 ? a6 ;

? n 时, f ( x) 展开式中 x 2 的系数是 20,求 n 的值; f ( x) 展开式中 x 的系数是 19,当 m , n 变化时,求 x 2 系数的最小值.

参考答案
1.18 2.

?

3 4

3. . 0

4. ①④5.

? 3

6. .充分非必要条件 7.1

8.

3

9.15 米 10, 2] 11. (1,

【解析】考查直线与圆的位置关系、 点到直线距离公式,重点考察数形结合的运用. 解法 1:圆心的坐标为(3.,2) ,且圆与 y 轴相切. 当 | MN |?

? 3 ? 0 ? ? 4 ,? ? ?

3 2 3时 ,由点到直线距离公式,解得 [? , 0] ; 4

解法 2:数形结合,如图由垂径定理得夹在两直线之间即可, 不取 ?? ,排除 B,考虑区间不对称,排除 C,利用斜率估值. ?1 ? 12. ? ,1? ;解析:由题意,椭圆上存在点 P,使得线段 AP 的垂直平分线过点 F , ?2 ?

a2 b2 ?c ? 即 F 点到 P 点与 A 点的距离相等,而|FA|= c c
即 ac-c ≤b ≤ac+c
2 2 2

,

b2 |PF|∈[a-c,a+c],于是 c

∈[a-c,a+c],

?c ?1 ?ac ? c 2 ? a 2 ? c 2 ? a ? ? ?1 ? ∴? ?? 又 e∈(0,1),故 e∈ ? ,1? 2 2 2 ?2 ? ?a ? c ? ac ? c ? c ? ?1或 c ? 1 ? ?a a 2 ? 1 1 2 ? ? 10ac ? 25c 2 13.4 ;解析: 2a ? ab a (a ? b) 1 1 2 2 ? = ( a ? 5c ) ? a ? ab ? ab ? ab a (a ? b) 1 1 2 ? a ( a ? b) ? = ( a ? 5c ) ? ab ? ab a ( a ? b)
≥0+2+2=4 当且仅当 a-5c=0,ab=1,a(a-b)=1 时等号成立 如取 a=

2 ,b=

2 2

,c=

2 5

满足条件.

14.【解析】本题主要考查函数恒成立问题的基本解法,属于难题。

x2 3 ? 1 ? 4m 2 ( x 2 ? 1) ? ( x ? 1)2 ? 1 ? 4(m 2 ? 1) 在 x ? [ , ??) 上 恒 定 成 立 , 即 2 m 2 1 3 2 3 ? 4m 2 ? ? 2 ? ? 1 在 x ? [ , ??) 上恒成立。 2 m x x 2 3 3 2 5 1 5 当 x? 时 函 数 y ? ? 2 ? ?1 取 得 最 小 值 ? , 所 以 ? 4m 2 ? ? , 即 2 2 x x 3 m 3 3 3 (3m 2 ? 1)(4m 2 ? 3) ? 0 ,解得 m ? ? 或m ? 2 2
依据题意得 15 解: (Ⅰ)由题设知公差 d≠0,

29

由 a1=1,a1,a3,a9 成等比数列得 解得 d=1,d=0(舍去) , (Ⅱ)由(Ⅰ)知 2 Sm=2+2 +2 +?+2 =
2 3 n

1 ? 2d 1



1 ? 8d 1 ? 2d



故{an}的通项 an=1+(n-1)×1=n.

a

m

=2 ,由等比数列前 n 项和公式得
n+1

n

2(1 ? 2n ) =2 -2. 1? 2 ??? ? ???? 16.【解析】 (1)由题设知 AB ? (3,5), AC ? ( ?1,1) ,则 ??? ???? ? ??? ???? ? AB ? AC ? (2, 6), AB ? AC ? (4, 4). ??? ???? ? ??? ???? ? 所以 | AB ? AC |? 2 10,| AB ? AC |? 4 2.
故所求的两条对角线的长分别为 4

2 、 2 10 .?????????????8 分 ???? ??? ???? ? (2)由题设知 OC =(-2,-1), AB ? tOC ? (3 ? 2t ,5 ? t ) .
AB ? t OC )· OC =0,得: (3 ? 2t ,5 ? t ) ? (?2, ?1) ? 0 , 11 从而 5t ? ?11, 所以 t ? ? .?????????????14 分 5
由( 17)解: (1)∵a、b、c 成等比数列,∴b =ac ................................................ 1 分 则 cosB=
2 2 2

a 2 ? c 2 ? b 2 a 2 ? c 2 ? ac = ....................................................... 3 分 2ac 2ac

而 a +c ≥2ac ∴cosB=

0?B?

?
3

1 a 2 ? c 2 ? ac ac 1 ≥ ? ,等号当且仅当 a=c 时取得,即 ≤cosB <1,得到 2 2ac 2ac 2

. .......................................................................... 7 分

π x π x π x π x ? )sin( ? )=cos2x?4sin( ? )cos( ? ) 4 2 4 2 4 2 4 2 1 2 3 2 =2cosx ?2cosx?1=2(cosx? ) ? ......................................................... 11 分 2 2 1 ∵x=B ∴ ≤cosx<1 2 1 2 3 3 ∴2(cosx? ) ? ≥? 2 2 2 3 3 则由题意有:?m<? 即 m> ........................................................... 14 分 2 2
(2)cos2x?4sin( (说明:这样分离变量 m

? 2 cos x ? cos 2 x ? ?2 cos 2 x ? 2 cos x ? 1 参照评分)

1 ( AD ? BC )h ,其中 2 3 x x, AD ? BC ? 2 ? ? BC ? x , h ? 2 2 1 3 18 x ∴ 9 3 ? (2 BC ? x) x ,得 BC ? ? , 2 2 x 2
18【解析】⑴ 9

3?

? 3 x? 3 ?h ? ? 2 由? ,得 2 ? ? BC ? 18 ? x ? 0 ? x 2 ?

x ? 6,

30



y ? BC ? 2 x ? y?

18 3 x ? , (2 ? x ? 6) .?????????????8 分 x 2

18 3 x ? ? 10.5 得 3 ? x ? 4 ∵ [3, 4] ? [2, 6) , x 2 ∴腰长 x 的范围是 [3, 4] ?????????????11 分


18 3 x 18 3 x 18 3 x ? ?2 ? ? 6 3 ,当并且仅当 ? ,即 x ? 2 3 ? [2, 6) 时等号成立. x 2 x 2 x 2 ∴外周长的最小值为 6 3 米,此时腰长为 2 3 米。 ?????????????16 分 a2 ? b2 2 2 2 19.解: (1)在椭圆中,由已知得 c ? a ? b ? ................................. 1 分 2 x y 过点 A(0,?b) 和 B (a,0) 的直线方程为 ? ? 1 ,即 bx ? ay ? ab ? 0 ,该直线与原点的距离为 a ?b ab 3 3 ? ,由点到直线的距离公式得: ........................................ 3 分 2 2 2 2 a ?b


y?

x2 y2 ? ? 1 ...................................... 4 分 3 1 (2) F1 ( ? 2 ,0) ,直线 F1 A1 的方程为 y ? 2 x ? 2 , F1 A1 ? 6 ,当椭圆上的点 P 到直线 F1 A1
解得: a
2

? 3, b 2 ? 1 ;所以椭圆方程为

距离最大时,△ F1 PA1 面积取得最大值 ..................................................... 6 分 设与直线

F1 A1 平 行 的 直 线 方 程 为 y ? 2 x ? d

,将其代入椭圆方程

x2 y2 ? ?1 得 : 3 1

7 2 28 28 x ? 2d 2 x ? d 2 ? 1 ? 0 , ? ? 0 ,即 8d 2 ? d 2 ? ? 0 ,解得 d 2 ? 7 ,当 d ? ? 7 3 3 3 2? 7 时 , 椭 圆 上 的 点 P 到 直 线 F1 A1 距 离 最 大 为 , 此 时 △ F1 PA1 面 积 为 3

1 2 ? 7 2 2 ? 14 ........................................................... 9 分 6 ? 2 2 3 2 2 2 (3)将 y ? kx ? t 代入椭圆方程,得 (1 ? 3k ) x ? 6ktx ? 3t ? 3 ? 0 ,由直线与椭圆有两个交点,

t 2 ?1 ............................ 11 分 3 3(t 2 ? 1) 6kt 设 C ( x1 , y1 ) 、 D ( x 2 , y 2 ) ,则 x1 ? x 2 ? ? , x1 ? x 2 ? ,因为以 CD 为直径的圆 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 过 E 点,所以 EC ? ED ? 0 ,即 ( x1 ? 1)( x 2 ? 1) ? y1 y 2 ? 0 , ........................... 13 分 2 2 而 y1 y 2 ? ( kx1 ? t )(kx 2 ? t ) = k x1 x 2 ? tk ( x1 ? x 2 ) ? t ,所以
所以 ?

? (6kt ) 2 ? 12(1 ? 3k 2 )(t 2 ? 1) ? 0 ,解得 k 2 ?

3(t 2 ? 1) 6kt 2t 2 ? 1 ? (tk ? 1) ? t 2 ? 1 ? 0 ,解得 k ? ..................... 14 分 3t 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 t 2 ?1 2 如果 k ? 对任意的 t ? 0 都成立,则存在 k ,使得以线段 CD 为直径的圆过 E 点. 3 2t 2 ? 1 2 t 2 ? 1 (t 2 ? 1) 2 ? t 2 t 2 ?1 2 ( ) ? ? ? 0 ,即 k ? .所以,对任意的 t ? 0 ,都存在 k ,使 3t 3 3 9t 2 得以线段 CD 为直径的圆过 E 点. ........................................................ 16 分 (k 2 ? 1)
31

20 解: (1)

y ? x , y ? x 3 是对等函数; ...................................................

(2)研究对数函数 以当且仅当 log a 当0

y ? log a x ,其定义域为 (0,??) ,所以 log a x ? log a x ,又 log a x ? 0 ,所

x ? 0 时 f ( x ) ? f ( x) 成立.所以对数函数 y ? log a x 在其定义域 (0,??) 内不是

对等函数. .................................................................................

? a ? 1 时,若 x ? (0,1] ,则 log a x ? 0 ,此时 y ? log a x 是对等函数; 当 a ? 1 时,若 x ? [1,??) ,则 log a x ? 0 ,此时 y ? log a x 是对等函数; 总之,当 0 ? a ? 1 时,在 (0,1] 及其任意非空子集内 y ? log a x 是对等函数;当 a ? 1 时,在 [1,??) 及其任意非空子集内 y ? log a x 是对等函数. ................................................. (3)对任意 x ? D ,讨论 f (x ) 与 f ( ? x ) 的关系.
1)若 D 不关于原点对称,如 2)若 D

? ?0?,则 f (0) ? f (0) ? 0 .当 f (0) ? 0 时, f (x) 既是奇函数又是偶函数;当 f (0) ? 0 时, f (x ) 是偶函数. ....................................................................... 3)以下均在 D 关于原点对称的假设下讨论. 当 x ? 0 时, f ( x ) ? f ( x ) ? f ( x ) ? 0 ;

y ? x 虽是对等函数,但不是奇函数或偶函数;

.....................

? 0 时, f ( x ) ? f (? x) ? f ( x) ,若 f ( x) ? f ( x) ,则有 f (? x) ? f ( x) ;此时,当 x ? 0 时,? x ? 0 , ? x ? t , x ? ?t , t ? 0 , 令 则 且 由前面讨论知, f ( ?t ) ? f (t ) , 从而 f ( x ) ? f ( ? x ) ; 综上讨论,当 x ? 0 时,若 f ( x ) ? 0 ,则 f (x ) 是偶函数. 若当 x ? 0 时, f ( x ) ? 0 ,则 f ( x ) ? f ( ? x ) ? f ( x ) ? ? f ( x ) ;此时,当 x ? 0 时, ? x ? 0 , 令 ? x ? t ,则 x ? ?t ,且 t ? 0 ,由前面讨论知, f ( ?t ) ? ? f (t ) ,从而 f ( x ) ? ? f ( ? x ) ; 若 f (0) ? 0 ,则对任意 x ? D ,都有 f ( ? x ) ? ? f ( x ) . 综上讨论,若当 x ? 0 时, f ( x ) ? 0 ,且 f (0) ? 0 ,则 f (x ) 是奇函数.若 f (0) ? 0 ,则 f (x ) 不
当x 是奇函数也不是偶函数. 数 学 加 试 题 答 案 1.解:设 A= ?

?a b ? ? a b ? ? 1 ? ? ?1? ? a b ? ?1? ?1? ? ,由题知 ? c d ? ? ?3? = ? 3 ? , ? c d ? ?1? =3 ?1? ?c d ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
--------------------------6 分

------4 分

?a ? 3b ? ?1 ? 即 ? c ? 3d ? 3 , ? ? a?b?3 ? c?d ?3 ?
?a ? 2 ? 解之得: ? b ? 1 ? ?c ? 3 ?d ? 0 ?
∴A= ?

-----------------------------8 分

?2 1? ? -------------------------------------------------------10 分 ?3 0?

2.解: (1)设 P (2) RP min 3.解:(1)由

? ? ,? ? , OM ?

?1

4 cos ?

,?

? 3cos ?

