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2016全国二卷理科数学模拟试题一(含答案)


理科数学模拟试题一
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的). 1.已知全集为 R,集合 A={x|2 ≥1},B={x|x ﹣3x+2≤0},则 A∩?RB=( A.{x|x≤0} B.{x|1≤x≤2} C.{x|0≤x<1 或 x>2}
x 2

) D.{x|0≤x<1 或 x≥2} )

2、已知复数(x-2)+yi(x,y∈R)的模为 3 ,则

y 的最大值是( x

A.

3 2

B.

3 3

C.

1 2

D.

3

3.

设0 ? x ?

?
2

,记 a ? lnsin x, b ? sin x, c ? esin x ,则比较 a , b, c 的大小关系为( ) B. b ? a ? c C. c ? b ? a D. a ? c ? b

A. a ? b ? c

4、如图(1)、(2)、(3)、(4)为四个几何体的三视图,根据三视图可以判断这四个几何体依次分 别为 ( )

A.三棱台、三棱柱、圆锥、圆台 C.三棱柱、四棱锥、圆锥、圆台 A.α ⊥β ,α ∩β =l,m⊥l C.α ⊥γ ,β ⊥γ , m⊥α

B.三棱台、三棱锥、圆锥、圆台 D.三棱柱、三棱台、圆锥、圆台 )

5、设α ,β ,γ 为不同的平面,m,n,l 为不同的直线,则 m⊥β 的一个充分条件是 ( B.α ∩γ =m,α ⊥γ ,β ⊥γ D.n⊥α ,n⊥β , m⊥α

6、已知 ? 是第二象限角,其终边上一点 P(x, 5 ) ,且 cos? ?

? 2 x ,则 sin(? ? ) =( 2 4

)

A. ?

10 4

B. ?

6 4

C.
2

6 4

D.

10 4

7、已知服从正态分布 N(μ ,σ

)的随机变量,在区间(μ -σ ,μ +σ ),(μ -2σ ,μ +2σ )和(μ
2

-3σ , μ +3σ ) 内取值的概率分别为 68.3%, 95.4%和 99.7%. 某大型国有企业为 10000 名员工定制工作服, [Z-XK] 设员工的身高(单位:cm)服从正态分布 N(173,5 ),则适合身高在 163~183cm 范围内员工穿的服装 大约要定制( ) C.9520 套 D.9970 套
2

A.6830 套 B.9540 套 A.钝角三角形

8、A, B, C 是△ABC 的三个内角,且 tanA ,tanB 是方程 3x -5x+1=0 的两个实数根,则△ABC 是 ( B.锐角三角形 C.等腰直角三角形
第 1 页 共 5 页

)

D.等边三角形

9 . 已 知 数 列 {a n } 是 等 差 数 列 , 其 前 n 项 和 为 S n , 若 首 项 a1 ? 0 且 ? 1 ?

a6 ? 0 ,有下列四个命 a5

题: P1 : d ? 0 ; P2 : a1 ? a10 ? 0 ; P3 : 数列 {a n } 的前 5 项和最大; P4 : 使 S n ? 0 的最大 n 值为 10 ;其中 正确的命题个数为( ) A. 1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

?x ? y ? 1 ?0 ? y ? e ? x 10.由不等式组 ?e ? y ? 0 确定的平面区域为 M ,由不等式组 ? 确定的平面区域为 N,在 N 内随 0 ? x ? 1 ? ?0 ? x ? 1 ?
机的取一点 P,则点 P 落在区域 M 内的概率为 ( )

A.1 ?

3 e

B.1 ?

2 e

C.1 ?

1 e

D.1 ?

3 2e

11.双曲线

垂直于 x 轴,则双曲线的离心率是 A. 2 2 ? 2 B. 2 2

x2 y2 ? 2 ? 1 的右焦点 F 与抛物线 y 2 ? 2 px ? p ? 0? 的焦点重合,且在第一象限的交点为 M,MF 2 a b
( C. 2 ? 1 ) D. 2 ? 2 )

12.设函数 f ( x) ? e x (sin x ? cos x)(0 ? x ? 2015 ? ) ,则函数 f(x)的各极大值之和为( A.

e 2? (1 ? e 2015? ) 1 ? e 2?

