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山东省武城县18学年高二数学12月月考试题文

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山东省武城县 2017-2018 学年高二数学 12 月月考试题 文

一、选择题(12×5′=60′)

1. 抛物线 y ? 4x2 的焦点坐标是

A. ( 1 , 0) 16

B. (1, 0)

C. (0, 1 ) 16

2.设 a,b ? R ,则“ a ? b ? 0 ”是“ 1 ? 1 ”的( )条件 ab

D. (0,1)

A.充分而不必要 B.必要而不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要

?x ? y ? 0

3.在平面直角坐标系中,不等式组

? ?

x

?

y

?

4

?

0

表示的平面区域的面积是(



?? y ? 0

A. 2

B. 4

C. 8

D. 16

4.下列命题中,说法正确的是( )

A.命题“若 x2 ? 1,则 x ?1 ”的否命题为“若 x2 ? 1,则 x ? 1” B.“ 0 ? x ? 1 ”是“ x(1? 2x) ? 0 ”的必要不充分条件
2 C.命题“ ?x0 ∈R,使得 x02 ? x0 ?1 ? 0 ”的否定是:“ ?x ∈R,均有 x2 ? x ?1 ? 0 ”

D.命题“在 ?ABC 中,若 A ? B ,则 sin A ? sin B ”的逆否命题为真命题

5. 设 a ? R ,若直线 l1 : ax ? 2y ? 8 ? 0 与直线 l2 : x ? (a ?1) y ? 4 ? 0 平行,则 a 的值为

()

A. ?1

B.1或 ?2

C. ?2 或 ?1

D.1

6.已知直线 l,m 与平面 ?,?,? 满足 ? ? ? l,l //?,m ? ? , m ? ? ,则有(



A. ? ? ? 且 m// ?

B. ? ? ? 且 l ? m

C. m// ? 且 l ? m

D. ? // ? 且 ? ? ?

7. O 为坐标原点, F 为抛物线 C : y2 ? 4 2x 的焦点, P 为 C 上一点,若| PF |? 4 2 ,则

?POF 的面积为( )

A.2

B. 2 2

C. 2 3

D.4

-1-

? x ?1? 0

8.设实数

x,

y

满足条件

? ?

x

?

y

?1

?

0

,则

z

?

y

?

2x

的最小值为(



??x ? y ? 2 ? 0

A.5

B. 1

C.2

D.1

2

9.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,

下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为

一个圆锥的四分之一).米堆底部的弧长为 8 尺,米堆的高为 5 尺,问米堆的体积和堆放的米

各为多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺,圆周率约为 3,估算出堆放的米约有( )

A.14 斛

B.22 斛

C.36 斛

D.66 斛

10. 过点 (2, ?2) 且以 y ? ? 2 x 为渐近线的双曲线方程是( 2

A. y2 ? x2 ? 1 24

B. x2 ? y2 ? 1 42

C. y2 ? x2 ? 1 42

)
D. x2 ? y2 ? 1 24

11. 已知点 A??2,1? , y2 ? ?4x 的焦点是 F , P 是 y2 ? ?4x 上的点,为使 PA ? PF 取得

最小值, P 点的坐标是( )

A.

? ??

?

1 4

,1???

? ? B. ?2, 2 2

C.

? ??

?

1 4

,

?1???

? ? D. ?2, ?2 2

12.

如图,

F1 、

F2

分别是双曲线

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a ? 0,b ? 0) 的

两个焦点,以坐标原点 O 为圆心, OF1 为半径的圆与该双曲线

左 支交于 A 、 B 两点,若△ F2 AB 是等边三角形,则双曲线的
离心率为 ( )

A. 3

B.2

C. 3 ?1

D.1? 3

二、填空题(4×5′=20′)

13.已知圆 C :(x ? 2)2 ? y2 ? 4 ,直线 l :kx ? y ? 2k ? 0(k ? R) ,

若直线 l 与圆 C 恒有公共点,则实数 k 的最小值是

.

14.若正三棱锥的正视图与俯视图如右图所示,则它的侧视图的面积 3

正视图

1
-2-
俯视图



15. 若 k ? R ,则“ k ?1”是方程“ x2 ? y2 ? 1”表示双曲线的 k ?1 k ?1

条件

(填“充分不必要”,“必要不充分”,“充要”,“既不充分也不必要”)
16.已知 F 是双曲线 C :x2 ? y2 ? 1的右焦点,P 是 C 的左支上一点,A(0, 6 6) ,当 ?APF 8
周长最小时,该三角形的面积为

-3-

三、解答题 17.(本小题满分 10 分)
已知命题 p :方程 x2 ? y2 ? 1表示焦点在 x 轴上的椭圆,命题 q :对任意实数 x 不等式 2m
x2 ? 2mx ? 2m ? 3 ? 0 恒成立. 若“ p ? q ”为假命题,“ p ? q ”为真命题,求实数 m 的取值范围.
18.(本小题满分 12 分)
直线 l 过点 P(?2,1) . (1)若直线 l 与直线 x ? y ?1 ? 0 平行,求直线 l 的方程; (2)若点 A(?1, ?2) 到直线 l 的距离为 1,求直线 l 的方程.
19.(本小题满分 12 分)
已知圆 C : x2 ? y2 ? 8y ?12 ? 0 ,直线 l : ax ? y ? 2a ? 0 . (1)当 a 为何值时,直线 l 与圆 C 相切; (2)当直线 l 与圆 C 相交于 A 、 B 两点,且| AB |? 2 2 ,求直线 l 的方程.
-4-

