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北京市东城区2015届高三5月综合练习(二)数学理


北京市东城区 2014-2015 学年度第二学期综合练习(二) 高三数学 (理科)
学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷共 5 页,共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答 无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(选择题
一项) (1) sin(?

共 40 分)

一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的

23? )? 6

(A) ?

3 2

(B) ?

1 2

(C)

1 2
4
4

(D)

3 2

(2)设 a ? log 4 ? , b ? log 1 ? , c ? ? ,则 a , b , c 的大小关系是 (A) a ? c ? b (C) c ? b ? a (B) b ? c ? a (D) c ? a ? b

(3)已知 {an } 为各项都是正数的等比数列,若 a4 ? a8 ? 4 ,则 a5 ? a6 ? a7 ? (A) 4 (C) 16 (B) 8 (D) 64

(4)甲、乙两名同学 8 次数学测验成绩如茎叶图所示, x1 , x2 分别表示甲、乙两名同学 8 次数学测验 成绩的平均数, s1 , s2 分别表示甲、乙两名同学 8 次数学测验成绩的标准差,则有 (A) x1 ? x2 , s1 ? s2 (B) x1 ? x2 , s1 ? s2 (C) x1 ? x2 , s1 ? s2 (D) x1 ? x2 , s1 ? s2
甲 乙

8 9 4 5 5 6 1 2

7 8 9

7 8 3 5 5 7 2 3

(5)已知 p , q 是简单命题,那么“ p ? q 是真命题”是“ ? p 是真命题”的 (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件
第 1 页 共 12 页

? x ? 3 y ? 3 ? 0, ? (6)若实数 x, y 满足不等式组 ? x ? y ? 1 ? 0, 则 z ? 2 | x | ? y 的取值范围是 ? y ? ?1, ?
(A) [?1,3] (C) [1,3] (B) [1,11] (D) [?1,11]

( 7 )定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 6) ? f ( x) . 当 x ? [?3,?1) 时, f ( x) ? ?( x ? 2) 2 , 当

x ? [?1,3) 时, f ( x) ? x ,则 f (1) ? f (2) ? f (3) ?
(A) 336 (C) 1676 (B) 355 (D) 2015

? f (2015) ?

(8) 为提高信息在传输中的抗干扰能力, 通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息. 设 定原信息为 a0 a1 a2 ,其中 ai ?{0,1}( i ? 0,1, 2 ) ,传输信息为 h0 a0 a1 a2 h1, h0 ? a0 ? a1 ,

h1 ? h0 ? a2 ,? 运算规则为:0 ? 0 ? 0 ,0 ? 1 ? 1 ,1 ? 0 ? 1 ,1 ? 1 ? 0 .例如原信息为111 ,
则传输信息为 01111 .传播信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错,则下列信息一 定有误的是 (A) 11010 (C) 10111 (B) 01100 (D) 00011

第 2 页 共 12 页

第二部分(非选择题
二、 填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)

共 110 分)

(9)若 ( x ? ) 的二项展开式中各项的二项式系数的和是 64 ,则 n ?
n

1 x

,展开式中的常

数项为

. (用数字作答) .

(10)已知正数 x, y 满足 x ? y ? xy ,那么 x ? y 的最小值为 (11) 若直线 ?

? x ? ?1 ? 2t, ? x ? 4 ? a cos ?, (t 为参数 ) 与曲线 ? (? 为参数,a ? 0 ) 有且只有一个公共 y ? 3 ? 2 t y ? a sin ? ? ?


点,则 a ? ( 12 ) 若 双 曲 线

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 截 抛 物 线 y 2 ? 4x 的 准 线 所 得 线 段 长 为 b , 则 2 a b
. .

a?

