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江苏省东海高级中学数学考前猜题三

江苏省东海高级中学数学考前猜题三
一、填空题
ln x ? 1 5 ( x ? e) ,若 f (m) ? f (n) ? 1 ,则 f (m ? n) 的最小值为 . 7 ln x ? 1 ??? ? ? ???? ? ??? ? 1? 5? 2、 ?ABC 的面积为 1, AB ? a, AC ? b , P 为 ?ABC 内一点,且 BP ? b ? a ,则 ?BCP 的 3 6 1 面积为 . 2 ? 3、当 ? 取遍所有值时,直线 x ? cos ? ? y ? sin ? ? 4 ? 2 sin(? ? ) 所围成的图形面积为 16? . 4
1、已知函数 f ( x) ?

数 x,y 满足不等式 f ( x ? 6 x) ? f ( y ? 8 y ? 24) ? 0 ,则 x ? y 的取值范围是 . (4, 6)
2 2 2 2

11、设直线 3x+4y-5=0 与圆 C1: x ? y ? 4 交于 A, B 两点, 若圆 C2 的圆心在线段 AB 上, 且圆
2 2

C2 与圆 C1 相切, 切点在圆 C1 的劣弧 AB 上, 则圆 C2 的半径的最大值___1_____. 12、数列 {an } 满足 a1 ? 1,



1 1 t ?1 ? , 记Sn ? a12 ? a2 2 ? ? ? an 2 ,若 S2 n ?1 ? Sn ? 对任意 2 an ?1 an 30
?

n ? N * 恒成立,则正整数 t 的最小值为 25 .
13、已知 tan110 ? ? a ,求 tan 50 ? 时,同学甲利用两角差的正切公式求得: tan 50 ? 同学乙利用二倍角公式及诱导公式得 tan 50 ?
?

a? 3 1 ? 3a



4 、 定 义 函 数 f ( x) ? [ x [ x ]] , 其 中 [ x] 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 , 如 : [1.5] ? 1, [?1.3] ? ?2 , 当 a ? 90 * x ?[ 0 , n ) (n? N ) 时,设函数 f ( x) 的值域为 A,记集合 A 中的元素个数为 an ,则式子 n 的最 n 小值为 13 . 5、在数列 {an } 中,如果存在正整数 T,使得 am?T ? am 对于任意的正整数 m 均成立,那么就称数 列 {an } 为 周 期 数 列 , 其 中 T 叫 数 列 {an } 的 周 期 。 已 知 数 列

1? a2 ;根据上述信息可估算 a 是介于 ?3和 ? 2 两 2a

个连续整数之间. 14、已知 f ( x), g ( x) 都是定义在 R 上的函数,且满足以下条件: ① f ( x) ? a ? g ( x)(a ? 0, a ? 0); ② g ( x) ? 0; ③ f ( x) ? g ?( x) ? f ?( x) ? g ( x) ,
x



{xn }满足xn ?1 ?| xn ? xn ?1 | (n ? 2, n ? N ) ,如果 x1 ? 1, x2 ? a(a ? R, a ? 0) ,当数列 { xn } 的周期最
小时,该数列前 2010 项的和是 1340. 6、在圆中有结论“如图,AB 是圆 O 的直径,直线 AC,BD 是圆 O 过 A、B 的切线,P 是圆 O 上任 意一点,CD 是过 P 的切线,则有 PO2=PC· PD. ”类比到椭圆: “AB 是椭圆的长轴,O 是椭圆中的 中心,F1,F2 是椭圆的焦点,直线 AC,BD 是椭圆过 A、B 的切线,P 是椭圆上任意一点,CD 是过 P 的切线,则有 PF1· PF2=PC· PD. D D P P P● C 45° C l θ B C A ● ● A ● B A B F1 O O F2

f (1) f (?1) 5 1 ? ? ,则 log a x ? 1 成立的 x 的取值范围是 (0, ) . g (1) g (?1) 2 2
2 2

15、点 P( x, y ) 是圆 x ? ( y ? 1) ? 1 上任意一点,若点 P 的坐标满足不等式 x ? y ? m ? 0 ,则实 数 m 的取值范围是 [ 2 ? 1, ? ?) . 16、 线段 C :y ? x ? 2(0 ? x ? 2) 两端分别为 M 、N , 且 NA ? x 轴于点 A .把线段 OA 分成 n 等份,以每一段为边作矩形,使与 x 轴平行的边一个端点在 C 上,另一端点在 C 的下方(如右图) ,设 这 n 个矩形的面积之和为 S n ,则 S n ? 6 ?
y

N

2 . n

M

.......
A

17 、 ?ABC 的 内 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c , 且

O

x

a c o sB? b c o s A ?

3 则 c , 5
*

3 . t a? A n ( 的最大值是 B ) 4

18、如图,坐标纸上的每个单元格的边长为 1,由下往上的六个点:1,2,3,4,5,6 的横纵坐标 分别对应数列 ?an ? (n ? N ) 的前 12 项,如下表所示:

7、如图,A,B,C 是直线 l 上三点,P 是直线 l 外一点,已知 AB=BC=a,∠APB=90°,∠BPC ??? ? ??? ? 4 =45°,记∠PBA=θ,则 PA ? PC = ? a 2 .(用 a 表示) 8、已知 ?a n ? 是递减等比数列, a 2 ? 2, a1 ? a3 ? 5 ,则 a1 a 2 ? a 2 a3 ? ? ? ? ? a n a n ?1 n ? N 范围是 [8, ) . 9、 x ? y ? 2ax ? a ? 4 ? 0 和 x ? y ? 4by ? 1 ? 4b ? 0 恰有三条公切线,若 a ? R, b ? R ,
2 2 2 2 2 2

a1 x1

a2 y1

a3 x2

a4 y2

a5 x3

a6 y3

a7 x4

a8 y4

a9 x5

a10 y5
1005

a11 x6


a12 y6

5

?

