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乌鲁木齐地区2013年高三年级第一次诊断性测验理科数学试题答案及评分标准最新

2013 年乌鲁木齐地区高三年级第一次诊断性测验试卷

理科数学试题参考答案及评分标准
一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 题号 选项 1 D 2 C 3 A 4 A 5 D 6 A 7 B 8 B 9 C 10 B 11 D 12 B

1.选 D.【解析】 x ? 1 ? x ? 1 或 x ? ? 1 ,由 A ? B = R ,得 m ? 1 . 2.选 C.【解析】
1 ? 2i i ? 2 ? i ,其共轭复数为 2 ? i ,即 a ? b i ? 2 ? i ,所以 a ? 2 , b ? 1 .
2 2

3.选 A.【解析】a ? 0 ? a ? a ? 0 ;反之 a ? a ? 0 ? a ? 0, 或 a ? ? 1 ,不能推出 a ? 0 . 4.选 A.【解析】 f ? x ? ? g ( x ) 的定义域为 ? ? 1,1 ? 记 F ( x ) ? f ? x ? ? g ( x ) ? lo g 2
?1? x ? ? lo g? F (? x) ? l o g 2 2 ? 1? x ?1? x ?
1? x
?1

1? x 1? x

,则

? ?lo g 2

1? x 1? x

? ? F ( x ) ,故 f

?x? ?

g ( x ) 是奇函数.

5.选 D.【解析】函数 g ( x ) ? f ( x ) ? x ? m 的零点就是方程 f ( x ) ? x ? m 的根,作出
h(x) ? f

?x? ?

x ? 0 ? x, x ? ? x 的图象, 观察它与直线 y ? m 的交点, 得知当 m ? 0 时, ?e ? x, x ? 0

或 m ? 1 时有交点,即函数 g ( x ) ? f ( x ) ? x ? m 有零点. 6.选 A.【解析】由 a 1 ? 1 , a 3 ? 5 ,解得 d ? 2 ,再由: S k ? 2 ? S k ? a k ? 2 ? a k ? 1
? 2 a 1 ? ( 2k ? 1 d ? 4 ? 4 ? ,解得 k ? 8 . ) k 36

7.选 B.【解析】 A B ? 5, y A ? y B ? 4 ,所以 x A ? x B ? 3 ,即
? ? ?
3

T 2

? 3 ,所以 T ?

2?

?

? 6,

由 f ? x ? ? 2 s in ?
5? 6

? ? 2? ? x ? ? ? 过点 ? 2 , ? 2 ? ,即 2 s in ? ? ? ? ? ?2 ,0 ? ? ? ? , ? 3 ? ? 3 ? ?? ?? ? 3 x? 5? ? ? ? 5? ? ? x? ? 2k? ? , ? ,由 2 k ? ? 2 3 6 2 6 ?

解得 ? ? 解得

,函数为 f ? x ? ? 2 sin ?

6 k ? 4 ? x ? 6 k ? ,故函数单调递增区间为 ? 6 k ? 4, 6 k ? 1 ? ? k ? Z ? . 1
2 n n ?1

8.选 B.【解析】依题意 S ? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 9.选 C.【解析】 (略). 10.选 B.【解析】双曲线的渐近线为 y ? ? 线过点 O ? 0, 0 ? 时, z m in ? 0 .
1 2

? 1 ,有 2

n ?1

? 1 ? 1 2 7 ,故 n ? 6 .

x ,抛物线的准线为 x ? 2 ,设 z ? x ? y ,当直

2013 年高三年级第一次诊断性测验理科数学答案第 1 页(共 7 页)

11.选 D.【解析】易知直线 B 2 A 2 的方程为 b x ? a y ? a b ? 0 ,直线 B1 F 2 的方程为
? 2ac b ? a ? c ? ? , b x ? cy ? b c ? 0 ,联立可得 P ? ? ,又 A 2 ? a , 0 ? , B1 ? 0, ? b ? , a?c ? ?a?c

∴ P B1 ? ?

????

