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www.144144q.com:河北省衡水市冀州中学2015届高三上学期第四次月考理科数学试题

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冀州中学高三年级第四次月考理科数学试题
考试时间 120 分钟 试题分数 150 分

第Ⅰ 卷(选择题 共 60 分) 一.选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。) 1、设复数 z 满足 A、 ? 2 ? i
1 ? 2i ? i ,则 z =( z B、 ? 2 ? i
x 2

) C、 2 ? i D、 2 ? i )

2、设集合 P={x| ?0 (3t ? 10t ? 6)dt ? 0, x ? 0 },则集合 P 的非空子集个数是( A、2 B、3 C、7 D 、8 3、下列说法中正确的是 ( ) 2 A、若命题 p : ?x ? R 有 x ? 0 ,则 ?p : ?x ? R 有 x 2 ? 0 ; 1 1 B、若命题 p : ? 0 ,则 ?p : ? 0; x ?1 x ?1 C、若 p 是 q 的充分不必要条件,则 ?p 是 ?q 的必要不充分条件; 1 D、方程 ax 2 ? x ? a ? 0 有唯一解的充要条件是 a ? ? 2 4、已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该 几何体的体积是 ( ) 3 3 3 A、48cm B、78cm C、88cm D、98cm3 5、函数 f ( x) ? x ? 5 ? 2 x ?1 的零点所在的区间是( A、 (0,1) B、 (1,2) C、 (2,3) D、 (3,4) )

6、将函数 y ? sin 2 x 的图像向右平移

个单位,再向上平移 4 1 个单位,所得函数图像对应的解析式为 ( ) 2 2 A、 y ? 2 sin x B、 y ? 2 cos x

?

? C、 y ? sin( 2 x ? ) ? 1 D、 y ? ? cos 2 x 4 7、运行如图所示的程序,若结束时输出的结果不小于 3, 则 t 的取值范围为( ) 1 1 1 1 A、 t ? B、 t ? C、 t ? D、 t ? 4 8 4 8 2 * 8、已知函数 y ? an x ( an ? 0, n ? N )的图象在 x ? 1 处的切线
斜率为 2an?1 ? 1 ( n ? 2, n ? N * ) ,且当 n ? 1 时,其图象经过

? 2,8? ,则 a7 ?
( )

A、

1 2

B、 5

C 、6

D、7

9、 已知 a ,b 是平面内两个互相垂直的单位向量, 若向量 c 满足 (a ? c) ? (b ? c) ? 0 ,则 c 的

2 ( ) 2 10、将 A,B,C,D,E 五种不同的文件放入编号依次为 1,2,3,4,5,6,7 的七个 抽屉内,每个抽屉至多放一种文件,若文件 A、B 必须放入相邻的抽屉内,文件 C、 D 也必须放在相邻的抽屉内,则所有不同的放法有 ( ) A、192 B、144 C、288 D、240 2 2 1 x y 11、 若椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? , 右焦点为 F (c, 0) , 方程 ax2 ? 2bx ? c ? 0 2 a b 的两个实数根分别是 x1 , x2 ,则点 P( x1 , x2 ) 到原点的距离为( )

最大值是 A、1

B、2

C、 2

D、

7 4 ?log 2 x, x ? 0 ? 12、已知偶函数 y ? f ( x), x ? R 满足: f ( x) ? x2 ? 3x( x ? 0) ,若函数 g ( x) ? ? 1 ,则 ? , x ? 0 ? ? x y ? f (x ) ? g (x ) 的零点个数为 ( ) A、1 B、 3 C、2 D、4

A、 2

B、

7 2

C、2

D、

第Ⅱ 卷

(非选择题)

二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。将答案填入答题纸相应位置) 1 13、二项式 ( x ? 3 )5 的展开式中常数项为 (用数字作答) 。 x x2 y 2 1 14、若双曲线 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的 ,则 a b 4 该双曲线的离心率为 。 ?x ? y ? 1 ? 15、已知 x、y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1, 若目标函数 z ? ax ? by ? a ? 0, b ? 0 ? 的最大值为 ?2 x ? y ? 2 ?
3 4 7,则 ? 的最小值为 。 a b 16、已知三棱锥 P ? ABC 的所有棱长都相等,现沿 PA, PB, PC 三条侧棱剪开,将其表面