(13)已知非零向量 a , b 满足 | b |? 1 , a 与 b ? a 的夹角为 120 ,则 | a | 的取值范围是

(14)如图,平面中两条直线 l1 和 l2 相交于点 O ,对于平面上任意一点 M ,若 p, q 分别是 M 到直 线 l1 和 l2 的距离,则称有序非负实数对 ( p, q) 是点 M 的“距离坐标”. 给出下列四个命题:

l2

l1 M(p,q) O

① 若 p ? q ? 0 ,则“距离坐标”为 (0, 0) 的点有且仅有 1 个. ② 若 pq ? 0 ,且 p ? q ? 0 ,则“距离坐标”为 ( p, q) 的点有且仅有 2 个. ③ 若 pq ? 0 ,则“距离坐标”为 ( p, q) 的点有且仅有 4 个. ④ 若 p ? q ,则点 M 的轨迹是一条过 O 点的直线. 其中所有正确命题的序号为 .

第 3 页 共 12 页

三、解答题(共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程) (15) (本小题共 13 分)

sin 2 x ? 2sin 2 x 已知函数 f ( x) ? . sin x
(Ⅰ)求 f ( x ) 的定义域及其最大值; (Ⅱ)求 f ( x ) 在 (0, ?? 上的单调递增区间.

(16) (本小题共 13 分) 某校高一年级开设 A , B , C , D , E 五门选修课,每位同学须彼此独立地选三门课程,其中 甲同学必选 A 课程,不选 B 课程,另从其余课程中随机任选两门课程.乙、丙两名同学从五门课程 中随机任选三门课程. (Ⅰ)求甲同学选中 C 课程且乙同学未选中 C 课程的概率; (Ⅱ)用 X 表示甲、乙、丙选中 C 课程的人数之和,求 X 的分布列和数学期望.

(17) (本小题共 14 分) 如图,三棱柱 ABC ? DEF 的侧面 BEFC 是边长为 1 的正方形,侧面 BEFC ? 侧面 ADEB ,

AB ? 4 , ?DEB ? 60 , G 是 DE 的中点.
(Ⅰ)求证: CE ∥平面 AGF ; (Ⅱ)求证: GB ? 平面 BEFC ; (Ⅲ)在线段 BC 上是否存在一点 P ,使二面角 P ? GE ? B 为 45 ,若存在,求 BP 的长;若不存 在,说明理由.
C F

B

E

G A D

第 4 页 共 12 页

(18) (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? x ? a ? e
2

?x



(Ⅰ)当 a ? e 时,求 f ( x ) 在区间 [1,3] 上的最小值; (Ⅱ)求证:存在实数 x0 ?[?3,3] ,有 f ( x0 ) ? a .

(19) (本小题共 13 分) 已知椭圆 C 的中心在原点 O ,焦点在 x 轴上,离心率为 距离之和为 4 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设 A 为椭圆 C 的左顶点,过点 A 的直线 l 与椭圆交于点 M ,与 y 轴交于点 N ,过原点与 l 平 行的直线与椭圆交于点 P .证明: | AM | ? | AN |? 2 | OP |2 .

3 ,且椭圆 C 上的点到两个焦点的 2

(20) (本小题共 14 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且满足 a1 ? a(a ? 3) , an?1 ? S n ? 3n ,设 bn ? S n ? 3n ,

n ? N? .
(Ⅰ)求证:数列 {bn } 是等比数列; (Ⅱ)若 an?1 ? an , n ? N ,求实数 a 的最小值; (Ⅲ)当 a ? 4 时,给出一个新数列 {en } ,其中 en ? ?
?

?3 , n ? 1, 设这个新数列的前 n 项和为 C n , ?bn , n ? 2.

若 C n 可以写成 t p ( t , p ? N? 且 t ? 1, p ? 1 )的形式,则称 C n 为“指数型和”.问 {Cn } 中的项 是否存在“指数型和”,若存在,求出所有“指数型和”;若不存在,请说明理由.