20.(本小题满分 12 分)
在四棱锥 A? BCDE 中,底面 BCDE 为菱形,侧面 ABE 为等边三角形,且侧面 ABE ? 底面 BCDE , O 、 F 分别为 BE 、 DE 的中点. (1)求证: AO ? CD ; (2)求证:平面 AOF ? 平面 ACE .

21. (本小题 12 分)
已知抛物线 C : y2 ? 4x 与直线 y ? 2x ? 4 交于 A , B 两点. (1)求弦 AB 的长度; (2)若点 P 在抛物线 C 上,且 ?ABP 的面积为12 ,求 P 点的坐标.

22. (本小题满分 12 分)

已知椭圆 C: x 2 a2

?

y2 b2

=1( a ? b ? 0 )的离心率为

6 ,短轴一个端点到右焦点的距离为 3

3.

(Ⅰ) 求椭圆 C 的方程;

(Ⅱ) 设直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点,坐标原点 O 到直线 l 的距离为 3 ,求△AOB 面积的 2
最大值.

-5-

高二数学月考试题(文科)参考答案 1.C 2.A 3.B 4.D 5.D 6.B 7.C 8.B 9.B 10.A 11.A 12.D

13. ? 3 3

14. 3 4

15.充分不必要 16.12 6

17. 因为方程 x2 ? y 2 ? 1表示焦点在 x轴上的椭圆,所以 0 ? m ? 2 ,…2 分 2m

因为对任意的实数 x , x2 ? 2mx ? 2m ? 3 ? 0 恒成立,

所以 ? ? 4m2 ? 4(2m ? 3) ? 0 ,解得 ?1? m ? 3……………………………………4 分

“p ? q”为假命题,“ p ? q”为真命题,等价于 p, q恰有一真一假 ,……5 分

当p真q假时,???0m??m?1?或2m

?

,无解…………7
3



当p假q真时,????m1??0m,或?m3 ? 2,则?1 ? m ? 0,或2 ? m ? 3 ,……………………9 分

[来综上所述,实数 m的取值范围是 ??1,0?? ?2,3? .……………………………10 分

18. 解:(1)设直线方程为 x ? y ? c ? 0(c ? ?1) ,…………………………………2 分

将 (?2,1) 代入得 c ?1.

即所求直线方程是 x ? y ?1 ? 0 .………………………………………………………4 分

(2)若直线 l 的斜率不存在,则过 P 的直线为 x ? ?2 ,到 A 的距离为 1,满足题意;
…………6 分

若直线 l 的斜率存在,设为 k ,则 l 的方程为 y ?1 ? k(x ? 2) ,即 kx ? y ? 2k ?1 ? 0 ,

…………8 分

由 A 到直线 l 的距离为 1,可得 | ?k ? 2 ? 2k ?1| ? | k ? 3 | ? 1,解得 k ? ? 4 .所以直线方程

k2 ?1

k2 ?1

3

为 4x ? 3y ? 5 ? 0 .……………………………………………………………10 分

综上,所求的直线方程为 x ? 2 ? 0或 4x ? 3y ? 5 ? 0 .……………………………12 分

19.解:将圆的方程化简得标准方程 x2 ? ( y ? 4)2 ? 4

-6-

则此圆圆心为 (0, 4) , r ? 2 ……………………………………………………………1 分

(1)若直线 l 与圆 C 相切,则有 | 4 ? 2a | ? 2 ………………………………………4 分 a2 ?1
得 a ? ? 3 …………………………………………………………………………………6 分 4
(2)圆心到直线的距离 d ? | 4 ? 2a | a2 ?1

| AB |? 2 2 ? 2 4 ? d 2 可得 d ? 2 …………………………………………………8 分

即 | 4 ? 2a | ? 2 ,解得 a ? ?7 或 a ? ?1……………………………………………11 分 a2 ?1

∴直线 l 的方程是: 7x ? y ?14 ? 0 或 x ? y ? 2 ? 0 ………………………………12 分

20.证明:(1)因为 ?ABE 为等边三角形, O 为 BE 的中点,所以 AO ? BE .…2 分 又因为平面 ABE ? 平面 BCDE ,平面 ABE 平面 BCDE ? BE , AO ? 平面 ABE . 所以 AO ? 平面 BCDE ,又因为 CD ? 平面 BCDE ,所以 AO ? CD .…………6 分

(2)连接 BD ,因为四边形 BCDE 为菱形,所以 CE ? BD .因为 O, F 分别为 BE, DE 的中

点,所以 OF / /BD ,所以 CE ? OF .…………………………………………8 分

由(1)可知, AO ? 平面 BCDE ,因为 CE ? 平面 BCDE ,所以 AO ? CE .

