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www.AA894:山东省任城一中10-11学年高二数学下学期期末考试 理 新人教A版

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济宁市任城一中 2010-2011 学年高二下学期期末考试数学(理)
第Ⅰ卷 选择题(共 60 分) 一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.n∈N*,则(20-n)(21-n)……(100-n)等于 ( )
80 A. A100?n 20 B. A100?nn ? 81 C. A100?n 81 D. A20 ?n

2.A,B,C,D,E 五人并排站成一排,如果 B 必须站在 A 的右边, (A,B 可以不相邻)那么 不同的排法有( ) A.24 种 B.60 种 C.90 种 D.120 种 3.从 0,1,2,…,9 这 10 个数字中,任取两个不同数字作为平面直角坐标系中点的坐标, 能够确定不在 x 轴上的点的个数是( ) A.100 B.90 C.81 D.72 4.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆 4 种蔬菜品种中选出 3 种,分别种在不同土质的三块土地上, 其中黄瓜必须种植,不同的种植方法共( ) A.24 种 B.18 种 C.12 种 D.6 种 5.从 5 位男教师和 4 位女教师中选出 3 位教师,派到 3 个班担任班主任(每班 1 位班主任) , 要求这 3 位班主任中男、女教师都要有,则不同的选派方案共有 ( ) A.210 种 B.420 种 C.630 种 D.840 种 5? k ?1 , 3, 5 6.设随机变量 X 的分布列为 P( X ? k ) ? , k ? 1 2, 4,,则 P ? ? X ? ? 等于( ) 2? 15 ?2 1 2 1 2 A. B. C. D. 5 15 15 5 7.要从 10 名女生与 5 名男生中选出 6 名学生组成课外活动小组,如果按性别依比例分层随 机抽样,试问组成此课外学习小组的概率为( ) 3 3 6 4 2 A A C C C C4 C2 A. 10 6 5 B. 15 C. 10 6 5 D. 10 6 5 6 C15 C15 A15 C15
1? ? 3 8.设 ? 3 x ? ? 的展开式的各项系数的和为 P,所有二项式系数的和为 S,若 P+S=272,则 n x? ? 为( ) A.4 B.5 C.6 D.8 9.若随机变量η 的分布列如下: ? ?2 ?1 0 1 2 3 0 0 0 0 0 0 P .1 .2 .2 .3 .1 .1 则当 P(? ? x) ? 0.8 时,实数 x 的取值范围是( ) A.x≤2 B.1≤x≤2 C.1<x≤2 D.1<x<2
n

10.设 (2 ? x) 5 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? a5 x 5 ,那么 A:-

a0 ? a2 ? a4 的值为( a1 ? a 3 ? a5
D:-1



61 60

B: -

11.倾斜角为 A.

? 的直线过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点且与抛物线交于 A,B 两点,则|AB|=( 4
B. 8 2 C. 16 D. 8

122 121

C:-

244 241



13

12. 椭圆的短轴的一个端点到一个焦点的距离为 5,焦点到椭圆中心的距离为 3,则椭圆的标 准方程是 ( )
-1-

y2 y2 y2 y2 x2 x2 x2 x2 =1 或 =1 B. =1 或 =1 + + + + 9 16 9 25 16 9 25 9 y2 y2 x2 x2 C. =1 D.椭圆的方程无法确定 + =1 或 + 16 25 25 16 第Ⅱ卷 非选择题 共 90 分
A. 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卷上) 13.有一个几何体的三视图如下图所示,这个几何体应是一个_________

14、已知点 P(x, y)是圆(x-3)2+(y- 3 )2=6 上的动点,则 15. 设是空间的三条直线,给出以下五个命题: ① a⊥ 若 b,b⊥ c,则 a⊥ c;

y 的最大值为 x



② a、b 是异面直线,b、c 是异面直线,则 a、c 也是异面直线; 若 ③ a 和 b 相交,b 和 c 相交,则 a 和 c 也相交; 若 ④ a 和 b 共面,b 和 c 共面,则 a 和 c 也共面; 若 ⑤ a∥ 若 b, b∥ c,则 a∥ c; 其中正确的命题的序号是 16. 双曲线 .

