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【教师专用】2015高考数学专题辅导与训练配套课件:专题五 立体几何.2


第二讲 点、直线、平面之间的位置关系

【主干知识】 1.必记定理

(1)线面平行与垂直的判定定理、性质定理: 定理
线面平 行的判 定定理 线面平 行的性 质定理

符号表示
a ? ?, b ? ? ? ??a ? a b ? ________________ ?,a ? ? ? ??a b ? ?? ? b ? ________________ a

图形表示

定理 线面垂

符号表示
l ? a, l ? b ? ? a ? ?, b ? ? ? ? l ? ? ? a ? b ? O ? ________________
a ? ?? ??a b b ? ?? ________________

图形表示

直的判
定定理

线面垂
直的性 质定理

(2)面面平行与垂直的判定定理、性质定理: 定理 面面垂 直的判 定定理 面面垂 直的性
a ? ?? ??? ?? a ? ?? ________________

符号表示

图形表示

质定理

? ? ??a ?? ? a ? ? ,a ? c ? ________________

? ?? ? ?? ? c

定理 面面平 行的判 定定理 面面平

符号表示
a ?, b ? ? ? a ? ?, b ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? O ? ________________ ? ? ? ? ? ? ? ? a? ? a b ? ? ? ? ? b ? _______________

图形表示

行的性
质定理

2.重要转化 (1)三种平行关系的转化

(2)三种垂直关系的转化
判定定理 判定定理 ???? ? ???? ? 面面垂直 线线垂直 ???? 线面垂直 ? ???? ? 性质定理 性质定理

3.易错提醒 (1)忽视线面平行判定定理的条件:证明线面平行时,忽视“直 线在平面外”“直线在平面内”的条件. (2)忽视线面垂直判定定理的条件:证明线面垂直时,忽视“平 面内两条相交直线”这一条件. (3)关注面面垂直的性质定理的条件:当题目涉及面面垂直的条 件时,一般用此定理转化为线面垂直,应用时注意在面面垂直的 前提下,过平面内一点,垂直于两平面交线的直线应在其中一个 平面内.

【考题回顾】
1.(2014·嘉兴模拟)如图,梯形ABCD中,

AD∥BC,∠ABC=90°,AD∶BC∶AB=2∶
3∶4,E,F分别是AB,CD的中点,将四边

形ADFE沿直线EF进行翻折.给出下列结论:
①DF⊥BC;②BD⊥FC;③平面DBF⊥平面BFC;④平面DCF⊥平面 BFC.在翻折过程中,可能成立的结论是 A.①③ B.②③ C.②④ ( ) D.③④

【解析】选B.考虑①:因为BC∥AD, AD与DF相交不垂直,所以BC与DF不 垂直,则①不成立; 考虑②:设点D在平面BCF上的射影为 点P,当BP⊥CF时就有BD⊥FC, 而AD∶BC∶AB=2∶3∶4可使条件满足,所以②正确; 考虑③:当点P落在BF上时,DP?平面BDF,从而平面BDF⊥平面 BCF,所以③正确. 考虑④:因为点D的射影不可能在FC上,所以④不成立.

2.(2014·绍兴模拟)已知m,n为两条不同的直线,α ,β 为两个

不同的平面,则下列说法正确的是
A.若m∥α ,α ⊥β ,则m⊥β

(

)

B.若m⊥α ,α ∥β ,则m⊥β
C.若m∥α ,α ∥β ,则m∥β

D.若m∥α ,m∥β ,则α ∥β
【解析】选B.选项A中m∥α,α⊥β,则m∥β,相交或m?β;选

项C中若m∥α,α∥β,则m∥β或m?β;选项D中若
m∥α,m∥β,则α∥β或相交,故选B.

3.(2014·辽宁高考)已知m,n表示两条不同的直线,α 表示平面, 下列说法正确的是 ( ) B.若m⊥α ,n?α,则m⊥n D.若m∥α ,m⊥n,则n⊥α

A.若m∥α ,n∥α ,则m∥n C.若m⊥α ,m⊥n,则n∥α

【解题提示】否定一个结论,只需举一个反例即可.

