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789987:人教A版高中数学必修四课件-1.2.1任意角的三角函数-新.ppt_图文

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1.2.1任意角的三角函数

复习回顾
c
?
Ob

1、在初中我们是如何定义锐角三角函数的?

P

a

sin? ? c

a

b

cos? ? c

M

a

tan? ? b

新课 导入
2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数?
P
a
?
Ob M y
x

新课 导入

2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数?

其中 :

OM ? a

sin ? ? MP ? b
OP r

MP ? b OP ? r ? a2 ? b2

cos? ? OM ? a
OP r

y

﹒P?a, b ?

tan ? ? MP ? b
OM a

o

?﹒ Mx

诱思 探究

如果改变点P在终边上的位置,这三个比值会改变吗?

y
P?
﹒ P(a,b)

?

O

M M?

?OMP ∽ ?OM?P?

sin ? ? MP
OP

? M ?P? OP?

cos? ? OM ? OM ?

x

OP OP?

tan? ? MP ? M ?P?
OM OM ?

3.锐角三角函数(在单位圆中)
若OP ? r ?1,则
以原点O为圆心,以单位 长度为半径的圆,称为单位圆.

y

P(a, b)

1

?

x

oM

sin ?

?

MP OP

?

b

cos? ? OM ? a
OP

tan?

?

MP OM

?

b a

4.任意角的三角函数定义

设 ? 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x, y)
? y 那么:(1) 叫做 的正弦,记作 sin ?,即 sin ? ? y ;

? (2)x 叫做 的余弦,记作 cos?,即 cos? ? x ;

y
(3)

叫做?

的正切,记作tan? ,即 tan ? ? y (x ? 0)

x

x

y
所以,正弦,余弦,正切都

P?x, y﹒?
?
O

A?1,0? x

是以角为自变量,以单位圆上点 的坐标或坐标的比值为函数值的 函数,我们将他们称为三角函数.
使比值有意义的角的集合

即为三角函数的定义域.

说明

? 的终边y P(x, y)

?

x

o

A(1,0)

(1)正弦就是交点的纵坐标,余弦就是交点

的横坐标,正切就是 交点的纵坐标与

横坐标的比值.

(2) 正弦、余弦总有意义.当 ? 的终边在 y 轴上时,点P 的

横坐标等于0,tan ? ? y 无意义,此时 ? ? ? ? k? (k ? z).

x

2

(3)由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系,

三角函数可以看成是自变量为实数的函数.

任意角的三角函数的定义过程:

直角三角形中定义锐角三角函数 sin ? ? b , cos? ? a , tan ? ? b

r

r

a

直角坐标系中定义锐角三角函数 sin ? ? b , cos? ? a , tan ? ? b

r

r

a

单位圆中定义锐角三角函数 sin ? ? b, cos? ? a, tan ? ? b
a

单位圆中定义任意角的三角函数 sin ? ? y, cos? ? x , tan ? ? y x

实例 剖析

例1 求 5? 的正弦、余弦和正切值.

解:在直角坐3标系中,作 ?AOB ? 5? ,易知 ?AOB

3
的终边与单位圆的交点坐标为

(1 , ? 3) 22



所以 sin 5? ? ? 3 cos 5? ? 1 tan 5? ? ? 3

y


32

32

3

思考:若把角 5? 改为 7? 呢?

5?

3
o


A

x


B

3
sin 7? ? ? 1 ,

6

6

2

cos 7? ? ? 3 ,

6

2

tan 7? ? 3
63

? ? 例2 已知角 的终边经过点 P0(?3,?4),求角 的正弦、余
弦和正切值 .

解:由已知可得 OP0 ? (?3)2 ? (?4)2 ? 5

y

设角 ? 的终边与单位圆交于 P(x, y) ,

分别过点 P 、P0 作 x 轴的垂线 MP、M 0P0

M0 M O

x

M0P0 ? 4

OM ? ?x

P?x, y?

OM0 ? 3

MP ? ?y

?OMP ∽ ?OM 0P0

P0?? 3,?4?

于是, sin? ? y ? y ? ? | MP | ? ? M0P0 ? ? 4 ;

1 OP

OP0

5

cos? ? x ? x ? ? OM ? ? OM0 ? ? 3 ;

1 OP

OP0

5

tan? ? y ? sin ? ? 4 x cos? 3

定义推广:

设角? 是一个任意角,P(x, y) 是终边上的任意一点,
点 P 与原点的距离 r ? x2 ? y2 ? 0

那么① y 叫做? 的正弦,即 sin ? ? y

r

r



x r

叫做?

的余弦,即

cos? ? x
r



y x

叫做 ?

的正切,即

tan ? ? y ?x ? 0?
x

任意角? 的三角函数值仅与? 有关,而与点 P在角的
终边上的位置无关.

巩固 提高
练习 1、已知角 ? 的终边过点 P??12,5? ,
求 ? 的三个三角函数值.