?

?的取值

按如此规律下去,则 a2009 ? a2010 ? a2011 ?

32 3

? x 2 ? 2ax ? 3 ? a ? 0 19、设关于 x 的不等式组 ? 解集为 A,Z 为整数集,且 A ? Z 共有两个元素,则实 ?| x ? 1|? 2

数 a 的取值范围为 ( ,3] .
? x? y ?0 20、已知实数 x, y 满足 ? ? x ? y ? 5 ? 0 , 若不等式 ? y ?3? 0 ?

7 5

且 ab ? 0 ,则

10、函数 y=f(x)是定义在 R 上的增函数,函数 y ? f ( x ? 2010) 的图象关于点(2010,0)对称.若实

1 1 ? 2 的最小值为 2 a b

1

.

y 2 ? axy ? 2 x 2 y ? 恒成立,则实数 a 的取值范 x2 x

围是 (??,2 2 ? 1] . 21、已知△ABC 三边 a, b, c 的长都是整数,且 a ≤ b ≤ c ,如果 b ? m ( m ? N ) ,则这样的三角形 m(m ? 1) 共有 个(用 m 表示) . 2
?

(2) C (?2,0), D(2,0), 设M (2, y0 ), P( x1 , y1 ),

??? ? ???? ? 则OP ? ( x1 , y1 ), OM ? (2, y0 )

二、解答题
1、已知平面直角坐标系 xoy 中 O 是坐标原点, A(6,2 3 ), B(8,0) ,圆 C 是 ?OAB 的外接圆,过点 (2,6)的直线 l 被圆所截得的弦长为 4 3 . (1)求圆 C 的方程及直线 l 的方程; (2)设圆 N 的方程 ( x ? 4 ? 7 cos? ) ? ( y ? 7 sin ? ) ? 1 , (? ? R) ,过圆 N 上任意一点 P 作圆
2 2

??? ? ??? ? C 的两条切线 PE, PF ,切点为 E , F ,求 CE ? CF 的最大值.
所以圆 C : ( x ? 4) ? y ? 16
2 2

解:(1)因为 A(6,2 3 ), B(8,0) ,所以 ?OAB 为以 OB 为斜边的直角三角形, ①斜率不存在时, l : x ? 2 被圆截得弦长为 4 3 ,所以 l : x ? 2 适合 ②斜率存在时,设 l : y ? 6 ? k ( x ? 2) 即 kx ? y ? 6 ? 2k ? 0 因为被圆截得弦长为 4 3 ,所以圆心到直线距离为 2,所以

4k ? 6 ? 2k 1? k 2

?2

y0 y 1 ( x ? 2),即y ? 0 x ? y0 ,代入椭圆方程 x 2 ? 2 y 2 ? 4, 4 4 2 2 y0 1 2 1 2 得 (1 ? ) x 2 ? y0 x ? y0 ? 4 ? 0 ??????6 分 8 2 2 2 2 2 ??? ? 4( y0 ? 8) 2( y0 ? 8) 8 y0 2( y0 ? 8) 8 y0 ? x1 (?2) 2 ,? x1 ? ? 2 ,? y1 ? 2 , 2 ) ???8 分 ,? OP ? (? 2 y0 ? 8 y0 ? 8 y0 ? 8 y0 ? 8 y0 ?8 2 2 2 ??? ? ???? ? 4( y0 ? 8) 8 y0 4 y0 ? 32 ? OP ? OM ? ? 2 ? 2 ? 2 ? 4 (定值) ????10 分 y0 ? 8 y0 ? 8 y0 ? 8 (3)设存在 Q(m,0)满足条件, 则MQ ? DP ??????11 分 ???? ? ??? ? 4 y2 8y MQ ? (m ? 2, ? y0 ), DP ? (? 2 0 , 2 0 ) ??????12 分 y0 ? 8 y0 ? 8 ???? ? ??? ? 4 y2 8 y2 则由 MQ ? DP ? 0得 ? 2 0 (m ? 2) ? 2 0 ? 0, 从而得 m=0 y0 ? 8 y0 ? 8
直线 CM: y ? ∴存在 Q(0,0)满足条件 ??????14 分 3、已知函数 f ( x) ? a ln x ? ax ? 3(a ? R) . (Ⅰ)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若函数 y ? f ( x) 的图像在点 (2, f (2)) 处的切线的倾斜角为 45? ,问:m 在什么范围取值时,

