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云南省蒙自市蒙自第一中学2015-2016学年高二数学4月月考试题 理


蒙自一中 2015--2016 学年下学期 4 月考试卷 高二数学(理科 )试卷
本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分.考试时间 :120 分钟 满分:150 分 第Ⅰ卷(选择题)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.) 1.已知 A ? ? x | x ? 1 ? 0? , B ? ??2, ?1, 0,1? ,则 (CR A) ? B ? A. ??2? B. ??2, ?1? C. ??1, 0,1? D. ?0,1? ( )

2. 若 A(?1,2), B(0,?1) ,且直线 AB ? l ,则直线 l 的斜率为 A. ? 3 B. 3 C. ?

1 3


D.

1 3
开始 输入n i=1, s=1
)

2 3.方 程 3x ? 4 x ? 1 ? 0 的两个根可分别作为



A.一椭圆和一双曲线的离心率 C.一椭圆和一抛物线的离心率 4、已知函数 f ( x) ? ax ? c ,且
2

B.两抛物线的离心率 D.两椭圆的离心率 )

f ?(1) ? 2 ,则 a 的值为(
C.-1 D. 0

A.1

B. 2

5.执行如图所示的程序框图,若输入 n 的值为 3,则输出 s 的值是( A.1 B.2 C.4 D.7

i≤n 是 s=s+(i-1) i=i +1

否 输出s 结束

6.函数 f(x)=sinx+cosx 在点(0,f(0))处的切线方程为( ) A.x-y+1=0 B.x-y-1=0 C.x+y-1=0 D.x+y+1 =0 7.已知条件 p : x ? 1 ,条件 q : A.充分不必要条件 C.充要条件 8.若复数 z 满足 i ? z ? ? A. ?

1 ? 1 , 则 p 是 ?q 成立的 ( x
B.必要 不充分条件 D.既非充分也非必要条件

)

图 1

1 (1 ? i ) ,则 z 的共轭复数的虚部是( 2
C. ?



1 i 2

B.

1 i 2

1 2

D. )

1 2

9.一几何体的三视图如图所示,则它的体积为( A.

3 3

B. 3

C.

4 3 3

D.

5 3 3

10.已知空间四面体 D ? ABC 的每条边都等于 1,点 E , F 分别 是 AB, AD 的中点,则 FE ? DC 等于(

??? ? ????



1

A.

1 4

B. ?

1 4

C.

3 4

D. ? )

3 4
A

D F

11、已知 f ( x) ? x ? A.最大值为 0 C.最小值为-4

1 ? 2( x ? 0) ,则 f ? x ? 有( x

C E B

B.最小 值为 0 D.最大值为-4

12 、 正 项 等 比 数 列 {an } 中 的

a1 , a4031 是 函 数 f ( x ) ?

1 3 x ? 4x2 ? 6x ? 3 的 极 值 点 , 则 3

log 6 a2016 ? ( )
A. ? 1 B. 1 C. 2 D. 2

第Ⅱ卷(非选择题) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 5 13. 已知α 是第二象限角,sin α = ,则 cos α =________. 13 14 、 已 知 集 合 ? ? ?1, 3, , ? ? ?4? , ? ? ? ? ? , 则 复 数 z 等 zi? ( 其 中 i 为 虚 数 单 位 ) 于 .

15.如图,阴影部分的面积是___________.

x2 y2 16.已知双曲线 2 ? 2 ? 1( a ? 0, b ? 0) 的左右焦点分别为 F1,F2,以|F1F2|为直径的圆与双曲线 a b
渐近线的一个交点为(1,2),则此双曲线方程为 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程.) 17. (本小题满 分 10 分) 在△ABC 中,a,b,c 分 别为角 A,B,C 所对的边,角 C 是钝角,且 sin B ? (Ⅰ)求角 C 的值; (Ⅱ)若 b ? 2 ,△ABC 的面积为 3 ,求 c 的值. 18. (本小题满分 12 分) 20 名学生某次数学考试成绩(单位:分)的 频率分布直方图如下:
b . 2c

.

2

(1)求频率分布直方图中 a 的值; (2)分别求出成绩落在 ?50,60? 与 ?60,70? 中的学生人数; (3)从成绩在 ?50,70? 的学生中任选 2 人,求此 2 人的成绩都在 ?60,70? 中的概率.

19. (本小题满分 12 分)

M 是 ? A1B1C1D1 中, AB ? AA 如图,长方体 ABCD 1 ? 1 , BC ? 2 , AD 中点,
A1 D M A

D1

N B1

C1

N 是 B1C1 中点. (Ⅰ) 求证: NA1 // CM ;
(Ⅱ)求证:平面 A1MCN ⊥平面 A1BD1 .

C B

20、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? a ln x ? bx , a, b ? R .若 f ( x ) 在 x ? 1 处与直线 y ? ?
2

1 相切. 2

(1)求 a , b 的值; (2)求 f ( x ) 在 [ , e ] 上的最大值.