…10 分

因为 AO OF ? O ,所以 CE ? 平面 AOF ,………………………………………11 分

又因为 CE ? 平面 ACE ,所以平面 AOF ? 平面 ACE .…………………………12 分

21.解:(1)设

A(

x1,

y1 )



B( x2

,

y2

)

,由

? ? ?

y ? 2x ? y2 ? 4x

4



x2

?

5x

?

4

?

0

,△>0

…………2 分

法一:又由韦达定理有 x1 ? x2 ? 5 , x1x2 ? 4

∴| AB |? 1? 22 | x1 ? x2 |? 1? 22 ? (x1 ? x2 )2 ? 4x1x2 ? 5 ? 25 ?16 ? 3 5

……6 分

法二:解方程得: x ?1或 4 ,∴ A 、 B 两点的坐标为 (1, ?2) 、 (4, 4) .

∴| AB |? (4 ?1)2 ? (4 ? 2)2 ? 3 5 …………………………………………………6 分
-7-

(Ⅱ)设点

P(

y02 4

,

y0 ) ,设点

P



AB

的距离为 d

,则 d

?

|

y02 2

?

y0 5

?

4

|

,……9



∴ S?PAB

?

1 ?3 2

| 5?

y02 2

?

y0 5

?4|

? 12 ,∴

y02 2

?

y0

?4

? 8 ,……………………10





y02 2

?

y0

?

4

?

?8 ,解得

y0

?

6



y0

?

?4

,∴

P

点为 (9, 6)

或 (4, ?4)

………12



22. 解:(Ⅰ)设椭圆的半焦距为 c ,依题意 c ? 6 , a ? 3 a3

………………1 分

∴b ?1

………………2 分

∴所求椭圆方程为 x2 ? y2 ? 1. 3

………………3 分

(Ⅱ)解法一:设 A(x1, y1), B(x2 , y2 )

(i)当 AB ? x 轴时, AB = 3 ,;

………………4 分

(ii)当 AB 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m

由已知 m ? 3 ,得 m2 ? 3 (k 2 ?1)

1? k2 2

4

将 y ? kx ? m 代入椭圆方程,整理得

………………6 分

? ? (6km)2 ? 4(3k 2 ?1)(3m2 ? 3) ? 36k 2 ?12m2 ?12 ? 27k2 ? 3 ? 0 恒成立
∴ ∴

………………8 分

-8-

令 3k 2 ?1 ? t (t ? 1)

|

AB

|2

?

(t

?

2)[3(t t2

?1)

?1]

?

(t

?

2)(3t t2

?

2)

?

3t 2

? 4t t2

?

4

?

?

4 t2

?

4 t

?

3

? ?(1 ? 1)2 ? 4 ? 4 , 1 ? (0,1)

t2

t

当 t ? 2 ,即 k ? ? 3 时“=”成立. 3

∴ | AB |max ? 2 …………………………………………………………………………11 分

∴当 AB 最大时, AOB 面积取最大值 S ? 1 AB

3? 3

2 max 2 2

……………12 分

解法二:(Ⅱ)设 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) ,(1)当斜率为 0 时,| AB |? 3 ……………4 分 (2)当斜率不为 0 时, l 的方程可设为 x ? my ? n

因: O 到 l 的距离为 3 ,则 | n | ? 3 ,得 n2 ? 3 (m2 ?1) ………………6 分

2

1? m2 2

4

将 x ? my ? n 代入 x2 ? 3y2 ? 3,整理得:

(m2 ? 3) y2 ? 2mny ? n2 ? 3 ? 0

?

?? ? 4m2n2 ? 4(m2 ? 3)(n2 ? 3) ? 12(m2 ? 3 ? n2 ) ? 0

?

即得

? ?

y1

?

?

y2

?

?2mn m2 ? 3

……………………8 分

? ?? y1 y2

?

n2 ? 3 m2 ? 3

| AB |?

(x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ?

1? m2 | y1 ? y2 | ?| AB |?

1? m2 ?

12(m2 ? 3 ? n2 ) m2 ? 3

-9-

∴| AB |? 2

3

(m2 ?1)(m2 ? 3 ? n2 ) (m2 ? 3)2

(m2 ?1)(m2 ? 3 ? 2 m2 ? 3)

?2 3?

44

(m2 ? 3)2

(m2 ?1)(m2 ? 9)

? 3?

(m2 ? 3)2

令 m2 ? 3 ? t ,则 t ? 3

∴| AB |?

3?

(t ? 2)(t ? 6)

t2

?

3?

12 4 ? t2 ? t ?1

? 3 ? ?(1 ? 1)2 ? 4 t6 3



1 t

?

1 6

,即 t

?

6 时,|

AB

|max

?

2

此时 m2 ? 3 ? 6,即 m ? ? 3 ,满足 ? ? 0 ……………………………………11 分

∴当 |

AB

| 最大时, ?AOB 面积取最大值 Smax

?

1 2

|

AB

|max

?

3? 2

3 ……12 分 2

- 10 -