4 ? l : y ? 6 ? ? ( x ? 2), 即4 x ? 3 y ? 26 ? 0 3 综上, l : x ? 2 或 4 x ? 3 y ? 26 ? 0 (2)解:设 ?ECF ? 2a ,则 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? CE ? CF ?| CE |? | CF |? cos 2? ? 16cos 2? ? 32cos 2 ? ? 16 . x 4 ? 在 Rt△PCE 中, cos ? ? ,由圆的几何性质得 | PC | | PC | 2 | PC |≥| MC | ?1 ? 7 ? 1 ? 6 ,所以 cos? ? , 3 16 16 由此可得 CE ? CF ? ? ,则 CE ? CF 的最大值为 ? . 9 9 x2 y 2 2、已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1、F2,短轴两个端点为 A、B,且四边 a b
?k ? ? 4 3
形 F1AF2B 是边长为 2 的正方形。 (1)求椭圆的方程; (2)若 C、D 分别是椭圆长的左、右端点,动点 M 满足 MD⊥CD,连接 CM,交椭圆于点 P。证 明: OM ? OP 为定值。 (3)在(2)的条件下,试问 x 轴上是否存异于点 C 的定点 Q,使得以 MP 为直径的圆恒过直线 DP、MQ 的交点,若存 在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由。 解: (1) a ? 2, b ? c, a ? b ? c ,? b ? 2
2 2 2 2

?m ? ? f ' ( x)? 在区间 (t ,3) 上总存在极值? ?2 ? p ? 2e (Ⅲ)当 a ? 2 时,设 函 数 h( x) ? ( p ? 2) x ? ? 3 ,若在区间 ?1, e ? 上至少存在一个 x0 ,使得 x h( x0 ) ? f ( x0 ) 成立,试求实数 p 的取值范围. a(1 ? x) 解: (Ι)由 f ' ( x) ? ( x ? 0)知: x
对于任意的 t ? ?1,2?,函数 g ( x) ? x 3 ? x 2 ?

???? ? ??? ?

∴椭圆方程为

x2 y 2 ? ?1 4 2

??????4 分

当a ? 0时,函数f ( x)的单调增区间是(0, 1),单调减区间是( 1,+?); a 2 (Ⅱ)由 f ' ( x) ? ? ? 1, ? a ? ?2,? f ( x) ? ?2 ln x ? 2 x ? 3, f ' ( x) ? 2 ? , 2 x m m ? ? 故g ( x) ? x3 ? x 2 ? ? f '( x) ? ? x3 ? (2 ? ) x 2 ? 2 x, g '( x) ? 3x 2 ? (4 ? m) x ? 2, 2 ?2 ? ? g '(t ) ? 0 37 ? g ( x)在区间(t ,3)上总存在极值, ?? 解得 ? ? m ? ?9. 3 ? g '(3) ? 0. 37 所以当 m在(? , ?9)内取值时,对于任意的t ? ?1, 2? ,函数 3 ?m ? g ( x) ? x3 ? x 2 ? ? f '( x) ? 在区间(t ,3)上总存在极值。 ?2 ? (Ⅲ)? a ? 2,? f ( x) ? 2 ln x ? 2 x ? 3.

p ? 2e p 2e ? 3 ? 2ln x ? 2 x ? 3 ? px ? ? ? 2ln x x x x p 2e ①当 p ? 0时,由x ? ?1, e? 得px ? ? 0, ? ? 2ln x ? 0.所以,在?1, e? 上不存在 x0 , 使得 x x h( x0 ) ? f ( x0 )成立; 令F ( x) ? h( x) ? f ( x) ? ( p ? 2) x ?
②当 p ? 0时,F '( x) ?

(Ⅲ)由题意,得 h( x) ? x ?

b (1 ? x ? 10) x

1? 若 b ? [1, 10] ,则 h( x) 在 [ 1 , b ] 上递减,在 [ b , 10 ] 上递增,
则 hmin ? h( b ) ? 2 b ,所以 ?

?1 ? b ? 10 ? ? ? 2 b ?b

,得 1 ? b ? 4

????12 分

? x ? ?1, e? ,? 2e ? 2 x ? 0, px 2 ? p ? 0, F '( x) ? 0在?1, e ? 上恒成立, 故F ( x)在?1, e ? 上单调递增。

px 2 ? 2 x ? p ? 2e , x2
p ? 4. e

2? 若 b ? 1 ,则 h( x) 在 [ 1 , 10] 上递增,则 hmin ? h(1) ? 1 ? b ,
所以 ?

? F ( x)max ? F (e) ? pe ?

? ? b ?1 ,得 0 ? b ? 1 .??????????????????14 分 1 ? b ? b ? ?

p 4e ? 4e ? 故只要 pe ? ? 4 ? 0, ,解得 p ? 2 . 所以 p 的取值范围是 ? 2 , ?? ? . e ? 1 e e ?1 ? ? 4、对于函数 f1 ( x), f 2 ( x), h( x) ,如果存在实数 a, b 使得 h( x) ? a ? f1 ( x) ? b ? f 2 ( x) ,那么称 h( x ) 为
f1 ( x), f 2 ( x) 的生成函数.
(Ⅰ)下面给出两组函数, h( x ) 是否分别为 f1 ( x), f 2 ( x) 的生成函数?并说明理由; 第一组: f1 ( x) ? sin x, f 2 ( x) ? cos x, h( x) ? sin( x ? ( Ⅱ ) 设 f1 ( x) ?

3? 若 b ? 10 ,则 h( x) 在 [ 1 , 10] 上递减,则 hmin

? b ? 10 b ? ,无解 ? h(10) ? 10 ? ,故 ? b 10 10 ? ? b ? 10 ?