???? ? ? a ? a ? c ? ?b ? a ? c ? ? ? ?2ac ?2ab ? , , ?, ? , P A2 ? ? a?c ? a?c a?c ? ? a?c ?

∵ ? B1 P A 2 为钝角∴ P A 2 ? P B1 ? 0 ,即

???? ???? ?

?2a c ? a ? c ?
2

?a ? c?
2

2

?

2ab

2

?a ? c?
2

?a ? c?

? 0,

化简得 b 2 ? a c , a 2 ? c 2 ? a c ,故 ?
? 5 ?1 2

c ? c ? 2 ? ? ? 1 ? 0 ,即 e ? e ? 1 ? 0 , e ? a ?a ?

5 ?1 2



e?

,而 0 ? e ? 1 ,所以

5 ?1 2

? e ?1.

12.选 B.【解析】设 ? A B C 中, a , b , c 分别是 ? A , ? B , ? C 所对的边,由

?CA ? CB ? ? AB ? 5

??? ?

??? ?

??? ?

? 3 ??? AB

2

得CA ? AB ? CB ? AB ?
3 5
2

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

? 3 ??? AB 5

2

即 bc cos ?? ? A ? ? ac cos B ?
a ?c ?b
2 2 2 2 2

c ,∴ a c o s B ? b c o s A ?
2

3 5

c

∴a ?

?b?

b ?c ?a 2bc
2

?
2

3 5

c ,即 a ? b ?
2 2

3 5

c ,

2

2ac

a ?c ?b tan A

2 2 2 2

3

sin A co s B a a ?c ?b ∴ ? ? ? ? 2 2 a2c ? 2 ? 2 2 2 tan B sin B co s A b b ?c ?a b ?c ?a 2bc

c ?c
2

2

5 ? 4. 3 2 2 ? c ?c 5

二、填空题:共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.填 6 8 . 【解析】设遮住部分的数据为 m , x =
10 + 20 + 30 + 40 + 50 5
? 由 y = 0 .6 7 x + 5 4 .9 过 ? x , y ? 得 y = 0 .6 7 ? 3 0 + 5 4 .9 = 7 5

? 30 ,

∴ 14.填
1 6

62 + m + 75 + 81 + 89 5

= 7 5 ,故 m ? 6 8 .

. 【解析】平面 A1 B C 1 ∥平面 A C D 1 ,∴ P 到平面 A C D 1 的距离等于平面 A1 B C 1 与平
1 3 3 3 1 2 3 2

面 A C D 1 间的距离,等于

B1 D ?

,而 S ? A C D ?
1

A D 1 ? C D 1 sin 6 0 ? ?



2013 年高三年级第一次诊断性测验理科数学答案第 2 页(共 7 页)

∴三棱锥 P ? A C D 1 的体积为 ?
3 ?? ? 6

1

3 2

?

3 3

?

1 6

.

15.填 y ? s in ?

t?

? ?

? 2? ? ? ? 【解析】? x O A 0 ? , A 每秒旋转 点 , 所以 t 秒旋转 t , ?. 3 12 6 6 3 ?

? A0 O A ?

?
6

t , ? xO A ?

?
6

t?

?
3

,则 y ? sin ? xO A ? s in ?

?? ? 6

t?

? ?

?. 3 ?
1 k

16.填

a b
2

2

2 2

b ?a

. 【解析】设直线 O A 的方程为 y ? kx ,则直线 O B 的方程为 y ? ?

x,

? y ? kx 2 2 2 2 2 a b a b k ? 2 2 , y1 ? 2 则点 A ? x1 , y 1 ? 满足 ? x 2 y 2 故 x1 ? 2 , 2 2 2 2 b ?a k b ?a k ? 2 ? 2 ?1 b ?a

∴ OA

2

? x1 ? y 1 ?
2 2

?1 ? k ? a
2 2 2 2 2

2

b
2

2

b ?a k b
2 2

,同理 O B
2 2

2

?

?1 ? k ? a
2 2 2

2

b
2

2

k b ?a


4 4 2 2

故 OA ? OB

2

2

?

