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2019版同步文数(北师大版)课件:第二章第九节导数概念及其运算_图文

第二章 函数、导数及其应用 第九节 导数概念及其运算 高考·导航 C 目 录 ONTENTS 主干知识 自主排查 核心考点 互动探究 课时作业 高考· 导航 1.导数的概念及几何意义 (1)了解导数概念的实际背景. (2)理解导数的几何意义. 2.导数的运算 1 (1)能根据导数的定义求函数y=C(C为常数),y=x,y= x , y=x2,y=x3,y= x 的导数. (2)能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则 求简单函数的导数. 主干知识 自主排查 1.函数y=f(x)在x=x0处的导数 (1)定义:称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率 f?x0+Δx?-f?x0? liΔx m Δy →0 Δx ________________________=li Δx m 为函数y=f(x)在x= →0 Δx x0处的导数,记作f′(x0)或y′|x=x0, f?x0+Δx?-f?x0? Δy Δx 即f′(x0)=liΔx m m →0 →0 __________________. Δx=liΔx (2)几何意义:函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是 在曲线y=f(x)上点 (x0,f(x0)) 处的 切线的斜率 .相应地, 切线方程为 y-y0=f′(x0)(x-x0) 2.函数y=f(x)的导函数 如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内的每一点处都有导数,其 导数值在(a,b)内构成一个新函数,这个函数称为函数y= f(x)在开区间内的导函数.记作f′(x)或y′. . 3.基本初等函数的导数公式 基本初等函数 f(x)=c(c为常数) f(x)=x (α∈Q ) f(x)=sin x f(x)=cos x f(x)=ex f(x)=a (a>0,a≠1) x α * 导函数 f′(x)=0 α 1 αx f′(x)=_______ - cos x f′(x)=______ -sin x f′(x)=_______ ex f′(x)=___ x a ln a f′(x)=______ 基本初等函数 f(x)=ln x 导函数 1 x f′(x)=____ 1 xln a f′(x)=______ f(x)=logax (a>0,a≠1) 4.导数的运算法则 若f′(x),g′(x)存在,则有 g′(x) ; (1)[f(x)± g(x)]′= f′(x)± (2)[f(x)· g(x)]′= f′(x)g(x)+f(x)g′(x) ; f′?x?g?x?-f?x?g′?x? ? f?x? ? 2 ? ? [ g ? x ? ] (3)? ′=_______________________(g(x)≠0). ? ?g?x?? [小题诊断] 1.下列求导运算正确的是( ? 1? 1 ? ? x + A. x?′=1+x2 ? ) 1 B.(log2x)′= xln 2 C.(3x)′=3xlog3e D.(x2cos x)′=-2sin x ? 1? 1 ? ? 解析: x+x ′=1- 2;(3x)′=3xln x ? ? 3;(x2cos x)′=2xcos x-x2sin x,故选B. 答案:B 2.函数f(x)=(x+2a)(x-a)2的导数为( C ) A.2(x2-a2) C.3(x2-a2) B.2(x2+a2) D.3(x2+a2) 解析:∵f(x)=(x+2a)(x-a)2=x3-3a2x+2a3, ∴f′(x)=3(x2-a2). 3.曲线y=sin x+ex在点(0,1)处的切线方程是( C ) A.x-3y+3=0 C.2x-y+1=0 解析:∵y=sin x+ex, ∴y′=cos x+ex, ∴y′ ? ? = ?x 0 B.x-2y+2=0 D.3x-y+1=0 =cos 0+e0=2, x+ex在点(0,1)处的切线方程为y-1=2(x- ∴曲线y=sin 0),即2x-y+1=0.故选C. 4.(2018· 兰州模拟)已知直线y=2x+1与曲线y=x3+ax+b 3 相切于点(1,3),则实数b的值为________ . 解析:因为函数y=x3+ax+b的导函数为y′=3x2+a,所以 此函数的图像在点(1,3)处的切线斜率为3+a, ? ?3+a=2, 所以? ? ?3=1+a+b, ? ?a=-1, 解得? ? ?b=3. 5.(2016· 高考天津卷)已知函数f(x)=(2x+1)ex,f′(x)为f(x) 3 的导函数,则f′(0)的值为________ . 解析:因为f(x)=(2x+1)ex, 所以f′(x)=2ex+(2x+1)ex =(2x+3)ex, 所以f′(0)=3e0=3. 1.利用公式求导时要特别注意不要将幂函数的求导公式 (xα)′=αxα-1与指数函数的求导公式(ax)′=axln a混淆. 2.求曲线切线时,要分清在点P处的切线与过P点的切线 的区别,前者只有一条,而后者包括了前者. 3.曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个,这和研 究直线与二次曲线相切时有差别. [小题纠偏] 1-xln x y′= ln x x x e 1.函数y= x 的导函数为______________. e 1 x 2.已知直线y=-x+1是函数f(x)=- · e 图像的切线,则 a 2 e 实数a=________. 1 解析:设切点为(x0,y0),则f′(x0)=-a· ex0=-1, 1 ∴ex0=a,又-a· ex0=-x0+1,∴x0=2,a=e2. 核心考点 互动探究 题组练通 1.求y=x2sin x的导数. y′=(x2)′sin x+x2(sin x)′ =2xsin x+x2cos x. ? x? 2x 2.求y=-sin ?1-2cos 4?的导数. 2? ? x? 1

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