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武昌区2015届高三元月调考文科数学试卷及答案


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武昌区 2015 届高三年级元月调研考试 文 科 数 学 试 卷
本试题卷共 5 页,共 22 题。满分 150 分,考试用时 120 分钟 ★祝考试顺利 ★ 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卷指定位置, 认真核对与准考证号条形码上的信息是否一致, 并将准考证号条形码粘贴在答题卷上的指定 位置。 2.选择题的作答:选出答案后,用 2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑,如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。答在试题卷上无效。 3.非选择题的作答:用黑色墨水的签字笔直接答在答题卷上的每题所对应的答题区域 内。答在试题卷上或答题卷指定区域外无效。 4.考试结束,监考人员将答题卷收回,考生自己保管好试题卷,评讲时带来。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. 已知全集为 R ,集合 A ? {x | x ? 0} , B ? {x | ?1 ? x ? 2} ,则 A ? B ? A. {x | x ? 0} C. {x | 0 ? x ? 2} B. {x | ?1 ? x ? 0} D. ?

2.如果复数 (a ? i)(1 ? i) 的模为 10 ,则实数 a 的值为 A. 2 B. 2 2 C. ? 2 D. ? 2 2
6

3.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A.12 B.24 C.40 D.72 4. 根据如下样本数据 x 3 4 5 6 7

2
4 正视图 侧视图

3 俯视图

y 4.0 2.5 0.5 ? 0.5 ? 2.0 ? ? bx ? a .若 a ? 7.9 ,则 b 的值为 得到的回归方程为 y A. 1.4 B. ? 1.4 C. 1.2 D. ? 1.2

5.已知正方形 ABCD 的边长为 2 , E 为 CD 的中点, F 为 AD 的中点,则 AE ? BF ? A.0 B.1 C.2 D.4

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6.如图,取一个底面半径和高都为 R 的圆柱,从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面, 下底面圆心为顶点的圆锥, 把所得的几何体与一个半径为 R 的半球放在同一水平面 ? 上. 用一平行于平面 ? 的平面去截这两个几何体, 截面分别为圆面和圆环面 (图中阴影部分) . 设截面面积分别为 S圆 和 S圆环 ,那么 A. S圆 ? S圆环 B. S圆 = S圆环 C. S圆 ? S圆环 D.不确定

2 ? ?sin(?x )(?1 ? x ? 0), 7. 函数 f ( x) ? ? 满足 f (1) ? f ( a ) ? 2 ,则 a 的所有可能值为 x ?1 ? ( x ? 0) ?e

A. 1 或 ?

2 2

B. ?

2 2

C.1

D.1 或

2 2

8.函数 f ( x) ? 2 sin ?x(? ? 0) 在区间 [0, 那么 ? ? A.

?
4

] 上单调递增,且在这个区间上的最大值是 3 ,

2 3

B.

4 3

C.2

D. 4

9.设斜率为

2 x2 y2 的直线 l 与双曲线 2 ? 2 ? 1( a ? 0, b ? 0) 交于不同的两点 P、Q,若点 P、 2 a b

Q 在 x 轴上的射影恰好为双曲线的两个焦点,则该双曲线的离心率是 A. 2 B.2 C. 3 D. 3

10.已知函数 f ( x) 的图象如图所示,若函数 y ? f ( x) ? 点(互不相同) ,则实数 a 的取值范围是 A. [ ?

1 ? a 在区间 [?10,10] 上有 10 个零 x 1 1 , ) 10 10

4 4 , ] 5 5

B. ( ?

4 4 , ) 5 5

C. [ ? y

1 1 , ] 10 10

D. ( ?

-10

-9

-8 -7 -6

-5

-4 -3 -2

1 -1 O -1

1

2

3

4

5 6

7

8 9 10

x

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二、 填空题: 本大题共 7 小题, 每小题 5 分, 共 35 分. 请将答案填在答题卡对应题号 的位 ....... 上. 答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. 11. 已知某地区中小学生人数和近视情况如下表所示: 年级 小学 初中 高中 人数 3500 4500 2000 近视率 10% 30% 50%



为了解该地区中小学生的近视形成原因,用分层抽样的方法抽取 2%的学生进行调查, 则: (Ⅰ)样本容量为___________; (Ⅱ)抽取的高中生中,近视人数为___________. 12.化简

1 3 =_____________. ? ? sin 10 cos10?