---------------------------5 分

----------------------------------------------------10 分

3 1 E? ? np ? 3,V (? ) ? np (1 ? p ) ? , 得 1 ? p ? ,------------3 分 2 2

32

从而 n

? 6, p ?
0[ 来 源 m]

1 , ? 的分布列为 2
1[ 来 源:Z+x x+k.Co m] 2 3 4 5 6 -------5 分 (2)记”需要补 种沙柳”为事件 A, 则 得

?
P [ 来 源 : 学 科 网]


1 64

6 64

15 64

20 64

15 64

6 64

1 64

P( A) ? P(? ? 3),

21 P( A) ? . --10 32

4.解: (1)赋值法:分别令 x (2) T3

? 1 , x ? ?1 ,得 a0 ? a2 ? a4 ? a6 ? 128

-----2 分

2 ? 2Cn x 2 ? 20 x 2 ,? n ? 5 -------------------------------------------------6 分 1 1 2 2 2 (3) m ? n ? 19 , x 的系数为: Cm ? Cn ? m( m ? 1) ? n( n ? 1) 2 2 1 19 323 ? [(m ? n) 2 ? 2mn ? (m ? n)] ? 171 ? mn ? 171 ? (19 ? n)n ? (n ? ) 2 ? 2 2 4 2 所以,当 n ? 10 或 n ? 9 时, f ( x ) 展开式中 x 的系数最小,为 81.----10 分

模拟卷(29)试题来源:名校试题重组
一,填空题
1.复数 z =i (1+i)的虚部为___ __ __.
2

3 , 0),sin ? ? ? , ,则 cos(? ? ? ) =__________. 2 5 4 3.若曲线 f ( x ) ? x ? x 在点 P 处的切线平行于直线 3x-y=0,则点 P 的坐标为 4. (09 启东中学)如图所示,墙上挂有一边长为 a 的正方形木板,它的四个角的空
2.已知 ?

? (?

?



白部分 都是以正方形的顶点为圆心,半径为

a 的圆弧,某人向此板投镖,假设 2

每次都能击中木板,且击中木板上每个点的可能性都一样,则他击中 阴 影部分的概率是__ ___. 5.如果存在正整数 ? 和实数 ? 使得函数 ________________ 7.对于四面体 ABCD ,有如下命题 ) ? 为常数)的 图象如 图所示( 图象经过点 ( 1,0 ) ,那么 ? 的值为

f ( x) ? cos 2 (?x ? ? ) ( ? ,

AB 与 CD 所在的直线异面; ②过点 A 作四面体 ABCD 的高,其垂足是 ?BCD 的三条高线的交
①棱 点; ③若分别作 ?ABC 和 ?ABD 的边 AB 上的高,则这两条高所在直 线异面; ④分别作三组相对棱的中点连线,所得的三条线段相交于一点, 其中正确的是_________________ 8 已 知 数 列

y A

{an }

的 通 项公式 为

an ? n ? 13

, 那 么 满 足

ak ? ak ?1 ? ? ? ak ?19 ? 102 的整数 k 有________________个 9.如图,双曲线的中心在坐标原点 O , A, C 分别是双曲线虚轴的上、

F D

B

O 33

x

C

下顶点, B 是双曲线的左顶点, F 为双曲线的左焦点,直线

为 2,则 ? D 的余弦值是_______________ BF _______________ 10.函数 y ? sin( ?x ? ? ) (? ? 0) 的部分图象如图所示,设 P 是图象的最高点, A, B 是图象与 x 轴 的交点,则 tan ?APB 11.已知函数
2013 n ?1

AB

与 F C 相交于点 D .若双曲线的离心率

? _________________

f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0, ? ?

?
2

) 的部分图象如图,则

y

? f ( 6 ) ? ___________________
A O B

n?

P x

12.如图所示,正方体 ABCD ? A?B ?C ?D ? 的棱长为 1, E , F 分别是棱 AA? , CC ? 的中点,过直线 E , F 的平面分别与棱 BB? 、 DD? 交于 M , N ,设 BM ? x , x ? [0,1] ,给出以下四个命题: ①平面 MENF ? 平面 BDD ?B ? ; 1 ②当且仅当 x= 时,四边形 MENF 的面积最小; 2 A' ③四边形 MENF 周长 L ? f ( x ) , x ? [0,1] 是单调函数; ④四棱锥 C ? ? MENF 的体积 V ? h ( x ) 为常函数; 以上命题中假命题的序号为___________________ ... 13. (人大附中)对于定义域和值域均为[0,1]的函数 f(x),定义 , ,?, ,
E

D' N B'

C'

F

D

M

C

f n ( x) ? f ( f n ?1 ( x)) A B n=1, 3, 满足 2, ?. 的点 x∈[0, 1]称为 f 的 n 阶周期点. 设 f n ( x) ? x 则 f 的 n 阶周期点的个数是___________________ 1 ? 0? x? , ? 2 x, ? 2 f ( x) ? ? ?2 ? 2 x, 1 ? x ? 1, ? ? 2 14.(2013 人大附中高三模拟)已知 A、B 为函数 y ? f ( x ) ,x∈[a,b]图象的两个端点,M(x,y)是 f ( x ) ???? ??? ? ??? ? 图象上任意一点,其中 x ? ? a ? (1 ? ? )b, ? ? [0,1] 。又已知向量 ON ? ? OA ? (1 ? ? )OB ,若不 ???? ? 1 等式 | MN |? k 恒成立,则称函数 f ( x )在[ a, b] 上“k 阶线性近似” .若函数 f ? x ? ? x ? 在[1,2] x
上“k 阶线性近似” ,则实数 k 的取值范围为___________________。

f1 ( x) ? f ( x)

f 2 ( x) ? f ( f1 ( x))

二,解答题
15.(2013 镇江一中专题训练) 在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且满足(2a-c)cosB=bcosC. (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)设 m

??

? ?? ? ? ? sin A,cos 2 A ? ,n ? ? 4k ,1?? k ? 1? ,且m ? n 的最大值是 5,求 k 的值.
2

16. (09 启东中学) (本题满分 14 分,第 1 问 4 分,第 2 问 5 分,第 3 问 5 分) 如下的三个图中,分别是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图以及它的主视图和左视图(单位: cm) (1)按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图; (2)按照给出的尺寸,求该多面体的体积;
0 0 7 0

(3)在所给直观图中连结 BC ? ,证明: BC ? ∥面 EFG .

3

1

6

34

G

D?
F

C?
B?

2

6

2 4 4 2

17. (本题满分 15 分,第 1 问 7 分,第 2 问 8 分) 已知函数 f ( x ) ?

2 a ?1 a

?

1 a x
2

,常数 a

?0 .

(1)设 m ? n ? 0 ,证明:函数 f ( x ) 在 [ m ,] 上单调递增; n (2)设 0 ? m ? n 且 f ( x ) 的定义域和值域都是 [ m , ] ,求常数 a 的取值范围. n

18.(本题满分 15 分,第 1 问 5 分,第 2 问 5 分,第 3 问 5 分)

? y 2 ? 1 与 x 轴交于 A, B 两点. 1 (1)过 M 点的直线 l1 交圆于 P、Q 两点,且圆孤 PQ 恰为圆周的 ,求直线 l1 的方程; 4
已知直线 l 的方程为 x ? ?2 ,且直线 l 与 x 轴交于点 M,圆 O : x
2

(2)求以 l 为准线,中心在原点,且与圆 O 恰有两个公共点的椭圆方程; (3) M 点作直线 l2 与圆相切于点 N,设 过 (2) 中椭圆的两个焦点分别为 F1,F2,求三角形 ?NF1 F2 面积.

l P M A

y

Q

l1

O

B

x

19(2012 启东中学高三期中) .(本小题满分 16 分)

b b 若函数 f ( x) 为定义域 D 上单调函数,且存在区间 a, ? D (其中 a ? b ) ,使得当 x ? a, 时,
b b f ( x) 的取值范围恰为 ? a, ? ,则称函数 f ( x) 是 D 上的正函数,区间 ? a, ? 叫做等域区间.
(1)已知 f ( x) ? x 2 是 [0,? ?) 上的正函数,求 f ( x) 的等域区间;
1

?

?

?

?

0 (2)试探究是否存在实数 m ,使得函数 g ( x) ? x ? m 是 ? ??, ? 上的正函数?若存在,请求出
2

实数 m 的取值范围;若不存在,请说明理由.

35

20. (2012 启东中学高三期中)(本小题满分 146 分)

(1)若 k ? 0 ,求证:数列{an}是等比数列; (2)试确定所有的自然数 k,使得数列{an}能成等差数列.

数学附加题 II 卷
21. 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做两小题,每小题 10 分,共计 20 分,解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤. A. (几何证明选讲) 如图,从圆 O 外一点 P 作圆 O 的两条切线,切点分别为 A, B , AB 与 OP 交于点 M ,设 CD 为过点 M 且不过圆心 O 的一条弦,求证: O、 、P、D 四点共圆. C

B. (矩阵与变换) 设矩阵 A ? ?

?m 0? ?1 ? ? ,若矩阵 A 的属于特征值 1 的一个特征向量为 ?0 ? ,属于特征值 2 的一个特征向 ? 0 n? ? ?

量为 ? ? ,求实数 m, n 的值.

?0 ? ?1 ?

C. (极坐标与参数方程)

在极坐标系中,已知点 O ? 0, 0 ? , P 3 2 , ? ,求以 OP 为直径的圆的极坐标方程.

?

4

?

D. (不等式选讲) 设正实数 a , b 满足 a ? ab
2 ?1

? b ?2 ? 3 ,求证: a ? b ?1 ≤ 2 .

【必做题】第 22、23 题,每小题 10 分,共计 20 分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.如图,正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,设 AD ? 1 , D1 D ? ? (? ? 0) ,若棱 C1C 上存在点 P 满足

A1 P ? 平面 PBD ,求实数 ? 的取值范围.

36

23.设 n 是给定的正整数,有序数组 (a1, 2, ? ? , 2 n ) 同时满足下列条件: a ? a

, ① ai ? ?1 ? 1? , i ? 1 2 ? ? ? , n ; ②对任意的 1≤k≤l≤n ,都有 ,, 2

i ? 2 k ?1

?

2l

ai ≤2 .

(1)记 An 为满足“对任意的 1≤k≤n ,都有 a2 k ?1 ? a2 k ? 0 ”的有序数组 (a1, 2, ? ? , 2 n ) 的个数, a ? a 求 An ; (2)记 Bn 为满足“存在 1≤k≤n ,使得 a2 k ?1 ? a2 k ? 0 ”的有序数组 (a1, 2, ? ? , 2 n ) 的个数,求 Bn . a ? a

参考答案
;1. -1 2.

4 ? 5

3. (1,0) 4.

1?

?
4

5,2 7. ①④8.2 个 9.

7 14

10.8 11.1 12. ③13 2 .14,

n

3 [ ? 2, ??) 2

15.(I)∵(2a-c)cosB=bcosC, ∴(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC.?????????2 分 即 2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB =sin(B+C) ∵A+B+C=π ,∴2sinAcosB=sinA.????????????????4 分 ∵0<A<π ,∴sinA≠0.

37

∴cosB=

1 .?????????????5 分 2

∵0<B<π ,∴B=

(II) m ? n =4ksinA+cos2A.??????????7 分 =-2sin A+4ksinA+1,A∈(0, 设 sinA=t,则 t∈ (0,1] . 则 m ? n =-2t +4kt+1=-2(t-k) +1+2k ,t∈ (0,1] .???12 分
2 2 2 2

?? ?

? .???????????6 分 3
22 )?????10 分 3

?? ?

?? ? ∵k>1,∴t=1 时, m ? n 取最大值.。。14 分 。
16. 解: )如图 (1

6 4 2 (正视图)
(2)所求多面体体积

(侧视图)

2 (俯视图)
------------4 分

284 1 ?1 ? (cm 2 ) .--------9 分 V ? V长方体 ? V正三棱锥 ? 4 ? 4 ? 6 ? ? ? ? 2 ? 2 ? ? 2 ? 3 3 ?2 ?
(3)证明:在长方体

ABCD ? A?B?C ?D? 中,[来源:学.科.网 Z.X.X.K] G F 连结 AD? ,则 AD? ∥ BC ? .[来源:学。科。网] 因为 E,G 分别为 AA? , A?D? 中点,所以 AD? ∥ EG --11 分 从而 EG ∥ BC ? .又 BC ? ? 平面 EFG ,所以 BC ? ∥面 EFG . --------------14 分

17.解:(1)任取 x1 , x2

? [m, n] ,且 x1 ? x2 ,--------------------------2 分


f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?
因为 故

1 a
2

?

x1 ? x2 x1 x2

x1 ? x2 , x1 , x2 ? [m, n] ,所以 x1 x2 ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,----5 分

f (x) 在 [m , n ] 上单调递增.或求导方法.--------------------------7 分
2 a ?1 ? 1 a a2 x

(2)因为 f (x) 在 [m , n ] 上单调递增, f (x) 的定义域、值域都是 [m , n ] ? f ( m) ? m, f ( n) ? n ,---------------------10 分 即 m, n 是方程

? x 的两个不等的正根
2a ? a
2

? a 2 x 2 ? (2a 2 ? a ) x ? 1 ? 0 有两个不等的正根.-------------------------13 分
所以 ?