解:由已知可得:
r ? x2 ? y2 ? ??12?2 ? 52 ?13

于是,sin ? ? y ? 5
r 13
tan ? ? y ? ? 5
x 12

cos? ? x ? ? 12
r 13

2、已知角?的终边上一点P??15a,8a??a?R且a ? 0?,

求角?的sin?, cos?, tan?的值.

解:由于x ? -15a, y ? 8a,
所以r ? ??15a?2 ? ?8a?2 ? 17 a ?a ? 0?

?1?若a ? 0则r ?17a,于是

sin? ? 8a ? 8 , cos? ? ?15a ? ? 15 , tan? ? 8a ? ? 8

17a 17

17a 17

?15a 15

?2?若a ? 0则r ? -17a,于是

sin? ? 8a ? ? 8 , cos? ? ?15a ? 15 , tan? ? 8a ? ? 8

?17a 17

?17a 17

?15a 15

3、已知角?的终边在直线y ? 2x上,求角?的sin?,cos?, tan?的值.

解:?1?当角?的终边在第一象限时,

在角?的终边上取点?1, 2?,则r= 12 ? 22 ? 5

sin? ? 2 ? 2 5 ,cos? ? 1 ? 5 , tan? ? 2 ? 2

55

55

1

?2?当角?的终边在第三象限时,

在角?的终边上取点??1, ?2?,则r ? ??1?2 ? ??2?2 ? 5

sin? ? ?2 ? ? 2 5 ,cos? ? ?1 ? ? 5 , tan? ? ?2 ? 2

55

55

?1



1.根据三角函数的定义,确定它们的定义域 (弧度制)

三角函数

定义域



sin ?

R

cos?

R

tan ?

???
?

?

?

?
2

?

k?

(k

?

Z )?? ?

2.确定三角函数值在各象限的符号

y

y

(+) +

( - )( + )



-

o )(

-

)x



-

o )(

+

x )

sin ?

cos?

y
( -)(+)

o
( +)



-

x )

tan ?

例3 求证:当且仅当下列不等式组成立时,

角 ? 为第三象限角. ?sin ? ? 0 ①

? ?

tan ?

?

0



证明:

因为①式sin? ? 0 成立,所以 ? 角的终边可能位于第三
或第四象限,也可能位于y 轴的非正半轴上;

又因为②式tan? ? 0 成立,所以角? 的终边可能位于
第一或第三象限.
因为①②式都成立,所以角? 的终边只能位于第三象限. 于是角 ? 为第三象限角.

反过来请同学们自己证明.

如果两个角的终边相同,那么这两个角的
? 同一三角函数值有何关系?
终边相同的角的同一三角函数值相等(公式一)
sin( ? ? k ? 2? ) ? sin ? cos(? ? k ? 2? ) ? cos? tan(? ? k ? 2? ) ? tan ?
其中 k ? z
利用公式一,可以把求任意角的三角函数值,转化为
? ? 求 0到2? 或0?到360? 角的三角函数值 .

例4 确定下列三角函数值的符号:

(1)cos 250?(2)tan( ?672?)(3)sin ?? ? ? ??

解: (1)因为

?
250? 是第三象限角,所以cos250? ? 0

4?


(2)因为 tan(?672?) = tan(48? ? 2 ? 360?) ? tan 48?,

而 48?是第一象限角,所以 tan(?672?) ? 0 ;

(3)因为

??
4

是第四象限角,所以

sin?? ? ?

?
4

?? ?

?

0

.

练习 确定下列三角函数值的符号

cos16 ?
5
?

sin(? 4? )
3
?

tan(?17 ? )
8
?

例5 求下列三角函数值:

(1)

cos 9?
4

(2) tan( ? 11? )
6

解:(1)cos 9? ? cos(? ? 2? ) ? cos ? ? 2

4

4

42

(2)tan( ? 11? ) ? tan( ? ? 2? ) ? tan ? ? tan ? ? 3

6

6

6

63

练习 求下列三角函数值

tan 19? ?
3

3

1 tan( ? 31? ) ? 4

练习:求值

cos

? ??

? 11?
3

? ??

?

sin

? ??

?

71?
6

? ??

?

tan

? ??

19?
3

? ??

解:cos

? ??

? 11?
3

? ??

?

sin

? ??

?

71?
6

? ??

?

tan

? ??

19?
3

? ??

?

cos

? ??

?4?

?

?
3

? ??

?

sin

? ??

?12?

?

?
6

? ??

?

tan

? ??

6?

?

?
3

? ??

?

?
cos

? sin

?

? tan ?

36 3

? 1 ? 1 ? 3 ?1? 3 22

归纳 总结
1. 内容总结: ①三角函数的概念. ②三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号. ③诱导公式一.
2 .方法总结: 运用了定义法、公式法、数形结合法解题.
3 .体现的数学思想: 划归的思想,数形结合的思想.

作业:
课本第20页 习题1.2 A组 1、2、6、7、第
9题的(1)(3)题.


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