展开成一个平面图形,若这个平面图形外接圆的半径为 2 6 ,则三棱锥 P ? ABC 的 内切球的表面积为 。 三、解答题(共 6 小题,共 70 分;要求写出必要的文字说明,解题过程和演算步骤) 17、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? a sin 2 x ? b sin x cos x 满足 f ( ? ) ? f ( 3? ) ? 2
6 2

(1)求实数 a , b 的值以及函数 f ( x) 的最小正周期;

(2)记 g ( x) ? f ( x ? t ) ,若函数 g ( x) 是偶函数,求实数 t 的值. 18、 (本小题满分 12 分) 某中学随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间(单位:分钟) ,并将所得数据 绘制成频率分布直方图(如图) ,其中上学路上所需时间的范围是 [0,100] ,样本数据分 组为 [0, 20) , [20, 40) , [40,60) , [60,80) , [80,100] . (Ⅰ)求直方图中 x 的值; (Ⅱ)如果上学路上所需时间不少于 1 小时的学生可申请在学校住宿,若招生 1200 名, 请估计新生中有多少名学生可以申请住宿; (Ⅲ) 从学校的高一学生中任选 4 名学生,这 4 名学生中上学路上所需时间少于 20 分钟 的人数记为 X ,求 X 的分布列和数学期 望. (以直方图中的频率作为概率)

19、 (本小题满分 12 分) 已知四棱锥 P ? ABCD 中, PA ^ 平面 ABCD , 底面 ABCD 是边长为 a 的菱形, ?BAD ? 120? , PA ? b . (Ⅰ)求证:平面 PBD ? 平面 PAC ; (Ⅱ)设 AC 与 BD 交于点 O , M 为 OC 中点, 若二面角 O ? PM ? D 的正切值为 2 6 , 求 a : b 的值.

20、 (本小题满分 12 分)
1 已知抛物线 y 2 ? 4 x ,直线 l : y ? ? x ? b 与抛物线交于 A, B 两点. 2 x (Ⅰ)若 轴与以 AB 为直径的圆相切,求该圆的方程; (Ⅱ)若直线 l 与 y 轴负半轴相交,求 ?AOB 面积的最大值.

21、 (本小题满分 12 分)
1? a (a ? R) . x (Ⅰ)当 a ? 1 时,求曲线 f ( x) 在 x ? 1 处的切线方程; (Ⅱ)设函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,求函数 h( x) 的单调区间;

已知函数 f ( x) ? x ? a ln x, g ( x) ? ?

(Ⅲ)若在 ?1, e? (e ? 2.718...) 上存在一点 x0 ,使得 f ( x0 ) < g ( x0 ) 成立,求 a 的取值范围。

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做第一题记分。在答题 卡选答区域指定位置答题,并用 2B 铅笔在答题卡上所选题目的题号涂黑。注意所做题 目的题号必须和所涂题目的题号一致。 22、(本小题满分1 0 分)选修4 — 1 :几何证明选讲. 如图,AB 是圆 O 的直径,C 是半径 OB 的中点,D 是 OB 延长线上一点,且 BD=OB, 直线 MD 与圆 O 相交于点 M、T(不与 A、B 重合) ,DN 与圆 O 相切于点 N,连结 MC,MB,OT. (Ⅰ )求证: DT ? DM ? DO ? DC ; (Ⅱ )若 ?DOT ? 60 ? ,试求 ?BMC 的大小.

23、 (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程选讲. 1 ? ? 已知直线 l 经过点 P( ,1) ,倾斜角 ? ? ,圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2 cos(? ? ) 2 6 4 (Ⅰ )写出直线 l 的参数方程,并把圆 C 的方程化为直角坐标方程; (Ⅱ )设 l 与圆 C 相交于两点 A, B ,求点 P 到 A, B 两点的距离之积.

