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高一数学:平面向量期末复习练习新人教A版必修5


高一数学复习——平面向量
班级 姓名

一、 复习要点
1.向量的三种线性运算及运算的三种形式。 向量的加减法,实数与向量的乘积,两个向量的数量积都称为向量的线性运算,前两者的 结果是向量,两个向量数量积的结果是数量。每一种运算都可以有三种表现形式:图形、符 号、坐标语言。主要内容列表如下: 运 算 图形语言 符号语言
??? ??? ??? ???

坐标语言 记 OA =(x1,y1), OB =(x1,y2) 则 OA + OB =(x1+x2,y1+y2)
??? ??? ???

OA + OB = OC
???

加法与减法

OB - OA = AB

???

???

??? ? ??? ??? AB ? OB - OA = (x2-x1,y2-y1)

OA + AB = OB
实数与向量 的乘积
?
???

???

???

???

AB =λ a
λ ∈R

?

记 a =(x,y) 则λ a =(λ x,λ y)
? ?

?

两个向量 的数量积 2.重要定理、公式

a · b =| a || b |
cos< a , b >
? ?

?

?

记 a =(x1,y1), b =(x2,y2) 则 a · b =x1x2+y1y2
? ?

?

?

(1)向量共线定理:如果有一个实数 ? 使 b ? ? a(a ? 0), 那么 b 与 a 是共线向量;反之,如 果 b与a(a ? 0) 是共线向量,那么有且只有一个实数 ? ,使 b ? ? a 。 (2)平面向量基本定理;如果 e 1 , e 2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于该平面内 任一向量 a ,有且只有一对数数λ 1,λ 2,满足 a =λ
? ? ? ?
?
1

?

? ?

?

?

?

? ? ?

?

?

?

?

?

e 1 +λ
?

?
2

e2。

(3)两个向量平行 :设 a =(x1,y1) , b =(x2,y2),则 a ∥ b ? b ? ? a ? x1y2-x2y1=0 (4)两个向量垂直:设 a =(x1,y1), b =(x2,y2),则 a ⊥ b ? a ? b ? 0 ? x1x2+y1y2=0 (5)线段定比分点公式: 设 P1 P ? ? PP2 , 则 OP ?
??? ???
???

?

?

?

?

?

?

?

? ?

1 ??? ? ??? OP ? OP2 1 1? ? 1? ?

x ? ?x 2 ? x? 1 ? ? 1? ? 设 P(x,y) ,P1(x1,y1) ,P2(x2,y2),则 ? ? y ? y 1 ? ?y 2 ? 1? ? ?

二、 例题讲解
1、平面向量 a ? (3, ,?4),b ? (2, x), c ? (2, y),已知 a ∥ b , a ? c ,求 b、 c 及 b与c 夹角。

2、已知向量 m = ( cos? , sin ? )和 n =( 2 ? sin ? , cos? ), (1)求 | m ? n

??

?

? ? ? ?,

? 3? ? . ? 2? ?

?? ?

| 的最大值;
4 10 ,求 sin 2? 的值. 5

(2)若 | m ? n | =

?? ?

3、 已知 A 、B 、C 三点的坐标分别为 A(3,0) 、B(0,3) 、C (cos? , sin ? ) ,? ? ( (1)若 AC ? BC ,求角 ? 的值; (2)若 AC ? BC ? ?1 ,求

? 3?
2 , 2

),

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

2 sin 2 ? ? sin 2? 的值。 1 ? tan?

三、 巩固练习
1、若 ABCD 为正方形, E 是 CD 的中点,且 AB ? a, AD ? b ,则 BE =

??? ?

? ????

?

??? ?





? 1? A. b ? a 2

? 1? B. b ? a 2

? 1? C. a ? b 2

? 1? D. a ? b 2

2、已知 a ? (1, 2), b ? ( x,1), 且 (a ? 2b) //(2a ? b) ,则 x 的值为

?

?

?

?

? ?
1 3





A. 1
?? ? ?

B. 2
?? ? ? ?? ?
?

C.

D.
?

1 2


3、△OAB 中, OA = a , OB = b , OP = p ,若 p = t ( A、∠AOB 平分线所在直线上 C、AB 边所在直线上

?

a

?

|a|

?

?

b

|b|

?

) ,t∈R,则点 P 在 (

B、线段 AB 中垂线上 D、AB 边的中线上 (

4、已知点 C 在线段 AB 的延长线上,且 2 BC ? AB , BC ? ? CA, 则? 等于 ) A.3 B.

1 3

C. ? 3

D. ?

1 3

→ →→ →→ 1 → 5、设OM=(1,2), ON =(0,1),则满足条件 0≤ OP · OM≤1,0≤ OP ·ON ≤1 的动点 P 的变 动范围(图中阴影部分,含边界)是 ( ) y y 2 2 1 1 O A 1 x O B 1 x

y 2 O C 1 1 x 2 O

y 1 1 D x

6、已知向量 a ? (?2, ?1) , b ? (? ,1) ,若 a 与 b 的夹角为钝角,则 ? 的取值范围是 (

?

?

?

?



1 A . (? , 2) ? (2, ??) 2
? ?

B . (2, ??)
?

1 C . (? , ??) 2

1 D . (??, ? ) 2

7、.已知向量 OA ? (k ,12), OB ? (4,5), OC ? (?k ,10) ,且 A,B,C 三点共线,则 k=_________. 8、已知 a ? 2, b ?