北京市东城区 2014-2015 学年度第二学期综合练习(二) 高三数学参考答案及评分标准 (理科)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分)
第 5 页 共 12 页

(1)C (5)D

(2)D (6)D

(3)B (7)A

(4)B (8)C

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) (9) 6 (11) 2

15

(10) 4 (12)

2 5 5

(13) (0,

2 3 ] 3

(14) (1) (2) (3)

注:两个空的填空题第一个空填对得 3 分,第二个空填对得 2 分. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) (15) (共 13 分) 解: (Ⅰ)由 sin x ? 0 ,得 x ? k ?? k ? Z ? . 所以 f ( x ) 的定义域为 {x ? R | x ? k ?? k ? Z} . ???????2 分 因为 f ( x) ?

sin 2 x ? 2sin 2 x , sin x

? 2 cos x ? 2sin x

? ? 2 2 cos( x ? ) , 4
所以 f ( x ) 的最大值为 2 2 .

???????6 分 ???????7 分

(Ⅱ)函数 y ? cos x 的单调递增区间为 [2k ? ? ?? 2k ? ? ??? ( k ? Z ) 由 2k ? ? ? ? x ?

? ? 2k ? ? ?? , x ? k ?? k ? Z ? ,且 x ? (0, ?? , 4 3? , ?? . 4
??13 分

所以 f ( x ) 在 (0, ?? 上的单调递增区间为 [ (16) (共 13 分)

解: (Ⅰ)设事件 A 为“甲同学选中 C 课程” ,事件 B 为“乙同学选中 C 课程” . 则 P( A) ?

C1 C2 2 3 2 4 , ? P ( B ) ? ? . 2 3 C3 3 C5 5

因为事件 A 与 B 相互独立, 所以甲同学选中 C 课程且乙同学未选中 C 课程的概率为

2 2 4 P( AB) ? P( A) P( B) ? P( A)[1 ? P( B)] ? ? ? . ???????4 分 3 5 15
第 6 页 共 12 页

(Ⅱ)设事件 C 为“丙同学选中 C 课程” .

C2 3 4 则 P(C ) ? 3 ? . C5 5
X 的可能取值为: 0,1, 2,3 .

1 2 2 4 P( X ? 0) ? P( ABC ) ? ? ? ? . 3 5 5 75

P( X ? 1) ? P( ABC) ? P( ABC) ? P( ABC)
2 2 2 1 3 2 1 2 3 20 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . 3 5 5 3 5 5 3 5 5 75

P( X ? 2) ? P( ABC) ? P( ABC) ? P( ABC)
2 3 2 2 2 3 1 3 3 33 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . 3 5 5 3 5 5 3 5 5 75 2 3 3 18 P( X ? 3) ? P( ABC ) ? ? ? ? . 3 5 5 75
X 为分布列为: X

0

1

2

3

P

4 75

20 75

33 75

18 75

E( X ) ? 0 ?
(17) (共 14 分)

4 20 33 18 140 28 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? ? .???13 分 75 75 75 75 75 15

(Ⅰ)证明:连接 CD 与 AF 相交于 H ,则 H 为 CD 的中点,连接 HG . 因为 G 为 DE 的中点, 所以 HG ∥ CE . 因为 CE ? 平面 AGF , HG ? 平面 AGF , 所以 CE ∥平面 AGF . ???4 分

(Ⅱ)证明: BE ? 1 , GE ? 2 ,在△ GEB 中, ?GEB ? 60 , BG ? 3 . 因为 BG ? BE ? GE ,
2 2 2

所以 GB ? BE . 因为侧面 BEFC ? 侧面 ADEB , 侧面 BEFC 侧面 ADEB ? BE ,
第 7 页 共 12 页

GB ? 平面 ADEB ,
所以 GB ? 平面 BEFC . ???8 分 (Ⅲ)解: BG, BE , BC 两两互相垂直,建立空间直角坐标系 B ? xyz .
z
C P H B E G A F

y

x
D

假设在线段 BC 上存在一点 P ,使二面角 P ? GE ? B 为 45 . 平面 BGE 的法向量 m ? (0,0,1) ,设 P(0,0, ? ), ? ?[0,1] .