? ( 2a 2 ? a ) 2 ? 4a 2 ? 0 ,

a
18.解: (1)? PQ 为圆周的

2

?0? a ?

1 2

---------------------15 分

1 ? 2 ,??POQ ? . ? O 点到直线 l1 的距离为 . -------2 分 4 2 2 | 2k | 2 1 设 l1 的方程为 y ? k ( x ? 2),? ? ,? k 2 ? . 2 2 7 k ?1 的 方 程 ? l1



38

7 ( x ? 2). ----------------------------------------------------------------5 分 7 x2 y 2 a2 (2)设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) ,半焦距为 c, 则 ? 2. a b c ? 椭圆与圆 O 恰有两个不同的公共点,则 a ? 1 或 b ? 1. ------------------------------6 分 4 y2 1 2 3 2 2 2 当 a ? 1 时, c ? , b ? a ? c ? ,? 所求椭圆方程为 x ? ? 1 ;-------------8 分 3 2 4 2 2 2 2 2 当 b ? 1 时, b ? c ? 2c,? c ? 1,? a ? b ? c ? 2. x2 所求椭圆方程为 ? y 2 ? 1. -------------------------------------------------------------10 2 y??
分 (3)设切点为 N,则由题意得,在 Rt ?MON 中, MO ? 2, ON N 点的坐标为 (? 若椭圆为

? 1 ,则 ?NMO ? 30? ,

1 3 , ) ,------------------2 2

11 分

x2 ? y 2 ? 1. 其焦点 F1,F2 2
1 2

P M A O B

1 3 3 ,---------------------- -------------13 分 ? 2? ? 2 2 2 1 1 4 y2 2 ? 1 ,其焦点为 F1 (? ,0), F2 ( ,0) , 若椭圆为 x ? 3 2 2 1 3 3 此时 S ?NF F ? ? 1 ? -------------------------------------------15 分 ? 1 2 2 2 4
分别为点 A, B 故 S ?NF F

?

19

? a ? a, ? ???????????????????3 分 ? ? b ? b, ? b 解得 a ? 0, ? 1 ,

0 (2)因为函数 g ( x) ? x ? m 是 ? ??, ? 上的减函数,
2

b 所以当 x ? a, 时, ?

?

?

? g ? a ? ? b, ? 即[来源:学|科|网] ? g ? b ? ? a, ?

?a 2 ? m ? b, ? ???????????????????7 分 ? 2 ?b ? m ? a, ?
两式相减得 a ? b ? b ? a ,即
2 2 2 2

b ? ? ? a ? 1? , ????????????????????9 分

代入 a ? m ? b 得 a ? a ? m ? 1 ? 0 ,

39

由 a ? b ? 0 ,且 b ? ? ? a ? 1? 得

?1 ? a ? ? 1 , ????????????????????11 分 2

则?

?h ? ?1? ? 0, ? 解得 m ? ?1,? 3 . ????????????? ??????????16 分 4 h ? 1 ? 0, ? 2 ?

? ?

?

?

[来源:Z|xx|k.Com] 20. 【 证】 (1)若 k ? 0 ,则 f k (n) 即 f 0 (n) 为常数,不妨设 f 0 (n) ? c (c 为常数) . 因为 an ? S n ? f k (n) 恒成立,所以 a1 ? S1 ? c ,即 c ? 2a1 ? 2 . 而且当 n≥2 时, an ? S n ? 2 , ①

an ?1 ? Sn ?1 ? 2 , ②

故数列{an}是首项为 1,公比为

1 的等比数列. ??????????????4 分 2

【解】 (2)(i) 若 k=0,由(1)知,不符题意,舍去. (ii) 若 k=1,设 f1 (n) ? bn ? c (b, c 为常数) , 当 n≥2 时, an ? S n ? bn ? c , ③ ④

an ?1 ? Sn ?1 ? b(n ? 1) ? c ,

③-④得 2an ? an ?1 ? b(n ? N,n≥2) .??????????????????7 分 要使数列{an}是公差为 d(d 为常数)的等差数列,必须有 an ? b ? d (常数) , 而 a1=1,故{an}只能是常数数列,通项公式为 an =1 n ? N

?

*

故当 k=1 时,数列{an}能成等差数列,其通项公式为 an =1 n ? N
2

?

?,

*

? ,此时 f (n) ? n ? 1 .?9 分
1

(iii) 若 k=2,设 f 2 (n) ? an ? bn ? c ( a ? 0 ,a,b,c 是常数) , 当 n≥2 时, an ? S n ? an ? bn ? c ,
2 2



an ?1 ? Sn ?1 ? a (n ? 1) ? b(n ? 1) ? c , ⑥ ⑤-⑥得 2an ? an ?1 ? 2an ? b ? a (n ? N, ≥2) , ??????????????????12 分 n

考虑到 a1=1,所以 an ? 1 ? (n ? 1) ? 2a ? 2an ? 2a ? 1 n ? N

?

*

?.

故当 k=2 时,数列{an}能成等差数列,其通项公式为 an ? 2an ? 2a ? 1 n ? N
2

?

*

?,

此时 f 2 (n) ? an ? (a ? 1)n ? 1 ? 2a (a 为非零常数) .???????????1 4 分

参考答案及评分细则

40

21. 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做两小题,每小题 10 分,共计 20 分,解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤. A. (几何证明选讲) 如图,从圆 O 外一点 P 作圆 O 的两条切线,切点分别为 A, B ,

AB 与 OP 交于点 M ,设 CD 为过点 M 且不过圆心 O 的一条弦, 求证: O、 、P、D 四点共圆. C 【证明】 因为 PA ,PB 为圆 O 的两条切线, 所以 OP 垂直平分弦 AB , 2 在 Rt?OAP 中,OM ? MP ? AM , ??????????
4 分[来源:学_科_网] 在圆 O 中, AM ? BM ? CM ? DM , 所 以 , ??????????8 分 O M? M P C M , M ? ? D 又弦 CD 不过圆心 O ,所以 O, C , P, D 四点共圆.?????????10 分 B. (矩阵与变换)

??m ?? ?? 0 【解】由题意得 ? ??m ?? 0 ??

0 ? ?1 ? ?1 ? ? ? ? ? 1? ? , n ? ?0? ?0? 0 ? ?0? ?0? ? ?1 ? ? 2 ?1 ? , n? ? ? ? ?

??????????6 分

C. (极坐标与参数方程)

在极坐标系中,已知点 O ? 0, 0 ? , P 3 2 , ? ,求以 OP 为直径的圆的极坐标方程.

?

4

?

D. (不等式选讲) 设正实数 a , b 满足 a ? ab
2 ?1

? b ?2 ? 3 ,求证: a ? b ?1 ≤ 2 .
2

【证明】由 a ? ab
2

?1

? b ?2 ? 3 得 ab ?1 ? ? a ? b ?1 ? ? 3 , ??????????3 分
?1 ?1

又正实数 a , b 满足 a ? b ≥2 ab



D1
A1 B1

C1

【必做题】第 22、23 题,每小题 10 分,共计 20 分,解答时应写出文字说明、证

P D A

41 C

B (第 22 题图)

明过程或演算步骤. 22.如图,正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,设 AD ? 1 , D1 D ? ? (? ? 0) , 若棱 C1C 上存在点 P 满足 A1 P ? 平面 PBD ,求实数 ? 的取值范围.

z
D1

【解】如图,以点 D 为原点 O , DA, DC , DD1 分别为 x, y, z 轴建立

C1

A1

B1

设 P ? 0, 1, x ? ,其中 x ? 0, ? ,??????????3 分 因为 A1 P ? 平面 PBD , 所以 A1 P ? BP ? 0 ,
2

空间直角坐标系 O ? xyz ,则 D ? 0, 0, 0 ? , B ?1, 1, 0 ? , A1 ?1, 0, ? ? ,

?

?

???? ??? ?

P D A
C

即 ? ?1, 1, x ? ? ? ? ? ?1, 0, x ? ? 0 ,

??????????6 分

故判别式 ? ? ? ? 4 ≥0 ,且 ? ? 0 , B 解得 ?≥ 2. ??????????10 分 x (第 22 题图) 23.设 n 是给定的正整数,有序数组 (a1, 2, ? ? , 2 n ) 同时满足下列条件: a ? a
2

y

化简得 x ? ? x ? 1 ? 0 , x ? 0, ? ,??????????8 分

?

?

(2)记 Bn 为满足“存在 1≤k≤n ,使得 a2 k ?1 ? a2 k ? 0 ”的有序数组 (a1, 2, ? ? , 2 n ) 的 个数,求 Bn . a ? a 【解】 (1)因为对任意的 1≤k≤n ,都有 a2 k ?1 ? a2 k ? 0 , 所以, An ? 2 ? 2 ? ? ? ?? 2 ? 2 ; ?????
n n个 2 相乘

??????????4 分

(2)因为存在 1≤k≤n ,使得 a2 k ?1 ? a2 k ? 0 ,

不妨设 a2 k j ?1 ? a2 k j ? 2(1≤j≤m) ,则 a2 k j ?1 ?1 ? a2 k j ?1 ? ?2 (否则 同理,若 a2 k j ?1 ? a2 k j ? ?2(1≤j≤m) ,则 a2 k j ?1 ?1 ? a2 k j ?1 ? 2 ,

2 k j ?1 i ? 2 k j ?1

?

; ai =4 ? 2 )

这说明 a2 k j ?1 ? a2 k j 的值由 a2 k1 ?1 ? a2 k1 的值(2 或 ? 2)确定,??????????6 分 又其余的 (n ? m) 对相邻的数每对的和均为 0, 所以, Bn ? 2Cn ? 2
1 n ?1 2 n ? 2Cn ? 2n ? 2 ? ? ? ? ? 2Cn

??????????8 分

n ? 2(2n + C1 ? 2n ?1 ? C2 ? 2n ? 2 ? ? ? ? ? C n ) ? 2 ? 2n n n

42

模拟卷(30)试题来源;名校 试题重组
一,填空题
? ? 1 ? ( , ?) , tan(? ? ) ? ,那么 sin ? ? cos ? 的值为 2 4 7 2 ? 3i 2.是虚数单位,复数 z ? 的虚部是 ; ?3 ? 2i 3..如图,若框图所给的程序运行的输出结果为 S ? 132 , 那么判断框 中应填入的关于 k 的判断条件是 . 4..已知全集 U ={1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 10}, 集合 A ? ?a1 , a2 , a3 ? ,
1.已知 ? 则满足 a 3



? a 2 ? 1 ? a1 ? 4 的集合 A 的个数是

.(用数字作答) 则| ? 0 , c |的最大值是 .

5.已知向量 a = 1, , = 0, , ( 0) b ( 1)向量 c 满足 c ? a ) ? (c ? b) ( 6. 已知函数

x ? 若对任意的 x ? R , 都有 f ( x1 ) ? f ( x ) ? f ( x2 ) , | x1 ? x2 | 则 f ( x) ? 2 sin( ? ) , 2 3

的最小值为 . 7. 如图, 在棱长为 5 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, 是棱 AB 上的一条线段, EF=2, EF 且 Q 是 A1D1 的中点,点 P 是棱 C1D1 上的动点,则四面体 PQEF 的体积为_________;

f ( x) ? x 2 ? bx ? a 的部分图象,则函数 1 g ( x) ? ln x ? f ?( x) 的零点所在的区间是( k ? , k ) ,则整数 2 k ? ____________; 9.设 a1 , a2 ,? , a50 是从-1,0,1 这三个整数中取值的数列,
8.如图,是二次函数 若 a1

? a2 ? ? ? a50 ? 9, 且(a1 ? 1) 2 ? ( a 2 ? 1) 2 ? ? ? ( a50 ? 1) 2 ? 107 ,
. 的

则 a1 , a2 ,? , a50 中数字 0 的个数为 10.对于函数

f (x) ,在使 f (x) ≥M 恒成立的所有常数 M 中,我们把 M 中的最大值称为函数 f (x) x2 ?1 “下确界” ,则函数 f ( x ) ? 的下确界为 . ( x ? 1) 2
11.三位同学合作学习,对问题“已知不等式 xy 取值范围”提出了各自的解题思路. 甲说: “可视 x 为变量, y 为常量来分析”. 乙说: “不等式两边同除以 x ,再作分析”.[来源:学§科§网 Z§X§X§K] 丙说: “把字母 a 单独放在一边,再作分析”. 参考上述思路,或自已的其它解法,可求出实数 a 的取值范围是 . 12.设 a 是实数.若函数
2

? ax 2 ? 2 y 2 对于 x ? ?1, 2? , y ? ? 2,3? 恒成立,求 a 的

f ( x) ?| x ? a | ? | x ? 1| 是定义在 R 上的奇函数,但不是偶函数,则函数 f ( x)
43

的递增区间为



x2 y2 13.(2012 南京外国语学校高三冲刺)已知椭圆 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 的左焦点 F1 ,O 为坐标原点, a b ???? ???? ?
点 P 在椭圆上,点 Q 在椭圆的右准线上,若 PQ ? 2 F1O, 的离心率为 .

??? ?

???? ?