24、 (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲. 已知函数 f(x) = |x + a| + |x-2|. (1)当 a =-3 时,求不等式 f(x)≥3 的解集; (2)若 f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求 a 的取值范围。

河北冀州中学高三年级第四次月考 理科数学答题卡
班级 考场 准考证号 姓名 条形码粘贴区(居中)

缺考 违纪

注意事项
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写 清楚,并认真在规定位置贴好条形码。 2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂; 非选择题必须使 用 0.5 毫米及以上黑色字迹的签字笔书写, 要求 字体公整,笔记清楚。 3.严格按照题号在相应的答题区域内作答,超出 答题区域书写的答案无效; 4.保持卡面清洁,不装订,不要折叠,不要破损。

填涂样例 正确填涂 错误填涂

一. 选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1 a b c d 2 a b c d 3 a b c d 4 a b c d 5 a b c d 6 a b c d 7 a b c d 8 a b c d 9 a b c d 10 a b c d 11 a b c d 12 a b c d

二. 填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13、 15、 三. 解答题 17、 (12 分) 14、 16、

18、 (12 分)

19、 (12 分)

20、 (12 分)

21、 (12 分)

(10 分)
请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做 第一题记分。在答题卡选答区域指定位置答题,并用 2B 铅笔在答 题卡上所选题目的题号涂黑。 注意所做题目的题号必须和所涂题目 的题号一致。

河北冀州中学高三年级第四次月考理数答案
一、选择题:CBCDCA BBCDAB

二、填空题:13、-10; 三、解答题:

14、

2 3 ; 3

15、7;

16、 3?

? ? f( )?2 ? ? ?a ? 3b ? 8 ?a ? 2 ? 6 17、解(1)由 ? 得, ? 解得 ? ……3 分 ? ?b ? 2 3 ?a ? 2 ? f ( 3? ) ? 2 ? ? 2 将 a ? 2 , b ? 4 3 代入 f ( x) ? a sin 2 x ? b sin x cos x 得 f ( x) ? 2 sin 2 x ? 2 3 sin x cos x
所以 f ( x) ? 1 ? cos2 x ? 3 sin 2 x ? 1 ? 2 sin( 2 x ? 所以函数 f ( x) 的最小正周期 T ? (2)由(1)得 f ( x ? t ) ? 2 sin[ 2( x ? t ) ?

?
6

) …………5 分

2? ? ? …………6 分 2

?? ? ] ? 1 ,所以 g ( x) ? 2 sin? 2 x ? 2t ? ? ? 1 ……8 分 6 6? ? 函数 g ( x) 是偶函数,则对于任意的实数 x ,均有 g (? x) ? g ( x) 成立。
?? ??

?

? ?? ? ?? ? ? 2 x? ? sin ?? 2t ? ? ? 2 x? 6? 6? ? ?? ? ?? ? 整理得, cos? 2t ? ? sin x ? 0 对于任意的实数 x 均成立, 6? ? ? ? k? ? ?? ? ? , k ? Z ……12 分 只有 cos? 2t ? ? ? 0 ,解得 2t ? ? k? ? ,所以 t ? 6 2 2 3 6? ? 18、解: (Ⅰ)由直方图可得: 20 ? x ? 0.025 ? 20 ? 0.0065 ? 20 ? 0.003 ? 2 ? 20 ? 1 . 3分 所以 x = 0.0125 . 1 0.003 ? 2 ? 20 ? 0.12 (Ⅱ)新生上学所需时间不少于 小时的频率为: , 1200 6分 ,所以 名新生中有 名学生可以申请住宿. 144 1200 ? 0.12 ? 144 因为 (Ⅲ) X 的可能取值为 0,1, 2,3, 4. 由直方图可知,每位学生上学所需时间少于 20 分钟的概率为
所以 sin ?? 2t ?

??

1 81 ? 3? , P( X ? 0) ? ? ? ? , 4 ? 4 ? 256
2 2 2 4

4

? 1 ?? 3 ? 27 , P( X ? 1) ? C1 4 ? ?? ? ? ? 4 ?? 4 ? 64
3
4

3

1 27 ?1? ? 3? ?1? ? 3? 3 ?1? , P( X ? 3) ? C3 , P( X ? 4) ? ? ? ? . P( X ? 2) ? C ? ? ? ? ? 4? ? ? ?? ? 4 ? 256 ? 4 ? ? 4 ? 128 ? 4 ? ? 4 ? 64 所以 X 的分布列为: 0 1 2 3 4 X 81 27 27 1 3 P 256 64 128 256 64 81 27 27 3 1 1 EX ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3? ? 4 ? ? 1 .(或 EX ? 4 ? ? 1 ) 256 64 128 64 256 4 12 分 所以 X 的数学期望为 1 .
19.解: (Ⅰ) 因为 PA⊥平面 ABCD,所以 PA⊥BD………………2 分 又 ABCD 为菱形,所以 AC⊥BD,所以 BD⊥平面 PAC………………4 分 从而平面 PBD⊥平面 PAC. ……………6 分