G( 3,0,0), E (0,1, 0) .
所以 GP ? (? 3,0, ? ) , GE ? (? 3,1,0) . 设平面 PGE 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则 ?

? ?n ? GP ? 0, ? ?n ? GE ? 0.

所以 ?

? ?? 3x ? ? z ? 0, ? ?? 3x ? y ? 0.

令 z ? 1 ,得 y ? ? , x ?

?
3



所以 PGE 的法向量为 n ? ( 因为 m ? n ? 1 , 所以 1?

?
3

, ? ,1) .

?2
3

? ? 2 ?1 ?

3 3 2 ? ? 0,1? ,故 BP ? . ? 1 ,解得 ? ? 2 2 2

因此在线段 BC 上存在一点 P ,使二面角 P ? GE ? B 为 45 , 且 BP ? (18) (共 13 分)
第 8 页 共 12 页

3 . 2

???14 分

解: (Ⅰ)当 a ? e2 时, f ( x) ? x ? e2? x , x ? [1,3] . 因为 f '( x) ? 1 ? e 2? x , 由 f ?( x) ? 0 , x ? 2 . 则 x , f ?( x ) , f ( x ) 关系如下:

x
f ?( x )
f ( x)

(1,2)
?


2

(2,3)

0
极小值

?


所以当 x ? 2 时, f ( x ) 有最小值为 3 .

???5 分

(Ⅱ) “存在实数 x0 ?[?3,3] ,有 f ( x) ? a ”等价于 f ( x ) 的最大值大于 a . 因为 f '( x) ? 1 ? ae ? x , 所以当 a ? 0 时, x ? [?3,3] , f ' ( x) ? 0 , f ( x) 在 (?3,3) 上单调递增, 所以 f ( x ) 的最大值为 f (3) ? f (0) ? a . 所以当 a ? 0 时命题成立. 当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 得 x ? ln a . 则 x ? R 时, x , f ?( x ) , f ( x ) 关系如下:

x
f ?( x ) f ( x)
3

(??, ln a)
?


ln a

(ln a,??)

0
极小值

?


(1)当 a ? e 时 , ln a ? 3 , f ( x) 在 (?3,3) 上单调递减, 所以 f ( x ) 的最大值 f (?3) ? f (0) ? a . 所以当 a ? e 时命题成立.
3

(2)当 e

?3

? a ? e3 时, ? 3 ? ln a ? 3 ,

所以 f ( x) 在 (?3, ln a ) 上单调递减,在 (ln a,3) 上单调递增. 所以 f ( x ) 的最大值为 f (?3) 或 f (3) . 且 f (?3) ? f (0) ? a 与 f (3) ? f (0) ? a 必有一成立,
第 9 页 共 12 页

所以当 e?3 ? a ? e3 时命题成立. (3) 当 0 ? a ? e?3 时 , ln a ? ?3 , 所以 f ( x) 在 (?3,3) 上单调递增, 所以 f ( x ) 的最大值为 f (3) ? f (0) ? a . 所以当 0 ? a ? e?3 时命题成立. 综上:对任意实数 a 都存在 x ? [?3,3] 使 f ( x) ? a 成立. ??13 分 (19) (共 13 分) 解:(Ⅰ)设椭圆 C 的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a 2 b2

?a 2 ? b 2 ? c 2 , ? 3 ?c 由题意知 ? ? 解得 a ? 2 , b ? 1 . , 2 ?a ?2a ? 4, ?
x2 ? y 2 ? 1.???????????5 分 所以椭圆 C 的标准方程为 4
(Ⅱ)设直线 AM 的方程为: y ? k ( x ? 2) ,则 N (0, 2k ) . 由 ?