综上可知, 0 ? b ? 4. ?????????????????????16 分 5 、 在 R 上 定 义 运 算 ? : p ? q ? ? ( p ? c)( q ? b) ? 4bc ( b 、 c ? R 是 常 数 ) , 已 知

?
3

1 3

);

f1 ( x) ? x 2 ? 2c , f 2 ( x) ? x ? 2b , f ( x) ? f1 ( x) ? f 2 ( x) .
①如果函数 f ( x) 在 x ? 1处有极值 ?

第二组: f1 ( x) ? x 2 ? x , f 2 ( x) ? x 2 ? x ? 1 , h( x) ? x 2 ? x ? 1;

lo x 2 g

,2 f

? x( )
2

1

生, 成 函1数 h( x ) . 若 不 等 式 lo x? g a , ?, b2

4 ,试确定 b 、 c 的值; 3

2 h ( x ? )? t在 x? 0 [2, 4] 上有解,求实数 t 的取值范围; 1 (Ⅲ) 设 f1 ( x) ? x, f 2 ( x) ? 取 a ?1 生成函数 h( x ) 使 h( x) ? b 恒成立, , b? 0 , (1 ? x ? 10) , x 求 b 的取值范围. 1 3 ? cos x , 取 解: ( Ⅰ ) ① 设 a sin x ? b cos x ? sin( x ? ) , 即 a sin x ? b cos x ? sin x ? 2 2 3 1 3 a? , b? ,所以 h( x ) 是 f1 ( x), f 2 ( x) 的生成函数.????????2 分 2 2 2 2 2 2 2 ② 设 a( x ? x) ? b( x ? x ? 1) ? x ? x ? 1 ,即 (a ? b) x ? (a ? b) x ? b ? x ? x ? 1 ,
?a ? b ? 1 ? 则 ?a ? b ? ?1 ,该方程组无解.所以 h( x ) 不是 f1 ( x), f 2 ( x) 的生成函数.???4 分 ?b ? 1 ?
(Ⅱ) h( x) ? 2 f1 ( x) ? f 2 ( x) ? 2log 2 x ? log 1 x ? log 2 x ??????????5 分
2

3h2 ( x ? )

②求曲线 y ? f ( x) 上斜率为 c 的切线与该曲线的公共点; ③记 g ( x) ?| f ( x) |( ? 1 ? x ? 1 )的最大值为 M ,若 M ? k 对任意的 b 、 c 恒成立,试求 k 的取
/

值范围. (参考公式: x ? 3bx ? 4b ? ( x ? b)( x ? 2b) )
3 2 3 2

4 ? ?b ? 1 ?b ? ?1 ?b ? 1 1 3 ? f (1) ? ? 2 解:①依题意 f ( x) ? ? x ? bx ? cx ? bc ,解 ? 或? 。若 ? , 3 得? 3 ?c ? ? 1 ?c ? 3 ?c ? ? 1 ? f / (1) ? 0 ?

1 f ( x) ? ? x 3 ? x 2 ? x ? 1 , f / ( x) ? ? x 2 ? 2 x ? 1 ? ?( x ? 1) 2 ? 0 3
?b ? ?1 1 3 2 , f ( x) ? ? x ? x ? 3 x ? 3 , f ( x) 在 R 上 单 调 递 减 , 在 x ? 1 处 无 极 值 ; 若 ? 3 ?c ? 3 ?b ? ?1 f / ( x) ? ? x 2 ? 2 x ? 3 ? ?( x ? 1)( x ? 3) ,直接讨论知, f ( x) 在 x ? 1处有极大值,所以 ? 为 ?c ? 3
所求. ② 解 f (t ) ? c 得 t ? 0 或 t ? 2b , 切 点 分 别 为 (0 , bc) 、 (2b , 3bc ?
/

若不等式 3h ( x) ? 2h( x) ? t ? 0 在 x ?[2, 4] 上有解,
2

3h2 ( x) ? 2h( x) ? t ? 0 ,即 t ? ?3h2 ( x) ? 2h( x) ? ?3log 2 2 x ? 2log 2 x ??7 分
设 s ? log 2 x ,则 s ?[1, 2] , y ? ?3log 2 x ? 2log 2 x ? ?3s ? 2s ,??9 分
2 2

ymax ? ?5 ,故, t ? ?5 .?????????????????????10 分

4 3 b ) ,相应的切线为 3

4 1 y ? cx ? bc 或 y ? cx ? bc ? b 3 。 解 cx ? bc ? ? x 3 ? bx 2 ? cx ? bc 得 x ? 0 或 x ? 3b ; 解 3 3 4 1 cx ? bc ? b 3 ? ? x 3 ? bx 2 ? cx ? bc 即 x 3 ? 3bx2 ? 4b 3 ? 0 得 x ? ?b 或 x ? 2b 。综合可知, 3 3 b ? 0 时,斜率为 c 的切线只有一条,与曲线的公共点只有 (0 , 0) , b ? 0 时,斜率为 c 的切线有两
条,与曲线的公共点分别为 (0 , bc) 、 (3b , 4bc) 和 (2b ,
2 2