?

?

? ? ? ? ? 2, a 与 b 的夹角为 45? ,若 (?b ? a) ? a, 则 ? =

.

9 、 若 对 n 个 向 量 a1 , a2 ,?, an , 存 在 n 个 不 全 为 零 的 实 数 k1 , k2 , ? , kn , 使 得

?? ?? ?

?? ?

?? ?? ? ?? ? ?? ?? ? ?? ? k1 a1 ? k 2a 2??? kn an = 0 成立,则称向量 a1, a2 ,?, an 为“线性相关”.依次规定,请你求出
一组实数 k1,k2,k3 的值,它能说明 a1 =(1,0), a2 =(1,-1), a3 =(2,2) “线性相关” :k1, k2,k3 的值分别是 , , .

10、已知 a ? (2, ?5),| b |?| a |, 且a与b互相垂直, 则 b 的坐标是

?

?

?

? ?

?

.

11、设平面内的向量 OA ? (1,7), OB ? (5,1), OM ? (2,1), 点 P 是直线 OM 上的一个动点,求 当 PA?PB 取最小值时, OP 的坐标及 ?APB 的余弦值。

??? ?

??? ?

???? ?

??? ? ??? ?

??? ?

? ? (0, ? ) ,? ? (? , 2? ) , 12、 设向量 a ? (1 ? cos ? ,sin ? ) , b ? (1 ? cos ? ,sin ? ) ,c ? (1,0) ,
? ? ? ? ? ? ?? 的值。 a 与 c 的夹角为 ?1 , b 与 c 的夹角为 ?2 ,且 ?1 ? ? 2 ? ,求 sin 3 2

?

?

?

参考答案 二、 1、 1、a ? (3,?4),b ? (2, x), a ∥ b ?
3 4 ?? 2 x 8 3 ? x ? ? ,c ? (2, y )a ? c ? y ? 3 2

8 3 ? b ? (2,? ), c ? (2, ), b ? c ? 0 ?? b, c ?? 90? 3 2 ?? ? 2、 (1) m ? n ? cos ? ? sin ? ? 2, cos? ? sin ? .

?

?

| m?n| ?

?? ?

? cos? ? sin ? ? 2 ?

2

? (cos ? ? sin ? ) 2

?? ?? ? ? ? 4 ? 2 2(cos ? ? sin ? ) = 4 ? 4 cos ? ? ? ? = 2 1 ? cos ? ? ? ? 4? 4? ? ?
∵ ? ? ?? ,

? ?

5? ? 7? ? 2 2 3? ? ?? ? ? ,∴ ,∴ ? . ? cos(? ? ) ? ? 4 4 4 4 2 2 2 ?

∴ | m ? n | max= 4 ? 2 2 . (2)由已知 | m ? n | ? = 1 ? 2 cos (? ?
2

?? ?

?? ?

? 4 10 ?? 3 ? ,得 cos ? ? ? ? ? . sin 2? ? ? cos 2(? ? ) 4 5 4? 5 ?

?
4

)

=1 ? 2 ?

9 7 ? . 25 25

3、 (1)? AC ? (cos ? ? 3,sin ? ), BC ? (cos ? ,sin ? ? 3)

??? ?

??? ?

??? ? ? AC ? (cos ? ? 3)2 ? sin 2 ? ? 10 ? 6cos ?
由 AC ? BC 得 sin ? ? cos ?

??? ? BC ? 10 ? 6sin ?
, ) ?? ?

????

??? ?

2 2 ??? ? ??? ? (2)由 AC ? BC ? ?1 ,得 (cos? ? 3) cos? ? sin ? (sin ? ? 3) ? ?1

又? ? (

? 3?

5 ? 4

? sin ? ? cos ? ?


2 5 ? 2 sin ? ? cos ? ? ? 3 9

5 2 sin 2 ? ? sin 2? 2 sin 2 ? ? 2 sin ? cos? ? 2 sin ? ? cos ? ? ? = sin ? 9 1 ? tan? 1? cos?

所以,

5 2 sin 2 ? ? sin 2? =? 。 9 1 ? tan?

三、1—6 B D A D A A

2 8、 2 3 ??? ? 11、设 OP ? ( x, y).
7、. ?

9、只要满足 ?4 : 2 :1 即可

10、 (5,2)或(-5,-2)

??? ? ???? ? ???? ? ? 点 P 在直线 OM 上,? OP 与 OM 共线,而 OM ? (2,1),
有 OP ? (2 y, y) .

? x ? 2 y ? 0, 即 x ? 2 y,

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? PA ? OA ? OP ? (1 ? 2 y,7 ? y), PB ? OB ? OP ? (5 ? 2 y,1 ? y), ??? ? ??? ? ? PA?PB ? (1 ? 2 y)(5 ? 2 y) ? (7 ? y)(1 ? y) ? 5 y 2 ? 20 y ?12 ? 5( y ? 2)2 ? 8.
故当且仅当 y ? 2, x ? 4 时, PA?PB 取得最小值 ?8 ,此时 OP ? (4, 2), PA ? (?3,5),

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

??? ? PB ? (1, ?1).

于是 PA ? 34, PB ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? 2, PA?PB ? (?3) ?1 ? 5 ? (?1) ? ?8

??? ? ??? ? PA?PB ?8 4 17 ? cos ?APB ? ??? ?? . ? ??? ? ? 17 34 ? 2 PA ?PB
12、 ?

1 2


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