1 e

21. (本小题满分 12 分)

3

已知数列 ?an ? 满足 a1 =2, an?1 ? 3an ? 2 ( n ? N * ) (1)求证:数列 ?an ?1 ? 是等比数列; (2)设 bn ? nan ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .

22. (本小题满分 12 分)

x2 ? y 2 ? 1的左、右焦点. 4 ???? ???? 5 (1)若 P 是第一象限内该图形上的一点, PF1 ? PF2 ? ? ,求点 P 的坐标; 4 (2)设过定点 M (0,2) 的直线 l 与椭圆交于同的两点 A、B ,且 ?AOB 为锐角(其中 O 为坐标原 点) ,求直线 l 的斜率 k 的取值范围.
已知 F1、F2 分别是椭圆

4

蒙自一中 2015--2016 学年下学期 4 月考 高二数学试题参考答案 一、 BDCAC ABCDA DB

12 二、 13. - 13

14. ? 4i

15.

32 3

x2 ?
16.

y2 ?1 4

三、17.解: (Ⅰ)由 sin B ?

b 2c sin B ? b ,由正弦定理得 2c 得

2sin C sin B ? sin B ,所以 sin B(2sin C ? 1) ? 0 ,

……………………… 3 分

因为 sin B ? 0 ,所以 sin C ? 因为 C 是钝角,所以 C ?

1 , 2

5? . 6

……………………………5 分

1 1 (Ⅱ)因为 S ? ab sin C ? a ? 3 , a ? 2 3 , ………………………7 分 2 2

由余弦定理得 c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C ? 12 ? 4 ? 2 ? 2 3 ? 2 ? (? 所以 c ? 2 7 ,即 c 的值为 2 7 .

3 ) ? 28 , 2

…………………10 分

18.【解析】(1)据直方图知组距为 10 ,由

(2a ? 3a ? 6a ? 7a ? 2a) ?10 ? 1, 解得 a ?

1 ? 0.005 . …………4 分 200

(2)成绩落在 ?50,60? 中的学生人数为 2 ? 0.005 ?10 ? 20 ? 2. 成绩落在 ?60,70? 中的学生人数为 3 ? 0.005 ? 10 ? 20 ? 3. …………8 分 (3)记成绩落在 ?50,60? 中的 2 人为 A1 , A2 , 成绩落在 ?60,70? 中的 3 人 B1 , B2 , B3 , 则从成绩在 ?50,70? 的学生中任选 2 人的基本事件共有 10 个:

( A1 , A2 ), ( A1 , B1 ), ( A1 , B2 ), ( A1 , B3 ), ( A2 , B1 ), ( A2 , B2 ), ( A2 , B3 ), ( B1 , B2 ), ( B1 , B3 ), ( B2 , B3 ),

5

其中 2 人的成绩都在 ?60,70? 中的基本事件有 3 个: ( B1 , B2 ), ( B1 , B3 ), ( B2 , B3 ), 故所求概率为 p ?

3 . …………12 分 10

19 .证明:以 D 为原点,分别以 DA, DC, DD1 为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正方向建立空间直角坐标 系,则 B

??? ? ???? ???? ?

?

2,1, 0 , A1

? ?

2, 0,1 , D1 ? 0, 0,1?

?

z
D1 A1 D M A B C1

? 2 ? ? 2 ? C ? 0,1, 0 ? , M ? , 0, 0 , N ,1,1 ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? .………2 分 ? ? ? ?
(Ⅰ) NA1 ? ?

N B1

????

? ? 2 ? 2 ? ???? ? , ? 1, 0 , CM ? , ? 1, 0 ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? . ? ? ? ?
x

C

y

???? ???? ? ? NA1 ? CM ,? NA1 // CM …………6 分

(Ⅱ)证法一: D1 B ?

???? ?

?

???? ? ???? ? ? 2 ? 2,1, ?1 , MN ? ? 0,1,1? , CM ? ? , ? 1, 0 ? ? 2 ?. ? ?

?

???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ? D1B ? MN ? 0+ 1?1 ? 0, D1B ? CM ? 1?1? 0 ? 0 ,
? D1B ? MN , D1B ? CM ,又 MN ? CM ? M ,…………10 分 ? D1B ⊥平面 A1MCN ,又 D1B ? 平面 A1BD1 ,
? 平面 A1MCN ⊥平面 A1BD1 .…………12 分
证法二: D1 A1 ?

?????

?

???? ? 2, 0, 0 , D1 B ?

?

?

???? ? ???? ? ? 2 ? 2,1, ?1 , MN ? ? 0,1,1? , CM ? ? , ? 1, 0 ? ? 2 ?. ? ?

?

设平面 A 1MCN 的法 向量为 n ? ( x, y, z) ,

? ???? ? ? n ? MN ? y ? z ? 0 ? ? ? ? ? ???? ,取 n ? ( 2,1, ?1) …8 分 ? 2 x? y ?0 ?n ? CM ? ? 2
设平面 A 1 BD 1 的法向量为 m ? ( x, y, z ) ,

??

