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【书城】2017届高中数学破题致胜微方法(求函数值域专题1):3.求函数值域(一)——基本函数法.doc


在求值域的问题中,往往问题可以转化为我们常见的基本函数, 这些函数的性质你是否都很熟悉, 并能灵活应用呢?今天我们就通过几个例题, 来看看基本 函数在求值域题目中的运用。

先看例题:
2 1.若集合 S ? { y | y ? 3x, x ? R}, T ? {y | y ? x ? 1, x ? R} 则 S ? T ? ______

这个题目比较基础,我们只需要根据基本函数知识,分别求出两个函数的值域即可得解

S ? { y | y ? R}, T ? { y | y ? 1}
所以 S ? T ? { y | y ? 1}

2.求函数 y ?| x ? 1| ( x ?[?2, 4]) 的值域

?1 ? x x ?[?2,1] 得: y?? ? x ? 1 x ? (1, 4]
当 x ? [?2,1] 时, 0 ? y ? 3 当 x ? (1, 4] 时, 0 ? y ? 3 此时值域为 y ? [0,3] 注意:此时求值域是求两个区间的并集,不是求交集

3.求函数 y ? 16 ? 4x 的值域是() A.[0,+∞] B.[0,4] C.[0,4) D.(0,4)

0 ? 16 ? 4x ? 16

0 ? 16 ? 4x ? 16 ? 4

所以选 C

看了几个例题,接下来我们整理出部分基本函数的值域,希望同学们能够熟练掌握。

一次函数y ? kx ? b(a ? 0)的值域为R

二次函数y ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) 4ac ? b 2 , ??); 4a 4ac ? b 2 a ? 0, 值域是(??, ]. 4a a ? 0, 值域是[
反比例函数y ? k (k ? 0)的值域为{ y | y ? R, y ? 0} x

指数函数y ? a x (a ? 0且a ? 1)的值域为{ y|y ? 0} 对数函数y ? loga x(a ? 0且a ? 1)的值域为R

三角函数y ? sin x、y ? cos x的值域是[ ? 1,1], y ? tan x的值域为R

再来练习几个题目,加深印象。 1.求函数 y ? 3sin x ? 5 因为 ?1 ? sin x ? 1 所以

?3 ? 3sin x ? 3 2 ? 3sin x ? 5 ? 8

所以原函数值域为: y ? [2,8]

2.求函数 y ? 2 x ? 4 x ? 1的值域
2

y ? 2x2 ? 4x ? 1 =2( x ? 1) 2 ? 1
当 x=1 时,函数取到最小值为-1, 所以原函数值域为: y ? [?1, ??)

总结: 基本函数的法求值域是一种很基础的方法,要求同学们对常见的 基本函数很熟悉,运用灵活。同时要能够分析出,复合函数是由哪些基本函数构成的。

练习: 1.求函数 y ? 5 ? 3sin 2 x 的值域

2.求函数 y ?

log 1 x ? 4 的值域
2

答案: 1.∵ ?1 ? sin 2 x ? 1 , ∴ ?3 ? 3sin 2 x ? 3

2 ? 5 ? 3sin 2 x ? 8

2.先看定义域

log 1 x ? 4 ? 0
2

log 1 x ? 4
2

即0 ? x ?

1 ,则 log 1 x ? 4 ? 0 ,函数值域为 y ?[0, ??) 16 2


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