【解析】选B.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中, 直线AA1,AB1分别与平面CC1D1D平行,但是直 线AA1,AB1相交,故选项A错误; 根据线面垂直的定义,一条直线垂直于一个 平面,则该直线垂直于平面内的任一条直线,可见选项B正确; 直线AA1⊥平面ABCD,AA1⊥BC,但直线BC?平面ABCD,故选项C错 误;直线AA1∥平面CC1D1D,AA1⊥CD,但直线CD?平面CC1D1D,故选 项D错误.

4.(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知m,n为异面直线,m⊥平面

α ,n⊥平面β .直线l满足l⊥m,l⊥n,l?α,l?β,则(
A.α ∥β 且l∥α

)

B.α ⊥β 且l⊥β
C.α 与β 相交,且交线垂直于l

D.α 与β 相交,且交线平行于l

【解析】选D.根据所给的已知条件作图,如图所示.由图可知α

与β相交,且交线平行于l,故选D.

热点考向一
【考情快报】

与空间位置关系有关的命题真假的判断

难度:中档题

命题指数:★★☆ 题型:以选择题为主

考查方式:主要考查线面平行、垂直与面面平行、垂直判定 定理、性质定理的应用,体现空间想象能力与逻辑推理能力 的应用

【典题1】(1)(2014·绍兴模拟)已知空间两条不同的直线m,n 和两个不同的平面α ,β ,则下列命题中正确的是 A.若m∥α ,n?α,则m∥n B.若α ∩β =m,m⊥n,则n⊥α C.若m∥α ,n∥α ,则m∥n D.若m∥α ,m?β,α ∩β =n,则m∥n ( )

(2)(2014·长春模拟)给出下列关于互不相同的直线m,l,n和平
面α ,β 的命题:

①若m?α,l∩α =A,点A?m,则l与m不共面;
②若m,l是异面直线,l∥α ,m∥α ,且n⊥l,n⊥m,则n⊥α ;

③若l∥α ,m∥β ,α ∥β ,则l∥m;
④若l?α,m?α,l∩m=A.l∥β ,m∥β ,则α ∥β .

其中为假命题的是
A.① B.②

(

)
C.④ D.③

线面平行或 【信息联想】(1)看到线线平行或线面垂直,想到___________

垂直的判定与性质 _________________.
空间两条直线的位置关系 (2)看到命题①,想到_______________________; 线面平行的性质定理及线面垂直的判定定理 看到命题②,想到_______________________________________;

线面平行与面面平行的性质定理 看到命题③,想到_____________________________;
线面平行的性质定理与面面平行的判定定理 看到命题④,想到_______________________________________.

【规范解答】(1)选D.选项A中,m与n也可能异面;选项B中,n与 α的关系不确定;选项C中,m与n可能平行,也可能相交或异面; 选项D由线面平行的性质可以确定是正确的. (2)选D.对于命题①,假设l与m共面,则直线l与m平行或相交,由 于A∈α,A?m,则点A和直线m确定平面α,又直线l与m共面,则直 线l与m确定平面β,则直线m为平面α与平面β的交线,由于A∈l 而l?β,所以A∈β,可知,A∈m,这与A?m矛盾,故假设不成立, 故l与m不共面,命题①为真命题;对于命题②,因为m∥α,则在

平面α内存在直线m1,使得m∥m1,同理,在平面α内存在直线l1, 使得l∥l1,由于直线m与直线l为异面直线,则m1与l1相交,因为n⊥ l且n⊥m,所以n⊥m1且n⊥l1,由于m1∩l1≠ ? ,所以n⊥α,命题② 为真命题;对于命题③,如l?β,m?α,当α∥β时,l∥α,m∥ β,但是直线l与m无交点,则直线l与m平行或异面,故命题③为假 命题;对于命题④,由面面平行的判定定理可知命题④正确,故 选D.

【规律方法】判断与空间位置关系有关的命题真假的两大方法 (1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判 定定理和性质定理进行判断. (2)借助空间几何模型,如从长方体模型、四面体模型等模型中 观察线面位置关系,结合有关定理,进行肯定或否定.