B.

e 2? (1 ? e 2015? ) 1 ? e?

C.

1 ? e 2015 ? 1 ? e 2?

D.

e? (1 ? e 2016? ) 1 ? e 2?

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。) 13.若 ( x ? ) n 展开式的各项系数绝对值之和为 1024,则展开式中 x 项的系数为______. 14.已知向量 a 与 b 的夹角为 120°, | a |=3, | a + b |= 13 , 则| b |= 15.执行如图所示的程序框图,则输出的 S 的值是 π? ? 16. 函数 f(x)=sin?2x- ?(x∈R)的图象为 C, 以下结论正确的是________. (写 3? ? 出所有正确结论的编号) 11π ?2π ,0?对称; ① 图象 C 关于直线 x= 对称;②图象 C 关于点? ? 12 ? 3 ? .

3 x

? π 5π ? ③函数 f(x)在区间?- , ?内是增函数; ? 12 12 ?
π ④由 y=sin 2x 的图象向右平移 个单位长度可以得到图象 C. 3

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
第 2 页 共 5 页

2 17. (本小题满分 12 分)已知数列 ?a n ?的各项均为正数,且满足 a2=5, a n ?1 ? an ? 2nan ? 2, (n ? N * ) .

(1)推测 ?a n ?的通项公式(不需要证明); (2)若 bn=2 ,令 cn=an+bn,求数列 cn 的前 n 项和 Tn。
n-1

18、(本小题满分 12 分) 某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与某医院抄录了 1 至 6 月份每月 10 号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数,得到如下资料: 日 期 1 月 10 日 10 22 2 月 10 日 11 25 3 月 10 日 13 29 4 月 10 日 12 26 5 月 10 日 8 16 6 月 10 日 6 12

昼夜温差 x(°C) 就诊人数 y(个)

该兴趣小组确定的研究方案是:先从这六组数据中选取 2 组,用剩下的 4 组数据求线性回归方程,再用 被选取的 2 组数据进行检验. (1)求选取的 2 组数据恰好是相邻两个月的概率; (2)若选取的是 1 月与 6 月的两组数据,请根据 2 至 5 月份的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程

? ? ?a ? ; (附: b ?? y ? bx

? ? xi ? x ?? yi ? y ? ? xi yi ? nx y
i ?1

n

n

?? x ? x ?
i ?1 i

n

?

2

i ?1 n

?x
i ?1


2

i

? nx

2

19.(本小题满分 12 分)
第 3 页 共 5 页

如图,已知在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, PA ? 平面 ABCD , PA ? AD ? 1 , AB ? 2 ,

F 是 PD 的中点, E 是线段 AB 上的点.
(I)当 E 是 AB 的中点时,求证: AF // 平面 PEC ; (II)要使二面角 P ? EC ? D 的大小为 45 ,试确定 E 点的位置.
?

P F D C

A

E

B

第 19 题

20. (本题满分 12 分) 如图, 椭圆 C :

x2 y 2 上顶点分别为点 A 、 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的右焦点为 F ,右顶点、 a 2 b2
y B M O F A x

5 | BF | . B ,且 | AB |? 2
(Ⅰ)求椭圆 C 的离心率;

16 2 (Ⅱ)若点 M (? , ) 在椭圆 C 内部,过点 M 的直线 l 交椭圆 C 于 P 、 Q 两点, 17 17

M 为线段 PQ 的中点,且 OP ? OQ .求直线 l 的方程及椭圆 C 的方程.

第 4 页 共 5 页

21.(本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? e x ? x2 ? a , x ? R 的图像在点 x ? 0 处的切线为 y ? bx .( e ? 2.71828 ). (Ⅰ)求函数 f ( x) 的解析式; (Ⅱ) g ( x) ?

f ( x) , x ? (0, ? ?) ,讨论函数 g ( x) 的单调性与极值; x

(Ⅲ)若 k ? Z ,且 f ( x) ? (3x2 ? 5x ? 2k ) ? 0 对任意 x ? R 恒成立,求 k 的最大值.