⑵直接计算知 f (1) ? 1 ? 0 , f (2) ? 2 ? a ? a 式a ?a
?1

?1

? 2 , f (3) ? 3 ? a 2 ? a ?2 ? 2 ,根据基本不等

? 2 ? 0 ,所以 f (2) ? 2 ? f (1) ? 1 ,又因为

4 3 4 b ?3bc) 、 (?b , b 3 ) . 3 3
/

(a 2 ? a ?2 ? 2) ? (a ? a ?1 ? 2) ? [( a ? a ?1 ) 2 ? ( a ? a ?1 ) 2 ] ? ( a ? a ?1 ) 2 (a ? a ?1 ? 1) 1 ? (a ? 1) 2 (a ? a ?1 ? 1) ? 0 ,所以 f (3) ? 3 ? f (2) ? 2 . a
假设 ?x ? 0 , f ( x ? 1) ? ( x ? 1) ? f ( x) ? x 。记 g ( x) ? [ f ( x ? 1) ? ( x ? 1)] ? [ f ( x) ? x]

③ g ( x) ?| ?( x ? b) ? b ? c | 。 若 | b |? 1 , 则 f ( x) 在 [?1 , 1] 是 单 调 函 数 ,

M ? max | f / (?1) | , | f / (1) | ? ?| ?1 ? 2b ? c | , | ?1 ? 2b ? c |?,因为 f / (1) 与 f / ( ?1) 之差的绝对
值 | f (1) ? f (?1) |?| 4b |? 4 ,所以 M ? 2 。
/ /

?

?

a a x ?1 ? a ? x a x ?1 ? a ? x x ?1 ? x ?1 x ?x / [( a ? a ) ? (a ? a )] ? 1 ? ? 1 , g ( x) ? ln a 。与⑴类似地讨 a ?1 a ?1 a2 ?1
论知,对 ?x ? 0 和 ?a ? 0 且 a ? 1 都有 g ( x) ? 0 , g ( x) 在 [0 , ? ?) 上的单调递增, g (0) ? 0 ,
/

若 | b |? 1 , f ( x) 在 x ? b ? [?1 , 1] 取极值,则 M ? max | f (?1) | , | f (1) | , | f (b) | ,
/ / / /

?

?

所以 g ( x) ? g (0) ? 0 ,即 ?x ? 0 , f ( x ? 1) ? ( x ? 1) ? f ( x) ? x . ⑶

f / (b) ? f / (?1) ? (b ? 1) 2





?1 ? b ? 0



f / (1) ? f / (?1) ? f / (b)



f (3) a 2 ? 1 ? a ?2 f (1) f (2) 1 ?1 ? , , , 根 据 基 本 不 等 式 ?1 ? (a ? a ) 3 3 1 2 2

1 1 1 M ? max | f (1) | , | f (b) | ? | f / (1) ? f / (b) |? (b ? 1) 2 ? ; 2 2 2
/ /

?

?

f (3) f (2) f (3) f (2) 2 (a ? a ?1 ) 2 f (2) 1 f (1) , ? ? ?[ ] ? ?0 , 所 以 ? (a ? a ?1 ) ? 1 ? 3 2 3 2 12 2 2 1

若 0 ? b ? 1, f (?1) ? f (1) ? f (b) , M ? max | f (?1) | , | f (b) | ?
/ / / / /

?

?

1 / | f (?1) ? f / (b) | 2

f (3) f (2) f (1) . ? ? 3 2 1
假设 ?x ? 0 ,

?

1 1 1 1 1 (b ? 1)2 ? 。当 b ? 0 ,c ? 时, g ( x) ?| f / ( x) |?| ? x 2 ? | 在 [?1 , 1] 上的最大值 M ? 。 2 2 2 2 2
1 ]. 2

xf / ( x) ? f ( x) f ( x ? 1) f ( x) f ( x) / 。记 g ( x) ? , x ? 0 , g ( x) ? ? x ?1 x x x2

所以, k 的取值范围是 (?? , 6、已知函数 f ( x) ?

a x(a x ? a ? x ) ln a ? (a x ? a ? x ) x(a x ? a ? x ) ln a ? (a x ? a ? x ) ? h ( x ) ? , 设 , 则 h(0) ? 0 且 x2 a2 ?1 a2 ?1 h / ( x) ? x(a x ? a ? x ) ln 2 a x(a x ? a ? x ) ln 2 a / h ( x ) ? ?0 , 从 而 , 类 似 ⑴ 的 讨 论 知 a2 ?1 a2 ?1

a (a x ? a ? x ) ,其中 a ? 0 且 a ? 1 . a ?1
2

⑴分别判断 f ( x) 在 (?? , ? ?) 上的单调性; ⑵比较 f (1) ? 1与 f (2) ? 2 、 f (2) ? 2 与 f (3) ? 3 的大小, 由此归纳出一个更一般的结论,并证明; ⑶比较

h( x) ? h(0) ? 0 , g / ( x) ? 0 , g ( x) 在 R ? 上单调增加,所以 ?x ? 0 ,

f ( x ? 1) f ( x) . ? x ?1 x

f (1) f ( 2) f ( 2) f (3) 与 、 与 的大小,由此归纳出一个更一般的结论,并证明. 1 2 2 3
/

7、定义: F ( x, y ) ? xy ? ln x, x ? (0,??), y ? R, , f ( x) ? F ( x, ) (其中 a ? 0 ) 。 (1)求 f ( x) 的单调区间;

x a

a a 解:⑴ f ( x) ? 2 (a x ? a ? x ) ln a ,若 0 ? a ? 1 ,则 2 ? 0 , ln a ? 0 ,所以 f / ( x) ? 0 ; a ?1 a ?1
若 a ? 1 ,则

a ? 0 , ln a ? 0 ,所以 f / ( x) ? 0 ,因此,任意 a ? 0 且 a ? 1 ,都有 f / ( x) ? 0 , a ?1
2

1 恒成立,试求实数 a 的取值范围; 2 * (3)记 f ' ( x)为f ( x) 的导数,当 a=1 时,对任意的 n ? N ,在区间 [1, f ' (n)] 上总存在 k 个正数
(2)若 f ( x) ? ?