? x ? 0, ? y ? 0, ? 13. 已知点 M 的坐标 ( x, y ) 满足不等式组 ? 则 x ? y 的取值范围是_____________. ? x ? 2 y ? 6, ? ?3 x ? y ? 12,
14. 阅读如图所示的程序框图, 运行相应的程序, 若输入 n 的值为 100, 则输出 S 的值为_______.
开始

S=0,k=1 否

k≤n 是 k 是偶数 是 S=S-k2

否 S=S+k2 输出 S

k=k+1

结束

15.以 (1,3) 为圆心,并且与直线 3 x ? 4 y ? 6 ? 0 相切的圆的方程为 16.给出以下数对序列: (1,1) (1,2) (2,1) (1,3) (2,2) (3,1) (1,4) (2,3) (3,2) (4,1) …… 记第 i 行的第 j 个数对 为 aij ,如 a43 ? (3,2) ,则 ..
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.

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(Ⅰ) a54 ? ________; (Ⅱ) anm ? ________. 17.已知函数 f ( x) ?

1 3 其中 a ? {1,2,3,4} , 则函数 f ( x) 在 x ? (a ? 1) x 2 ? b 2 x , b ? {1,2,3} , 3

R 上是增函数的概率为__________.

三、解答题:本大题共 5 小题,共 65 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.(本小题满分 12 分) 已知 a , b , c 分别为 ?ABC 三内角 A , B , C 的对边, B ? (Ⅰ)求 b 的值; (Ⅱ)求 ?ABC 的面积.

?
3

, c ? 8 , cos C ? ?

1 . 7

19.(本小题满分 12 分) 已知数列 ?a n ? 满足 a1 ? 1 , an ?1 ? 2an ;数列 ?bn ? 满足 b1 ? 3 , b2 ? 6 ,且 ?bn ? a n ? 为 等差数列. (Ⅰ)求数列 ?a n ? 和 ?bn ?的通项公式; (Ⅱ)求数列 ?bn ?的前 n 项和 Tn .

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20.(本小题满分 13 分) 如图,在直四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,底面是边长为 2 的正方形, AA 1 ? 3 ,点 E 在棱 B1 B 上运动. (Ⅰ)证明: AC ? D1 E ; (Ⅱ)若三棱锥 B1 ? A1 D1 E 的体积为

2 时,求异面直线 AD , D1 E 所成的角. 3
D A1 B1 E B C1

D A

C

21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

ln x ?1. x

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)设 m ? 0 ,求 f ( x) 在区间 [ m,2m] 上的最大值; (Ⅲ)证明:对 ?n ? N ,不等式 ln(
?

1? n e 1? n 成立. ) ? n n

22. (本小题满分 14 分)

已知椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 4,其长轴长和短轴长之比为 3 : 1 . a 2 b2

(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)设 F 为椭圆 C 的右焦点,T 为直线 x ? t (t ? R, t ? 2) 上纵坐标不为 0 的任意一 点,过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于点 P,Q. (ⅰ)若 OT 平分线段 PQ(其中 O 为坐标原点),求 t 的值; (ⅱ)在(ⅰ)的条件下,当

| TF | 最小时,求点 T 的坐标. | PQ |

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武昌区 2015 届高三年级元月调研考试
文科数学参考答案及评分细则
一、选择题: 1. B 2.C 3. C 4. B 5.A 6.B 7. A 8.B 9.A 10.C

二、填空题: 11.(Ⅰ)200; (Ⅱ)20
2 2

12. 4
2 2

13. [ ?3,4]

14. ? 5050

15. ( x ? 1) ? ( y ? 3) ? 9 或 x ? y ? 2 x ? 6 y ? 1 ? 0 16.(Ⅰ) (4,2); (Ⅱ) (m, n ? m ? 1) 三、解答题: 17.

3 4

18.解: (Ⅰ)? cos C ? ?