1 2

请考生在第 22,23,24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请在答题卡上填涂 题号对应标记。 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:极坐标系与参数方程[Z-XK]

? 2 t ?x ? 3 ? ? 2 在直角坐标系 xOy 中,直线 L 的参数方程为 ? (t 为参数) ,在极坐标系(与直角坐标系 xOy ?y ? 5 ? 2 t ? 2 ?
取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,圆 C 的方程为 ? ? 2 5 sin ? . (Ⅰ)求圆 C 的圆心到直线 L 的距离; (Ⅱ)设圆 C 与直线 L 交于点 A、B.若点 P 的坐标为(3, 5 ) ,求|PA|+|PB|.

第 5 页 共 5 页

三模理科数学答案 一、选择题 1-5 CDACD 6-10 BBACD 11-12 CD 二、填空题: 13.-15 14. 4 15. 300 16.??? 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(1) an =2 n +1 (2) 18、解:(Ⅰ) P(A) ?

5 1 ? ……(6 分) 15 3
18 30 x? 7 7
……… (10 分)

(Ⅱ)由数据求得 x ? 11, y ? 24 线性回归方程为 ? y? (Ⅲ)当 x ? 10 时, ? y?

150 150 78 78 , | , | ? 22 |? 2 ;同样, 当 x ? 6 时, ? y? ? 14 |? 2 7 7 7 7
……………………………………(12 分)

所以,该小组所得线性回归方程是理想的.

19.解:【法一】(I)证明:如图,取 PC 的中点 O ,连接 OF , OE . 由已知得 OF / / DC 且

OF ?

1 DC 2 ,

又? E 是 AB 的中点,则 OF / / AE 且 OF ? AE ,

? AEOF 是平行四边形,
∴ AF / / OE 又? OE ? 平面 PEC , AF ? 平面 PEC

··················· 4?

? AF / / 平面 PEC ····························· 6?
(II)如图,作 AM ? CE 交 CE 的延长线于 M . 连接 PM ,易证得得 PM ? CE ,
o ? ?PMA是二面角 P ? EC ? D 的平面角.即? ?PMA ? 45 ············ 9?

? PA ? 1 ? AM ? 1 ,设 AE ? x ,

x ? (2 ? x) ? 1 ? 由 ?AME ? ?CBE 可得
2

x?

5 4

故,要使要使二面角 P ? EC ? D 的大小为 45 ,只需
o

AE ?

5 4 ············ 12?

【法二】(I)由已知, AB, AD, AP 两两垂直,分别以它们所在直线为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系

A ? xyz .
第 6 页 共 5 页

???? 1 1 1 1 F (0, , ) AF ? (0, , ) 2 2 ,则 2 2 ··················· 2? 则 A(0, 0, 0) ,

? E (1, 0, 0) , C (2,1, 0) , P(0, 0,1) ,[Z, xx,k.Com]

z P F D A E y

?? 设平面 PEC 的法向量为 m ? ( x, y, z)

?? ??? ? ? ?m ? EC ? 0 ? x ? y ? 0 ?? ? ? ?? ??? m ? EP ? 0 ?? x ? z ? 0 ? 则? , ?? m x ? 1 令 得 ? (1, ?1,1) ……………………………………… 4?
??? ? ?? 1 1 ??? ? ?? AF ? m ? (0, , ) ? (1, ?1,1) ? 0 AF ?m 2 2 由 ,得

C B x

又 AF ? 平面 PEC ,故 AF / / 平面 PEC ····················· 6? (II)由已知可得平面 DEC 的一个法向量为 AP ? (0,0,1) ,

??? ?