? y ? k ( x ? 2), ? x ? 4 y ? 4,
2 2

得 (1+4k ) x ? 16k x ? 16k ? 4 ? 0 (*) .
2 2 2 2

设 A(?2, 0) , M ( x1 , y1 ) ,则 ?2 , x1 是方程(*)的两个根, 所以 x1 ? 所以 M (

2 ? 8k 2 . 1 ? 4k 2

2 ? 8k 2 4k , ). 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2
16 ? 16k 2 4 1 ? k 2 2 ? 8k 2 ? 2 ? 8k 2 2 4k 2 ? ? . ) ? ( ) (1 ? 4k 2 ) 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

| AM |? (

| AN |? 4 ? 4k 2 ? 2 1 ? k 2 .
4 1 ? k 2 ? 2 1 ? k 2 8(1 ? k 2 ) . | AM || AN |? ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
设直线 OP 的方程为: y ? kx .

第 10 页 共 12 页

由 ?

? y ? kx, ? x ? 4 y ? 4,
2 2

得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 4 ? 0 .

4 4k 2 2 设 P( x0 , y0 ) ,则 x0 ? , y0 ? . 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
2

4 ? 4k 2 8 ? 8k 2 2 所以 | OP | ? , 2 | OP | ? . 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
2

所以 | AM | ? | AN |? 2 | OP |2 . (20) (共 14 分) 解:(Ⅰ) 因为 bn?1 ? Sn?1 ? 3
n?1

?????13 分

? 2Sn ? 3n ? 3n?1 ? 2bn , n ? N? ,且 a ? 3 ,

所以 {bn } 是首项为 a ? 3 ,公比为 2 等比数列. 所以 bn ? (a ? 3) ? 2 n?1 . (Ⅱ) 由(Ⅰ)可得 S n ? 3n ? (a ? 3) ? 2 n?1 , ???4 分

an ? Sn ? Sn?1 , n ? 2, n ? N? .
a, n ?1 ? an ? ? n ?1 n?2 ?2 ? 3 ? (a ? 3) ? 2 , n ? 2
因为 an?1 ?a n , 所以 a ? ?9 ,且 a ? 3 . 所以 a 的最小值为 ?9 . (Ⅲ)由(Ⅰ)当 a ? 4 时, bn ? 2 n?1 当 n ? 2 时, Cn ? 3 ? 2 ? 4 ? ???9 分

? 2n?1 ? 2 n ? 1 , C1 ? 3 ,

所以对正整数 n 都有 Cn ? 2 n ? 1. 由 t p ? 2 n ? 1 , t p ? 1 ? 2 n ,( t , p ? N? 且 t ? 1, p ? 1 ), t 只能是不小于 3 的奇数.
p p

① 当 p 为偶数时, t p ? 1 ? (t 2 ? 1)(t 2 ? 1) ? 2 n ,
p p

因为 t 2 ? 1 和 t 2 ? 1 都是大于 1 的正整数,
p g p h

所以存在正整数 g , h ,使得 t 2 ? 1 ? 2 , t 2 ? 1 ? 2 ,

2 g ? 2 h ? 2 , 2 h (2 g ?h ? 1) ? 2 ,所以 2 h ? 2 且 2 g ?h ? 1 ? 1 ? h ? 1, g ? 2 ,
2 相应的 n ? 3 ,即有 C3 ? 3 , C3 为“指数型和”;

第 11 页 共 12 页

② 当 p 为奇数时, t p ? 1 ? (t ? 1)(1 ? t ? t 2 ? ? ? t p?1 ) , 由于 1 ? t ? t 2 ? ? ? t p ?1 是 p 个奇数之和,仍为奇数,又 t ? 1 为正偶数, 所以 (t ? 1)(1 ? t ? t 2 ? ? ? t p?1 ) ? 2 n 不成立, 此时没有“指数型和”. ???14 分 欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org

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