1 4 3 2 ,? sin C ? 1 ? cos C ? . 7 7

?

c b ? 8 b , B ? ,? ,即 b ? 7 .…………………………(6 分) ? ? sin C sin B 3 4 3 3 7 2 (Ⅱ)方法一:? sin A ? sin(? ? B ? C ) ? sin( B ? C ) ? sin B cos C ? cos B sin C ? 3 1 1 4 3 3 3 ? (? ) ? ? ? , 2 7 2 7 14

1 1 3 3 ? S?ABC ? bc sin A ? ? 8 ? 7 ? ? 6 3 .………………………………………(12 分) 2 2 14
方法二:? b ? a ? c ? 2ac cos B ,? 7 ? a ? 8 ? 2 ? 8a cos
2 2 2 2 2 2

?
3



即 a ? 8a ? 15 ? 0 .? a ? 3 或 a ? 5 .
2

当 a ? 5 时, cos C ?

a 2 ? b2 ? c2 1 ? ,不合题意. 2ab 7

? S?ABC ?

1 1 3 ac sin B ? ? 3 ? 8 ? ? 6 3 .…………………………………………(12 分) 2 2 2

19.解: (Ⅰ)由题意知数列 ?a n ? 是首项 a1 ? 1 ,公比 q ? 2 的等比数列, 所以 an ? 2
n ?1



因为 b1 ? a1 ? 2 , b2 ? a2 ? 4 ,
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所以数列 ?bn ? a n ? 的公差为 d ? 2 . 所以 bn ? an ? (b1 ? a1 ) ? ( n ? 1) d ? 2 ? 2( n ? 1) ? 2n . 所以 bn ? 2n ? 2
n ?1

.…………………………………………………(6 分)

(Ⅱ) Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn

? (2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n) ? (1 ? 2 ? 4 ? ? ? 2n ?1 ) ? (2 ? 2n)n 1 ? (1 ? 2n ) ? ? n(n ? 1) ? 2n ? 1 .………………………………………(12 分) 2 1? 2
D1 A1 B1

20.解: (Ⅰ)连接 BD.

? ABCD 是正方形,? AC ? BD . ? 四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 是直棱柱,

C1

? B1 B ? 平面 ABCD.
? AC ? 平面 ABCD, ? B1 B ? AC . ? AC ? 平面 B1 BDD1 .

D A

E

C

? D1 E ? 平面 B1 BDD1 ,
(Ⅱ)? VB1 ? A1 D1 E ? VE ? A1 B1 D1 , EB1 ? 平面 A1 B1C1 D1 ,

B

? AC ? D1 E .…………………………………………………(6 分) 1 ?VE ? A1 B1 D1 ? S?A1 B1 D1 ? EB1 . 3 1 1 2 ? S?A1 B1 D1 ? A1 B1 ? A1 D1 ? 1 ,?VE ? A1 B1 D1 ? EB1 ? . 2 3 3 ? EB1 ? 2 . ? AD // A1 D1 ,? ?A1 D1 B1 为异面直线 AD , D1 E 所成的角.
在 Rt? EB1 D1 中,求得 ED1 ? 2 2 .

? D1 A1 ? 平面 A1 ABB1 ,? D1 A1 ? A1 E .
在 Rt? EB1 D1 中,求得 cos ?A1 D1 E ?

2 1 ? , ?A1 D1 E ? 60? . 2 2 2
?

所以,异面直线 AD , D1 E 所成的角为 60 .……………………………………………(13 分) 21.解: (Ⅰ) f ( x) 的定义域为 (0,??) , f ?( x) ? 由 f ?( x) ?

1 ? ln x , x2

1 ? ln x ? 0 ,得 x ? e . x2 1 ? ln x 1 ? ln x ? 0 ;当 x ? e 时, f ?( x) ? ? 0. 2 x x2

当 0 ? x ? e 时, f ?( x) ?

所以函数 f ( x) 在 (0, e] 上单调递增,在 [e,??) 上单调递减. ………………………(4 分)
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(Ⅱ) (1)当 0 ? 2m ? e ,即 0 ? m ?

e 时, f ( x) 在 [ m,2m] 上单调递增,所以 2

f ( x) max ? f (2m) ?

ln(2m) ? 1. 2m

(2)当 m ? e 时, f ( x) 在 [ m,2m] 上单调递减,所以

f ( x) max ? f (m) ?

ln m ? 1. m e ? m ? e 时, f ( x) 在 [m, e] 上单调递增,在 [e,2m] 上单调递减, 2

(3)当 m ? e ? 2m ,即 所以

f ( x) max ? f (e) ?