f ( x) 在 (?? , ? ?) 上的单调递增.

a1 , a2 ,?, a4 ,使 ? f ' (ai ) ? 2010 成立,试求 k 的最小值。
i ?1

k

2 1 2 x2 ? a 1 2 x ? ln x ( x ? 0) ,则 f ?( x) ? x ? ? a x ax a ①当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 对 x ? (0, ??) 恒成立, f ( x) 在 (0, ??) 上递增
解: (1) f ( x) ? ②当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,则 x ?

?2a , 2

???3 分

?2 a ?2a ) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 为增函数;x ? ( , ??) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 为减函数. 2 2 ?2a 综 上 , a ? 0 时 , f ( x) 增 区 间 为 (0,?? ); a ? 0 时 , f ( x) 增 区 间 为 ( 0, ), 减 区 间 为 2 ?2a ( , ??) . ???????????????5 分 2 (2)由(1)知 a ? 0 时, f ( x) 在 (0, ??) 递增, 1 1 1 且 x ? 1 时, f (1) ? ? 0, 则 f (1) ? ? ,? f ( x) ? ? 不恒成立,故 a ? 0 .??7 分 a 2 2 ?2a 1 ?2a 2 ?2a )? ( ) ? ln 又 f ( x) 的极大值即 f ( x) 最大值 f ( 2 a 2 2 1 1 ? f ( x) ? ? 恒成立,只须 ? f ( x)?max ? ? 2 2 ?2a ?2a ? 0 ,即 0 ? ?1 ∴ ln ∴ ?2 ? a ? 0 ???9 分 2 2 1 2 (3)当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? ln x , f ?( x) ? 2 x ? x 1 令 g ( x) ? f ?( x) ,则 g ?( x) ? 2 ? 2 ???11 分 x 1 当 x ?[1, ??) 时, g ?( x) ? 0 ∴ f ?( x) ? 2 x ? 在 [1, ??) 上是增函数 x 1 * 当 n ? N 时, f ?(n) ? 2n ? ? 2 2 ∴ f ?( x) 在 [1, f ?(n)] 上是增函数 ??13 分 n 19 当 n ? 1 时, f ?(1) ? 3 ∴当 ai ? [1, f ?(1)], i ? 1, 2,3,?, k 时, f ?(ai ) ? f ?( f ?(1)) ? f ?(3) ? 3 19 19 * 则为使得 k 最小, 需 f ?(ai ) ? 则 k ? 2010 , 又k?N , 所以 kmin ? 318 , 当 , i ? 1, 2,3, ?, k , 3 3 n ? 1 时, f ?(n) ? f ?(1) ,∴当 ai ?[1, f ?(n)], i ? 1, 2,3,?, k 时, 1 1 f ?(ai ) ? f ?( f ?(n)) ? f ?(2n ? ) 则为使得 k 最小,需 f ?(ai ) ? f ?(2n ? ), i ? 1, 2,3,?, k , n n 1 1 19 * 则 f ?(2n ? ) ? k ? 2010 ,又 f ?(2n ? ) ? f ?(3) ? 又 k ? N ,所以 kmin ? 318 n n 3 x ? (0,
当 k ? 318 时,对 n ? 1 时,不存在 k 个正数,使得

x ? sin x , g ( x) ? x cos x ? sin x . x (1)求证:当 x ? (0, ? ] 时, g ( x) ? 0 ; (4 分) (2)存在 x ? (0, ? ] ,使得 f ( x) ? a 成立,求 a 的取值范围; (6 分) (3)若 g (bx) ? bx cos bx ? b sin x (b ? ?1) 对 x ? (0, ? ] 恒成立,求 b 的取值范围. (6 分) 解(1)因为当 x ? ?0, ? ? 时, g ' ( x) ? cos x ? x sin x ? cos x ? ? x sin x ? 0 , 所以 g ( x) 在 ?0, ? ? 上单调递减, ????3 分 又 g (0) ? 0 ,所以当 x ? ?0, ? ? 时, g ( x) ? 0 ??????????4 分 x ? sin x sin x x cos x ? sin x (2) 因为 f ( x) ? ,所以 f ' ( x) ? , ? 1? x x x2 由(1)知,当 x ? ?0, ? ? 时, x cos x ? sin x ? 0 ,所以 f ' ( x) ? 0 ??????6 分 所以 f ( x) 在 ?0, ? ? 上单调递减,则当 x ? ?0, ? ? 时, f ( x) min ? f (? ) ? 1 ???8 分 由题意知, f ( x) ? a 在 ?0, ? ? 上有解,所以 a ? f ( x) min ,从而 a ? 1 ????10 分 (3)由 g (bx) ? bx cosbx ? b sin x (b ? ?1) 得 sin bx ? b sin x (b ? ?1) 对 x ? ?0, ? ? 恒成立, ①当 b ? ?1,0,1 时,不等式显然成立 ???????????????11 分
8、设函数 f ( x) ? ②当 b ? 1 时,因为 bx ? ?0, b? ? ,所以取 x0 ? 不等式不恒成立