?? E ? ( t , 0, 0) m PEC 设 ,设平面 的法向量为 ? ( x, y, z)
?? ??? ? ? ?m ? EC ? 0 ?(2 ? t ) x ? y ? 0 ?? ? ? ?? ??? ?? m ? EP ? 0 ??tx ? z ? 0 ? m ? x ? 1 则 ,令 得 ? (1, t ? 2, t ) ··········· 10? ??? ? ? AP ? n 5 o ? ? |? t ? cos 45 ?| ??? 4, | AP | ? | n | 由

故,要使要使二面角 P ? EC ? D 的大小为 45 ,只需
o

AE ?

5 4 ············ 12?

20.解:(Ⅰ)由已知 | AB |? 即 a 2 ? b2 ?

5 | BF | , 2

5 a , 4a 2 ? 4b 2 ? 5a 2 , 2 c 3 ? a 2

4a2 ? 4(a2 ? c2 ) ? 5a2 ,∴ e ?

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 a 2 ? 4b2 ,∴ 椭圆 C : 设 P ( x1 , y1 ) , Q ( x2 , y2 ) , 由

x2 y2 ? ? 1. 4b 2 b 2

2 2 2 2 x12 ? x2 y12 ? y2 x12 y12 x2 y2 ? ?0, ? ? 1 ? ? 1 , ,可得 4b 2 b2 4b 2 b 2 4b 2 b 2



( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? ?0, 4b 2 b2
第 7 页 共 5 页

32 ( x1 ? x2 ) 4 y ?y 即 17 ? ( y1 ? y2 ) ? 0 ,从而 k PQ ? 1 2 ? 2 , x1 ? x2 4 17 ?
进而直线 l 的方程为 y ?

2 16 ? 2[ x ? (? )] ,即 2 x ? y ? 2 ? 0 . 17 17

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? ? x 2 ? 4(2 x ? 2)2 ? 4b 2 ? 0 , 由 ? x2 y2 ? ? 1 ? 2 b2 ? 4b
即 17 x 2 ? 32 x ? 16 ? 4b 2 ? 0 .

? ? 322 ? 16 ? 17(b 2 ? 4) ? 0 ? b ?

2 17 32 16 ? 4b2 . x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? . 17 17 17

??? ? ???? ∵ OP ? OQ ,∴ OP ? OQ ? 0 ,
即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 , x1 x2 ? (2 x1 ? 2)(2 x2 ? 2) ? 0 , 5x1 x2 ? 4( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0 . 从而

5(16 ? 4b2 ) 128 ? ? 4 ? 0 ,解得 b ?1, 17 17

∴ 椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 4

21.解:(Ⅰ) f ( x) ? e x ? x2 ? a , f ?( x) ? e x ? 2 x .

? f (0) ? 1 ? a ? 0 ?a ? ?1 由已知 ? , f ( x) ? e x ? x 2 ? 1 . ?? ? f (0) ? 1 ? b b ? 1 ? ?
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, g ( x) ? 则 g ?( x) ?

f ( x) , x ?0, x

xf ?( x) ? f ( x) x(e x ? 2 x) ? (e x ? x 2 ? 1) ( x ? 1)(e x ? x ? 1) ? ? . x2 x2 x2

令 y ? e x ? x ? 1 , y? ? e x ? 1 ? 0 在 x ? (0, ? ?) 恒成立, 从而 y ? e x ? x ? 1 在 (0, ? ? ) 上单调递增, y ? e0 ? 0 ? 1 ? 0 . 令 g ?( x) ? 0 ,得 x ? 1 ; g ?( x) ? 0 ,得 0 ? x ? 1 . ∴ g ( x) 的增区间为 (1, ? ?) ,减区间为 (0,1) .极小值为 g (1) ? 0 ,无极大值. (Ⅲ) f ( x) ? (3x2 ? 5x ? 2k ) ? 0 对任意 x ? R 恒成立,

1 2

1 5 ? ex ? x2 ? x ? 1 ? k ? 0 对任意 x ? R 恒成立, 2 2
1 5 ? k ? e x ? x2 ? x ? 1 对任意 x ? R 恒成立. 2 2
第 8 页 共 5 页

令 h( x) ? e x ?