1 ? 1 .…………………………………………………(10 分) e 1 ? 1 ,所以在 (0,??) 上,恒有 e

(Ⅲ)由(Ⅰ)知,当 x ? (0,??) 时, f ( x) max ? f (e) ?

f ( x) ?

ln x 1 ln x 1 ? 1 ? ? 1 ,即 ? 且当 x ? e 时等号成立. x e x e 1 x. e

因此,对 ?x ? (0,??) ,恒有 ln x ?

因为

1? n 1? n 1? n 1 1? n 1? n 1? n ,即 e ln , ? 0, ? e ,所以 ln ? ? ? n n n e n n n 1? n e 1? n . ) ? n n
?

所以 ln(

即对 ?n ? N ,不等式 ln(

1? n e 1? n 成立. …………………………………(14 分) ) ? n n

2 2 ? ?2c ? 2 a ? b ? 4, 22.解: (Ⅰ)由已知可得 ? ? ?a ? 3b,

解得 a2=6,b2=2, 所以椭圆 C 的标准方程是

x2 y2 ? ? 1 . …………………………………………………(4 分) 6 2

(Ⅱ) (ⅰ)由(Ⅰ)可得,F 点的坐标为(2,0). 由题意知直线 PQ 的斜率存在且不为 0,设直线 PQ 的方程为 x=my+2. x=my+2, 将直线 PQ 的方程与椭圆 C 的方程联立,得 x2 y2 + =1. 6 2 消去 x,得(m2+3)y2+4my-2=0,其判别式Δ=16m2+8(m2+3)>0.

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设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 y1 ? y2 ? 于是 x1 ? x2 ? m( y1 ? y2 ) ? 4 ?

? 4m ?2 , y1 y2 ? 2 . 2 m ?3 m ?3

12 . m2 ? 3

设 M 为 PQ 的中点,则 M 点的坐标为 (

6 ? 2m , 2 ). m ?3 m ?3
2

因为 TF ? PQ ,所以直线 FT 的斜率为 ? m ,其方程为 y ? ? m( x ? 2) . 当 x ? t 时, y ? ? m?t ? 2 ? ,所以点 T 的坐标为 ?t ,? m?t ? 2 ?? ,

? m?t ? 2 ? m( 2 ? t ) ,其方程为 y ? x. t t 6 ? 2m m( 2 ? t ) 将 M 点的坐标为 ( 2 , 2 ) 代入 y ? x, m ?3 m ?3 t ? 2m m( 2 ? t ) 6 得 2 .解得 t ? 3 . ………………………………………(8 分) ? ? 2 m ?3 t m ?3
此时直线 OT 的斜率为 (ⅱ)由(ⅰ)知 T 点的坐标为 (3,? m) . 于是 | TF |?

m2 ? 1 ,

| PQ |? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? [m( y1 ? y2 )]2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? (m 2 ? 1)[( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ] ? (m 2 ? 1)[( ? 4m 2 ?2 ) ?4 2 ]? 2 m ?3 m ?3 ? 4m 2 ?2 ) ?4 2 ] 2 m ?3 m ?3

? (m 2 ? 1)[(

24 (m 2 ? 1) . m2 ? 3

| TF | m2 ? 3 1 (m 2 ? 3) 2 2 所以 ? m ?1 ? ? ? | PQ | m2 ? 1 24 (m 2 ? 1) 24 1 (m 2 ? 3) 2 1 (m 2 ? 1) 2 ? 4(m 2 ? 1) ? 4 ? ? ? ? m2 ? 1 m2 ? 1 24 24 ? 1 4 1 3 . ? m2 ? 1 ? 2 ?4 ? ? 2 4?4 ? m ?1 3 24 24
2

当且仅当 m ? 1 ?

4 | TF | 3 ,即 m ? ?1 时,等号成立,此时 取得最小值 . m ?1 | PQ | 3
2

故当

| TF | 最小时, T 点的坐标是 (3,1) 或 (3,?1) .…………………………………(14 分) | PQ |

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