???? ? F1 P F1O ? F1Q ? ? ( ???? ? ???? )(? ? 0) 则椭圆 | F1 P | | F1O |

14 ( 2012 南 京 外 国 语 学 校 高 三 冲 刺 ) 函 数 .

f ( x) 满 足 ln x ?


1 ? f ( x) , 且 x1 , x2 均 大 于 e , 1 ? f ( x)

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1 , 则 f ( x1 x2 ) 的最小值为

二、解答题:
15. (2013 南京外国语学校高三)(本小题满分 14 分) 已知 a =(1+cos ? ,sin ? ), b =( 1-cos

? ? ? ? ,sin? ), c ? (1, 0) , ? ? (0, ? ), ? ? (? , 2? ) ,向量 a 与 c ? ? ? 夹角为 ?1 ,向量 b 与 c 夹角为 ? 2 ,且 ?1 - ? 2 = ,若 ?ABC 中角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 6 角 A= ? ? ? .
求(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 ?ABC 的外接圆半径为 4

?

?

3 ,试求 b+c 取值范围.

16. (本题满分 14 分) 如图,在三棱锥 S—ABC 中,SC ? 平面 ABC,M、N 分别是 SB 和 SC 的中点,设 MN=AC=1, ?ACB (I)求证:平面 AMN ? 平面 SAC; (II)求二面角 M—AB—C 的平面角的余弦值; (III)求 AN 和 CM 所成角的余弦值。 直线 AM 与直线 SC 所成的角为 60?.

? 90? ,

17.(南京外国语学校高三)如图,海岸线 MAN , ?A

? 2?

,现用长为的栏网围成一养殖场,其中

B ? MA, C ? NA .

? l ,求养殖场面积最大值; (2)若 B 、 C 为定点, BC ? l ,在折线 MBCN 内选点 D ,使 BD ? DC ? l ,求四边形养殖场 DBAC 的最大面积; (3)若(2)中 B 、 C 可选择,求四边形养殖场 ACDB 面积的最大值.
(1)若 BC [来源:www.shulihua.net]

44

18.(南京外国语学校)(本题满分 16 分)

x2 y 2 2 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , 称圆心在坐标原点 O , 半径为 a ? b 的圆是椭圆 C 的 “伴 a 2 b2 随圆” 若椭圆 C 的一个焦点为 F2 ( 2, 0) ,其短轴上的一个端点到 F2 距离为 3 . .
给定椭 圆 C : (Ⅰ)求椭圆 C 及其“伴随圆”的方程;[来源:www.shulihua.net] (Ⅱ)若过点 P (0, m)(m ? 0) 的直线与椭圆 C 只有一个公共点,且截椭圆 C 的“伴随圆”所得的弦 长为 2 2 ,求 m 的值; (Ⅲ)过椭圆 C“伴椭圆”上一动点 Q 作直线 l1 , l2 ,使得 l1 , l2 与椭圆 C 都只有一个公共点,试判断直 线 l1 , l2 的斜率之积是否为定值,并说明理由.

19. 设 首 项 为

a1 的 正 项 数 列 ?an ? 的 前 n

项和为

Sn , q

为非零常数,已知对任意正整数

n, m , S n ? m ? S m ? q m S n 总成立.
(Ⅰ)求证:数列

?an ? 是等比数列;

(Ⅱ)若不等的正整数 m, k , h 成等差数列,试比较 am (Ⅲ)若不等的正整数 m, k , h 成等比数列,试比较 a

m

h 2k ? ah 与 ak 的大小;

1 m m

?a

1 h h

与 a 的大小.

2 k k

20.

已知函数

f ? x ? ? ax 2 ? bx ? c ? a ? 0 ? 满足 f ? 0 ? ? 0 ,对于任意 x ? R

都有

f ? x ? ? x ,且

? 1 ? ? 1 ? f ? ? ? x ? ? f ? ? ? x ? ,令 g ? x ? ? f ? x ? ? ? x ? 1 ? ? ? 0 ? . ? 2 ? ? 2 ? (1) 求函数 f ? x ? 的表达式;

? x ? 的单调区间; (3)研究函数 g ? x ? 在区间 ? 0,1? 上的零点个数。
(2) 求函数 g

附 加题 II 卷 21. 【选做题】 A、 C、 四小题中只能选做 2 题, 在 B、 D 每小题 10 分, 共计 20 分. 请 在答题卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修 4-1 几何证明选讲

45

如图,⊙O 的直径 AB 的延长线与弦 CD 的延长线相 交于点 P,E 为⊙O 上一点,AE=AC, DE 交 AB 于 点 F.求证:△PDF∽△POC.

B.选修 4-2

矩阵与变换

已知矩阵 A ? ? (1)求逆矩阵

?1 ?2 ? ?. ?3 ?7 ?

A?1 ;
? 3? ? ? ? ,试求矩阵 X. ?1?

(2)若矩阵 X 满足 AX

C.选修 4-4

坐标系与参数方程

已知极坐标系的极点 O 与直角坐标系的原点重合, 极轴与 x 轴的正半轴重合, 曲线 C1:? cos(? ? ) ? 2 2 与 曲线 C2: ?

? 4

? x ? 4t 2 , ? y ? 4t

(t∈R)交于 A、B 两点.求证:OA⊥OB.

D.选修 4-5

不等式选讲

已知 x,y,z 均为正数.求证:

x + y + z ≥1+ 1+ 1 . yz zx xy x y z

【必做题】第 22 题、第 23 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答.解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤. 22.已知 ( x ? 1)
n

? a0 ? a1 ( x ? 1) ? a2 ( x ? 1) ? a3 ( x ? 1)3 ? ... ? an ( x ? 1) n , (其中 n ? N * )
n i ?1

(1)求 a0 及 S ? a ; ? i n (2) 试比较 S n 与 ( n ? 2)2
n

? 2n 2 的大小,并说明理由.

46

23.设顶点在原点,焦点在 x 轴上的抛物线过点 P(2,4) ,过 P 作抛物线的动弦 PA,PB,并设它们的斜率 分别为 kPA,kPB. (1)求抛物线的方程; (2)若 kPA+kPB=0,求证直线 AB 的斜率为定值,并求出其值; (3)若 kPA·kPB=1,求证直线 AB 恒过定点,并求出其坐标.

参考答案
1.

7.

7 5 25 6

2.

1 2

k≤ 10;或 k<11;或 k=10 4.56 3. .10.0.5 11. [ ?1,??) 12. ??1,1? ? 13.

5.

2;
14.

6.2 ? ;

8.1

9.11

5 ?1 2

5 7

15.

? ? a ?b ? (Ⅰ)据题设,并注意到 ?、? 的范围, cos ?1 ? ? ? ? cos 2 a b

-----------------------2 分

cos ? 2 ?

1 ? cos ? (1 ? cos ? ) ? sin ?
2 2

? sin

?
2

? cos(

?

? ) ,--------------------4 分 2 2

?

? 由于 1、 2 为向量夹角,故 ?1、 2 ?


??

?0,? ? ,
.--7 分

? ? ? ? ? ? ? 2? ? (0, ), ? ? (0, ), 故有 ? ?1 , ? ? ? 2 , 得 A ? ? ? ? ? 2 2 2 2 2 2 2 2 3 a b c (Ⅱ) (2)由正弦定理 ? ? ? 8 3 ,-------10 分 ? sin B sin C sin 3
得b ? c

?

? 8 3(sin B ? sin C ) ? 8 3[sin B ? sin( ? B)] ? 8 3 sin( B ? ) --------12 分 3 3 ? ? 2? 注意到 B ? ? ( , ) ,从而得 b ? c ? (12,8 3]. ------------------------14 分 3 3 3
16.

?

?

47

? x, AC ? y, x ? 0, y ? 0. l 2 ? x 2 ? y 2 ? 2 xy cos 2? ? 2 xy ? 2 xy cos 2? l2 l2 1 1 l2 l 2 cos ? , , S ? xy sin 2? ? ? xy ? ? ? 2sin ? cos ? ? 2 ? 2 cos 2? 4sin 2 ? 2 2 4sin 2 ? 4sin ? 2 l cos ? 所以,△ ABC 面积的最大值为 ,当且仅当 x ? y 时取到. 4sin ? (2)设 AB ? m, AC ? n( m,n 为定值). BC ? 2c (定值) ,[来源:www.shulihua.net]
17. 解:(1)设 AB 1 由 DB ? DC ? l ? 2a ,a = l,知点 D 在以 B 、 C 为焦点的椭圆上, S ?ABC 2 只需 ?DBC 面积最大,需此时点 D 到 BC 的距离最大, 即 D 必为椭圆短轴顶点.



1 ? mn sin 2? 为定值. 2

48

b ? a2 ? c2 ?

l2 1 l2 ? c 2 , S ?BCD 面积的最大值为 ? 2c ? b ? c ? ? c2 4 2 4



1 l2 m ? n ? sin 2? ? c ? ? c2 . 2 4 (3)先确定点 B、C,使 BC ? l . 由(2)知 ?DBC 为等腰三角形时,四边形 ACDB 面积最大.
因此,四边形 ACDB 面积的最大值为 确定△BCD 的形状,使 B、C 分别在 AM、AN 上滑动,且 BC 保持定值, 由(1)知 AB=AC 时,四边形 ACDB 面积最大. 此时,△A CD≌△ABD,∠CAD=∠BAD=θ ,且 CD=BD= S= 2 S ?ACD

l .[来源:www.shulihua.net] 2

1 ? 2 ? ? AC ? AD ? sin ? . 2
? ? 2 2 l 4 tan
.

由(1)的同样方法知,AD=AC 时,三角形 ACD 面积最大,最大值为 1 l

?
2

所以,四边形 ACDB 面积最大值为

l

2

? 8 tan 2

.

18. 解: (Ⅰ)由题意得: a ?

3 ,半焦距 c ? 2 x2 则 b ? 1 椭圆 C 方程为 ? y2 ? 1 3 2 2 “伴随圆”方程为 x ? y ? 4 (Ⅱ)则设过点 P 且与椭圆有一个交点的直线为: y ? kx ? m ,

?????4 分

? y ? kx ? m ? 2 2 2 则 ? x2 整理得 ?1 ? 3k ? x ? 6kmx ? (3m ? 3) ? 0 2 ? ? y ?1 ?3
所以 ? ? ? 6km ? ? 4 1 ? 3k
2

?

2

?? 3m

2

? 3? ? 0 ,解 3k 2 ? 1 ? m 2 ①

?????6 分

又因为直线截椭圆 C 的“伴随圆”所得的弦长为 2
2

2,
② ??8 分

则有 2 2 ? ?
2

? |m| ? 2 2 ? ? 2 2 化简得 m ? 2 ? k ? 1? ? 2 ? ? k ?1?
2 2

联立①②解得, k ? 1, m ? 4 , 所以 k ? ?1 , m ? ?2(? m ? 0) ,则 P (0, ?2) ( Ⅲ ) 当 l1 , l2 都有斜率时,设点 Q ( x0 , y0 ), 其中 x
2 0 2 0

????10 分

? y ? 4, 设经过点 Q ( x0 , y0 ), 与椭圆只有一个公共点的直线为 y ? k ( x ? x0 ) ? y0 , ? y ? kx ? ( y0 ? kx0 ) 2 ? 2 由 ? x2 ,消去 y 得到 x ? 3? kx ? ( y0 ? kx0 ) ? ? 3 ? 0 ????12 分 2 ? ? y ?1 ?3 2 2 2 即 (1 ? 3k ) x ? 6k ( y0 ? kx0 ) x ? 3( y0 ? kx0 ) ? 3 ? 0 ,
? ? ? 6k ( y0 ? kx0 ) ? ? 4 ? (1 ? 3k 2 ) ?3( y0 ? kx0 ) 2 ? 3? ? 0 , ? ? 2 2 2 经过化简得到: (3 ? x0 )k ? 2 x0 y0 k ? 1 ? y0 ? 0 ,
2

??14 分

2 2 2 ? y0 ? 4 ,所以有 (3 ? x0 )k 2 ? 2 x0 y0 k ? ( x0 ? 3) ? 0 , 设 l1 , l2 的斜率分别为 k1 , k2 ,因为 l1 , l2 与椭圆都只有一个公共点,

因为 x0

2

所以 k1 , k2 满足方程 (3 ? x0 )k
2

2

2 ? 2 x0 y0 k ? ( x0 ? 3) ? 0 ,

49

因而 k1 ? k2 ? ?1 ,即直线 l1 , l2 的斜率之积是为定值 ? 1 19. (Ⅰ)证:因为对任意正整数 n, m , S n ? m 令

??16 分

? S m ? q S n 总成立,
m

n ? m ? 1 , 得 S2 ? S1 ? qS1 , 则 a2 ? qa1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 1 令 m ? 1 ,得 S n ?1 ? S1 ? qS n (1) , 从而 S n ? 2 ? S1 ? qS n ?1 (2), (2)-(1)得: an ? 2 ? qan ?1 , ( n ? 1) ??(3 分)
综上得 an ?1

分)

? qan (n ? 1) ,所以数列 ?an ? 是等比数列??????????(4 分)

(Ⅱ)正整数 m, k , h 成等差数列,则 m ? h 则 am ①当
m h ? ah ? a1m q m
2

1 ? 2k ,所以 m 2 ? h 2 ? (m ? h) 2 ? 2k 2 , 2
????????????????(7 分)