1 2 5 x ? x ?1 , 2 2

5 h?( x) ? e x ? x ? ,易知 h?( x) 在 R 上单调递增, 2
1 1 3 3 又 h?(0) ? ? ? 0 , h?(1) ? e ? ? 0 , h?( ) ? e 2 ? 2 ? 0 , 2 2 2

3 3 3 3 7 7 7 512 7 7 1 h?( ) ? e 4 ? ? 2.56 4 ? ? 1.6 2 ? ? ? ? 2? ? ? 0, 4 4 4 4 125 4 4 4

1 3 ∴ 存在唯一的 x0 ? ( , ) ,使得 h?( x0 ) ? 0 ,且当 x ? (??, x0 ) 时, h?( x) ? 0 , x ? ( x0 , ? ?) 时, h?( x) ? 0 . 2 4
即 h( x) 在 (??, x0 ) 单调递减,在 ( x0 , ? ?) 上单调递增,

1 2 5 5 5 h( x)min ? h( x0 ) ? e x0 ? x0 ? x0 ? 1 ,又 h?( x0 ) ? 0 ,即 e x0 ? x0 ? ? 0 , e x0 ? ? x0 . 2 2 2 2 5 1 2 5 1 2 ∴ h( x0 ) ? ? x0 ? x0 ? x0 ? 1 ? ( x0 ? 7 x0 ? 3) , 2 2 2 2
1 3 27 1 ∵ x0 ? ( , ) ,∴ h( x0 ) ? (? , ? ) . 2 4 32 8 1 5 k ? e x ? x2 ? x ? 1 对任意 x ? R 恒成立, 2 2
? k ? h( x0 ) ,又 k ? Z ,∴ kmax ? ?1
22.(本题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图, ?ABC 是直角三角形, ?ABC ? 90? , 以 AB 为直径的圆 O 交 AC 于点 E ,点 D 是 BC 边 的中点,连接 OD 交圆 O 于点 M . (1)求证: O 、 B 、 D 、 E 四点共圆; (2)求证: 2 DE 2 ? DM ? AC ? DM ? AB 证明: (1)连接 BE 、 OE ,则 BE ? EC 又 D 是 BC 的中点,所以 DE ? BD 所以 ?ODE ? ?ODB 又 OE ? OB , OD ? OD B O M D C

A E

所以 ?OED ? ?OBD ? 90? 。 。 。 。 。 。5 分

所以 O 、 B 、 D 、 E 四点共圆

(2)延长 DO 交圆 O 于点 H . 因为 DE ? DM ? DH ? DM ? ( DO ? OH ) ? DM ? DO ? DM ? OH .。 。 。 。 。 。 。7 分
2

1 1 DE 2 ? DM ? ( AC ) ? DM ? ( AB) 2 2 2 所以 所以 2 DE ? DM ? AC ? DM ? AB 。 。10 分
第 9 页 共 5 页

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

在直角坐标系 xOy 中,直线 L 的参数方程为

(t 为参数) ,在极坐标系(与直角坐标系 xOy .

取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,圆 C 的方程为 (Ⅰ)求圆 C 的圆心到直线 L 的距离; (Ⅱ)设圆 C 与直线 L 交于点 A、B.若点 P 的坐标为(3, (Ⅰ)由 ,可得 ) ,求|PA|+|PB|. .由

,即圆 C 的方程为

可得直线 l 的方程为



所以,圆 C 的圆心到直线 l 的距离为



5分

(Ⅱ)将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程,得 .由于△ =

,即

.故可设 t1 、 t2 是上述方程的两个实根,所以

,又直线 l 过点 故由上式及 t 的几何意义得 24.已知函数 f ( x) ?| 2 x ? 1| ? | 2 x ? 3 | . (1)求不等式 f ( x) ? 6 的解集;

, . 10 分

(2)若关于 x 的不等式 f ( x ) ?| a ? 1 | 的解集非空,求实数 a 的取值范围.

第 10 页 共 5 页

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