(Ⅱ)如图,以 A 为原点, AD, AP 所在直线为 y 轴, z 轴 建立空间直角坐标系,则

P(0, 0, b), D(0, a, 0) , M (

3 3 3 a, a, 0) , 8 8

O(

3 1 a, a, 0) …………8 分 4 4

从而

PD ? (0, a, ?b), PM ? (
OD ? (?

3 3 3 a, a, ?b) 8 8

3 3 a, a, 0) ………………9 分 4 4
3 3 a, a, 0) .……10 分 4 4

因为 BD⊥平面 PAC,所以平面 PMO 的一个法向量为 OD ? (? 设平面 PMD 的法向量为 n ? ( x, y, z) ,由 PD ? n, PM ? n 得

3 3 3 ax ? ay ? bz ? 0 8 8 5 5 b, y ? b, z ? a ,即 n ? ( b, b, a ) ……………11 分 取x? 3 3 3 3 PD ? n ? ay ? bz ? 0, PM ? n ?
设 OD 与 n 的夹角为 ? ,则二面角 O ? PM ? D 大小与 ? 相等从而 tan ? ? 2 6 ,得 cos ? ?

1 5

5 3 ? ab ? ab OD ? n 1 12 4 cos ? ? ? ? 5 | OD | ? | n | a 52 2 12 b ? a2 4 27 4 b ? 3 a a : b ? 4 : 3 从而 ,即 .

……………12 分 1 ? ?y ? ? x ? b 20.解: 2 (Ⅰ)联立 ? ,消 x 并化简整理得 y 2 ? 8 y ? 8b ? 0 . 2 ? ? y ? 4x 依题意应有 ? ? 64 ? 32b ? 0 ,解得 b ? ?2 . 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 y1 ? y2 ? ?8, y1 y2 ? ?8b , 设圆心 Q( x0 , y0 ) ,则应有 x0 ?

x1 ? x2 y ? y2 , y0 ? 1 ? ?4 . 2 2

因为以 AB 为直径的圆与 x 轴相切,得到圆半径为 r ?| y0 |? 4 , 又 | AB |? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? (1 ? 4)( y1 ? y2 )2 ? 5[( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 ] ? 5(64 ? 32b) .
8 所以 | AB |? 2r ? 5(64 ? 32b) ? 8 ,解得 b ? ? . 5 48 24 所以 x1 ? x2 ? 2b ? 2 y1 ? 2b ? 2 y2 ? 4b ? 16 ? ,所以圆心为 ( , ?4) . 5 5 24 2 2 故所求圆的方程为 ( x ? ) ? ( y ? 4) ? 16 .……………6 分 5 (Ⅱ)因为直线 l 与 y 轴负半轴相交,所以 b ? 0 , 又 l 与抛物线交于两点,由(Ⅱ)知 b ? ?2 ,所以 ?2 ? b ? 0 ,

直线 l : y ? ? 所以 S?AOB ?

1 | ?2b | ?2b ? x ? b 整理得 x ? 2 y ? 2b ? 0 ,点 O 到直线 l 的距离 d ? , 5 5 2
令 g (b) ? b3 ? 2b2 , ?2 ? b ? 0 ,
4 (? ,0) 3 -

1 | AB | d ? ?4b 2 2 ? b ? 4 2 b3 ? 2b2 . 2 4 4 4 g ?(b) ? 3b2 ? 4b ? 3b(b ? ) , b (?2, ? ) ? 3 3 3
g ?(b) g (b)



0 极大

4 32 4 32 3 由上表可得 g (b) 的最大值为 g (? ) ? .所以当 b ? ? 时, ?AOB 的面积取得最大值 . 3 27 3 9 ……………12 分

+? ? , 21、解析: (Ⅰ) f ? x ? 的定义域为 ? 0,
当 a ? 1 时, f ? x ? =x ? ln x , f ' ? x ? ? 1 ?