?m

a1h q h

2

?h

? a12 k q m
2 2

2

? h2 ?m ?h

q ?1

时,

m h 2 am ? ah ? a12 k ? ak k

??????????????????(8 分)

②当 q

m h ? 1 时, am ? ah ? a12 k q m

?h ?m?h
2

? a12 k q 2 k

2

?2k
2

? (a1q k ?1 ) 2 k ? ak2 k ??(9 分)
?2k

③当 0 ?

m h q ? 1 时, am ? ah ? a12 k q m

? h2 ? m ? h

? a12 k q 2 k

? (a1q k ?1 ) 2 k ? ak2 k ???(10 分)

(Ⅲ)正整数 m, k , h 成等比数列,则 m ? h

1 1 1 2 ? ?2 ? , m h mh k 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2? ? a ? m ?1 m m h ) (a1q h ?1 ) h ? a1m h q m h ? q 2 ( 1 ) m h 所以 am ? ah ? ( a1q q
? k 2 ,则
2 a1 k ak ? q ( ) ?????13 分 q a1 ? 1 时, ① 当 a1 ? q ,即 q 2 2 k

m am ? ahh ? akk ? q 2 ? ak k ???????????????(14 分)

1

1

2

2

②当

a1 ? q

,即

2 1 1 1 1 2 ? a1 2 a1 m h 2 a1 k k m h ? 1 时 , am ? ah ? q ( ) ? q ( ) ? ak q q q 2 1 1 1 1 2 ? a1 2 a1 m h 2 a1 k k m h ? 1 时 , am ? ah ? q ( ) ? q ( ) ? ak q q q

???????(15 分)

③当

a1 ? q , 即

???????(16 分)

20. (本小题主要考查二次函数、函数的性质、函数的零点、分段函数等知识, 考查函数与方程、分类与 整合的数学思想方法,以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识) (1) 解:∵

f ? 0 ? ? 0 ,∴ c ? 0 .

? 1分

? 1 ? ? 1 ? f ?? ? x? ? f ?? ? x? , ? 2 ? ? 2 ? 1 b 1 ∴函数 f ? x ? 的对称轴为 x ? ? ,即 ? ? ? ,得 a ? b . 2 2a 2 2 又 f ? x ? ? x ,即 ax ? ? b ? 1? x ? 0 对于任意 x ? R 都成立,
∵对于任意 x ? R 都有 ∴a ∵

? 2分

? 0 ,且 ? ? ? b ? 1? ? 0 .
2
2

? b ? 1? ? 0 , 2 ∴ f ? x? ? x ? x .

∴b

? 1, a ? 1 .
? 4分

50

1 ? 2 ? x ? ?1 ? ? ? x ? 1, x ? ? , ? (2) 解: g ? x ? ? f ? x ? ? ? x ? 1 ? ? ? 5分 ? x 2 ? ?1 ? ? ? x ? 1, x ? 1 . ? ? ? 1 ? ?1 2 ① 当x? 时,函数 g ? x ? ? x ? ?1 ? ? ? x ? 1 的对称轴为 x ? , ? 2 ? ?1 1 ?1 ? 若 ? 6分 ? ,即 0 ? ? ? 2 ,函数 g ? x ? 在 ? , ?? ? 上单调递增; 2 ? ?? ? ? ?1 1 ? ? ?1 ? ? 1 ? ?1 ? 若 ? ,即 ? ? 2 ,函数 g ? x ? 在 ? , ?? ? 上单调递增,在 ? , ? 上单调递减 . 2 ? ? 2 ? ?? 2 ?
?7 分

1? ? 1 2 ② 当x? 时,函数 g ? x ? ? x ? ?1 ? ? ? x ? 1 的对称轴为 x ? ? ? , ? 2 ? 1? ? 1 ? 1? ? ? ? ? 则函数 g ? x ? 在 ? ? , ? 上单调递增,在 ? ??, ? ? 上单调递减. ? 8 分 2 ?? 2 ? ? ? ? 1? ? ? 综上所述,当 0 ? ? ? 2 时,函数 g ? x? 单调递增区间为 ? ? , ?? ? , 单 调 递 减 区 间 为 2 ? ? 1? ? ? ? ? 9分 ? ??, ? ?; 2 ? ? ? 1 ? ? 1 ? ? ? ?1 ? 当 ? ? 2 时,函数 g ? x? 单调递增区间为 ? ? , ?和? , ?? ? , 单 调 递 减 区 间 为 2 ?? ? 2 ? ? 1? ? ? ? 1 ? ?1 ? ? ? 10 分 ? ??, ? ?和? , ?. 2 ? ?? 2 ? ? (3)解:① 当 0 ? ? ? 2 时,由(2)知函数 g ? x ? 在区间 ? 0,1? 上单调递增, 1

? 0 ? ? ?1 ? 0, g ?1? ? 2 ? ? ? 1 ? 0 , 故函数 g ? x ? 在区间 ? 0,1? 上只有一个零点.
又g ② 当?

? 12 分

? 2 时,则

1

g ?1? ? 2 ? ? ? 1 ,
(ⅰ)若 2 ? ?

?

?

1 ?1? 1 1 ? 1 ,而 g ? 0 ? ? ?1 ? 0, g ? ? ? 2 ? ? 0 , ? 2 ??? ? 1 ?

? 3 ,由于

? ?1
2

? ? ? 1? ? ?1 ? ? ?1? ? ? ?1? ?1 ? 0 , 且g? ?1 ? ? ??? ? ? ?1 ? ? ?? 4 2 ? 2 ? ? 2 ? 此时,函数 g ? x ? 在区间 ? 0,1? 上只有一个零点; ? 14 分
2

?

?1,
2

(ⅱ)若 ?

? 3 ,由于

? ?1
2

? 1 且 g ?1? ? 2 ? ? ? 1 ? 0 ,此时,函数 g ? x ? 在区间 ? 0,1?
15 分

上有两个不同的零点. 综上所述,当 0 ? ? 当?

? 3 时,函数 g ? x ? 在区间 ? 0,1? 上只有一个零点;
?? 16 分 附加题

? 3 时,函数 g ? x ? 在区间 ? 0,1? 上有两个不同的零点 .

51

B. (1)设

?a b ? ? a b ? ?1 ?2 ? ? a ? 3b ?2a ? 7b ? ?1 0 ? A?1 = ? ? ,则 ? c d ? ?3 ?7 ? = ?c ? 3d ?2c ? 7 d ? = ?0 1 ? . ? ? ? ? ?c d ? ? ? ? ? ?a ? 3b ? 1, ?a ? 7, ??2a ? 7b ? 0, ?b ? ?2, ?2 ? ? ? ?1 ? 7 ∴? 解得 ? ∴ A =? ? .--------6 分 ? 3 ?1? ?c ? 3d ? 0, ?c ? 3, ??2c ? 7 d ? 1. ?d ? ?1. ? ?

?7 ?2 ? ?3? ?19 ? X ?? ? ? ? ? ? ? .---------------10 分 ? 3 ?1? ?1? ? 8 ? 2 C.解:曲线 C1 的直角坐标方程 x ? y ? 4 ,曲线 C2 的直角坐标方程是抛物线 y ? 4 x 4 分 设 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) ,将这两个方程联立,消去 x ,
(2) 得

y 2 ? 4 y ? 16 ? 0 ? y1 y2 ? ?16 , y1 ? y 2 ? 4 . --------------6 分 ? x1 x 2 ? y1 y 2 ? ( y1 ? 4)( y 2 ? 4) ? y1 y 2 ? 2 y1 y 2 ? 4( y1 ? y 2 ) ? 16 ? 0 -------8 分
??? ??? ? ?
-----------------------10 分

∴ OA ? OB ? 0 ,? OA ? OB . D.选修 4-5 不等式选讲 证明:因为 x,y,z 都是为正数,所 以

x y 1 x y 2 ? ? ( ? ) ≥ .-------------4 分 yz zx z y x z y z 2 z x 2 ? ≥ , ? ≥ , 同理可得 zx xy x xy yz y
当且仅当 x=y=z 时,以上三式等号都成立. -------------------7 分

x y z 1 1 1 ? ? ≥ ? ? . ---------- 10 分 将上述三个不等式两边分别相加,并除以 2,得 yz zx xy x y z
22. (1)令 x 则

? 1 ,则 a0 ? 2n ,令 x ? 2 ,
? 3n ,∴ S n ? 3n ? 2n ;
n

?a
i ?0

n

i

----------------------3 分

(2)要比较 S n 与 ( n ? 2)2 当n

? 2n 2 的大小,即比较: 3n 与 (n ? 1)2n ? 2n 2 的大小,

? 1 时, 3n ? (n ? 1)2n ? 2n 2 ;当 n ? 2,3 时, 3n ? (n ? 1)2n ? 2n 2 ; n n 2 当 n ? 4,5 时, 3 ? ( n ? 1)2 ? 2n ; -----------------------------------5 分 n n 2 猜想:当 n ? 4 时 n ? 4 时, 3 ? ( n ? 1)2 ? 2n ,下面用数学归纳法证明: 由上述过程可知, n ? 4 n ? 4 时结论成立, n n 2 假设当 n ? k ( k ? 4) n ? k , ( k ? 4) 时结论成立,即 3 ? ( n ? 1)2 ? 2n , k ?1 两边同乘以 3 得: 3 ? 3[(k ? 1)2k ? 2k 2 ] ? k 2k ?1 ? 2(k ? 1) 2 ? [(k ? 3)2k ? 4k 2 ? 4k ? 2]


(k ? 3)2k ? 4k 2 ? 4k ? 2 ? (k ? 3)2k ? 4( k 2 ? k ? 2) ? 6 ? ( k ? 2)2 k ? 4( k ? 2)( k ? 1) ? 6 ? 0 k ?1 ∴3 ? [(k ? 1) ? 1]2k ?1 ? 2(k ? 1) 2 即 n ? k ? 1 时结论也成立, n n 2 ∴当 n ? 4 时, 3 ? ( n ? 1)2 ? 2n 成立. n n 2 综上得,当 n ? 1 时, 3 ? ( n ? 1)2 ? 2n ; n n 2 ? n n 2 当 n ? 2,3 时, 3 ? ( n ? 1)2 ? 2n ;当 n ? 4, n ? N 时, 3 ? ( n ? 1)2 ? 2n --10 分
(23)依题意,可设所求抛物线的方程为 y =2px(p>0) , 2 2 因抛物线过点(2,4) ,故 4 =4p,p=4,抛物线方程为 y =8x. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 k PA
2

?

y1 ? 4 y1 ? 4 8 ? 2 ? , x1 ? 2 y1 y1 ? 4 ?2 8
52

同理 k PB

?

8 8 , k AB ? . y2 ? 4 y1 ? y2

∵kPA+kPB=0,

8 8 8 8 + =0,∴ = ,y1+4= -y2-4,y1+y2= -8 y1 ? 4 y2 ? 4 y1 ? 4 ? y2 ? 4 ∴ k AB ? ?1 .
∴ 即直线 AB 的斜率恒为定值,且值为-1. (3)∵kPAkPB=1,∴

8 8 · =1,∴y1y2+4(y1+y2)-48=0. y1 ? 4 y2 ? 4

直线 AB 的方程为

y ? y1 ?

y2 8 ( x ? 1 ) ,即(y1+y2)y-y1y2=8x. y1 ? y2 8

将-y1y2=4(y1+y2)-48 代入上式得 (y1+y2)(y+4)=8(x+6),该直线恒过定点(-6,-4) ,命题得证.

模拟卷(31)试题来源:名校试题 重组
一.填空题
1 、已知直线 l1 : x ? 2 y ? 1 ? 0 ,直线 l2 :

ax ? by ? 1 ? 0
的概率为







a



b ? ?1, 2,3, 4,5, 6? .则直线 l1 ? l2 ? ?
? x? ? 的部分 2、函数 y ? tan
2
图像如图所示, 则 OA ? OB ? AB ? 3、若双曲线经过点 (3, 且渐近线方程是

?4



?

?

??? ??? ??? ? ? ?

?

.

2) ,

1 y ? ? x ,则 3
.

这条双曲线的方程是

4、下右图是一个算法的程序框图, 该算法所输出的结果是 . 5、从某项综合能力测试中抽取 100 人的成绩,统计如下表, 则这 100 人成绩的标准差为 . 分数 人数 6.已知 a>0 且 a≠1,函数 5 20 4 10 3 30 2 30 1 10

y ? log a x , y ? a x , y ? x ? a 在同一坐标系中的图象可能是

53

y

y

y

y

1 O 1 (1)

1 O 1 (2)

1 1 (3)

1

x

1 (4)

x

7.已知抛物线 M :

y 2 = 4 x ,圆 N

: ( x ? 1)

2

? y 2 ? r 2 (其中 r 为常数, r ? 0 ).过点(1,0)
的直线 l 只有三条的

的直线 l 交圆 N 于 C 、D 两点,交抛物线 M 于 必要条件是 :下面哪一个是符合条件的 (1) r ? (0,1] . (2). r ? (1, 2] (3) r ? ( .