x2 ? y 2 ? 1? a ? 0 ? 的离心率为 3 ,则 a 的值是 __________ ; a

17. 一飞行的蜻蜓被长为 12 cm 细绳绑在某一房间一角 (仍可飞行) 则此蜻蜓可活动的三维空 , 间大小为_________ cm3 。 三、计算证明题(本大题共 5 小题,共 65 分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤) 18. (本小题满分 12 分) 一个圆锥高 h 为 3 3 ,侧面展开图是个半圆,求: (1)其母线 l 与底面半径 r 之比; (2)锥角 ?BAC ; (3)圆锥的表面积
A

h
r

l
C

B

o

-2-

? 2? 19. (本小题满分 12 分)已知:以点 C ?t , ? ?t ? R ,t ? 0 ? 为圆心的圆与 x 轴交于点 O,A, ? t?
与 y 轴交于点 O,B,其中 O 为原点。 (Ⅰ 求证:⊿ ) OAB 的面积为定值; (Ⅱ 设直线 y=-2x+4 与圆 C 交于点 M,N,若 OM=ON,求圆 C 的方程。 )

20. (本小题满分 13 分)已知正方体 ABCD-A1B1C1D1, O 是底 ABCD 对角线的交点. 求证: (1) C1O //面 A1B1D1; (2)A1C⊥面 AB1D1; (3)求 直线AC与平面AB1D1所成角的正切值。

D1 A1 D O A B B1

C1

C

21. (本小题满分 14 分) 已知在平面直角坐标系 xoy 中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦 1 点为 F(- 3 ,0) ,右顶点为 D(2,0) ,设点 A(1,2 ) 。 (1)求该椭圆的标准方程; (2)若 P 是椭圆上的动点,求线段 PA 中点 M 的轨迹方程; ABC 面积的最大值。 (3)过原点 O 的直线交椭圆于点 B、C,求△

22. (本小题满分 14 分).如图,ABCD 是梯形,AB//CD, ?BAD ? 90? ,PA⊥ ABCD, 面 且 AB=1,AD=1,CD=2,PA=3,E 为 PD 的中点 (Ⅰ )求证:AE//面 PBC.
P

_

(Ⅱ )求直线 AC 与 PB 所成角的余弦值; (Ⅲ )在面 PAB 内能否找一点 N,使 NE⊥ PAC. 若 面 存在,找出并证明;若不存在, 请说明理由。
E
-3-

D A B

C

答案: 一、

选择题 1----5

CBCBB

6----10

ADACB 11-12DC

二、填空题: (25 分) 14、 2 ? 3 17. 288π cm3

13. 16.

四棱台

15. ⑤

1 2

三、解答题(65 分) 18. (本小题满分 12 分) 本题的关键是要搞清楚圆锥的底面半径与母线之间的关系。 (如图) (1)? 圆锥的侧面展开图恰为一个半圆

l ? 2 ? r= ? l ? ?2 r l ? ? 2 ? AB=2OB ? ?BAO ? 30? (2) r ? ?BAC ? 60? 即锥角为 60 ?
(3)Rt ? AOB 中,? l 2 =h 2 +r 2 又 l ? 2r, h ? 3 3
B
o

A

h
r

l
C

? r ? 3,l ? 6

? S 表面 ? S侧面 ? S 底面 = ?rl ? ?r 2 =3 ? (6+3)=27 ?

-4-

19. (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)因为圆 C 过原点 O,? OC 2 ? t 2 ? 设圆 C 的方程是 ? x ? t ?
2 2

4

t2

.
令 x=0,得 y1 =0, y 2 ?
4

? 2? 4 ? ?y ? ? ? t2 ? 2 . t? t ?

t



令 y=0, x1=0,x2=2t .? S ? OAB ? 得 分;

1 1 4 OA ? OB ? ? ? 2t ? 4, 即⊿OAB 的面积为定值。 5 2 2 t

? (Ⅱ)方法一: OM ? ON ,CM ? CN ,? OC 垂直平分线段 MN。kMN ? ?2,? kOC ?
线 OC 的方程是 y ?
1 2 1 x . ? ? t .解得 t=2 或 t=-2。 2 t 2
5,此时 C 到直线 y=-2x+4 的距离 d ?
1 5

1 .? 直 2

当 t=2 时,圆心 C 的坐标为(2,1) OC ? , 圆 C 与直线 y=-2x+4 相交于两点。 当 t=-2 时, 圆心 C 的坐标为 (-2,-1) OC ? ,

?

5,

5,此时 C 到直线 y=-2x+4 的距离 d ?

9 5

?