?1 ? k ? a
2 2

b ?a k

?

?1 ? k ? a
2 2

b
2

2

k b ?a

?
2 2 2

a b ?a b ? ?a ? b

2

?

2

?

k

?k

2

? 1?



k
2

2 2

? k ? 1?
2

? k ?
2

1 1 k
2

? ?2

1 4

(当且仅当 k ? ? 1 时,取等号)

∴ OA ? OB

2

?

4a b

4

4

?b

2

?a

2

?

2

,又 b ? a ? 0 ,故 S ? AOB ?

1 2

OA ?OB

的最小值为

a b
2

2

2 2

b ?a

.

三、解答题:共 6 小题,共 70 分. 17.(Ⅰ)设 ? a n ? 的公比为 q , ? b n ? 的公差为 d ,依题意 ?
?d ? ?5 ?d ? 2 ? ? 解得 ? 3 (舍) 1 ,或 ? ?q ? ?q ? ? 8 ? 2 ?

?2 ? d ? 4 ? 2q ? ?? 2 ? 2d ? ? 2q ? 6 ?

?1? ∴ an ? ? ? ?2?

n?2

, bn ? 2 n ;

…6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 a b ? a 2 n
n

?1? ?? ? ?2?

2n?2



因为 a b

n

?1? ? 0 .0 0 1 ? ? ? ?2?

2n?2

? 0 .0 0 1 ? 2

2n?2

? 1000 ,

2013 年高三年级第一次诊断性测验理科数学答案第 3 页(共 7 页)

所以 2 n ? 2 ? 1 0 ,即 n ? 6 ,∴最小的 n 值为 6.

…12 分

18.(Ⅰ)依据条件,? 服从超几何分布:其中 N ? 1 5, M ? 5, n ? 3 ,? 的可能值为 0 ,1, 2 , 3 , 其分布列为: P ? ? ? k ? ?
C 5 ? C 10
k 3? k 3

C 15
0

?k

? 0 ,1, 2 , 3 ? .

?
P

1
45 91

2
20 91

3

24 91

2 91 5 15 ? 1 3

…6 分

(Ⅱ)依题意可知,一年中每天空气质量达到一级的概率为 P ? 一年中空气质量达到一级的天数为? , ? ~ B ?360, 则
? ?



1? 1 ∴ ? , E ? ? 3 6 0 ? ? 1 2 0 (天) 3 3?

所以一年中平均有 1 2 0 天的空气质量达到一级.

…12 分

19.设正方形 A B C D 的中心为 O , N 为 A B 的中点, R 为 B C 的中点,分别以 O N ,O R ,
O V 所在直线为 x 轴, y 轴, z 轴,如图建立空间直角坐标系,

在 R t ? V O B 中,可得 O V ? 则V 0 , 0 , 3 0 , A

30 ,

?

?

?

3, ? 3,0 , B

?

?

3,

3,0 ,
? 3,0 ?, ? ?

?

C ? 3,

?

? 3 , 3,0 , D ? 3, ? 3,0 , M ? ? 3 ?

?

?

?

? 3 3 P? , , ? 2 2 ?

? 30 ? 3 3 ,? , ?, Q ?? ? ? 2 ? 2 2 ? 3 3 3 , , 2 2

30 ? ?. 2 ? ?

于是 A P ? ? ? ?
?

??? ?

?

? 3 0 ? ??? ? , A B ? 0, 2 3 , 0 , 2 ? ?

?

?

???? ? ? 2 3 ? ???? ? 3 3 3 AM ? ? ? , 2 3,0 ? , CQ ? ? ,? , ? ? ? 2 3 2 ? ? ?

30 ? ?. 2 ? ? 30 ? ?? 0, 2 ? ?

(Ⅰ)∵ A P ? C Q ? ? ? ?
?

??? ???? ?

?

3 3 3 , , 2 2

30 ? ? 3 3 3 ,? , ? ?? ? ? 2 2 ? ? 2

∴ C Q ? A P ,即 C Q ⊥ A P ;

????