?
b

? ?0, ? ? ,则有 sin bx0 ? 0 ? b sin x0 ,从而时

????????????????12 分

③当 0 ? b ? 1 时,由(Ⅱ)可知 h( x) ? ∴

sin x 在 ?0, ? ? 上单调递减,而 0 ? bx ? x ? ? , x

sin x sin bx , ∴ sin bx ? b sin x 成立 ??????????14 分 ? x bx ④当 ? 1 ? b ? 0 时,当 x ? ?0, ? ? 时, 0 ? ?bx ? x ? ? ,则 sin x sin(?bx) sin bx ,∴ sin bx ? b sin x 不成立, ? ? x ? bx bx 综 上 所 述 , 当 b ? ?1 或 0 ? b ? 1 时 , 有 g ( bx) ? bxcos bx 对 x ? (0, ? ] 恒 成 ? bsi n x( ? b ? 1)
立.??????????????????????????????????16 分 9、对于各项均为整数的数列 ?an ? ,如果 ai ? i ( i =1,2,3,…)都为完全平方数,则称数列 ?an ? 具 有“ P 性质”;若将数列 ?an ? 交换项的位置,得到一个新数列,这个新数列具有“ P 性质”,则称数列

?an ? 具有“变换 P 性质”.例如:数列 1、2、3 交换项的位置,得到数列 3、2、1 具有“ P 性质” (1)设数列 ?an ? 的通项公式为 a n ? n ? 1 ,且具有“变换 P 性质”,若数列 {a n } 的项数为 m ,且
m ? 2 ,求 m 的最小值;
(2)试判断数列 1,2,3,4,5 和数列 1,2,3,?,11 是否具有“变换 P 性质”,具有此性质的 数列请写出相应的数列 {bn } ,不具有此性质的说明理由; (3)设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn,且 S3 ? 3a6 ? 24 ,请给出首项 a1 的一个值,使数列 {S n }
2 *

具有“ P 性质” ,并证明你的结论; (4)对于有限项数列 A :1,2,3,…, n ,某人已经验证当 n ? [12, m ](m ? 5, m ? N ) 时, 数列 A 具有“变换 P 性质”,试证明:当 n ? [m ? 1, (m ? 2) ] 时,数列 A 也具有“变换 P 性质”.
2 2

? f ?(a ) ? 2010 ,所以, k
i ?1 i

k

min

? 318 ?16 分

解: (1)当 m ? 2 时,数列 ?an ? 为 0,1,交换位置只能得到数列 1,0 不具备“ P 性质” ;当 m ? 3

时,数列 ?an ? 为 0,1,2,变换位置后得到数列 0,2,1 满足 ai ? i ? 2 ,所以数列 ?an ? 具有“变
2

换 P 性质”,故 m 的最小值为 3; (2)数列 1,2,3,4,5 具有“变换 P 性质”,数列 {bn } 为 3,2,1,5,4. 数列 1,2,3, ,?,11 不具有“变换 P 性质”,因为 11 和 4 都只有与 5 的和才能构成完全平方数 , 所以数列 1,2,3, ,?,11 不具有“变换 P 性质” (3) a1 ? 0 ,证明如下: 设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,则由 S3 ? 3a6 ? 24 得, 3a1 ? 3d ? 3a1 ? 15d ? 24,? d ? 2 , 故 Sn ? na1 ?

( k ? 1)! d k ?1 ( k ? 1)! d k ?1 (k ? 1)! d k ?1 k! d k ? ? (a k ?1 ? a1 ) ? , a1 a 2 ? a k a 2 a3 ? a k a1 a 2 ? a k a1 a 2 ? a k a k ?1 所以,当 n ? k ? 1 时,结论也成立. ?1 C0 C1 C2 (?1) n ?1 C nn? (n ? 1)! d n ?1 1 ? 综合①②知, n ?1 ? n ?1 ? n ?1 ? ? ? 对 n ? 2 都成立??10 分 a1 a2 a3 an a1 a 2 ? a n ?
11、设 n ? N ,且 n ? 0 ,试分别用数学归纳法和二项式定理求 1 ? 21 ? 22 ? 23 ? ? ? 25n?1 被 31 除 所得的余数. 解:当 n ? N ,且 n ? 0 时, 1 ? 21 ? 22 ? 23 ? ? ? 25n?1 被 31 除所得的余数是 0。 (1)数学归纳法: ① n ? 1 时, 1 ? 21 ? 22 ? 23 ? 24 ? 31 ,被 31 除所得余数为 0。 ②设 n ? k 时, 1 ? 21 ? 22 ? 23 ? ? ? 25k ?1 ,被 31 除所得余数为 0。 当 n ? k ? 1 时,

n(n ? 1) d ? n 2 ? n,? Si ? i ? i 2 ,所以当 a1 ? 0 时,数列 {S n } 具有“ P 性质”. 2 2 2 2 (4)设 n ? m ? j , 1 ? j ? 2m ? 1 , 注意到 (m ? 2) ? (m ? j ) ? 4m ? 4 ? j , 令 h ? 4m ? 4 ? j ? 1 , 由于 1 ? j ? 2m ? 1, m ? 5, 所以h ? 4m ? 4 ? j ? 1 ? 2m ? 2 ? 12 , 2 2 2 2 2 2 又 m ? h ? m ? 4m ? 4 ? j ? 1 ? m ? 4m ? 2 ? (m ? 2) ? 6 ? 0, 所以h ? m , 即h ? [12, m ] .
因为当 n ? [12, m ](m ? 5) 时,数列 {an } 具有“变换 P 性质”.
2