5,此

时圆 C 与直线 y=-2x+4 不相交,所以 t=-2 不符合题意,舍去。所以,圆 C 的方程为

?x

? 2? ? ? y ? 1? ? 5.
2 2

12 分

方法二:可用解方程法,结果相同。过程从略。

20. (本小题满分 13 分) 证明: (1)连结 AC1 ,设 AC1 ? B1D1 ? O1 1 1 连结 AO1 ,? ABCD ? A B1C1D1 是正方体 1

D1 A1 D O A
4分

C1 B1

? A1 ACC1 是平行四边形? AC1 ? AC 且 AC1 ? AC 1 1
? AOC1O1 是平行四边形

2分

又 O1 , O 分别是 AC1 , AC 的中点,?O1C1 ? AO 且 O1C1 ? AO 1

C B

?C1O ? AO1 , AO1 ? 面 AB1D1 , C1O ? 面 AB1D1
? C1O ? 面 AB1D1
(2)? CC1 ? 面 A1B1C1D1

?C C ? B D 1 1 !
6分

又? AC1 ? B1D1 , ? B1 D1? 面 A1 C1 C 1

-5-

即AC ? B1D1 1
同理可证 AC ? AB1 , 1 又 D1B1 ? AB1 ? B1

? AC ? 面 AB1D1 1

9分

(3) 直线 AC 与平面 AB1D1 所成的角实际上就是正四面体 ACB1D1 的一条棱与一个面所成的角, 余弦值为
3 ,从而正切值为 2 。 3

13 分

21. (本小题满分 14 分) 解(1)a=2 C= 3

∴椭圆的标准方程为

x2

4 (2)设 M(x,y)P(xo,y0)则

? y 2 ? 1 ………………4 分

x ?

1 ? x0 ,? x 0 ? 2x ? 1 2

1 ? y0 1 y ? 2 ,? y 0 ? 2y ? 2 2

∵P 在椭圆上

?

x 02
4

? y 02 ? 1



(2x-1)2 1 2 4 +(2y - 2) =1…………………………9 分

(3) 2 …………………………14 分

22. 解: (Ⅰ)取 PC 中点为 F,连结 EF,BF

1 DC 2 所以 EF//AB,且 EF=AB,所以 ABFE 为平行四边形
又 E 为 PD 的中点,所以 EF // DC 且 EF ? 所以 AE//BF, 因为 AE ? 面 PBC, 所以 AE//面 PBC (Ⅱ)建立如图所示的空间直角坐标系, 则 A、B、C、D、P、E 的坐标分别为 A(0,0,0) ,

…2 分 …4 分

B(1,0,0) ,C(2,1,0) ,D(0,1,0) ,

-6-

P(0,0,3) ,E(0,

1 3 , ) …5 分 2 2

从而 AC =(2,1,0) PB =(1,0, ? 3 ) , 设 AC 与 PB 的夹角为 ? ,则

cos? ?

AC ? PB | AC | ? | PB |

?

?1 5 2

??

2 , …7 分 10
…8 分

∴AC 与 PB 所成角的余弦值为

2 10

(Ⅲ)法 1:由于 N 点在面 PAB 内,故可设 N 点坐标为(x,0,z) , 则 NE ? ( ? x ,

1 3 , ? z) 2 2

由 NE⊥面 PAC 可得: ?

? NE ? AP ? 0, ? ? NE ? AC ? 0, ?

…10 分

? ?( ? x , ? 即? ?( ? x , ? ?

1 2 1 2

3 ? z ) ? (0 , 0 , 3) ? 0, 2 3 , ? z ) ? ( 2 , 1 , 0 ) ? 0, 2 , 1 , 4 3 . 2

3 ? ? ? z ? 2 ? 0, ?x ? ? ? ?? 化简得 ? ? ? 2 x ? 1 ? 0. ? z ? ? ? 2 ? ?
所以在面 PAB 内存在点 N(

即 N 点的坐标为(

1 3 ,0, ) 4 2

1 3 ,0, ) ,使 NE⊥面 PAC. 4 2

…14 分

(Ⅲ)法 2:在面 ABCD 内过 D 作 AC 的垂线交 AB 于 G,连 PG, 设 N 为 PG 的中点,连 NE,则 NE//DG, 二、 ∵DG⊥AC,DG⊥PA,∴DG⊥面 PAC 从而 NE⊥面 PAC …10 分

-7-


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