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18版高中数学第二章数列2.3.1等比数列第2课时等比数列的性质学业分层测评新人教B版必修5

等比数列性质 (建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1 1.等比数列{an}的公比 q=- ,a1= 2,则数列{an}是( 4 A.递增数列 C.常数数列 B.递减数列 D.摆动数列 ) 1 【解析】 因为等比数列{an}的公比为 q=- , a1= 2, 故 a2<0, a3>0, …所以数列{an} 4 是摆动数列. 【答案】 D 2.对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是( A.a1,a3,a9 成等比数列 B.a2,a3,a6 成等比数列 C.a2,a4,a8 成等比数列 D.a3,a6,a9 成等比数列 【解析】 设等比数列的公比为 q,因为 = =q ,即 a6=a3a9,所以 a3,a6,a9 成等 比数列.故选 D. 【答案】 D 1 3.已知数列{an}满足 log3an+1=log3an+1(a∈N+),且 a2+a4+a6=9,则 log (a5+a7+ 3 ) a6 a9 a3 a6 3 2 a9)的值是( A.-5 ) 1 B.- 5 C.5 1 D. 5 【解析】 ∵log3an+1=log3an+1,∴an+1=3an, ∴数列{an}是以 3 为公比的等比数列, ∴a2+a4+a6=a2(1+q +q )=9, ∴a5+a7+a9=a5(1+q +q )=a2q (1+q +q )=3 , 1 5 ∴log 3 =-5. 3 【答案】 A 4.在 3 和一个未知数间填上一个数,使三数成等差数列,若中间项减去 6,则成等比数 列,则此未知数是( ) 2 4 3 2 4 5 2 4 1 A.3 C.3 或 27 B.27 D.15 或 27 ?2a=3+b, ? 【解析】 设此三数为 3,a,b,则? 2 ? ??a-6? =3b, 解得? ? ?a=3, ?b=3 ? 或? ? ?a=15, ?b=27. ? 所以这个未知数为 3 或 27. 【答案】 C 5.已知等比数列{an}满足 an>0,n=1,2,3,…,且 a5·a2n-5=2 (n≥3),则当 n≥1 时, log2a1+log2a3+…+log2a2n-1=( A.n(2n-1) C.n 2 2n ) B.(n+1) D.(n-1) 2 2 【解析】 因为{an}为等比数列,所以 a5·a2n-5=an. 由 a5·a2n-5=2 (n≥3),得 an=2 . 又因为 an>0,所以 an=2 ,所以 log2a1+log2a3+…+log2a2n-1=1+3+…+(2n-1)= n 2n 2 2n 2 n2,故选 C. 【答案】 C 二、填空题 6.在等比数列{an}中,a3=16,a1a2a3…a10=2 ,则 a7 等于________. 【解析】 ∵a1a2a3…a10=(a3a8) =2 , ∴a3a8=2 . ∵a3=16=2 ,∴a8=2 =512. 又∵a8=a3q ,∴q=2, 5 4 9 13 5 65 65 a8 512 ∴a7= = =256. q 2 【答案】 256 7.在右列表格中,每格填上一个数字后,使每一横行成等差数列,每纵列成等比数列, 则 x+y+z 的值为________. x 2 【解析】 ∵ = ,∴x=1. 2 4 2 ∵第一行中的数成等差数列,首项为 2,公差为 1,故后两格中数字分别为 5,6. 同理,第二行后两格中数字分别为 2.5,3. ?1? ?1? ∴y=5·? ? ,z=6·? ? . ?2? ?2? ?1? ?1? 32 ∴x+y+z=1+5·? ? +6·? ? = =2. ?2? ?2? 16 【答案】 2 8.某单位某年十二月份的产值是同年一月份产值的 m 倍, 那么该单位此年的月平均增长 率是________. 【解析】 由题意可知,这一年中的每一个月的产值成等比数列,求月平均增长率只需 利用 3 4 3 4 a12 11 =m,所以月平均增长率为 m-1. a1 【答案】 三、解答题 9.若 a,b 是函数 f(x)=x -px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,且 a,b,-2 这三个 2 11 m- 1 数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,求 p+q 的值. 【解】 不妨设 a>b,由题意得? ? ?a+b=p>0, ?ab=q>0, ? ∴a>0,b>0,又 a,b,-2 这三个数 可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列. ∴? ?ab=?-2? , ? ? ?a-2=2b, ? ?a=4, ?b=1, ? 2 ?2a=b-2, ? ①或? ? ?ab=4, ? ?a=1, ?b=4, ? ② 解①得? 解②得? ∴p=5,q=4,∴p+q=9. 2 20 10.在等比数列{an}中,a4= ,a3+a5= . 3 9 (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{an}的公比大于 1,且 bn=log3 ,求证:数列{bn}为等差数列,并求其前 n 2 项和 Sn. 【导学号:18082098】 an a4 20 【解】 (1)设等比数列{an}的公比为 q,则 q≠0, +a4q= . q 9 2 1 10 1 因为 a4= ,所以 +q= ,解得 q= 或 q=3. 3 q 3 3 3 1 ?1? -1 3-n 当 q= 时,a1=18,所以 an=18×? ? =2×3 ; 3 ?3? 2 2 n-1 n-5 当 q=3 时,a1= ,所以 an= ×3 =2×3 . 81 81 (2)证明:由(1)及数列{an}的公比大于 1, 得 q=3,an=2×3 n-5 n , n-5 所以 bn=log3 =log33 2 an =n-5, 所以 bn-bn-1=1(常数). 又因为 b1=log3 =-4, 2 所以数列{bn}是首项为-4,公差为 1 的等差数列. 所以 Sn

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