A 、 B 两点,且满足 AC ? BD

3 , 4) 2 3 (4). r ? [ , ??) 2

( 8 2013 人大附中高三冲刺模拟) 已知三棱锥

A ? BCO , 、OB、OC OA

两两垂直且长度均为 6,长为 2 的线段 MN 的一个端点 M 在 中点 P 的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积为 9、若数列 {a n } 满足

棱 OA 上运动,另一个端点 N 在 ?BCO 内运动(含边界) ,则 MN 的

an ? 2 an ?1 ? ? k ( k 为常数) ,则称数列 {a n } 为等比 an ?1 an
.

和数列,k 称为公比和.已知数列 {a n } 是以 3 为公比和的等比和数列,其 中 a1

? 1, a 2 ? 2 ,则 a 2009 ?

?x ? y ? 2 ? 0 a ?b?3 ? 10、动点 P ( a, b) 在不等式组 ? x ? y ? 0 表示的平面区域内部及其边界上运动,则 w ? 的取 a ?1 ? y?0 ?
值范围是 11、 (2012 . 南通中学冲刺模拟)已知 a ? 0 ,设函数 f ( x) ?

大值为 M ,最小值为 N ,那么 M

?N ?

2009 x ?1 ? 2007 ? sin x( x ? [?a, a ]) 的最 2009 x ? 1

.

12(2012 南通中学冲刺模拟) 、已知 P 为抛物线

??? ??? ???? ??? ? ? ? 若 Q 在直线 l 上,且满足 | AP || QB |?| AQ || PB | ,则点 Q 总在定直线 x ? ?1 上.试猜测如果 P 为椭


y 2 ? 4 x 的焦点,过 P 的直线 l 与抛物线交与 A,B 两点,

x2 y 2 ? ? 1 的左 焦点,过 P 的直线 l 与椭圆交与 A,B 两点,若 Q 在直线 l 上, 且满足 25 9 ??? ??? ???? ??? ? ? ? 上. | AP || QB |?| AQ || PB | ,则点 Q 总在定直线

13、 曲边梯形由曲线

y ? e x , y ? 0, x ? 1, x ? 5 所围成,过曲线 y ? e x , x ? [1,5] 上一点 P 作切线,使得
.

此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形,这时点 P 的坐标是

54

14.(2012 启东中学)设双曲线

c?0


,若以

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 (?c,0) 、 F2 (c,0) , a 2 b2 c F1 F2 为 斜 边 的 等 腰 直 角 三 角 形 F1 AF2 的 直 角 边 的 中 点 在 双 曲 线 上 , 则 等 a
.

二,解答题
15 、 已 知 集 合

A ? {x | y ? x 2 ? 5 x ? 14} , 集 合 B ? {x | y ? lg(? x 2 ? 7 x ? 12)} , 集 合 C ? {x | m ? 1 ? x ? 2m ? 1} . (1)求 A ? B ; (2)若 A ? C ? A ,求实数 m 的取值范围.

16、设函数 (1)求

?? ? f (x)= m ? n ,

其中向量

?? ? m=(2 cos x,1),n =( cos x, 3 sin 2 x),x ? R , f (A)=2,a = 3,b+c =3(b>c) 求 b,c 的值。

f (x) 的最小正周期;

(2) ?ABC 中,

17、已知函数 g ( x )

? ax 2 ? 2ax ? 1 ? b ( a ? 0 )在区间 [2 , 3] 上有最大值 4 和最小值 1 . g ( x) 设 f ( x) ? . (1)求 a 、 b 的值; x x x (2)若不等式 f ( 2 ) ? k ? 2 ? 0 在 x ? [?1 , 1] 上有解,求实数 k 的取值范围.

18、如图,有一块边长为 1 (百米)的正方形区域
0

ABCD 。在点 A 处有一个可转动的探照灯,其照射角 ?PAQ 始终为 45 (其中点 P , Q 分别在边 BC , CD 上),设 ?PAB ? ? , tan ? ? t . (1)用 t 表示出 PQ 的长度,并探求 ?CPQ 的周长 l 是否为定值; (2)问探照灯照射在正方形 ABCD 内部区域的面积 S 至多为多少(平方百米)?
D Q

P

55

19、已知数列

?an ? 中, a1 =1,且点 P(an ,an +1) (1)求数列 ?an ? 的通项公式;
(2)

(n ? N * ) 在直线 x—y +1=0 上

1 1 1 1 + + +.......+ (n ? N ,且n ? 2) 求函数 f (n) 的最小值; n +a1 n +a2 n +a3 n +an 1 (3)设 bn = ,Sn 表示数列 ?bn ? 的前 n 项和。试问:是否存在关于 n 的整式 g (n) ,使得 an S1 ? S 2 ? S 3 ? ? ? S n ?1 ? ?S n ? 1? ? g ?n ? 对于一切不小于 2 的自然数 n 恒成立? 若存在, g ?n ? 的 写出 f (n)=
解析式,并加以证明;若不存在,试说明理由。

20 、 已知

f (x)=ax — ln (—x),x ? (—e,0),g(x)= —

a ? R.
(1)讨论 a

ln (—x) , 其 中 e 是 自 然常 数, x

? ?1 时, f (x) 的单调性、极值;

(2)求证:在(1)的条件下, |f

(x)|>g (x)+

1 ;(3)是否 2

存在实数 a ,使

f (x) 的最小值是 3,如果存在,求出 a 的值;如果不存在,说明理由。

数学附加题部分 21. 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,共计 20 分. A.选修 4—1:几何证明选讲 A.选修 4—1:几何证明选讲 如图,延长⊙O 的半径 OA 到 B,使 OA=AB,DE 是圆的一条切线,E 是切点,过点 B 作 DE 的垂线,垂足为点 C. 求证:∠ACB=

1 ∠OAC. 3

B.选修 4—2:矩阵与变换

56

已知矩阵 A ? ?

?? ?1 ? ? ?? ? ? ? ?1 1? 2 ? ,向量 ? ? ? 2 ? .求向量 ? ,使得 A ? ? ? . ? 2 1? ? ?

C.选修 4—3:坐标系与参数方程
已知椭圆 C 的极坐标方程为 ?
2

?

a 3cos ? ? 4sin 2 ?
2

,焦距为 2,求实数 a 的值.

D.选修 4—4:不等式选讲

(a ? b ? c) 2 (a , b , c 3 为实数)的最小值为 m ,若 a ? b ? 2c ? 3 ,求 m 的最小值.
已知函数

f ( x ) ? ( x ? a ) 2 ? ( x ? b) 2 ? ( x ? c ) 2 ?

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分. 22.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(?1,1) ,P 是动点,且三角形 POA 的三边所在直线的斜率满足 kOP+kOA =kPA. (1)求点 P 的轨迹 C 的方程;

(2)若 Q 是轨迹 C 上异于点 P 的一个点, PQ ? ? OA ? ? ? 0 ? , 且 直线

??? ?

??? ?

OP 与 QA 交于点 M,问:是否存在点 P 使得△PQA 和△PAM 的面积满 足 S ?PQA ? 2 S ?PAM ? 若存在,求出点 P 的坐标;若 不存在,说明理
由.

[来源:Z&xx&k.Com]

23.已知 an (1)若 an

? (1 ? 2) n (n ? N * )
*

? a ? b 2(a, b ? Z ) ,求证: a 是奇数;
? k ?1 ? k .

(2)求证:对于任意 n ? N ,都存在正整数 k ,使得 an

答案
1、 .

1 18

2.6 3、

y2 ?

x2 ?1 9

4、

3 4
9、 2
1004

5、.3

6, ) (3 12、 x ? ? .

7 . )8. . (4

?
6

或 36 ?

?
6

10、.

? ? ? ??, 2? ? ? 2, ? ?

11 、. 4016

25 4

13、

57

14.

3? 5 =

10 ? 2 2



15. 解:(1)∵ A

? (??,?2] ? [7,??) , B ? (?4,?3) ,??????????????????4 A ? B ? (?4,?3) .??????????????????6 分 (2) ∵ A ? C ? A ∴ C ? A .??????????????????8 分 ① C ? ? , 2m ? 1 ? m ? 1 ,∴ m ? 2 .??????????????9 分 ? m?2 ? m?2 ② C ? ? ,则 ? 或? .???????????12 分 ?2m ? 1 ? ?2 ?m ? 1 ? 7
∴m

分∴

? 6.

综上, m

? 2 或 m ? 6 ??????????14 分

16

17、 解: (1) g ( x ) 因为 a

? a ( x ? 1) 2 ? 1 ? b ? a ,

?a ? 1 ? g (2) ? 1 ,解得 ? . ?.6 分 ? 0 ,所以 g (x) 在区间 [2 , 3] 上是增函数,故 ? ?b ? 0 ? g (3) ? 4 1 (2)由已知可得 f ( x ) ? x ? ? 2 , x 1 x x x x 所以 f ( 2 ) ? k ? 2 ? 0 可化为 2 ? x ? 2 ? k ? 2 , 2 2 1 1 ? 1 ? ?1 ? 2 化为 1 ? ? x ? ? 2 ? x ? k ,令 t ? x ,则 k ? t ? 2t ? 1 ,因 x ? [?1 , 1] ,故 t ? ? 2 , 2? , 2 2 ?2 ? ? ? ?1 ? 2 记 h(t ) ? t ? 2t ? 1 ,因为 t ? ? 2 , 1? ,故 h(t ) max ? 1 , ? ? 所以 k 的取值范围是 (?? , 1] . ???14 分
18\解(1) BP

? t , CP ? 1 ? t ,0 ? t ? 1.

?DAQ ? 45 0 ? ? , DQ ? tan(45 0 ? ? ) ? CQ ? 1 ?

1? t 2t ? . ------------------3 分 1? t 1? t 2t 2 1 ? t 2 ? PQ ? CP 2 ? CQ 2 ? (1 ? t ) 2 ? ( ) ? 1? t 1? t

1? t , 1? t

---------------------6 分

58

? l ? CP ? CQ ? PQ ? 1 ? t ?

2t 1 ? t 2 ? ? 1 ? t ? 1 ? t ? 2 ---------------------9 分 1? t 1? t 1 1 1? t t 1 1? t (2) S ? S正方形ABCD ? S ?ABP ? S ?ADQ ? 1 ? 1 ? ? 1 ? t ? ? 1 ? ?1? ? ? 2 2 1? t 2 2 1? t t 1 2 ? (t ? 1) t 1 2 1 t 1 ?1? ? ? ?1? ? ?( ? 1) ? 1 ? ? ? ? 2 2 1? t 2 2 1? t 2 2 t ?1 t ?1 1 ? 2?( ? ) -----------------12 分 2 t ?1 t ?1 1 t ?1 1 ? ) ? 2?2 ? ? 2? 2 ?1 ? t ? 0 ? S ? 2 ? ( 2 t ?1 2 t ?1 t ?1 1 (当且仅当 ,即 t ? 2 ? 1 等号成立) -----------15 分 ? 2 t ?1 答:探照灯照射在正方形 ABCD 内部区域的面积 S 至多为 2 ? 2 平方百米.-----------16 分 (a , a ) x ? y ? 1 ? 0 上, 19、解: (1)由点 P n n ?1 在直线
即 且

a n ?1 ? a n ? 1 ,------------------------------------------2 分
a1 ? 1 ,数列{ a n }是以 1 为首项,1 为公差的等差数列

a n ? 1 ? (n ? 1) ? 1 ? n(n ? 2) , a1 ? 1 同样满足,所以 a n ? n ---------------4 分
1 1 1 ? ??? n ?1 n ? 2 2n (2) 1 1 1 1 1 f (n ? 1) ? ? ? ?? ? n?2 n?3 n?4 2n ? 1 2n ? 2 ---------------------6 分 1 1 1 1 1 1 f (n ? 1) ? f (n) ? ? ? ? ? ?0 2n ? 1 2n ? 2 n ? 1 2n ? 2 2n ? 2 n ? 1 7 f (2) ? f (n) 是单调递增,故 f (n) 的最小值是 12 -----------------------10 分 所以 1 1 1 1 1 bn ? Sn ? 1 ? ? ? ? ? S n ? S n ?1 ? (n ? 2) n ,可得 2 3 n, n (3) -------12 分 nS n ? (n ? 1) S n ?1 ? S n ?1 ? 1 (n ? 1) S n ?1 ? (n ? 2) S n ? 2 ? S n ? 2 ? 1 f ( n) ?
, ??