【变式训练】m,n是两条不同的直线,α ,β 是两个不同的平面, 有下列命题:

①若m∥n,n?α,则m∥α ;
②若m⊥n,m⊥α ,n?α,则n∥α ;

③若α ⊥β ,m⊥α ,n⊥β ,则m⊥n;
④若m,n是异面直线,m?α,n?β,m∥β ,则n∥α .

其中正确的命题有
A.①②

(

)
C.③④ D.②④

B.②③

【解析】选B.如图所示的正方体中,设ABCD为平面α,m为AD,
n为BC,虽然m∥n,n?α,但m和α不平行,①错;若m⊥n,m⊥α,

n?α则n和α内的某条直线平行,故n∥α,②正确;若α⊥β,
m⊥α,n⊥β,则m和n必垂直,③正确;设ABCD为平面α,DCC′D′

为平面β,m为AB,n为D′C,则m,n是异面直线,m?α,n?β,
m∥β,但n和α相交,故④错,选B.

【加固训练】设l是直线,α ,β 是两个不同的平面( A.若l∥α ,l∥β ,则α ∥β

)

B.若l∥α ,l⊥β ,则α ⊥β

C.若α ⊥β ,l⊥α ,则l⊥β

D.若α ⊥β ,l∥α ,则l⊥β

【解析】选B.对于A:若l∥α,l∥β,则α,β可能相交,故A错;

对于B:若l∥α,则平面α内必存在一条直线m与l平行,则m⊥β,
又m?α,故α⊥β,从而B正确.对于C:若α⊥β,l⊥α,则l可能

在平面β内,也可能与平面β平行,故C错.对于D:若α⊥β,
l∥α,则l可能与β平行或l?β或l与β相交,故D错.

热点考向二
【考情快报】

证明平行关系

难度:低、中档题

命题指数:★★☆

题型:以解答题为主
考查方式:主要考查线面、面面平行关系的证明,体现空间想象

能力、逻辑推理能力及转化与化归思想的应用

【典题2】已知直三棱柱ABC-A′B′C′,A′A⊥平面ABC,
∠BAC=90°,AB=AC,点M,N分别为A′B和B′C′的中点.

证明:MN∥平面A′ACC′.

【信息联想】看到证明MN∥平面A′ACC′,想到利用线面平 ___________

行的判定定理去证明MN和平面A′ACC′中一直线平行,或利 ____________________________________________________
用面面平行的性质,过直线MN作一平面,证明该平面与平面 ___________________________________________________ A′ACC′平行 _____________.

【规范解答】方法一:如图,连接AB′, AC′.由已知∠BAC=90°,AB=AC,三棱 柱ABC-A′B′C′为直三棱柱, 点M为AB′的中点. 又因为点N为B′C′的中点, 所以MN∥AC′.又因为MN?平面A′ACC′,AC′?平面A′ACC′, 所以MN∥平面A′ACC′.

方法二:取A′B′的中点P,连接MP,NP. 因为M,N分别为A′B和B′C′的中点, 所以MP∥AA′,PN∥A′C′, 所以MP∥平面A′ACC′,PN∥平面A′ACC′. 又MP∩NP=P,所以平面MPN∥平面A′ACC′. 而MN?平面MPN,所以MN∥平面A′ACC′.

【规律方法】 1.证明线线平行的常用方法 (1)利用三角形中位线定理证明:即遇到中点时,常找中位线,利 用该定理证明. (2)利用平行四边形对边平行证明:即要证两线平行,以两线为 对边构造平行四边形证明.

(3)利用平行公理证明:即要证两线平行,找第三线并证明其分
别与要证两线平行即可.

2.证明线面平行的常用方法 (1)利用线面平行的判定定理,把证明线面平行转化为证明线线 平行. (2)利用面面平行的性质定理,把证明线面平行转化为证明面面 平行. 3.证明面面平行的方法 证明面面平行,依据判定定理,只要找到一个平面内两条相交直 线与另一个平面平行即可,从而将证明面面平行转化为证明线 面平行,再转化为证明线线平行.