??? ?

…6 分

2013 年高三年级第一次诊断性测验理科数学答案第 4 页(共 7 页)

??? ? ?n1 ? AP ? 0 ? a ? 3b ? ? ? (Ⅱ)设平面 B A P 的法向量为 n 1 ? ? a , b , c ? ,由 ? 得? ??? ? ?b ? 0 ?n1 ? AB ? 0 ? ?

10c ? 0

故n1 ?

?

1 0 , 0 ,1 ,同理可得平面 A P M 的法向量为 n 2 ? ? 3,1, 0 ? ,

?

设二面角 B ? A P ? M 的平面角为 ? ,则 co s ? ?

n1 ? n 2 n1 n 2
2

?

3 11 11



…12 分

20. (Ⅰ)⊙ F 的半径为

4?1 4 ?3
2 2

? 1 ,⊙ F 的方程为 ? x ? 1 ? ? y ? 1 ,
2

作 M H ⊥ y 轴于 H ,则 M F ? 1 ? M H ,即 M F ? M H ? 1 ,则 M F ? M N ( N 是过 M 作直线 x ? ? 1 的垂线的垂足) ,则点 M 的轨迹是以 F 为焦点, x ? ? 1 为准线 的抛物线. ∴点 M 的轨迹 C 的方程为 y ? 4 x ? x ? 0 ? ;
2

…6 分
? y ? k ? x ? 1? ? ? y ? 4x ?
2

(Ⅱ)当 l 不与 x 轴垂直时,直线 l 的方程为 y ? k ? x ? 1 ? ,由 ?



k x ? ? 2k ? 4 ? x ? k
2 2 2

2

? 0 ,设 A ? x 1 , y 1 ? , B ? x 2 , y 2 ? ,则 x1 ? x 2 ?
x1 ? x 2 ? 2 x1 x 2 ? x1 ? x 2 ? 1

2k ? 4
2

k

2

, x1 x 2 ? 1

∴ sin ? ? sin ? ?

1 AF

?

1 BF

?

1 x1 ? 1

?

1 x2 ? 1

?

?

x1 ? x 2 ? 2 1 ? x1 ? x 2 ? 1

?1,

当 l 与 x 轴垂直时,也可得 sin ? ? sin ? ? 1 , 综上,有 sin ? ? sin ? ? 1 . 21. (Ⅰ)∵ f ? ? x ? ?
1 ax 1 a 1 x ?1, ?1, ?1,

…12 分

∴曲线 y ? f ? x ? 在点 ? 1, f ? 1 ? ? 处的切线斜率为 k ? f ? ? 1 ? ? 依题意
1 a ? 1 ? 0 ,故 a ? 1 ,∴ f

?x? ?

ln x ? x , f ? ? x ? ?

当 0 ? x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递增;当 x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递减;所以函数 f ? x ? 的单调增区间为 ? 0,1 ? ,减区间为 ? 1, ? ? ? ; (Ⅱ)若 a ? 0 ,因为此时对一切 x ? ? 0 ,1 ? ,都有 与题意矛盾,又 a ? 0 ,故 a ? 0 ,由 f ? ? x ? ?
ln x a 1 ax ? 0 , x ? 1 ? 0 ,所以 ln x a ? 1 ,令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x ? 1 a

…6 分
? x ?1,

.

2013 年高三年级第一次诊断性测验理科数学答案第 5 页(共 7 页)

当0 ? x ?

1 a

时, f ? ? x ? ? 0 , 函数 f ? x ? 单调递增; x ? 当
1 a
?

1 a

时,f ? ? x ? ? 0 , 函数 f ? x ?

单调递减;所以 f ? x ? 在 x ?

处取得最大值
1 a ln 1 a ? 1 a

1 a

ln

1 a

?

1 a

? ,故对 ? x ? R , f ? x ? ? ? 1

恒成立,当且仅当对 ? a ? R , 令
1 a

? ? 1 恒成立.

? t , g ? t ? ? t ln t ? t , t ? 0 .