,n≥2-------故存在关于 n 的整式 g(x)=n,使得对于一切不小于 2 的自然数 n 恒成立----16 分 20、(本小题满分 16 分)

nS n ? S1 ? S1 ? S 2 ? S 3 ? ? ? S n ?1 ? n ? 1 S 2 ? S1 ? S1 ? 1 S1 ? S 2 ? S 3 ? ? ? S n ?1 ? nS n ? n ? n( S n ? 1) g ( n) ? n

59

(3)假设存在实数 a ,使

f ? x ? ? ax ? ln ?? x ? 有最小值 3, x ? ?? e,0 ?

f ' ?x ? ? a ? a??
①当

1 x

? 函数 ? f ?x ?min ? f ?? e ? ? ?ae ? 1 ? 3 4 1 a?? ?? e e (舍去) ---------------------------------12 分 解得 1 1 1 a?? ?e ? x ? f ' ?x ? ? a ? ? 0 e 时,则当 a 时, x ②当 f ? x ? ? ax ? ln ?? x ? 是减函数 此时

1 1 f ' ?x ? ? a ? ? 0 x ? ?? e,0 ? ,则 e 时,由于 x f ? x ? ? ax ? ln ?? x ? 是 ?? e,0 ? 上的增函数

数学附加题部分答案

A.证明:连结 OE、AE,并过点 A 作 AF⊥DE 于点 F. ∵DE 是圆的一条切线,E 是切点,∴OE⊥DC. 又∵BC⊥DE,∴OE∥AF∥BC.∴∠CAF=∠ACB,∠FAE=∠AEO. ∵OA=OE,∴∠AEO=∠EAO. ∴∠EAO=∠FAE. 又∵点 A 是 OB 的中点,∴点 F 是 EC 的中点.∴AE=AC.
∴∠CAF=∠FAE.∴∠EAO=∠FAE=∠CAF,即∠ACB=

1 ∠OAC. 3
60

B.? A ? ?

?1 1? ?1 1? ?1 1? ? 3 2 ? 2 ? ,? A ? ? 2 1? ? 2 1? ? ? 4 3 ? ? 2 1? ? ?? ? ? ? ? ?x? ? ? ?? ? ?3x ? 2 y ? ?1 ? ? 3 2 ? ? x ? ?1 ? 2 设 ? ? ? ? ,则 A ? ? ? ? ? ? ? y ? = ?2? ? ?4 x ? 3 y ? ? ?2? ? ? ? ? ? y? ?4 3? ? ? ? ? ? ? ?1? ? ? 3x ? 2 y ? 1 ? x ? ?1 ?? ,? ? ,?? ? ? ? . ?4 x ? 3 y ? 2 ? y ? 2 ?2?
x2 y 2 ? ?1 a a 3 4
2 2

C.椭圆的普通方程为



a a ? ? 1 ,得 a=12 3 4
2

(a ? b ? c) 2 D.因为 f ( x ) ? ( x ? a ) ? ( x ? b) ? ( x ? c ) ? 3 (a ? b ? c) 2 ? 3 x 2 ? 2(a ? b ? c) x ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 3 a?b?c 2 ? 3( x ? ) ? a 2 ? b2 ? c2 , 3 a?b?c 2 2 2 2 2 2 所以 x ? 时, f ( x ) 取最小值 a ? b ? c ,即 m ? a ? b ? c ,[来源:学科网] 3 因为 a ? b ? 2c ? 3 ,由柯西不等式得 ?12 ? (?1) 2 ? 22 ? ? ( a 2 ? b 2 ? c 2 ) ? (a ? b ? 2c) 2 ? 9 , ? ?
9 3 ? , 6 2 a b c 3 3 3 当且仅当 ? ? ,即 a ? ,b ? ? ,c ? 时等号成立, 1 ?1 2 4 4 2 3 所以 m 的最小值为 . 2 22. 解析: (1)设点 P ( x, y ) 为所求 轨迹上的任意一点,则由 kOP ? kOA ? k PA 得,
所以 m

? a 2 ? b2 ? c2 ?

y 1 y ?1 2 ,整理得轨迹 C 的方程为 y ? x ( x ? 0 且 x ? ?1 ) . ? ? x ?1 x ? 1 2 2 (2):学设 P ( x1 , x1 ) , Q ( x2 , x2 ) ,
由 PQ 故

??? ?

??? ? ? ? OA ? ? ? 0 ? 可知直线 PQ //OA ,则 k PQ ? kOA ,

2 x2 ? x12 1 ? 0 ? ,即 x2 ? ? x1 ? 1 , x2 ? x1 ?1 ? 0 直线 OP 方程为: y ? x1 x ①;

(? x1 ? 1) 2 ? 1 ? ? x1 ? 2 , ? x1 ? 1 ? 1 ∴直线 QA 方程为: y ? 1 ? ( ? x1 ? 2)( x ? 1) , 即 y ? ?( x1 ? 2) x ? x1 ? 1 ② 1 1 联立①②,得 x ? ? ,∴点 M 的横坐标为定值 ? . 2 2 由 S ?PQA ? 2 S ?PAM ,得到 QA ? 2 AM ,因为 PQ //OA ,所以 OP ? 2OM ,
直线 QA 的斜率为:

???? ? ? 2OM ,得 x1 ? 1 ,∴ P 的坐标为 (1,1) . ∴存在点 P 满足 S ?PQA ? 2 S ?PSM , P 的坐标为 (1,1) .
由 PO

??? ?

61

23.解析:⑴由二项式定理,得 an ? Cn ? C n 2 ? C n ( 2) ? C n ( 2) ? ? ? C n ( 2) ,
0 1 2 2 3 3 n n

所以 a ? Cn ? C n ( 2) ? C n ( 2) ? ? ? 1 ? 2C n ? 2 C n ? ? ,
0 2 2 4 4 2 2 4

因为 2Cn ? 2 C n ? ? 为偶数,所以 a 是奇数.
2 2 4

⑵由⑴设 an ? (1 ?
2 2

2) n ? a ? b 2(a ,b ? Z) ,则 (1 ? 2) n ? a ? b 2 , 2) n (1 ? 2) n ? (1 ? 2) n ,
a 2 ? 2b 2 ? k ? k ? 1 ,
2 2

所以 a ? 2b ? (a ? b 2)(a ? b 2) ? (1 ?
2

当n 为 数 , a ? 2b ? 1 ,存 k ? a , 得an ? a ? b 2 ? 偶 时 在 使 当n 为 数 ,a 奇 时
2

? 2b 2 ? 1 ,存在k ? 2b 2 ,使得an ? a ? b 2 ? a 2 ? 2b 2 ? k ? 1 ? k ,
?

综上,对于任意 n ? N ,都存在正整数 k ,使得 an ?

k ?1 ? k .

模拟卷(32)试题来源;名校试题重组
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分)
1.已知复数 z 满足 (1 ? i) ? z 2.命题“ ?x ? R, x
2

? 1 ,则 z ? _____.

. ? 0 ”的否定是 3.已知集合 A ? {x | log 2 x ? 1} , B ? {x | 0 ? x ? c ,其中 c ? 0} .若 A ? B ,则 c = . 4.直线 l 经过点 P (2,3) ,且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形,则直线 l 的方程为 . 5.已知数列 ?a n ? 满足 log 3 a n ? 1 ? log 3 a n ?1 且 a 2 ? a 4 ? a 6 ? 9 ,则 log 1 ( a 5 ? a 7 ? a 9 ) 的
3

值是 . 6.从 1,2,3,4,5,6 这 6 个数字中, 任取 2 个数字相加,其和为偶数的概率是 _ 7.设动点坐标 ( x, 8.已知 a

. .

?( x ? y ? 1)( x ? y ? 4) ? 0 2 2 ,则 x ? y 的最小值为 y ) 满足 ? ?x ? 3

. ? 0, b ? 0, c ? 0, 且 b 2 ? 4ac ? b ? 2ac ,则 b 2 ? 4ac 的最小值为 2 9.若实数 a 满足 a ? t ? 1 ? t ? 2 (t ? R ) 恒成立,则函数 f ( x ) ? log ( x ? 5 x ? 6) 的单调减区
a

间为


2

10.已知点 P(x,y)是直线 kx+y+4=0(k>0)上一动点,PA、PB 是圆 C: x B 是切点,若四边形 PACB 的最小面积是 2,则 k 的值为 11.直线 .

? y 2 ? 2 y ? 0 的两条切线,A、

2, x ? m, ? 的图象恰有三个公共点,则实数 m 的取值 范围 y ? x 与函数 f ( x) ? ? 2 ? x ? 4 x ? 2, x ? m
AB ? AD, AD ? DC ? 2,
P D C

是 . 12.如图;在直角梯形 ABCD 中,

AB ? 6 ,动点 P 在以点 C 为圆心且与直线 BD 相切的圆上运动,设 ??? ? ???? ??? ? AP ? m AD ? n AB (m, n ? R ) , 则 m ? n 的 取 值 范 围
是 . 13.已知 ? 是 ?ABC 的内角,若 cos ? 、 且 ?ABC 的周长为

1 、 sin ? 2

成等差数列,
A

B

2 ,则最大边长的最小值为 . ' * 14.已知函数 f ( x ) 的导函数 f ( x ) ? 2 x ? 9 ,且 f (0) 的值为整数,当 x ? ( n, n ? 1] ( n ? N ) 时, . f ( x) 的值为整数的个数有且只有 1 个,则 n =

二、解答题
15.(本小题满分 14 分)

62

已知 △ABC 中, (1)求

AC ? 1 , ?ABC ?

2? 3

.设 ?BAC

? x ,记 f ( x) ? AB .

f ( x ) 的解析式及定义域;

(2)设 g ( x )

? 3? ? 6m ? f ( x ) ? 1 ,求实数 m ,使函数 g (x) 的值域为 ?1, ? . ? 2?

16.(本小题满分 14 分)

ABCD ? A1 B1C1 D1 中, O 、 O1 分别是 AC 、 A1C1 的中点, E 是线段 D1O 上一 点,且 D1 E ? ? EO ( ? ? 0 ). (1)求证: ? 取不等于 0 的任何值时都有 BO1 / / 平面ACE ; D1 C1 (2) ? ? 2 时,证明:平面 CDE ? 平面 CD1O .
如图:在正方体

A1

B1

[来源:学科网 ZXXK]

D

C

17 . (本题满分 14 分)已知

f ( x) ? ? 4 ?

1 1 ,点 Pn ( a n ,? ) 在曲线 y ? f (x) 上 (n ? N * ) 且 2 an?1 x

a1 ? 1, an ? 0.
(1)求证:数列 ? (2) 设数列 {a n
2

?1? 为等差数列,并求数列 {a n } 的通项公式; 2? ? an ?

2 ? an?1} 的前 n 项和为 S n ,若对于任意的 n ? N * ,存在正整数 t,使得 S n ? t 2 ? t ?

1 恒成 2

立,求最小正整数 t 的值.

18.(本小题满分 14 分) 如图:一个城市在城市改造中沿市内主干道季华路修建的圆形广场圆心为 O,半径为 100 m ,其与季华路 一边所在直线 l 相切于点 M, 为上半圆弧上一点, A 过点 A 作 l 的垂线, 垂足为 B。 市园林局计划在 ?ABM 内进行绿化,设 ?ABM 的面积为 S(单位: m )
2

(1)以 ?AON ? ? 为参数,将 S 表示成 ? 的函数; (2)为绿化面积最大,试确定此时点 A 的位置及面积的最大值.

[来源:学,科,网 Z,X,X,K]

19. (本小题满分 16 分) 已知函数

f ( x) ?

ln x ?1. x
63

f ( x) 的单调性; (2)设 m ? 0 ,求 f ( x ) 在 [ m, 2m] 上的最大值; 1? n e 1? n ? (3) 试证明:对 ?n ? N ,不等式 ln( 恒成立. ) ? n n
(1)试判断函数

20.(本小题满分 16 分) 如果存在常数 a 使得数列 称数列

?an ? 满足:若 x 是数列 ?an ? 中的一项,则 a ? x 也是数列 ?an ? 中的一项,
, (n0 ? 3) ,所有项之和是 B ,求证:数列 ?bn ? 是“兑换数列”

,常数 a 是它的“兑换系数”. ?an ? 为“兑换数列” ,求 (m ? 4) 是“兑换系数”为 a 的“兑换数列” m 和 a 的值;

(1)若数列: 1, 2, 4, m (2)已知有穷等差数列 ..

?bn ? 的项数是 n0

并用 n0 和 B 表示它的“兑换系数” ; (3)对于一个不少于 3 项,且各项皆为正整数的递增数列 换数列”?给出你的结论并说明理由.

?cn ? ,是否有可能它既是等比数列,又是“兑

理科附加题答案 21. 【选 做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题纸指定区域内作 ........ 答,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修 4—1:几何证明选讲 已知:如图,在△ABC中,∠ABC=90°,O是AB上一点,以O为圆心,OB 为半径的圆与AB交于点E,与AC 切于点D,连结DB、DE、OC。若AD=2,AE=1,求CD的长。 数学附加题部分 23. (本小题满分 10 分)
1 2 3 n ? An ? An ? An ? ? ? An (n ? N ? ) ,当 n ≥ 2 时,求证: an 1 1 1 1 1 ⑴ a n ?1 ? 1 ? ;⑵ (1 ? )(1 ? )(1 ? )? (1 ? ) ≤ 3 ? . n a1 a2 a3 an n

已知 a n

B.选修 4—2:矩阵与变换 变 换 T1 是 逆 时 针 旋 转

?
2

的旋转变换,对应的变换矩阵是

M 1 ; 变 换 T2 对 应 用 的 变 换 矩 阵 是

?1 1? M2 ? ? ?。 ?0 1? (1)求点 P (2,1) 在 T1 作用下的点 P ' 的坐标;
64

(2)求函数 、

y ? x 2 的图象依次在 T1 , T2 变换的作用下所得曲线的方程。

C.选修 4—4:极坐标与参数方程 求以点

A(2, 0) 为圆心,且过点 B(2 3, ) 的圆的极坐标方程。 6

?