1 x ?1 ' , f ?1? =1 , f ?1? =0 ,切点 ?1,1? ,斜率 k ? 0 ? x x ∴曲线 f ? x ? 在点 ?1,1? 处的切线方程为 y ? 1 ………………………………… 4 分
1? a ? a ln x , x ' ' ①当 a ? 1 ? 0 时,即 a ? ?1 时,在 ? 0,1 ? a ? 上 h ? x ? ? 0 ,在 ?1 ? a, ?? ? 上 h ? x ? ? 0 ,
(Ⅱ) h ? x ? ? x ?
'

h?( x) ? 1 ?

1 ? a a x 2 ? ax ? (1 ? a ) ( x ? 1)[ x ? (1 ? a )] ? ? ? x2 x x2 x2 ……5 分

所以 h ? x ? 在 ? 0,1 ? a ? 上单调递减,在 ?1 ? a, ?? ? 上单调递增;………………………6 分

+? ? 上 h ? x ? ? 0 ,所以函数 h ? x ? 在 ? 0, +? ? 上单调递增. ②当 a ? 1 ? 0 ,即 a ? ?1 时,在 ? 0,
(Ⅲ)在 ?1,e ? 上存在一点 x0 ,使得 f ? x0 ? ? g ? x0 ? 成立,即在 ?1,e ? 上存在一点 x0 ,使得 ………………………………… 8 分

1? a ? a ln x 在 ?1,e? 上的最小值小于零.……9 分 x 由(Ⅱ)可知:①当 a ? 1 ? e ,即 a ? e ? 1 时, h ? x ? 在 ?1,e ? 上单调递减,

h ? x0 ? ? 0 ,即函数 h ? x ? ? x ?

所以 h ? x ? 的最小值为 h ? e ? ,由 h ? e ? ? e ?

e2 ? 1 1? a , ? a ? 0 可得 a ? e ?1 e

e2 ? 1 e2 ? 1 因为 ;………………………………… 10 分 ? e ? 1 ,所以 a ? e ?1 e ?1 ②当 a ? 1 ? 1 ,即 a ? 0 时, h ? x ? 在 ?1,e ? 上单调递增,
所以 h ? x ? 最小值为 h ?1? ,由 h ?1? ? 1 ? 1 ? a ? 0 可得 a ? ?2 ;…………………11 分 ③当 1 ? a ? 1 ? e ,即 0 ? a ? e ? 1 时,可得 h ? x ? 最小值为 h ?1 ? a ? ? 2 ? a ? a ln ?1 ? a ? , 因为 0 ? ln ?1 ? a ? ? 1 ,所以, 0 ? a ln ?1 ? a ? ? a 故 h ?1 ? a ? ? 2 ? a ? a ln ?1 ? a ? ? 2 此时不存在 x0 使 h ? x0 ? ? 0 成立. 综上可得所求 a 的范围是: a ?

e2 ? 1 或 a ? ?2 .………………12 分 e ?1

22、 (Ⅰ)证明:因 MD 与圆 O 相交于点 T,由切割线定理 DN 2 ? DT ? DM , DN 2 ? DB ? DA , 得 DT ? DM ? DB ? DA ,设半径 OB= r (r ? 0) ,因 BD=OB,且 BC=OC= 则 DB ? DA ? r ? 3r ? 3r 2 , DO ? DC ? 2r ?

r , 2

3r ? 3r 2 ,所以 DT ? DM ? DO ? DC. ……5 分 2 (Ⅱ)由(1)可知, DT ? DM ? DO ? DC ,且 ?TDO ? ?CDM , 故 ?DTO ∽ ?DCM ,所以 ?DOT ? ?DMC ; ………………………… 8 分 根据圆周角定理得, ?DOT ? 2?DMB ,则 ?BMC ? 30 ?. …………… 10 分

2 4、解:当 a =-3 时, f ( x) ? ?

不等式 f(x)≥3 的解集为 x x ? 1, 或x ? 4

?

x?2 ? ?? 2 x ? 5 1 2 ? x ? 3, ? x?3 ? 2x ? 5

?……………………5 分

(Ⅱ) |x + a| + |x-2|≤|x-4|,有|x + a| ≤|x-4|-|x-2|, 当 x ? [1,2] 有|x + a| ≤(4-x)-(2-x)=2, 即 ? 3 ? a ? 0 ……………………10 分


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