【变式训练】1.如图,在三棱锥S-ABC中,AB⊥BC,AS=AB,过点A 作AF⊥SB,垂足为点F,点E,G分别是棱SA,SC的中点.求证:平面 EFG∥平面ABC.

【证明】因为AS=AB,AF⊥SB, 所以F是SB的中点. 因为E,F分别是SA,SB的中点,所以EF∥AB, 又因为EF?平面ABC,AB?平面ABC, 所以EF∥平面ABC,同理:FG∥平面ABC, 又因为EF∩FG=F,EF,FG?平面EFG, 所以平面EFG∥平面ABC.

2.(2014·安徽高考)如图,四棱锥P-ABCD 的底面是边长为8的正方形,四条侧棱长 均为2 17.点G,E,F,H分别是棱PB,AB, CD,PC上共面的四点,平面GEFH⊥平面 ABCD,BC∥平面GEFH. (1)证明:GH∥EF. (2)若EB=2,求四边形GEFH的面积.

【解题提示】(1)由线面平行得出BC平行于直线EF,GH. (2)设BD交EF于点K,则点K为OB的中点,由面面垂直得出GK⊥ EF,再由梯形面积公式S= GH ? EF GK 计算求解.
2

【解析】(1)因为BC∥平面GEFH,BC?平面PBC,且平面PBC∩平 面GEFH=GH, 所以GH∥BC,同理可证EF∥BC,因此GH∥EF. (2)连接AC,BD交于点O,BD交EF于点K,连接OP,GK, 因为PA=PC,点O是AC的中点, 所以PO⊥AC, 同理可得PO⊥BD, 又BD∩AC=O,且AC,BD都在底面内,

所以PO⊥底面ABCD, 又因为平面GEFH⊥平面ABCD,且PO?平面GEFH, 所以PO∥平面GEFH, 因为平面PBD∩平面GEFH=GK, 所以PO∥GK,且GK⊥底面ABCD,从而GK⊥EF, 所以GK是梯形GEFH的高,由AB=8,EB=2得EB∶AB=KB∶DB=1∶4,

从而KB= 1 DB= 1 OB,即点K是OB的中点.
4 2

再由PO∥GK得GK= 1 PO,即点G是PB的中点,
2

且GH= 1 BC=4,由已知可得OB=4 2,PO= PB2 ? OB2 ? 68 ? 32 ? 6, 2
所以GK=3,故四边形GEFH的面积S=
GH ? EF 4?8 GK ? ? 3 ? 18. 2 2

【加固训练】在如图所示的多面体ABCDE中,AB⊥平面ACD,DE⊥ 平面ACD,且AC=AD=CD=DE=2,AB=1.

(1)请在线段CE上找到点F的位置,使得恰有直线BF∥平面ACD, 并证明. (2)求多面体ABCDE的体积.

【解析】(1)由已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD, 所以AB∥ED, 设点F为线段CE的中点,点H是线段CD的中点, 连接FH,AH,则FH 所以FH AB,
1 ED, 2

所以四边形ABFH是平行四边形,所以BF∥AH, 又因为BF?平面ACD,AH?平面ACD, 所以BF∥平面ACD.

(2)取AD中点G,连接CG. 因为AB⊥平面ACD,所以CG⊥AB, 又CG⊥AD,AB∩AD=A,所以CG⊥平面ABED,即CG为四棱锥C-ABED 的高,求得CG= 3 ,所以VC-ABED= ? 3
1

?1 ? 2 ? ? 2 ?
2

3 ? 3.

热点考向三
【考情快报】

证明垂直关系
高频考向 多维探究 命题指数:★★★ 题型:以解答题为主

难度:中档题

考查方式:主要考查线面垂直、面面垂直定义、判定定理与性 质定理的应用,常与平行关系的证明交汇考查,体现转化与化归 思想的应用

命题角度一

利用线面垂直的性质证明线线垂直

【典题3】(2014·北京模拟)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,E,F分别为DD1,DB的中点.

(1)求证:EF∥平面ABC1D1. (2)求证:EF⊥B1C.