D.选修 4—5:不等式选讲 证明不等式:

1 1 1 1 ? ? ?? ? ?2 1 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ? ? ? n

22. (本小题满分 10 分) 如图;P 是抛物线 x
2

? 2 y 上的任一点,直线 l 过点 P 且与抛物线在点 P 处的切线互相垂直,与抛物线
y
Q

的另一交点为 Q. (1)若点 P ( 2,2) ,求 Q 的坐标。 (2)当点 P 在抛物线上运动时(原点除外) ,试求 线段 PQ 的中点 M 的轨迹方程。

P

O

x

23. (本小题满分 10 分) 已知 a n
1 2 3 n ? An ? An ? An ? ? ? An (n ? N ? ) ,当 n ≥ 2 时,求证:

an ; n 1 1 1 1 1 (2) (1 ? )(1 ? )(1 ? )? (1 ? ) ≤ 3 ? . a1 a2 a3 an n
(1) a n ?1

?1?

参考答案
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分) 1.

5.

10.

1 i ? ____2. ?x ? R, x 2 ? 0 3. 2 2 ?5 _6. 2 7. 10 8、 2 5 ? 5? ?1, 3 ? ? 2 11. [ ?1, 2) ,12 ?

2

。4、

y ? x ? 1, y ? ? x ? 5

9.

?? ?,2?

。13. 2 ?

2.

65

提示:?

cos ?



? 2sin 2

?
2

? 2sin
2

?

1 2



sin ?

成 等 差 数 列 , ? cos ?

? sin ? ? 1 , ?1 ? cos ? ? sin ?



2
2

cos
2

?
2

,? sin

?
2
2

? 0 ,? tan
2

?
2

? 1 ,?? ?
2

?
2

,不仿设 C

? 90? ,

则 c 最大,且 a 又a?b?c 14. 4 二、解答题

?b ? c

,? c

? a ?b ?

?a ? b?
2

?

a?b ,? a ? b ? 2c 2
2 ? 2? 2. 2 ?1

? 2 ,? a ? b ? 2 ? c ,? 2 ? c ? 2c ,? c ?

2 3 ? 1 ? ?? sin( ? x), x ? ? 0, ? (2) m ? 12 3 3 ? 3? BO1 ? D1O ? ? 16.(1) D1O ? 平面ACE ? ? BO1 ? 平面ACE ? BO1 ? ? DE ? D1O ? ? DE ? CO ? DE ? 平面CD O ? ? 1 (2) D1O与CO交于O点? ? ? ? 平面CDE ? 平面CD1O DE ? 平面CDE ? D1O ? 平面CD1O ? ? CO ? 平面CD1O ? ?
15.(1)

f ( x) ?

17. 【答案】

??

1 an?1

?? 4?

1 1 1 ,? 2 ? 2 ? 4 2 分 2 an an?1 an

所以 {

1 } 是以 1 为首项,4 为公差的等差数列. 2 分 2 an

1 1 3分 ? 4 n ? 3 , ? a n ? 0 ,? a n ? 2 4n ? 3 an 1 1 1 1 2 2 (Ⅱ) bn ? a n ? a n ?1 ? ? ( ? ) .2 分 (4n ? 3)(4n ? 1) 4 4n ? 3 4n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? S n ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? (1 ? ? ? ? ? ? ? ) ? (1 ? ) ? ?.2 分 4 5 5 9 4n ? 3 4n ? 1 4 4n ? 1 4 1 1 2 1 2 * 对于任意的 n ? N 使得 S n ? t ? t ? 恒成立,所以只要 ? t ? t ? 2 分 2 4 2 3 1 ?t ? 或 t ? ? ,所以存在最小的正整数 t ? 2 符合题意 1 分 2 2 18 解答: (Ⅰ)如图, BM ? AO sin ? ? 100sin ? , AB ? MO ? AO cos? ? 100 ? 100cos ? ,? ? (0, ? ) . 1 1 则 S ? MB ? AB ? 100sin ? ? (100 ? 100cos ? ) 2 2 1 ? 5000(sin ? ? sin 2? ),? ? (0, ? ) ???? 6 分 2 ' 2 (Ⅱ) S ? 5000(2cos ? ? cos ? ? 1) ? 5000(2cos ? ? 1)(cos ? ? 1) ,?? 8 分 1 ? ' 令 S ? 0 ,得 cos ? ? ,cos ? ? ?1 (舍去) ,此时 ? ? . 2 3 ?
66

x
S
S
所以当 ? 答:当点
'

(0, ) [来源: 3
学科网] +

?

? 3
0 极大值

( ,? ) 3
-

?

?

?
3

时, S 取得最大值 S max

? 3750 3m 2 ,此时 AB ? 150m .

A 离路边 l 为 150 m 时,绿化面积最大,值为 3750 3m 2 .

1 ? ln x x2 令 f '( x ) ? 0 得 1 ? ln x ? 0 ∴x?e 1 ? ln x ? 0 ,当 x ? e 时 f '( x) ? 0 ∵当 0 ? x ? e 时 f '( x ) ? x2 ∴函数 f ( x ) 在 (0, e] 上单调递增,在 [e, ??) 上单调递减 1 ∴当 x ? e 时函数有最大值 f ( x ) max ? f (e) ? ? 1 e (2)由(1)知函数 f ( x ) 在 (0, e] 上单调递增,在 [e, ??) 上单调递减[来源:Z*xx*k.Com] e 故①当 0 ? 2m ? e 即 0 ? m ? 时 f ( x ) 在 [ m, 2m] 上单调递增 2 ln 2m ∴ f ( x ) max ? f (2m) = ?1 2m ②当 m ? e 时 f ( x ) 在 [ m, 2m] 上单调递减 ln m ∴ f ( x ) max ? f ( m) = ?1 m e ③当 m ? e ? 2m ,即 ? m ? e 时 2 1 f ( x) max ? f (e) ? ? 1 e 1 (3)由(1)知当 x ? (0, ??) 时, f ( x ) max ? f (e) ? ? 1 e ln x 1 ln x 1 ∴在 (0, ??) 上恒有 f ( x ) ? ? 1 ? ? 1 ,即 ? 且仅当 x ? e 时“=”成立 x e x e 1 ∴对任意的 x ? (0, ??) 恒有 ln x ? x e 1? n 1? n 1? n 1 1? n 1? n e 1? n ∵ ? 0且 ? e ∴ ln ? ? ? ln( ) ? n n n e n n n 1? n e 1? n ? 即对 ?n ? N ,不等式 ln( 恒成立. ) ? n n 20.解: (1)因为数列: 1, 2, 4, m ( m ? 4) 是“兑换系数”为 a 的“兑换数列” 所以 a ? m, a ? 4, a ? 2, a ? 1 也是该数列的项,且 a ? m ? a ? 4 ? a ? 2 ? a ? 1 故 a ? m ? 1, a ? 4 ? 2 即 a ? 6, m ? 5 。
19.解: (1)∵

f '( x) ?

(2)设数列 若 b1

?bn ? 的公差为 d ,因为数列 ?bn ? 是项数为 n0 项的有穷等差数列

? b2 ? b3 ? ? ? bn0 ,则 a ? b1 ? a ? b2 ? a ? b3 ? ? ? a ? bn0
67

即对数列

?bn ? 中的任意一项 bi (1 ? i ? n0 ) a ? bi ? b1 ? (n0 ? i )d ? bn ?1?i ? ?bn ?
? b2 ? b3 ? ? ? bn0 , a ? bi ? b1 ? (n0 ? i )d ? bn0 ?1?i ? ?bn ? 也成立,
; ?bn ? 是 “兑换数列”
0

同理可得:若 b1

由“兑换数列”的定义可知,数列 又因为数列

?bn ? 所有项之和是 B ,所以 B ?

(b1 ? bn0 ) ? n0 2

?

a ? n0 2

,即 a

?

(3)假设存在这样的等比数列 因为数列 则 a ? c1

?cn ? ,设它的公比为 q(q ? 1) ,

2B n0

?cn ? 为递增数列,所以 c1 ? c2 ? c3 ? ? ? cn ? ?
? a ? c2 ? a ? c3 ? ? ? a ? cn ? ?

,则 ?cn ? 为“兑换数列” a ? ci ? ?cn ? (i ? 1, 2,?) ,所以 a ? ci 是正整数 故数列 ?cn ? 必为有穷数列,不妨设项数为 n 项, 又因为数列 则 ci

? cn ?1?i ? a (1 ? i ? n)
a 2 ,又 c2 ? c1 ? c3 ,由此得 q ? 1 ,与 q ? 1 矛盾; 2 n ?1 ②若 n ? 4 。由 c1 ? cn ? c2 ? cn ?1 ,得 c1 ? c1q ? c1q ? c1q n ? 2 ? 0
? 3, 则有 c1 ? c3 ? a, c2 ?
n?2

① 若n ②

即 ( q ? 1)(1 ? q

) ? 0 ,故 q ? 1 ,与 q ? 1 矛盾;

综合①②得,不存在满足条件的数列 (1)是否存在实数 b ,使得 不存在,请说明理由; (2) 如果当 x

?cn ? 。
2? 2? ) 为增函数, ( , ? ) 为减函数,若存在,求出 b 的值,若 3 3

f ( x) 在 (0,

? 0 时,都有 f ( x) ? 0 恒成立,试求 b 的取值范围.

数学附加题部分 2 21. (A)解:AD =AE·AB,AB=4,EB=3 ???????4 分 △ADE∽△ACO, ????????8 分 CD=3 ?????10 分 23. ⑴ a n ?1

?1?

an 1 1 1 1 1 ;⑵ (1 ? )(1 ? )(1 ? )? (1 ? ) ≤ 3 ? . n a1 a2 a3 an n

(B)解: (Ⅰ) M 1

?0 ?1? ? 2 ? ?0 ?1? ? 2 ? ? ?1? ?? ? , M 1 ? 1 ? ? ?1 0 ? ? 1 ? ? ? 2 ? ?1 0 ? ? ? ? ?? ? ? ? 所以点 P (2,1) 在 T1 作用下的点 P ' 的坐标是 P '( ?1, 2) 。??????????5 分 ?1 ?1? ? M 2 M1 ? ? ?, ?1 0 ? ? x0 ? ? x? 设 ? ? 是变换后图像上任一点,与之对应的变换前的点是 ? ? , ? y? ? y0 ?
则M

(Ⅱ) M

? x0 ? ? x ? ? x ? y0 ? x ? x0 ? y ? ? ? ,也就是 ? 0 ,即 ? , ?y ? ? x0 ? y ? y0 ? y ? x ? 0 ? ? y?
68

所以,所求曲线的方程是 。 (C)解:由已知圆的半径为 又圆的圆心坐标为

y ? x ? y 2 。?????????????????10 分

AB ? 22 ? (2 3) 2 ? 2 ? 2 ? 2 3 cos

?
6

? 2 ,???4 分

A(2, 0) ,所以圆过极点, 所以,圆的极坐标方程是 ? ? 4 cos ? 。?????????????????10 分 1 1 1 1 1 1 1 1 (D)证明: ? < 1 ? ? 2 ? ? ? n?1 =2- n?1 ? ?? ? 1 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ? ? ? n 2 2 2 2
22. (1) (-3,9/2) (2)

<2

y ? x2 ?

1 ? 1( x ? 0) 2x2

23. (本小题满分 10 分) 已知 a n
1 2 3 n ? An ? An ? An ? ? ? An (n ? N ? ) ,当 n ≥ 2 时,求证:

an ; n 1 1 1 1 1 (2) (1 ? )(1 ? )(1 ? )? (1 ? ) ≤ 3 ? . a1 a2 a3 an n (n ? 1)! n! k ?1 ?n? ? nA k ?1 (2 ? k ? n) , 23.(1)因为 A n ? n (n ? k )! [(n ? 1) ? (k ? 1)]! an 1 1 ? (A1 ? A 2 ? ? ? A n ) = [n ? (nA 1 ?1 ? ? ? nA n ?1 )] 所以当 n ? 2 时, n n ?1 n n n n n n ? 1 ? (A 1 ?1 ? ? ? A n ?1 ) ? 1 ? a n ?1 . n n ?1 an 所以 a n ?1 ? 1 ? . ?? ??????????????????????4 分 n a n ?1 ? 1 a a 1 ? n ,即 1 ? ? n , (2)由(1)得 a n ?1 na n ?1 a n ?1 na n ?1 a n ?1 a a a 1 1 1 1 所以 (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ?? ? (1 ? ) ? 2 ? 3 ? 4 ? a1 a2 a3 an 2a1 3a2 4a3 (n ? 1)a n
(1) a n ?1

?1?

an ?1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ?1 ? (A 1 ?1 ? A 2 ?1 ? ? ? A n ?1 ) ? ? n n n ?1 n! (n ? 1)! 2! 1! (n ? 1)! (n ? 1)! 1 1 1 1 1 1 1 1 ?2 ?( ? )?( ? ) ? ? ? (1 ? ) ? 2 ? ? ??? 1? 2 n ?1 n n ?1 n ? 2 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) ?
?3? 1 . n
????????????????????????10 分

[另法:可用数学归纳法来证明

1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ?1 ? 3 ? ] n! (n ? 1)! 2! 1 ! n

69


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