则 g ? ? t ? ? ln t , 0 ? t ? 1 时,g ? ? t ? ? 0 , 当 函数 g ? t ? 单调递减; t ? 1 时,g ? ? t ? ? 0 , 当 函数 g ? t ? 单调递增;所以 g ? t ? 在 t ? 1 处取得最小值 ? 1 ,因此,当且仅当
a ? 1 时,

1 a

? 1 ,即

1 a

ln

1 a

?

1 a

? ? 1 成立.

故 a 的取值集合为 ?1? . 22. (Ⅰ)连接 B C ,∵ A B 是 ? O 的直径,∴ ? A C B ? 9 0 ? . ∴ ? B ? ? C AB ? 90? ∵ A D ? C E ,∴ ? A C D ? ? D A C ? 9 0 ? , ∵ A C 是弦,且直线 C E 和 ? O 切于点 C , ∴ ?ACD ? ?B ∴ ? D A C ? ? C A B ,即 A C 平分 ? B A D ; (Ⅱ)由(Ⅰ)知 ? A B C ? ? A C D ,∴
2

…12 分

…5 分 ,由此得 A C ? A B ? A D .
2

AC AB

?

AD AC
2

∵ AB ? 4 AD , AC ? 4 AD ? AD = 4 AD ? AC ? 2 AD , ∴ 于是 ? D A C ? 6 0 ? , 故 ? B A D 的大小为 1 2 0 ? .
2 2 23. (Ⅰ)设曲线 C 上任一点为 ? x , y ? ,则 ? x , 2 y ? 在圆 x ? y ? 4 上,

…10 分

于是 x ? ? 2 y ? ? 4 即
2 2

x

2

? y ?1.
2

4

直线 3 x ? 2 y ? 8 ? 0 的极坐标方程为 3 ? c os ? ? 2 ? sin ? ? 8 ? 0 ,将其记作 l 0 , 设直线 l 上任一点为 ? ? , ? ? ,则点 ? ? , ? ? 9 0 ? ? 在 l 0 上, 于是 3 ? c os ? ? ? 9 0 ? ? ? 2 ? sin ? ? ? 9 0 ? ? ? 8 ? 0 , 即:3 ? sin ? ? 2 ? c os ? ? 8 ? 0 故直线 l 的方程为 2 x ? 3 y ? 8 ? 0 (Ⅱ)设曲线 C 上任一点为 M ? 2 c os ? , sin ? ? ,
2013 年高三年级第一次诊断性测验理科数学答案第 6 页(共 7 页)

…5 分

它到直线 l 的距离为 d ? 其中 ? 0 满足: c o s ? 0 ?
4 5

4 c o s ? ? 3 sin ? ? 8 2 ?3
2 2

?

5 c o s ?? ? ? 0 ? ? 8 13



, sin ? 0 ?

3 5

. …10 分 …5 分

∴当 ? ? ? 0 ? ? 时, d m a x ?

13 .

24. (Ⅰ) f ( x ) ? x ? 1 ? x ? 2 ? ( x ? 1) ? ( x ? 2 ) ? 1 .
a ?2
2

(Ⅱ)∵

?

a ?1?1
2

?

a ?1 ?
2

1 a ?1
2

? 2,

a ?1
2

a ?1
2

∴要使

a ?2
2

成立,需且只需 x ? 1 ? x ? 2 ? 2 ,

a ?1
2

即?

?x ? 1 ?1 ? x ? 2 ? x ? 2

, ? 或

?1 ? x ? 2 ?x ?1? 2 ? x ? 2
1? ?5

, ? 或

?x ? 2 ? x ? 1 ? x ? 2 ?2

, 解得 x ?

1 2

, x? 或

5 2

故 x 的取值范围是 ? ? ? , ? ? ? , ? ? ? . 2? ?2 ? ? 以上各题的其他解法,限于篇幅从略,请相应评分.

?

?

…10 分

2013 年高三年级第一次诊断性测验理科数学答案第 7 页(共 7 页)


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