【现场答案】

【纠错析因】找出以上现场答案的错误之处,分析错因,并给出 正确答案. 提示:以上解题过程中有两处错误:一是在第(1)问中证明线面 平行时,由EF∥D1B,就直接得出EF∥平面ABC1D1,造成推理论证 不严谨的错误;二是第(2)问中在用线面垂直的性质证明线线垂 直时,关键点遗漏,导致推理不严密.

【规范解答】(1)连接BD1,如图所示,

在△DD1B中,点E,F分别为DD1,DB的中点,

则EF∥D1B,
因为D1B?平面ABC1D1,EF?平面ABC1D1,

所以EF∥平面ABC1D1.
(2)因为ABCD-A1B1C1D1为正方体,

所以AB⊥平面BCC1B1,所以B1C⊥AB.
又因为B1C⊥BC1,AB?平面ABC1D1,BC1?平面ABC1D1,且AB∩BC1=B,

所以B1C⊥平面ABC1D1.
又因为BD1?平面ABC1D1,所以B1C⊥BD1.

又因为EF∥BD1,所以EF⊥B1C.

命题角度二

证明线面垂直、面面垂直

【典题4】如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PCD⊥底面 ABCD,PD⊥CD,底面ABCD是直角梯形,AB∥CD,∠ADC=90°, AB=AD=PD=1,CD=2. 求证:平面PBC⊥平面PBD.

面面垂直的性质 【信息联想】看到侧面PCD⊥底面ABCD,想到_______________ 定理 面面垂直的判定定理 _____;看到求证平面PBC⊥平面PBD,想到___________________.

【规范解答】在梯形ABCD中,过点B作BH⊥CD于H. 在△BCH中,BH=CH=1,所以∠BCH=45°. 又在△DAB中,AD=AB=1, 所以∠ADB=45°, 所以∠BDC=45°,所以∠DBC=90°, 所以BC⊥BD,

因为平面PCD⊥平面ABCD,平面PCD∩ 平面ABCD=CD,PD⊥CD,PD?平面PCD, 所以PD⊥平面ABCD,

所以PD⊥BC,BD∩PD=D,BD?平面PBD,
PD?平面PBD,

所以BC⊥平面PBD,BC?平面PBC.
所以平面PBC⊥平面PBD.

【互动探究】在本例的条件下,若E为PC的中点,试证明BE∥平 面PAD. 【解析】如图,取PD的中点F,连接EF,AF,因为点E,F分别为 △PCD边PC,PD的中点, 所以EF 1
2

CD,所以EF

AB,

所以四边形FABE为平行四边形, 所以BE∥AF,AF?平面PAD, BE?平面PAD,所以BE∥平面PAD.

【规律方法】 1.证明线线垂直的常用方法 (1)利用特殊平面图形的性质,如利用直角三角形、矩形、菱形、 等腰三角形等得到线线垂直. (2)利用勾股定理逆定理. (3)利用线面垂直的性质,即要证明线线垂直,只需证明一线垂 直于另一线所在平面即可.

2.证明线面垂直的常用方法
(1)利用线面垂直的判定定理,把线面垂直的判定转化为证明线

线垂直.
(2)利用面面垂直的性质定理,把证明线面垂直转化为证明面面

垂直.
(3)利用常见结论,如两条平行线中的一条垂直于一个平面,则 另一条也垂直于这个平面等.

3.证明面面垂直的方法 证明面面垂直常用面面垂直的判定定理,即证明一个面过另一 个面的一条垂线,将证明面面垂直转化为证明线面垂直,一般先 从现有直线中寻找,若图中不存在这样的直线,则借助中点、高 线或添加辅助线解决.

【变式训练】(2014·宁波模拟)如图,四面体ABCD中,点O,E分 别是BD,BC的中点,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD= 2 .

(1)求证:AO⊥平面BCD. (2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值. (3)求点E到平面ACD的距离.