1 ? 21 ? 22 ? 23 ? ? ? 25( k ?1)?1
2

? 1 ? 21 ? 22 ? 23 ? ? ? 25 k ? 4 ? 1 ? 21 ? 22 ? 23 ? ? ? 25 k ?1 ? (25 k ? 25 k ?1 ? 25 k ? 2 ? 25 k ?3 ? 25 k ? 4 )

所以 1,2,?, 4m ? 4 ? j ? 1 可以排列成 a1 , a2 , a3 ,?, ah ,使得 ai ? i (i ? 1, 2,?, h) 都是平方数; 另外,4m ? 4 ? j, 4m ? 4 ? j ? 1,?, m ? j 可以按相反顺序, 即排列为 m ? j,?, 4m ? 4 ? j ? 1,
2

? 1 ? 21 ? 22 ? 23 ? ? ? 25k ?1 ? 25k (1 ? 2 ? 22 ? 23 ? 24 )
? 1 ? 21 ? 22 ? 23 ? ? ? 25k ?1 ? 25k ? 31 可知上式被 31 除所得余数为 0。 综合①②可得,当 n ? N ,且 n ? 0 时, 1 ? 21 ? 22 ? 23 ? ? ? 25n?1 被 31 除所得的余数是 0。
(Ⅱ)二项式定理: 式子 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
1 2 3 5 n?1

4m ? 4 ? j ,使得 (4m ? 4 ? j ) ? (m2 ? j ) ? (m ? 2) 2 , (4m ? 4 ? j ? 1) ? (m2 ? j ? 1) ? (m ? 2) 2 ,
?, (m2 ? j ) ? (4m ? 4 ? j ) ? (m ? 2) 2 ,
所以 1, 2, ?,4m ? 4 ? j ? 1 ,4m ? 4 ? j, 4m ? 4 ? j ? 1,?, m ? j 可以排列成 a1 , a2 , a3 ,?, ah ,
2

m2 ? j,?, 4m ? 4 ? j ? 1, 4m ? 4 ? j 满足 ai ? i ? i 2 (i ? 1, 2,?, m2 ? j ) 都是平方数.
即当 n ? [m ? 1, (m ? 2) ] 时,数列 A 也具有“变换 P 性质”.
2 2

表示的意义是首项为1 公比为 2 的等比数列,项数为 5n 的和,故

10、已知 ?a n ?为等差数列,且 a n ? 0 ,公差 d ? 0 .

1 ? 21 ? 22 ? 23 ? ? ? 25n ?1 ?

1 ? 25n ? 32n ? 1 1? 2

C C C 2d (1)试证: 1 ? 1 ? d ; ? ? ?
a1 a2 a1a 2

0 2

1 2

2 2

2

a1

a2

a3

a1a2 a3

0 1 2 3 3 ; C3 ? C3 ? C3 ? C3 ? 6d ; (3 分)

a1

a2

a3

a4

a1a2 a3a4

? (31 ? 1)n ? 1 0 1 2 k n?2 n ?1 n ? (Cn 31n ? Cn 31n?1 ? Cn 31n?2 ?Cn 31n?k ?Cn 312 ? Cn 31 ? Cn 310 ) ? 1
0 1 2 k n ?2 n ?1 ? Cn 31n ? Cn 31n ?1 ? Cn 31n ?2 ?Cn 31n ?k ?Cn 312 ? Cn 31

(2)根据(1)中的几个等式,试归纳出更一般的结论,并用数学归纳法证明.(7 分) 解: (1)略?????????????????????3 分

由于以上多项式每一项都有因数 31 ,故 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
1 2 3

5 n?1

能被 31 整除,

C C C (?1) C ? ? ??? a1 a2 a3 an 证:①当 n ? 2,3,4 时,等式成立,
(2)结论:
0 n ?1 1 n ?1 2 n ?1

n ?1

n ?1 n ?1

?

(n ? 1)! d ??????5 分 a1 a 2 ? a n

n ?1

即1? 2 ? 2 ? 2 ??? 2
1 2 3

5 n?1

被 31 除所得的余数是 0。

②假设当 n ? k 时,

1 ?1 C k0?1 C k C2 (?1) k ?1 C kk? (k ? 1)! d k ?1 1 ? ?1 ? k ?1 ? ? ? ? 成立, a1 a2 a3 ak a1 a 2 ? a k
i ?1 i ?1 k ?2 ? Ck ?1 ? C k ?1 ,所以

那么当 n ? k ? 1 时,因为 C k

1 C k0 C k C k2 (?1) k ? 2 C kk ? ? ??? a1 a 2 a3 a k ?1 1 0 1 ?1 k ?2 ?1 C k0?1 C k C k2?1 ? C k (?1) k ?1 (C kk? (?1) k ? 2 C kk? ?1 ? C k ?1 ?1 1 ? C k ?1 ) 1 ? ? ? ??? ? a1 a2 a3 ak a k ?1 1 ?1 1 ?1 C k0?1 C k C k2?1 (?1) k ?1 C kk? C k0?1 C k C k2?1 (?1) k ?1 C kk? ?1 1 ?1 1 ?( ? ? ??? )? ( ? ? ??? ) a1 a2 a3 ak a2 a3 a4 a k ?1


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