6

?? ????? ? ?? ? m ? D1 A1 ? 2 x ? 0 ? ? ?? ???? ,取 m ? (0,1,1) …10 分 ? ? ?m ? D1 B ? 2 x ? y ? z ? 0

? ?? ? ?? ? n ? m ? ( 2,1, ?1) ? ? 0,1,1? ? 0 ? 1 ?1 ? 0 , ? n ? m ,
? 平面 A1MCN ⊥平面 A1BD1 .…………12 分

' 20、解: (1) f ( x ) ?

a ? 2bx . x

? f ' ( 1 )? 0 1 ? 由 函 数 f ( x) 在 x ? 1 处 与 直 线 y ? ? 相 切 , 得 ? 1 ,即 2 ? f ( 1 )? ? ? 2

?a ? 2b ? 0 ? ? 1 ,解得: ?b ? ? ? ? 2

? a ?1 ? ? 1 .……6 分 b ? ? ? 2
(2)由(1)得: f ( x) ? ln x ? 此时, f ( x) ?
'

1 2 x ,定义域为 (0, ??) . 2

1 1 ? x2 ' ' ?x? ,令 f ( x) ? 0 ,解得 0 ? x ? 1 ,令 f ( x) ? 0 ,得 x ? 1 . x x

所以 f ( x ) 在 ( ,1) 上单调递增,在 (1, e) 上单调递减, 所以 f ( x ) 在 [ , e ] 上的最大值为 f (1) ? ?

1 e

1 e

1 .…………12 分 2

21.(1)证明: ∵an+1=3an+2( n ? N ) ,
*

∴an+1+1=3(an+1) , 又∵a1+1=2+1=3, ∴数列{an+1}是以首项、公比均为 3 的等比数列; (2)解:由(1)可知 :an+1=3 , ∴bn=nan=n(3 ﹣1)=n3 ﹣n, ∴Tn=1?3 +2?3 +3?3 +…+n?3 ﹣(1+2+3+…+n) =1?3 +2?3 +3?3 +…+n?3 ﹣ 记 Qn=1?3 +2?3 +3?3 +…+n?3 , 则 Qn=1?3 +2?3 +3?3 +…+(n﹣1) ?3
0 1 2 n﹣2 1 2 3 n 1 2 3 n 1 2 3 n n n n



+n?3

n﹣1



7

两式相减得:﹣ Qn=3 +3 +3 +…+3
n

0

1

2

n﹣2

+3

n﹣1

﹣n?3

n

=

﹣n?3
n

=( ﹣n) ?3 ﹣ , ∴Qn=﹣ [( ﹣n) ?3 ﹣ ]=( ﹣ ) ?3 + , ∴Tn=1?3 +2?3 +3?3 +…+n?3 ﹣ =( ﹣ ) ?3 + ﹣
n+1 1 2 3 n n n+1



22. 解: (Ⅰ)易知 a ? 2 , b ? 1 , c ? 3 . ∴F 1 (? 3,0) , F 2 ( 3,0) .设 P ( x, y ) ( x ? 0, y ? 0) .则

???? ???? ? x2 5 PF1 ? PF2 ? (? 3 ? x, ? y )( 3 ? x, ? y ) ? x 2 ? y 2 ? 3 ? ? ,又 ? y 2 ? 1 , 4 4

7 ? 2 x ? y2 ? ?x ? 1 ? x2 ? 1 ? 3 ? 4 ? ? 联立 ? 2 ,解得 ? 2 3 ? ? 3 , P (1, 2 ) .…………6 分 ? x ? y2 ? 1 ?y ? ?y ? ? 4 ? 2 ? ?4
(Ⅱ)显然 x ? 0 不满足 题设条件.可设 l 的方程为 y ? kx ? 2 ,设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) .

? x2 ? ? y2 ? 1 联立 ? 4 ? x 2 ? 4(kx ? 2)2 ? 4 ? (1 ? 4k 2 ) x 2 ? 16kx ? 12 ? 0 ? y ? kx ? 2 ?
∴ x1 x2 ?

12 16k 2 2 , x1 ? x2 ? ? 由 ? ? (16k ) ? 4 ? (1 ? 4k ) ?12 ? 0 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k

16k 2 ? 3(1 ? 4k 2 ) ? 0 , 4k 2 ? 3 ? 0 , 得 k 2 ?

3 . ① 又 ?AOB 为 锐 角 4

? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ??? ? ?c o s ? A O B ? 0 ? O A ? O ,∴ B ? 0 OA ? OB ? x1x2 ? y1 y2 ? 0
又 y1 y2 ? (kx1 ? 2)(kx2 ? 2) ? k 2 x1x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4

8

2 ∴ x1 x2 ? y1 y2 ? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 ? (1 ? k ) ?

12 16k ? 2k ? (? )?4 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2

?

4(4 ? k 2 ) 12(1 ? k 2 ) 2k ?16k 1 ? ? 0 ∴ ? ? k 2 ? 4 .② ? ? 4 2 2 2 4 1 ? 4k 1 ? 4k 1 ? 4k

综①②可知

3 3 3 ? k 2 ? 4 ,∴ k 的取值范围是 (?2, ? ) ? ( , 2) …………12 分 4 2 2

9


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