【解析】(1)因为BO=DO,AB=AD,所以AO⊥BD. 因为BO=DO,BC=CD,所以CO⊥BD. 在△AOC中,由已知可得AO=1,CO= 3 . 而AC=2,所以AO2+CO2=AC2, 所以∠AOC=90°,即AO⊥OC. 因为BD∩OC=O, 所以AO⊥平面BCD.

(2)取AC的中点M,连接OM, ME,OE,由点O,E分别是BD, BC的中点知ME∥AB,OE∥DC.

所以直线OE与EM所成的锐角
就是异面直线AB与CD所成的角.
1 2 1 在△OME中, EM ? AB ? ,OE ? DC ? 1 , 2 2 2

因为OM是Rt△AOC斜边AC上的中线,所以OM= AC=1,

所以cos∠OEM= 2 .
4

1 2

(3)设点E到平面ACD的距离为h.

因为VE-ACD=VA-CDE,
所以
1 1 h·S△ACD= ·AO·S△CDE. 3 3

在△ACD中,CA=CD=2,AD=
2 2

2,
2

所以S△ACD= 1 ? 2 ? 22 ? ( 2 ) 2 ? 7 . 而AO=1,S△CDE= 1 ? 3 ? 22 ? 3 ,
2 4 2
3 AO S CDE 2 ? 21 . 所以h ? ? S ACD 7 7 2 21 所以点E到平面ACD的距离为 . 7 1?

【加固训练】(2014·韶关模拟)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1 中,AD=AA1=1,AB=2,点E是AB的中点.

(1)求三棱锥D1-DCE的体积. (2)求证D1E⊥A1D.

【解析】(1)由长方体性质可得,DD1⊥平面DCE,所以DD1是三 棱锥D1-DCE的高,又点E是AB的中点,AD=AA1=1,AB=2,所以DE= CE= 2 , DE2+EC2=CD2,所以∠DEC=90°, 三棱锥D1-DCE的体积V= 1 DD1 1 DE CE ? 1 ?1? 1 ? 2 ? 2 ? 1 .
3 2 3 2 3

(2)连接AD1,因为A1ADD1是正方形,所以AD1⊥A1D.

又因为AE⊥平面ADD1A1,A1D?平面ADD1A1, 所以AE⊥A1D, 又因为AD1∩AE=A,所以A1D⊥平面AD1E, D1E?平面AD1E,所以D1E⊥A1D.

【备选考向】平面图形的“折叠”与“翻折”问题

【典题】(2014·珠海模拟)如图(1),在等腰梯形CDEF中,CB,
DA是梯形的高,AE=BF=2,AB=2 2 ,现将梯形沿CB,DA折起,使

EF∥AB且EF=2AB,得一简单几何体ABCDEF(如图(2)),已知M,
N,P分别为AF,BD,EF的中点.

(1)求证:MN∥平面BCF. (2)求证:AP⊥DE.

【证明】(1)连接AC,因为四边形ABCD是矩形,N为BD中点, 所以N为AC中点, 在△ACF中,M为AF中点,故MN∥CF. 因为CF?平面BCF,MN?平面BCF, 所以MN∥平面BCF.

(2)依题意知DA⊥AB,DA⊥AE,且AB∩AE=A, 所以AD⊥平面ABFE, 因为AP?平面ABFE,所以AP⊥AD, 因为P为EF中点, 所以FP=AB=2 2 , 结合AB∥EF,知四边形ABFP是平行四边形,

所以AP∥BF,AP=BF=2, 而AE=2,PE=2 2 ,所以AP2+AE2=PE2, 所以∠EAP=90°,即AP⊥AE, 又因为AD∩AE=A,所以AP⊥平面ADE, 因为DE?平面ADE,所以AP⊥DE.

【规律方法】解决折叠问题的关键点 (1)搞清翻折前后哪些量改变、哪些量不变,抓住翻折前后不变 的量,充分利用原平面图形的信息是解决问题的突破口. (2)把平面图形翻折后,经过恰当连线就能得到三棱锥、四棱锥, 从而把问题转化到我们熟悉的几何体中解决.

【加固训练】如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D,E分别为 AC,AB的中点,点F为线段CD上的一点,将△ADE沿DE折起到 △A1DE的位置,使A1F⊥CD,如图2.

(1)求证:DE∥平面A1CB.

(2)求证:A1F⊥BE.
(3)线段A1B上是否存在点Q,使A1C⊥平面DEQ?说明理由.

【解析】(1)因为点D,E分别是AC,AB的中点, 所以DE∥BC, 又因为DE?平面A1CB,BC?平面A1CB, 所以DE∥平面A1CB.

(2)因为DE∥BC,AC⊥BC,

所以DE⊥AC,
所以DE⊥A1D,DE⊥CD.

因为A1D∩CD=D,
所以DE⊥平面A1DC.

因为A1F?平面A1DC,
所以DE⊥A1F.

又因为A1F⊥CD,CD∩DE=D,
所以A1F⊥平面BCDE,

因为BE?平面BCDE,所以A1F⊥BE.

(3)存在.取A1B的中点Q,A1C的中点P, 连接DP,PQ,QE.

则PQ∥BC,所以PQ∥DE. 由(2)知DE⊥平面A1DC, 所以DE⊥A1C,所以PQ⊥A1C. 因为A1D=DC, 所以△A1DC是等腰三角形. 又因为点P为A1C的中点,所以A1C⊥PD. 因为PD∩PQ=P, 所以A1C⊥平面PQED, 即A1C⊥平面DEQ.

转化与化归思想 ——解决立体几何中的探索性问题 【思想诠释】 求解立体几何中的探索性问题应用转化与化归思想的常见类型: 1.探索平行或垂直关系:求解时,常假设其存在,在这个假设下 根据题设条件将问题转化为一般的平行、垂直关系的证明问题,

进而得出结论.

2.探索条件或结论不完备的开放性问题:求解时,根据题设条件, 猜测到其可能的所有情况,逐一将其转化为一般的垂直、平行 关系的判断与证明问题去验证,进而得出结论.

【典例分析】 (2014·南昌模拟)如图所示,已知四边形 ABCD是正方形,EA⊥平面ABCD,PD∥EA, AD=PD=2EA=2,F,G,H分别为BP,BE,PC的 中点. (1)求证:平面FGH⊥平面ABE. (2)在线段PC上是否存在一点M,使PB⊥平面EFM?若存在,求出线 段PM的长;若不存在,请说明理由.

【思想联想】(1)题目涉及证明面面垂直,联想到转化与化归思 想,将要证问题转化为线线垂直、线面垂直的问题. (2)题目涉及探索性问题,联想到转化与化归思想,将PB⊥平面 EFM,转化为PB垂直于平面EFM中某直线,从而求解.

【规范解答】

【能力迁移】 (2014·太原模拟)在四棱锥P-ABCD中,底面 ABCD是直角梯形,AB∥CD,∠ABC=90°,AB= PB=PC=BC=2CD,平面PBC⊥平面ABCD. (1)求证:AB⊥平面PBC. (2)在棱PB上是否存在点M使得CM∥平面PAD?若存在,求
PM 的 PB

值;若不存在,请说明理由.

【思想联想】(1)涉及线面垂直,联想到转化与化归思想,转化 为线线垂直. (2)涉及探索性问题,联想到转化与化归思想,探索出M的位置, 转化为知M位置,证明CM∥平面PAD问题.

【解析】(1)因为∠ABC=90°,所以AB⊥BC, 因为平面PBC⊥平面ABCD,平面PBC∩平面ABCD=BC, AB?平面ABCD, 所以AB⊥平面PBC.

(2)在棱PB上存在点M使得CM∥平面PAD, 此时
PM 1 ? . PB 2

理由如下: 取AB的中点N,连接CM,CN,MN. 则MN∥PA,AN= 1 AB.
2

因为AB=2CD,所以AN=CD. 因为AB∥CD,所以四边形ANCD是平行四边形.

所以CN∥AD. 由MN∥PA,得MN∥平面PAD, 由NC∥AD,得NC∥平面PAD, MN∩NC=N,得平面MNC∥平面PAD, 因为CM?平面MNC, 所以CM∥平面PAD.


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